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%%Page: 2 2 2 1 bop 0 83 a Ft(mak)n(es)28 b(the)i(mo)r(del)g(a)f(bit)g(unrealistic) g(and)g(of)h(no)f(direct)g(applicabilit)n(y)g(to)g(solid)g(state)g(ph)n (ysics)g(but)h(,on)f(the)0 183 y(other)37 b(hand,)j(the)e(c)n(hoice)f (of)g(a)g(linear)g(disp)r(ersion)g(relation)f(has)h(the)h(e\013ect)g (that,)j(con)n(trary)35 b(to)j(all)f(other)0 282 y(mo)r(dels)31 b(of)h(in)n(teracting)e(fermions,)i(the)g(Luttinger)f(mo)r(del)h (correlations)d(can)i(b)r(e)h(explicitly)f(computed,)i(see)0 382 y([ML].)27 b(The)f(p)r(opularit)n(y)g(of)h(the)g(Luttinger)f (liquid)h(notion)f(increased)g(greatly)f(after)h(the)h(Anderson)f(prop) r(osal)0 482 y([A])32 b(that)f(the)h(high-)p Fp(T)704 494 y Fo(c)768 482 y Ft(sup)r(erconductors)e(are,)h(in)h(their)f (normal)f(phase,)i(Luttinger)f(liquids;)i(this)f(prop)r(osal)0 581 y(w)n(as)c(based)h(on)f(the)i(conjecture)e(that)i(the)f(Hubbard)g (mo)r(del)g(in)h(one)e(or)h(t)n(w)n(o)f(dimensions)h(ha)n(v)n(e)e(a)i (somewhat)0 681 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(t)d(analytic)f(\(but)i(heuristic\))f(results)f(b)n(y)h([PS])g(and)f ([FK])0 1389 y(con\014rmed)e(this)g(result)g Fr(for)j(lar)l(ge)g Fp(U)9 b Ft(,)31 b(\014nding)f(also)f(that)i(the)f(correlations)e(v)n (erify)i(an)f(imp)r(ortan)n(t)h(prop)r(ert)n(y)-7 b(,)0 1489 y(the)26 b Fr(spin-char)l(ge)j(sep)l(ar)l(ation)p Ft(.)38 b Fr(F)-6 b(or)28 b(smal)t(l)h Fp(U)34 b Ft(the)26 b(evidence)g(for)f(Luttinger)h(liquid)g(b)r(eha)n(vior)e(is)h(based)h (on)f(the)0 1588 y(t)n(w)n(o)i(follo)n(wing)f(facts:)33 1699 y(1\)the)31 b Fp(d)e Ft(=)e(1)k(Hubbard)f(mo)r(del)h(should)g(b)r (e)g(equiv)-5 b(alen)n(t,)31 b(as)f(far)g(as)g(lo)n(w)g(energy)g(prop)r (ert)n(y)g(are)f(considered,)0 1799 y(to)e(a)h(generalization)d(of)j (the)g(Luttinger)f(mo)r(del)h(to)f Fr(spinning)i Ft(fermions,)e(the)h (so)f(called)g Fr(g-olo)l(gy)i Ft(mo)r(del.)33 1909 y(2\)Con)n(trary)f (to)j(the)g(Luttinger)f(mo)r(del,)h(ev)n(en)f(the)h(g-ology)d(mo)r(del) j(is)f Fr(not)i(solvable)p Ft(.)47 b(Ho)n(w)n(ev)n(er)29 b(Soly)n(om)g([S])0 2009 y(b)n(y)d(Renormalization)e(Group)h(\(R)n(G\)) i(analysis)e(truncated)g(at)h(t)n(w)n(o)f(lo)r(ops)g(sho)n(w)n(ed)g (that)h(the)h Fp(g)17 b Fl(\000)e Fp(ol)r(og)s(y)28 b Ft(mo)r(del)0 2108 y(scales)g(iterating)h(the)g(R)n(G)h(to)n(w)n(ard)d (the)j Fr(Mattis)h(mo)l(del)p Ft(,)g(a)e(mo)r(del)g(whic)n(h)g(is)g (indeed)h(exactly)f(solv)-5 b(able)28 b(and)h(it)0 2208 y(has)e(Luttinger)g(liquid)h(b)r(eha)n(vior.)33 2319 y(Giv)n(en)36 b(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)e(t)n(w)n(o)h(facts,)i(the)f(form) n(ulas)f(for)g(the)h(correlations)d(of)j(the)g Fp(d)h Ft(=)f(1)f(Hubbard)h(mo)r(del)f(are)0 2418 y(usually)28 b(appro)n(ximated)f(with)i(the)h(form)n(ulas)d(for)h(the)h (correlations)e(of)h(the)h(Mattis)g(mo)r(del,)g(see)g(for)f(instance)0 2518 y([S];)g(this)g(is)f(ho)n(w)n(ev)n(er)f(quite)i(unsatisfactory)e (for)h(a)g(n)n(um)n(b)r(er)g(of)h(reasons:)33 2628 y(1\)this)i(appro)n (ximation)e(means)i(that)g(the)h(e\013ects)f(of)g(the)g(lattice)h(and)e (the)i(corresp)r(onding)d(Umklapp)i(scat-)0 2728 y(tering)22 b(terms)h(in)g(the)g(Hubbard)f(mo)r(del)h(are)f(completely)h (neglected.)35 b(There)22 b(are)g(ho)n(w)n(ev)n(er)e(strong)i (indications)0 2828 y(that)j(this)g(appro)n(ximation)e(giv)n(es)g (completely)i(wrong)e(predictions)h(at)h(least)f(for)h(prop)r(erties)e (lik)n(e)i(the)g(thermal)0 2927 y(or)i(electric)g(conductivit)n(y)g ([RA].)33 3038 y(2\)The)e(conclusion)g(of)g([S])g(that)h(the)f(Hubbard) g(mo)r(del)h(scales)e(iterating)g(the)i(R)n(G)f(to)n(w)n(ard)e(the)j (Mattis)f(mo)r(del)0 3138 y(is)31 b(based)g(on)h(a)f(n)n(um)n(b)r(er)g (of)h(p)r(eculiar)f(cancellations)f(in)i(the)g(p)r(erturbativ)n(e)f (expansion,)g(c)n(hec)n(k)n(ed)g(up)h(to)f(t)n(w)n(o)0 3237 y(lo)r(ops.)58 b(Of)34 b(course,)i(without)f(an)f(argumen)n(t)g (stating)h(that)g(the)g(cancellations)e(are)h(presen)n(t)g(at)h Fr(any)h(or)l(der)p Ft(,)0 3337 y(this)31 b(conclusion)f(is)h(only)f(p) r(erturbativ)n(e)g(and)h(not)g(v)n(ery)e(solid;)j(if)g(at)e(higher)g (orders)g(the)h(cancellations)e(w)n(ere)0 3436 y(not)40 b(presen)n(t,)j(the)e(e\013ectiv)n(e)g(coupling)f(constan)n(ts)f(could) h(increase)f(without)i(limit)g(making)f(the)h(analysis)0 3536 y(meaningless.)33 3647 y(As)33 b(a)g(conclusion,)g(the)g(enormous) f(n)n(um)n(b)r(er)h(of)g(results)f(on)h(the)g Fp(d)f Ft(=)f(1)i(Hubbard)g(mo)r(del)g(can)f(b)r(e)i(roughly)0 3746 y(divided)22 b(in)g(t)n(w)n(o)g(main)g(classes.)33 b(A)23 b(\014rst)e(class)g(are)g(the)i(exact)e(results,)i(based)e(on)h (the)g(Bethe)g(ansatz)f(approac)n(h.)0 3846 y(They)27 b(are)f(\(almost\))h(rigorous)d(but)k(they)f(giv)n(e)f(essen)n(tially)g (no)g(informations)g(on)h(the)g(b)r(eha)n(vior)f(of)h(the)g(corre-)0 3946 y(lations.)36 b(Moreo)n(v)n(er)25 b(they)j(are)e(not)i(v)n(ery)e (robust,)h(as)g(they)h(rely)f(on)g(delicate)h(in)n(tegrabilit)n(y)e (prop)r(erties)g(of)i(the)0 4045 y(Hubbard)22 b(mo)r(del)h(and)f (cannot)g(b)r(e)h(used)f(to)g(face)g(with)h(apparen)n(tly)e(harmless)h (mo)r(di\014cations)f(of)i(the)g(Hubbard)0 4145 y(mo)r(del)f(\(for)g (instance)g(considering)f(nonlo)r(cal)g(but)i(short)f(ranged)f(in)n (teractions\).)34 b(The)22 b(second)g(class)f(of)h(results)0 4244 y(is)k(obtained)g(b)n(y)g(a)f(com)n(bination)h(of)g(tec)n(hniques) f(\(n)n(umerical)h(sim)n(ulations,)g(b)r(osonization,)f (Renormalization)0 4344 y(Group\))i(and)h(indeed)g(informations)e(on)i (the)g(correlations)d(are)i(found,)h(but)g(the)g(results)f(are)f(not)i (rigorous.)0 4525 y Fq(1.2)98 b Fr(The)30 b(Luttinger)f(liquid)i(c)l (onstruction)33 4636 y Ft(In)d(a)g(series)f(of)h(pap)r(er)g([BM1],)g ([BM2],)g([BM3],)f([BM4])h(a)g(general)e(pro)r(of)i(of)g(Luttinger)g (liquid)g(b)r(eha)n(vior)f(for)0 4736 y Fr(spinless)32 b Ft(in)n(teracting)f(fermions)g(\(without)h(an)n(y)e(use)i(of)f(exact) g(solutions\))g(has)g(b)r(een)g(completed.)49 b(The)31 b(con-)0 4835 y(clusion)e(is)g(that)h(in)n(teracting)f Fr(spinless)h Ft(fermions)f(are)g Fr(generic)l(al)t(ly)i Ft(Luttinger)f(liquids)f(\(indep)r(enden)n(tly)i(from)0 4935 y(the)g(disp)r(ersion)e(relation,)i(the)f(presence)g(of)g(a)g (lattice,)h(the)g(sign)f(of)g(the)h(in)n(teraction)f(etc\).)45 b(A)31 b(p)r(erturbation)0 5035 y(theory)h(for)h(the)g(correlation)e (functions)j(is)f(constructed,)h(and)f(suc)n(h)g(expansion)f(is)h(not)g (in)g(the)h(strength)e(of)0 5134 y(the)g(in)n(teraction)f(but)i(in)f (terms)g(of)f(a)h(set)g(of)g(parameters)e(called)h Fr(running)i(c)l (oupling)i(c)l(onstants)p Ft(,)d(describing)0 5234 y(the)h(e\013ectiv)n (e)g(in)n(teraction)e(at)i(a)f(certain)g(momen)n(tum)h(scale;)h(the)f (expansion)f(is)g(pro)n(v)n(ed)f(to)i(b)r(e)g(con)n(v)n(ergen)n(t)0 5333 y(\(and)26 b(analytic\))f(if)h(the)g(running)f(coupling)g(constan) n(ts)g(are)g(small,)g(see)h([BM1],)f(as)g(a)g(consequence)g(of)g (suitable)0 5433 y(determinan)n(t)c(b)r(ounds)h(for)e(the)i(fermionic)f (truncated)g(exp)r(ectations.)34 b(On)22 b(the)f(other)g(hand)g(the)h (prop)r(ert)n(y)e(that)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1120 b Ft(2)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 0 83 a Ft(the)27 b(running)g(coupling)f(constan)n(ts)g(remain)h (in)g(the)g(con)n(v)n(ergence)e(radius)h(of)h(the)g(expansion)f(is)h (not)g(trivial)g(at)0 183 y(all)c(and)g(is)g(due)h(to)f(remark)-5 b(able)22 b Fr(c)l(anc)l(el)t(lations)j Ft(at)e(an)n(y)f(order)g(in)i (the)g(expansion.)34 b(More)22 b(exactly)-7 b(,)24 b(the)g(running)0 282 y(coupling)e(constan)n(ts)g(v)n(erify)f(a)h(set)h(of)f(recursiv)n (e)f(equations,)i(whose)f(l.h.s.)35 b(is)23 b(called)f Fr(Beta)j(function)p Ft(,)f(and)e(their)0 382 y(b)r(oundedness)g(is)h (consequence)e(of)h(dramatic)g(cancellations)f(happ)r(ening)h(at)h(an)n (y)e(order)g(in)i(the)g(Beta)f(function.)0 482 y(In)31 b(order)f(to)h(pro)n(v)n(e)f(suc)n(h)h(cancellations)f(one)h(decomp)r (oses)f(the)i(Beta)f(function)g(in)h(the)g(sum)f(of)g(t)n(w)n(o)g (terms;)0 581 y(one,)i(called)g Fr(dominant)h(p)l(art)p Ft(,)h(whic)n(h)d(is)g(common)g(to)h(all)f(spinless)g Fp(d)g Ft(=)e(1)j(F)-7 b(ermi)32 b(system,)i(and)e(the)h(second)0 681 y(part)27 b(whic)n(h)g(dep)r(ends)h(on)f(the)h(sp)r(eci\014c)f(mo)r (del)h(one)f(is)g(considering)f(and)h(whic)n(h)g(giv)n(es)g(a)g(b)r (ounded)g(\015o)n(w)g Fr(onc)l(e)0 780 y(one)33 b(has)g(pr)l(ove)l(d)h (that)e(the)h(dominant)g(p)l(art)g(is)g(asymptotic)l(al)t(ly)i (vanishing)p Ft(.)47 b(The)31 b(problem)f(is)h(then)g(reduced)0 880 y(to)24 b(the)g(v)-5 b(anishing)24 b(of)g(the)g(dominan)n(t)g(part) g(of)g(the)g(Beta)g(function,whic)n(h)g(coincides)g(with)g(the)h (complete)f(Beta)0 980 y(function)j(of)g(a)f(mo)r(del,)h(called)f Fr(r)l(efer)l(enc)l(e)j(mo)l(del)p Ft(,)f(describing)d(in)n(teracting)h (spinless)g(fermions)g(with)h(an)f(ultra-)0 1079 y(violet)h(and)g (infrared)g(cuto\013.)37 b(The)28 b(pro)r(of)f(of)g(v)-5 b(anishing)27 b(of)h(the)f(Beta)g(function)h(is)g(the)g(reduced)f(to)g (the)h(pro)r(of)0 1179 y(of)i(suitable)f(\(highly)h(non)g(trivial\))f (W)-7 b(ard)30 b(Iden)n(tities)g(b)r(et)n(w)n(een)f(the)i(correlation)c (functions)j(of)g(the)g(reference)0 1279 y(mo)r(del)h([BM3],)g(for)e (an)n(y)h(v)-5 b(alue)30 b(of)h(the)g(infrared)e(cuto\013.)46 b(The)31 b(problem)f(of)g(implemen)n(ting)h(W)-7 b(ard)30 b(iden)n(tities)0 1378 y(in)37 b(a)f(mo)r(del)g(with)h(cuto\013s)f (\(and)h(in)f(a)g(Renormalization)f(Group)h(sc)n(heme\))g(is)h(a)e(w)n (ell)i(kno)n(wn)e(problem)h(in)0 1478 y(Quan)n(tum)30 b(\014eld)h(theory)e(or)h(condensed)g(matter)g(ph)n(ysics.)45 b(In)30 b([BM2],)h([BM4])f(a)g(solution)g(for)g(this)h(problem)0 1577 y(w)n(as)d(giv)n(en)f(b)n(y)i(\014nding)f(suitable)h Fr(Corr)l(e)l(ction)i(Identities)e Ft(relating)f(the)h(corrections)e (to)h(the)h(W)-7 b(ard)28 b(Iden)n(tities)0 1677 y(due)22 b(to)g(cuto\013s)h(to)f(the)g(correlations)e(themselv)n(es.)34 b(By)22 b(com)n(bining)g(the)g(W)-7 b(ard)22 b(and)g(the)h(Correction)d (Iden)n(tities)0 1777 y(the)29 b(v)-5 b(anishing)28 b(of)h(the)g (reference)e(mo)r(del)i(Beta)f(function)i(is)e(pro)n(v)n(ed)f(and)h (the)h(rigorous)e(construction)g(of)i(the)0 1876 y(correlation)d (functions)h(for)h(spinless)f(Luttinger)g(liquid)h(is)g(then)g (completed.)33 1976 y(Aim)36 b(of)f(this)h(pap)r(er)e(is)i(the)f (extension)g(of)g(the)h(Luttinger)f(liquid)g(construction)g(to)g(the)g Fp(d)h Ft(=)g(1)f(Hubbard)0 2076 y(mo)r(del;)41 b(suc)n(h)35 b(extension)h(is)g(not)g(straigh)n(tforw)n(ard)d(as)j(the)g(Luttinger)g (liquid)h(is)f Fr(not)g Ft(the)g(generic)f(state)h(of)0 2175 y Fr(spinning)d Ft(in)n(teracting)e(fermions.)49 b(The)33 b(conditions)e(of)h(repulsiv)n(e)f(in)n(teraction)g Fp(U)40 b(>)30 b Ft(0)h(and)h(not)g(half)g(\014lling)0 2275 y(m)n(ust)j(b)r(e)f(imp)r(osed;)k(tec)n(hnically)c(this)h(is)f (re\015ected)h(from)f(the)h(fact)f(that)h(the)g(expansions)e(w)n(e)h (\014nd)h(cannot)0 2374 y(b)r(e)d(analytic)f(in)h(a)f(circle)g(around)f Fp(U)38 b Ft(=)30 b(0,)i(as)f(it)h(w)n(ould)f(b)r(e)h(in)f(the)h (spinless)f(case,)h(and)f Fp(U)41 b Ft(m)n(ust)31 b(b)r(e)h(c)n(hosen)0 2474 y(smaller)27 b(and)h(smaller)f(as)h(w)n(e)g(are)f(closer)g(and)h (closer)f(to)h(half-\014lling.)38 b(W)-7 b(e)29 b(will)f(de\014ne)g(an) g(expansion)f(for)h(the)0 2574 y(correlations)d(in)j(terms)g(of)f (running)g(coupling)h(constan)n(ts,)e(but)i(the)g(presence)f(of)h(the)g (spin)g(increases)e(greatly)0 2673 y(their)21 b(n)n(um)n(b)r(er;)i (crucial)e(symmetry)g(considerations)e(\(based)i(on)g(the)h Fp(S)5 b(U)k Ft(\(2\))20 b(spin)i(in)n(v)-5 b(ariance)20 b(of)h(the)h(Hubbard)0 2773 y(mo)r(del\))29 b(and)f(geometrical)f (constrain)n(ts)g(reduce)h(the)h(n)n(um)n(b)r(er)g(of)f(the)h (e\013ectiv)n(e)f(in)n(teractions)g(\(whic)n(h)g(is)h(only)0 2873 y(one)f(in)h(the)g(spinless)f(case\))g(to)g(three)h(\(in)g(the)g (non)f(half)h(\014lled)g(band)f(case\))g(or)g(four)g(\(in)h(the)g(half) g(\014lled)f(band)0 2972 y(case\).)36 b(Again)26 b(the)g(running)g (coupling)g(constan)n(ts)f(v)n(erify)h(a)g(recursiv)n(e)e(relation,)i (whose)g(r.h.s.)36 b(is)26 b(called)g(Beta)0 3072 y(function,)31 b(and)e(the)h(expansion)f(is)g(meaningful)h(only)f(if)h(the)g(running)g (coupling)f(constan)n(t)g(are)f(small)i(at)f(an)n(y)0 3171 y(momen)n(tum)i(scale.)46 b(One)30 b(can)h(decomp)r(ose)f(the)h (Beta)f(function)i(in)f(a)f(dominan)n(t)h(part)f(and)h(a)f(rest;)i(it)g (turns)0 3271 y(out)25 b(ho)n(w)n(ev)n(er)f(that)h(the)h(dominan)n(t)f (part)g(is)h(not)f(v)-5 b(anishing.)36 b(Calling)24 b(the)i(three)f (\(in)h(the)g(not)g(half)f(\014lled)h(case\))0 3371 y(e\013ectiv)n(e)i (in)n(teractions)f Fp(g)812 3383 y Fk(1)849 3371 y Fp(;)14 b(g)926 3383 y Fk(2)963 3371 y Fp(;)g(g)1040 3383 y Fk(4)1076 3371 y Ft(,it)29 b(turns)f(out)g(that,)h(truncating)f(the)g(b)r(eta)h (function)f(at)h(the)f(second)g(order,)0 3470 y Fp(g)40 3482 y Fk(1)110 3470 y Ft(tends)33 b(to)g(v)-5 b(anish)33 b(\(if)h Fp(U)41 b(>)32 b Ft(0\))h(while)h Fp(g)1385 3482 y Fk(2)1421 3470 y Fp(;)14 b(g)1498 3482 y Fk(4)1568 3470 y Ft(remains)33 b(close)f(to)h(their)g(initial)h(v)-5 b(alue.)53 b(In)33 b(order)f(to)h(pro)n(v)n(e)0 3570 y(that)g(suc)n(h)f(a)h(result)f(is)h(v)-5 b(alid)33 b(non)f(p)r (erturbativ)n(ely)-7 b(,)33 b(that)g(is)g(including)g(all)f(orders)f (con)n(tributions,)j(one)e(has)0 3670 y(to)i(pro)n(v)n(e)f(a)h(prop)r (ert)n(y)g(whic)n(h)g(w)n(e)g(will)h(call)f Fr(p)l(artial)j(vanishing)f Ft(of)f(the)g(Beta)f(function.)58 b(Suc)n(h)34 b(prop)r(ert)n(y)f(is)0 3769 y(deriv)n(ed)21 b(b)n(y)h(a)g(suitable)g Fr(r)l(efer)l(enc)l(e)j (mo)l(del)p Ft(,)f(whic)n(h)e(v)n(eri\014es)f(formally)g(\(if)i (cuto\013s)f(are)f(neglected\))i(prop)r(er)e(gauge)0 3869 y(symmetries.)45 b(Quite)30 b(surprisingly)-7 b(,)30 b(the)h(cancellations)e(on)h(Beta)g(function)h(of)f(the)h(Hubbard)f(mo) r(del,)h(whic)n(h)0 3968 y(v)n(eri\014es)d(an)h(SU\(2\))h(spin)f (symmetry)-7 b(,)30 b(will)f(b)r(e)h(obtained)f(b)n(y)g(a)g(reference)f (mo)r(del)h Fr(not)i Fp(S)5 b(U)k Ft(\(2\))31 b Fr(invariant)p Ft(.)43 b(W)-7 b(e)0 4068 y(deriv)n(e)33 b(suitable)i(W)-7 b(ard)33 b(and)i(correction)d(iden)n(tities)j(for)e(the)i(reference)e (mo)r(del,)k(and)d(b)n(y)g(them)h(the)f(partial)0 4168 y(v)-5 b(anishing)24 b(of)g(the)h(Hubbard)f(Beta)f(function)i(is)f(pro) n(v)n(ed.)35 b(Hence)24 b(the)h(running)f(coupling)f(constan)n(ts)h (are)f(small)0 4267 y(if)29 b Fp(U)9 b Ft(is)28 b(small)g(enough)f(and) h(the)h(rigorous)d(construction)h(of)i(the)f(correlation)f(functions)h (for)g(Hubbard)g(mo)r(del)0 4367 y(is)f(completed.)36 b(The)27 b(analysis)f(can)g(b)r(e)i(easily)e(generalized)f(to)i (include)g(the)g(presence)f(of)h(a)g(magnetic)f(\014eld)h(or)0 4467 y(non)g(lo)r(cal)g(in)n(teractions.)0 4637 y Fq(1.3)98 b Fr(The)30 b(Hubb)l(ar)l(d)g(mo)l(del)33 4737 y Ft(The)e(Hubbard)f(mo) r(del)h(Hamiltonian)f(is)h(giv)n(en)f(b)n(y)84 4902 y Fp(H)j Ft(=)23 b Fl(\000)p Fp(t)383 4823 y Fj(X)380 5002 y Fo(x)p Fi(2)p Fk(\003)533 4823 y Fj(X)521 4998 y Fo(\033)r Fk(=)p Fi(\006)664 4902 y Ft(\()p Fp(a)740 4868 y Fk(+)740 4923 y Fo(x;\033)842 4902 y Fp(a)886 4867 y Fi(\000)886 4924 y Fo(x)p Fk(+1)p Fo(;\033)1091 4902 y Ft(+)18 b Fp(a)1218 4867 y Fk(+)1218 4924 y Fo(x)p Fk(+1)p Fo(;\033)1404 4902 y Fp(a)1448 4868 y Fi(\000)1448 4923 y Fo(x;\033)1550 4902 y Ft(\))h(+)f Fp(U)1767 4823 y Fj(X)1763 5002 y Fo(x)p Fi(2)p Fk(\003)1905 4902 y Fp(a)1949 4867 y Fk(+)1949 4923 y Fo(x;)p Fk(+)2061 4902 y Fp(a)2105 4867 y Fi(\000)2105 4923 y Fo(x;)p Fk(+)2218 4902 y Fp(a)2262 4867 y Fk(+)2262 4923 y Fo(x;)p Fi(\000)2375 4902 y Fp(a)2419 4867 y Fi(\000)2419 4923 y Fo(x;)p Fi(\000)2551 4902 y Fl(\000)g Fp(\026)2701 4823 y Fj(X)2698 5002 y Fo(x)p Fi(2)p Fk(\003)2851 4823 y Fj(X)2839 4998 y Fo(\033)r Fk(=)p Fi(\006)2996 4902 y Fp(a)3040 4868 y Fk(+)3040 4923 y Fo(x;\033)3142 4902 y Fp(a)3186 4868 y Fi(\000)3186 4923 y Fo(x;\033)3373 4902 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(1\))0 5134 y(where)30 b(\003)h(is)f(an)h(in)n (terv)-5 b(al)30 b(of)h Fp(L)f Ft(p)r(oin)n(ts)h(on)g(the)g(one)f (dimensional)h(lattice)f(of)h(step)g(1,)g(whic)n(h)g(will)g(b)r(e)g(c)n (hosen)0 5234 y(equal)25 b(to)h(\()p Fl(\000)p Ft([)p Fp(L=)p Ft(2])p Fp(;)14 b Ft([\()p Fp(L)f Fl(\000)h Ft(1\)])p Fp(=)p Ft(2\))25 b(and)g Fp(a)1283 5204 y Fi(\006)1283 5254 y Fo(x;\033)1411 5234 y Ft(is)h(a)f(set)g(of)h(fermionic)g (creation)e(or)h(annihilation)g(op)r(erators)f(with)0 5333 y(spin)k Fp(\033)g Ft(=)23 b Fl(\006)28 b Ft(satisfying)g(p)r (erio)r(dic)g(b)r(oundary)f(conditions;)h Fp(t)c Ft(=)g(1)p Fp(=)p Ft(2)j(is)h(the)g(hopping)g(parameter,)f Fp(U)33 b(>)23 b Ft(0)28 b(the)0 5433 y(coupling)f(and)h Fp(\026)f Ft(the)h(c)n(hemical)f(p)r(oten)n(tial.)37 b(The)28 b(Hamiltonian)f(v)n (erify)n(es)f(an)i Fp(S)5 b(U)k Ft(\(2\))27 b(spin)g(symmetry)-7 b(.)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1120 b Ft(3)p eop %%Page: 4 4 4 3 bop 33 83 a Ft(A)37 b(generalization)e(of)i(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)f (hamiltonian)g(including)i(the)f(e\013ect)g(of)g(a)f(short-ranged)f (\(instead)i(of)g(a)0 183 y(nearest-neigh)n(b)r(or\))25 b(in)n(teraction,)i(and)h(the)g(presence)e(of)i(a)f(magnetic)g (\014eld,)h(is)g(the)g(follo)n(wing)89 424 y Fp(H)i Ft(=)23 b Fl(\000)351 367 y Ft(1)p 351 405 42 4 v 351 481 a(2)416 345 y Fj(X)427 519 y Fo(x;\033)536 424 y Ft(\()p Fp(a)612 389 y Fk(+)612 444 y Fo(x;\033)714 424 y Fp(a)758 388 y Fi(\000)758 446 y Fo(x)p Fk(+1)p Fo(;\033)962 424 y Ft(+)18 b Fp(a)1089 388 y Fk(+)1089 446 y Fo(x)p Fk(+1)p Fo(;\033)1275 424 y Fp(a)1319 389 y Fi(\000)1319 444 y Fo(x;\033)1421 424 y Ft(\))h(+)f Fp(U)1635 345 y Fj(X)1648 519 y Fo(x;y)1768 424 y Fp(v)s Ft(\()p Fp(x)i Fl(\000)e Fp(y)s Ft(\))p Fp(a)2113 388 y Fk(+)2113 444 y Fo(x;)p Fk(+)2225 424 y Fp(a)2269 388 y Fi(\000)2269 444 y Fo(x;)p Fk(+)2382 424 y Fp(a)2426 388 y Fk(+)2426 444 y Fo(y)r(;)p Fi(\000)2537 424 y Fp(a)2581 388 y Fi(\000)2581 444 y Fo(y)r(;)p Fi(\000)2711 424 y Fl(\000)g Fp(\026)2858 345 y Fj(X)2869 519 y Fo(x;\033)2991 424 y Fp(a)3035 389 y Fk(+)3035 444 y Fo(x;\033)3137 424 y Fp(a)3181 389 y Fi(\000)3181 444 y Fo(x;\033)3373 424 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(2\))1319 723 y(+)p Fp(h)p Ft(\()p Fp(a)1508 688 y Fk(+)1508 744 y Fo(x;)p Fk(+)1620 723 y Fp(a)1664 688 y Fi(\000)1664 744 y Fo(x;)p Fk(+)1795 723 y Fl(\000)g Fp(a)1922 688 y Fk(+)1922 744 y Fo(x;)p Fi(\000)2035 723 y Fp(a)2079 688 y Fi(\000)2079 744 y Fo(x;)p Fi(\000)2192 723 y Ft(\))0 884 y(When)29 b(the)g(in)n(teraction)f(is)g(giv)n(en)g(b) n(y)g Fp(U)9 b(v)s Ft(\()p Fp(x)20 b Fl(\000)e Fp(y)s Ft(\))25 b(=)f Fp(U)9 b(\016)1808 896 y Fo(x;y)1924 884 y Ft(+)19 b Fp(V)g(\016)2112 896 y Fo(x)p Fk(+1)p Fo(;y)2321 884 y Ft(the)29 b(mo)r(del)g(is)f(kno)n(wn)g(as)g(the)h Fp(U)f Fl(\000)18 b Fp(V)0 983 y Fr(mo)l(del)p Ft(.)33 1084 y(W)-7 b(e)34 b(consider)e(the)h(op)r(erators)e Fp(a)1076 1054 y Fi(\006)1076 1104 y Fh(x)p Fo(;\033)1212 1084 y Ft(=)h Fp(e)1348 1054 y Fo(H)t(x)1444 1062 y Fn(0)1480 1084 y Fp(a)1524 1054 y Fi(\006)1524 1104 y Fh(x)p Fo(;\033)1628 1084 y Fp(e)1667 1054 y Fi(\000)p Fo(H)t(x)1815 1062 y Fn(0)1852 1084 y Ft(,)i Fq(x)f Ft(=)e(\()p Fp(x;)14 b(x)2251 1096 y Fk(0)2290 1084 y Ft(\))33 b(and)g Fl(\000)p Fp(\014)t(=)p Ft(2)e Fl(\024)h Fp(x)2897 1096 y Fk(0)2966 1084 y Fl(\024)g Fp(\014)t(=)p Ft(2)g(for)h(some)0 1184 y Fp(\014)27 b(>)c Ft(0;)k(on)h Fp(x)417 1196 y Fk(0)454 1184 y Ft(,)g(whic)n(h)g(w)n(e)f(call)g(the)h(time)g(v)-5 b(ariable,)27 b(p)r(erio)r(dic)g(b)r(oundary)g(conditions)g(are)g(imp)r (osed.)33 1284 y(Man)n(y)39 b(ph)n(ysical)g(prop)r(erties)f(of)h(the)h (fermionic)f(system)h(at)f(in)n(v)n(erse)f(temp)r(erature)h Fp(\014)44 b Ft(can)39 b(b)r(e)h(expressed)0 1384 y(in)34 b(terms)e(of)i(the)f Fg(Sc)n(h)n(winger)f(functions)p Ft(,)j(that)f(is)f(the)h(truncated)f(exp)r(ectations)g(in)g(the)h (Grand)f(Canonical)0 1483 y(Ensem)n(ble)27 b(of)g(the)h(time)h(order)d (pro)r(duct)h(of)h(the)g(\014eld)g Fp(a)1790 1453 y Fi(\006)1790 1504 y Fh(x)1873 1483 y Ft(at)g(di\013eren)n(t)g(space-time)f(p)r(oin)n (ts.)36 b(If)1353 1741 y Fp(<)23 b(X)29 b(>)1604 1753 y Fo(L;\014)1714 1741 y Ft(=)1811 1685 y Fp(T)12 b(r)r(e)1950 1655 y Fi(\000)p Fo(\014)s(H)2105 1685 y Fp(X)p 1811 1722 370 4 v 1849 1798 a(T)g(r)r(e)1988 1774 y Fi(\000)p Fo(\014)s(H)3373 1741 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(3\))0 1966 y(the)28 b(Sc)n(h)n(winger)e(functions)i(are)f(de\014ned)h(as,if)f Fp(")c Ft(=)g Fl(\006)825 2168 y Fp(S)876 2180 y Fo(L;\014)986 2168 y Ft(\()p Fq(x)1068 2180 y Fk(1)1106 2168 y Fp(;)14 b(")1182 2180 y Fk(1)1219 2168 y Fp(;)g(\033)1303 2180 y Fk(1)1341 2168 y Ft(;)g Fp(:::)p Ft(;)g Fq(x)1534 2180 y Fk(1)1571 2168 y Fp(;)g(")1647 2180 y Fk(1)1684 2168 y Fp(;)g(\033)1768 2180 y Fk(1)1806 2168 y Ft(\))23 b(=)p Fp(<)f(a)2057 2134 y Fo(")2088 2142 y Fn(1)2057 2189 y Fh(x)2097 2197 y Fn(1)2129 2189 y Fo(;\033)2187 2197 y Fn(1)2224 2168 y Fp(:::a)2337 2134 y Fo(")2368 2142 y Fn(1)2337 2189 y Fh(x)2377 2197 y Fm(n)2417 2189 y Fo(;\033)2475 2197 y Fm(n)2543 2168 y Fp(>)2608 2180 y Fo(L;\014)3373 2168 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(4\))0 2370 y(W)-7 b(e)29 b(will)h(denote)f(b)n(y)f Fp(S)5 b Ft(\()p Fq(x)826 2382 y Fk(1)864 2370 y Fp(;)14 b(:::)p Ft(\))29 b(the)h(lim)1291 2382 y Fo(L;\014)s Fi(!1)1563 2370 y Ft(of)f(\(1.4\).)41 b(An)29 b(imp)r(ortan)n(t)g(role)f(is)h(pla)n(y)n (ed)f(b)n(y)h(the)g(t)n(w)n(o)f(p)r(oin)n(t)0 2470 y(Sc)n(h)n(winger)e (function)1163 2572 y Fp(S)1214 2584 y Fo(L;\014)1324 2572 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Ft(+)p Fp(;)g(\033)s Ft(;)g Fq(y)q Fp(;)g Fl(\000)p Fp(;)g(\033)s Ft(\))24 b(=)f Fp(S)2067 2584 y Fo(L;\014)2177 2572 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))994 b(\(1)p Fp(:)p Ft(5\))0 2743 y(Denoting)36 b(b)n(y)505 2722 y(^)491 2743 y Fp(S)542 2755 y Fo(L;\014)652 2743 y Ft(\()p Fp(k)s(;)14 b(x)814 2755 y Fk(0)851 2743 y Ft(\))37 b(the)f(F)-7 b(ourier)35 b(transform)g(of)g Fp(S)1910 2755 y Fo(L;\014)2020 2743 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))i(with)g(resp)r(ect)e(to)h(the)h Fp(x)f Ft(v)-5 b(ariable,)37 b Fp(n)3401 2755 y Fo(k)3479 2743 y Fl(\021)14 2833 y Ft(^)0 2854 y Fp(S)51 2866 y Fo(L;\014)161 2854 y Ft(\()p Fp(k)s(;)14 b Ft(0)318 2824 y Fi(\000)374 2854 y Ft(\))24 b(is)g(the)h Fr(o)l(c)l(cup)l(ation)i (numb)l(er)p Ft(,)e(the)f(a)n(v)n(erage)e(n)n(um)n(b)r(er)i(of)g (particles)g(with)g(momen)n(tum)h Fp(k)s Ft(.)36 b(Another)0 2954 y(imp)r(ortan)n(t)27 b(ph)n(ysical)g(quan)n(tit)n(y)g(is)h(the)g (densit)n(y-densit)n(y)e Fr(c)l(orr)l(elation)31 b(function)1153 3155 y Ft(\012)1213 3167 y Fh(x)p Fo(;)p Fh(y)1340 3155 y Ft(=)p Fp(<)22 b(\032)1535 3167 y Fh(x)1579 3155 y Fp(\032)1622 3167 y Fh(y)1690 3155 y Fp(>)h Fl(\000)f Fp(<)h(\032)1996 3167 y Fh(x)2063 3155 y Fp(><)f(\032)2258 3167 y Fh(y)2326 3155 y Fp(>)982 b Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(6\))0 3429 y Fq(1.4)98 b Fr(The)30 b(non)g(inter)l(acting)g Fp(U)h Ft(=)23 b(0)29 b Fr(c)l(ase.)33 3530 y Ft(The)f(t)n(w)n(o)f(p)r (oin)n(t)g(Sc)n(h)n(winger)g(function)h(in)g(the)g(non)f(in)n (teracting)g(case)g(is)g(giv)n(en)g(b)n(y)-7 b(,)27 b(in)h(the)g(limit) g Fp(L;)14 b(\014)27 b Fl(!)c(1)979 3786 y Fp(S)1030 3798 y Fk(0)1067 3786 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))25 b(=)1381 3673 y Fj(Z)1464 3694 y Fi(1)1427 3862 y(\0001)1564 3786 y Fp(dk)1650 3798 y Fk(0)1701 3673 y Fj(Z)1784 3694 y Fo(\031)1747 3862 y Fi(\000)p Fo(\031)1858 3786 y Fp(dk)2085 3730 y(e)2124 3700 y Fi(\000)p Fo(i)p Fh(k)p Fk(\()p Fh(x)p Fi(\000)p Fh(y)q Fk(\))p 1957 3767 598 4 v 1957 3843 a Fl(\000)p Fp(ik)2094 3855 y Fk(0)2149 3843 y Ft(+)18 b Fp(\026)h Fl(\000)f Ft(cos)13 b Fp(k)3373 3786 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(7\))0 4047 y(where)27 b Fq(k)d Ft(=)e(\()p Fp(k)s(;)14 b(k)559 4059 y Fk(0)597 4047 y Ft(\).)37 b(It)28 b(is)f(easy)g(to)g(c)n(hec)n(k)g(that)h(one)f(can)g (write,)h(if)g Fp(\026)23 b Ft(=)g(cos)13 b Fp(p)2494 4017 y Fk(0)2494 4070 y Fo(F)2576 4047 y Ft(and)28 b Fp(v)2778 4059 y Fk(0)2838 4047 y Ft(=)23 b(sin)14 b Fp(p)3084 4017 y Fk(0)3084 4070 y Fo(F)1109 4318 y Fp(S)1160 4330 y Fk(0)1197 4318 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)g Fq(y)q Ft(\))25 b(=)1525 4239 y Fj(X)1512 4414 y Fo(!)r Fk(=)p Fi(\006)1695 4262 y Fp(e)1734 4232 y Fo(i!)r(p)1835 4207 y Fn(0)1835 4249 y Fm(F)1883 4232 y Fk(\()p Fo(x)p Fi(\000)p Fo(y)r Fk(\))p 1682 4299 395 4 v 1682 4375 a Fp(v)1722 4387 y Fk(0)1760 4375 y Fp(x)1807 4387 y Fk(0)1863 4375 y Ft(+)18 b Fp(i!)s(x)2105 4318 y Ft(+)j(\026)-45 b Fp(g)s Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))940 b(\(1)p Fp(:)p Ft(8\))0 4612 y(with)25 b Fl(j)s Ft(\026)-45 b Fp(g)s Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p Fl(j)24 b(\024)753 4579 y Fo(C)p 599 4593 361 4 v 599 4642 a Fk(1+)p Fi(j)p Fh(x)p Fi(\000)p Fh(y)q Fi(j)856 4625 y Fn(1+)p Fm(\022)969 4612 y Ft(,)h Fp(\022)i Ft(a)d(p)r(ositiv)n(e)g(constan)n(t;)h(that)g (is,)g(the)f(t)n(w)n(o)g(p)r(oin)n(t)h(Sc)n(h)n(winger)e(function)i (deca)n(ys)0 4732 y(as)i Fp(O)r Ft(\()p Fl(j)p Fq(x)20 b Fl(\000)e Fq(y)q Fl(j)449 4702 y Fi(\000)p Fk(1)539 4732 y Ft(\))28 b(oscillating)e(with)i(p)r(erio)r(d)1469 4699 y Fo(\031)p 1449 4713 82 4 v 1449 4763 a(p)1483 4743 y Fn(0)1483 4785 y Fm(F)1540 4732 y Ft(.)37 b(Imp)r(ortan)n(t)27 b(ph)n(ysical)g(prop)r(erties)g(are:)33 4861 y(1\)the)h(o)r(ccupation)f (n)n(um)n(b)r(er)g(is)h(giv)n(en)f(b)n(y)g Fp(n)1440 4873 y Fo(k)1504 4861 y Ft(=)22 b Fp(\037)p Ft(\()p Fl(j)p Fq(k)p Fl(j)i(\024)f Fp(p)1925 4831 y Fk(0)1925 4884 y Fo(F)1980 4861 y Ft(\),)28 b(that)g(is)f(is)h(discon)n(tin)n(uous.)33 4962 y(2\))i(The)g(bidimensional)f(F)-7 b(ourier)29 b(transform)g(of)h (densit)n(y)f(correlation)f(has)h(singularities)g(at)h(\()p Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)3215 4932 y Fk(0)3215 4985 y Fo(F)3269 4962 y Fp(;)14 b Ft(0\))30 b(and)0 5062 y(\(0)p Fp(;)14 b Ft(0\);)24 b(in)f(\()p Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)505 5031 y Fk(0)505 5084 y Fo(F)560 5062 y Fp(;)14 b Ft(0\))22 b(it)i(has)e(a)h(logarithmic)f(singularit)n(y)f(while)i(in)g(\(0)p Fp(;)14 b Ft(0\))23 b(the)g(F)-7 b(ourier)22 b(transform)g(is)h(b)r (ounded.)33 5162 y(3\))h(The)f(one)g(dimensional)g(F)-7 b(ourier)23 b(transform)f(at)h Fp(x)1703 5174 y Fk(0)1764 5162 y Ft(=)g(0)g(of)g(the)h(densit)n(y)f(correlation)f(is)h(con)n(tin) n(uous,)g(while)0 5262 y(its)28 b(\014rst)f(deriv)-5 b(ativ)n(e)27 b(in)h Fp(k)i Ft(has)d(a)g(\014rst)h(order)e(discon)n (tin)n(uit)n(y)h(in)h Fp(k)e Ft(=)c(0)p Fp(;)14 b Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)2419 5232 y Fk(0)2419 5285 y Fo(F)2473 5262 y Ft(.)0 5433 y Fq(1.5)98 b Fr(Main)30 b(r)l(esult)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1120 b Ft(4)p eop %%Page: 5 5 5 4 bop 33 83 a Ft(Our)27 b(result)g(can)h(b)r(e)g(informally)f(stated) g(in)h(the)g(follo)n(wing)e(w)n(a)n(y)33 260 y Fr(In)35 b(the)g(not)g(half)i(\014l)t(le)l(d)f(b)l(and)f(c)l(ase)h(and)g(in)f (the)g(we)l(ak)h(c)l(oupling)g(r)l(e)l(gime,)i(the)d(\(r)l(epulsive\))h (Hubb)l(ar)l(d)f(mo)l(del)0 360 y(\(1.1\))c(is)f(a)g(Luttinger)f (liquid.)33 537 y Ft(A)f(more)f(formal)g(statemen)n(t)g(is)h(the)g (follo)n(wing)e(theorem.)0 714 y Fq(1.6)98 b Fs(Theorem)32 b(1.)37 b Fr(Consider)32 b(the)e(hamiltonian)i(\(1.1\))f(with)g Fl(\000)p Ft(1)22 b Fp(<)i(\026)f(<)h Ft(1)29 b Fr(and)i Fp(\026)23 b Fl(6)p Ft(=)g(0)30 b Fr(\(not)g(\014l)t(le)l(d)g(or)h (half)0 813 y(\014l)t(le)l(d)f(b)l(and)h(c)l(ase\);)f(ther)l(e)g (exists)f(an)h Fp(")23 b(>)g Ft(0)29 b Fr(such)h(that,)g(for)h Ft(0)22 b Fp(<)h(U)32 b(<)22 b(")30 919 y Fr(a\)the)30 b(two)g(p)l(oint)g(Schwinger)h(function)e(\(1.5\))i(is)f(given)h(by,)f (in)g(the)g(limit)h Fp(L;)14 b(\014)26 b Fl(!)d(1)671 1197 y Fp(S)5 b Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))24 b(=)1054 1118 y Fj(X)1041 1293 y Fo(!)r Fk(=)p Fi(\006)1434 1141 y Fp(e)1473 1111 y Fo(i!)r(p)1574 1119 y Fm(F)1621 1111 y Fk(\()p Fo(x)p Fi(\000)p Fo(y)r Fk(\))p 1211 1178 814 4 v 1211 1254 a Fp(v)s Ft(\()p Fp(x)1333 1266 y Fk(0)1390 1254 y Fl(\000)18 b Fp(y)1514 1266 y Fk(0)1551 1254 y Ft(\))h(+)f Fp(i!)s Ft(\()p Fp(x)g Fl(\000)g Fp(y)s Ft(\))2045 1141 y(1)g(+)g Fp(A)2250 1153 y Fo(!)2298 1141 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)c Fq(y)q Ft(\))p 2045 1178 457 4 v 2128 1254 a Fl(j)p Fq(x)19 b Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)2377 1230 y Fo(\021)2530 1197 y Ft(+)2627 1176 y(\026)2613 1197 y Fp(S)5 b Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))502 b(\(1)p Fp(:)p Ft(9\))0 1493 y Fr(with)668 1612 y Fp(\021)27 b Ft(=)22 b Fp(aU)933 1578 y Fk(2)989 1612 y Ft(+)c Fp(U)1138 1578 y Fk(2)1175 1612 y Fp(f)1216 1624 y Fk(0)1252 1612 y Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))86 b Fp(p)1510 1624 y Fo(F)1588 1612 y Ft(=)22 b(cos)1786 1578 y Fi(\000)p Fk(1)1889 1612 y Fp(\026)d Ft(+)f Fp(f)2082 1624 y Fk(1)2119 1612 y Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))85 b Fp(v)26 b Ft(=)d Fp(v)2528 1624 y Fk(0)2584 1612 y Ft(+)18 b Fp(f)2708 1624 y Fk(2)2745 1612 y Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))456 b(\(1)p Fp(:)p Ft(10\))0 1789 y Fr(wher)l(e)30 b Fp(a)23 b(>)g Ft(0)p Fr(,)30 b Fl(j)p Fp(f)550 1801 y Fk(0)587 1789 y Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))p Fl(j)p Fp(;)14 b Fl(j)p Fp(f)841 1801 y Fk(1)878 1789 y Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))p Fl(j)p Fp(;)14 b Fl(j)p Fp(f)1132 1801 y Fk(2)1169 1789 y Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))p Fl(j)24 b(\024)e Fp(C)6 b(U)39 b Fr(and)615 2050 y Fl(j)649 2028 y Ft(\026)638 2050 y Fp(@)687 2016 y Fo(n)728 2024 y Fn(1)682 2071 y Fo(x)764 2050 y Fp(@)813 2016 y Fo(n)854 2024 y Fn(0)808 2071 y Fo(x)846 2079 y Fn(0)891 2050 y Fp(A)p Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p Fl(j)25 b(\024)d Fp(C)6 b(U)1636 1994 y Ft(1)p 1431 2031 452 4 v 1431 2107 a Fl(j)p Fq(x)19 b Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)1680 2083 y Fo(n)1721 2091 y Fn(0)1754 2083 y Fk(+)p Fo(n)1846 2091 y Fn(1)1978 2050 y Fl(j)2015 2029 y Ft(\026)2001 2050 y Fp(S)5 b Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p Fl(j)24 b(\024)2628 1994 y Fp(C)p 2404 2031 515 4 v 2404 2107 a Ft(1)18 b(+)g Fl(j)p Fq(x)h Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)2796 2083 y Fk(1+)p Fo(\022)3331 2050 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(11\))0 2324 y Fr(for)34 b(suitable)g(p)l(ositive)h(c)l(onstants)d Fp(C)q(;)14 b(\022)r Fr(,)36 b(if)1406 2302 y Ft(\026)1395 2324 y Fp(@)i Fr(denotes)c(the)g(discr)l(ete)g(derivative.)51 b(Mor)l(e)l(over)35 b(the)f(o)l(c)l(cup)l(ation)0 2424 y(numb)l(er)22 b Fp(n)339 2436 y Fo(k)402 2424 y Fr(is)i(c)l(ontinuous) e(at)g Fp(k)k Ft(=)d Fl(\006)p Fp(p)1252 2436 y Fo(F)1329 2424 y Fr(but)f(its)h(\014rst)f(derivative)j(diver)l(ges)f(at)e Fp(k)k Ft(=)d Fl(\006)p Fp(p)2776 2436 y Fo(F)2853 2424 y Fr(as)g Fl(j)p Fp(k)6 b Fl(\000)s Ft(\()p Fl(\006)p Fp(p)3231 2436 y Fo(F)3286 2424 y Ft(\))p Fl(j)3341 2394 y Fi(\000)p Fk(1+)p Fo(\021)3518 2424 y Fr(.)30 2530 y(b\))30 b(The)g(density-density)h(c)l(orr)l(elation)g(function)e (\(1.6\))i(c)l(an)f(b)l(e)g(written)f(as)1014 2748 y Ft(\012)1074 2760 y Fh(x)p Fo(;)p Fh(0)1199 2748 y Ft(=)22 b(cos)o(\(2)p Fp(p)1513 2760 y Fo(F)1568 2748 y Fp(x)p Ft(\)\012)1707 2714 y Fo(a)1748 2748 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))d(+)f(\012)2024 2714 y Fo(b)2058 2748 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))h(+)f(\012)2334 2714 y Fo(c)2368 2748 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))24 b Fp(;)802 b Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(12\))0 2967 y Fr(with)36 b Ft(\012)246 2937 y Fo(i)273 2967 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fr(,)i Fp(i)33 b Ft(=)g Fp(a;)14 b(b;)g(c)p Fr(,)36 b(c)l(ontinuous)e(b)l(ounde)l(d)i (functions,)h(which)g(ar)l(e)e(in\014nitely)h(times)f(di\013er)l (entiable)i(as)0 3067 y(functions)30 b(of)g Fp(x)505 3079 y Fk(0)543 3067 y Fr(,)g(if)h Fp(i)22 b Ft(=)h Fp(a;)14 b(b)p Fr(.)38 b(Mor)l(e)l(over)830 3329 y Ft(\012)890 3294 y Fo(a)930 3329 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))24 b(=)1360 3272 y(1)18 b(+)g Fp(A)1565 3284 y Fk(1)1602 3272 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p 1165 3310 746 4 v 1165 3386 a(2)p Fp(\031)1257 3362 y Fk(2)1295 3386 y Ft([)p Fp(x)1365 3362 y Fk(2)1421 3386 y Ft(+)g(\()p Fp(v)s(x)1626 3398 y Fk(0)1664 3386 y Ft(\))1696 3362 y Fk(2)1733 3386 y Ft(])1756 3362 y Fk(1+)p Fo(\021)1874 3370 y Fn(1)1944 3329 y Fp(;)837 3563 y Ft(\012)897 3529 y Fo(b)930 3563 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))24 b(=)1440 3507 y(1)p 1165 3544 592 4 v 1165 3620 a(2)p Fp(\031)1257 3596 y Fk(2)1295 3620 y Ft([)p Fp(x)1365 3596 y Fk(2)1421 3620 y Ft(+)18 b(\()p Fp(v)s(x)1626 3632 y Fk(0)1664 3620 y Ft(\))1696 3596 y Fk(2)1733 3620 y Ft(])1766 3471 y Fj(n)1832 3507 y Fp(x)1879 3477 y Fk(2)1879 3528 y(0)1935 3507 y Fl(\000)g Ft(\()p Fp(x=v)2179 3519 y Fk(0)2217 3507 y Ft(\))2249 3477 y Fk(2)p 1832 3544 455 4 v 1834 3620 a Fp(x)1881 3596 y Fk(2)1937 3620 y Ft(+)g(\()p Fp(v)2092 3632 y Fk(0)2130 3620 y Fp(x)2177 3632 y Fk(0)2215 3620 y Ft(\))2247 3596 y Fk(2)2315 3563 y Ft(+)g Fp(A)2460 3575 y Fk(2)2497 3563 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))2611 3471 y Fj(o)2691 3563 y Fp(;)3331 3446 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Ft(\012)1487 4353 y Fo(o;\013)1587 4387 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fl(j)24 b(\024)2081 4331 y Fp(C)p 1846 4368 536 4 v 1846 4444 a Fl(j)p Fq(x)19 b Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)2095 4420 y Fk(2+)p Fo(n)2220 4428 y Fn(0)2253 4420 y Fk(+)p Fo(n)2345 4428 y Fn(1)3331 4387 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(15\))36 4677 y Fr(c\))36 b(L)l(et)303 4657 y Ft(^)293 4677 y(\012\()p Fq(k)p Ft(\))p Fr(,)j Fq(k)c Ft(=)f(\()p Fp(k)s(;)14 b(k)873 4689 y Fk(0)910 4677 y Ft(\))35 b Fl(2)f Ft([)p Fl(\000)p Fp(\031)s(;)14 b(\031)s Ft(])23 b Fl(\002)g Ff(R)1485 4641 y Fk(1)1522 4677 y Fr(,)38 b(the)e(F)-6 b(ourier)37 b(tr)l(ansform)f(of)g Ft(\012\()p Fq(x)p Ft(\))p Fr(.)58 b(F)-6 b(or)37 b(any)f(\014xe)l(d)f Fq(k)i Fr(with)0 4777 y Fq(k)23 b Fl(6)p Ft(=)g(\(0)p Fp(;)14 b Ft(0\))p Fp(;)g Ft(\()p Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)564 4789 y Fo(F)618 4777 y Fp(;)g Ft(0\))p Fr(,)793 4756 y Ft(^)784 4777 y(\012\()p Fq(k)p Ft(\))30 b Fr(is)g(uniformly)h(b)l(ounde)l(d;)g (mor)l(e)l(over)1281 4996 y Fl(j)1313 4975 y Ft(^)1304 4996 y(\012)q(\()p 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Ft(,)g(whic)n(h)g(in)g (the)g(non)f(in)n(teracting)g(case)g(ha)n(v)n(e)f(a)h(discon-)0 1745 y(tin)n(uit)n(y)g(at)f Fp(k)f Ft(=)d Fl(\006)p Fp(p)635 1757 y Fo(F)690 1745 y Ft(,)k(has)h(no)f(discon)n(tin)n(uit)n(y)g(in)h (presence)f(of)g(the)h(in)n(teraction;)f(this)h(pro)n(v)n(es)e(that)i (the)g Fp(d)23 b Ft(=)g(1)0 1845 y(Hubbard)h(mo)r(del)g(is)f(a)g Fr(Luttinger)j(liquid)f Ft(in)f(the)g(sense)f(of)h([H].)g(The)g(lac)n (k)f(of)h(discon)n(tin)n(uit)n(y)f(in)h(the)g(o)r(ccupation)0 1944 y(n)n(um)n(b)r(er)j(can)h(b)r(e)g(ph)n(ysically)e(in)n(terpreted)h (sa)n(ying)f(that)i(fermionic)g(quasiparticles)e(are)g(not)i(presen)n (t.)33 2046 y(The)i(in)n(teraction)e(c)n(hanges)g(the)i(log-singularit) n(y)d(at)i Fq(k)e Ft(=)e(\()p Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)2077 2058 y Fo(F)2132 2046 y Fp(;)14 b Ft(0\))29 b(of)g(the)h(bidimensional) f(F)-7 b(ourier)28 b(trans-)0 2146 y(form)d(of)g(the)g(densit)n(y)g (correlation)e(in)i(a)f(p)r(o)n(w)n(er)g(la)n(w)h(singularit)n(y)-7 b(,)24 b(with)h(a)g(non)n(univ)n(ersal)e(critical)h(index)h Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\).)0 2246 y(This)23 b(enhancemen)n(t)h(of)f (the)h(singularit)n(y)e(is)h(considered)f(a)h(signal)g(of)g(the)h (tendency)g(of)f(the)h(system)f(to)g(dev)n(elop)0 2345 y(densit)n(y)31 b(w)n(a)n(v)n(e)e(excitations)h(with)h(p)r(erio)r(d)g Fp(\031)s(=p)1505 2357 y Fo(F)1560 2345 y Ft(,)g(generically)f (incommensurate)f(with)j(the)f(lattice.)46 b(On)31 b(the)0 2445 y(other)c(hand)h(the)g(singularit)n(y)e(in)i Fq(k)23 b Ft(=)g(\(0)p Fp(;)14 b Ft(0\))27 b(is)g(m)n(uc)n(h)h(w)n(eak)n(er,)d (that)j(is)g(at)f(most)h(logarithmic.)33 2547 y(In)39 b(the)g(same)f(w)n(a)n(y)-7 b(,)41 b(the)e(in)n(teraction)f(lea)n(v)n (es)f(in)n(v)-5 b(arian)n(t)38 b(the)h(singularit)n(y)e(of)i(the)g (\014rst)f(deriv)-5 b(ativ)n(e)38 b(of)h(the)0 2647 y(one)30 b(dimensional)h(F)-7 b(ourier)29 b(transform)h(of)h(the)g(correlations) d(in)j Fp(k)g Ft(=)d(0)i(\(a)h(\014rst)f(order)g(discon)n(tin)n(uit)n (y\))g(while)0 2746 y(the)35 b(singularit)n(y)e(in)i Fp(k)j Ft(=)d Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)1002 2758 y Fo(F)1090 2746 y Ft(is)g(c)n(hanged)f(b)n(y)g(the)h(in)n(teraction)f(from)g(a)h (discon)n(tin)n(uit)n(y)f(to)g(a)h(p)r(o)n(w)n(er)e(la)n(w)0 2846 y(singularit)n(y)-7 b(.)33 3019 y(e\)The)34 b(t)n(w)n(o)e(p)r(oin) n(ts)h(Sc)n(h)n(winger)f(function)h(and)g(the)h(densit)n(y)f (correlation)e(can)i(b)r(e)g(written)g(as)g(sum)g(of)g(t)n(w)n(o)0 3118 y(terms;)27 b(one)g(whic)n(h)g(is)g(v)n(ery)f(similar)g(to)h (corresp)r(onding)f(quan)n(tities)h(in)g(the)h(Luttinger)f(mo)r(del,)g (and)g(in)g(whic)n(h)0 3218 y(the)38 b(dep)r(endence)h(from)f Fp(p)858 3230 y Fo(F)951 3218 y Ft(is)f(quite)i(simple)f(\(they)g(can)g (b)r(e)g(written)g(as)g(oscillating)f(terms)g(times)i(terms)0 3318 y(whic)n(h)31 b(are)e(free)i(of)g(oscillations,)f(in)h(the)g (sense)f(that)h(eac)n(h)f(deriv)-5 b(ativ)n(e)30 b(increases)f(the)i (deca)n(y)f(b)n(y)g(a)h(unit,)h(see)0 3417 y(\(1.11\),\(1.15\)\))21 b(and)h(another)f(\(non)i(Luttinger)f(lik)n(e\))g(in)h(whic)n(h)f(the)g (dep)r(endence)h(on)f Fp(p)2743 3429 y Fo(F)2820 3417 y Ft(and)h(the)f(lattice)h(steps)0 3517 y(is)31 b(v)n(ery)f (complicate;)j(this)f(last)f(term)g(deca)n(ys)f(faster)h(than)g(the)h (Luttinger)f(lik)n(e)g(terms)g(but)h(the)f(deriv)-5 b(ativ)n(es)0 3617 y(do)27 b(not)g(increase)e(the)i(deca)n(y)f(for)h(the)g(presence)f (of)h(oscillating)f(terms.)36 b(The)27 b(non)g(Luttinger)f(lik)n(e)h (terms)g(ha)n(v)n(e)0 3716 y(F)-7 b(ourier)25 b(transform)g(whic)n(h)g (is)h(b)r(ounded;)h(ho)n(w)n(ev)n(er)d(su\016cien)n(tly)i(high)g(deriv) -5 b(ativ)n(es)24 b(of)i(the)h(F)-7 b(ourier)25 b(transform)0 3816 y(can)34 b(b)r(e)h(singular)e(for)g(v)-5 b(alues)34 b(di\013eren)n(t)h(resp)r(ect)f(to)g Fp(k)j Ft(=)d(0)p Fp(;)14 b Fl(\006)p Fp(p)2086 3828 y Fo(F)2140 3816 y Fp(;)g Fl(\006)p Ft(2)p Fp(p)2326 3828 y Fo(F)2414 3816 y Ft(\(suc)n(h)35 b(singularities)e(w)n(ere)g(indeed)0 3915 y(observ)n(ed)26 b(in)i(n)n(umerical)f(sim)n(ulations,)f(see)i ([OS]\).)33 4088 y(d\))37 b(Our)f(results)h(pro)n(vide)e(a)h(pro)r(of)h (of)f(Luttinger)h(liquid)g(b)r(eha)n(vior,)g(but)h(they)f(are)e(still)i (not)g(enough)f(ac-)0 4188 y(curate)f(to)h(pro)n(v)n(e)e(an)i(imp)r (ortan)n(t)f(prop)r(ert)n(y)g(called)g Fr(spin-char)l(ge)k(sep)l(ar)l (ation)p Ft(,)g(whic)n(h)d(is)f(b)r(eliev)n(ed)h(true)g(for)0 4288 y(the)29 b(Hubbard)g(mo)r(del;)h(namely)f(that)g(the)g(asymptotic) g(b)r(eha)n(vior)f(of)h(the)g(t)n(w)n(o)f(p)r(oin)n(t)h(Sc)n(h)n (winger)f(function)h(is)0 4387 y(\()p Fp(x)79 4399 y Fk(0)130 4387 y Ft(+)13 b Fp(iv)277 4399 y Fo(c)311 4387 y Fp(x)p Ft(\))390 4357 y Fi(\000)452 4335 y Fn(1)p 452 4344 29 4 v 452 4377 a(2)490 4357 y Fi(\000)p Fo(\021)576 4365 y Fm(c)612 4387 y Ft(\()p Fp(x)691 4399 y Fk(0)742 4387 y Ft(+)g Fp(iv)889 4399 y Fo(s)924 4387 y Fp(x)p Ft(\))1003 4357 y Fi(\000)1065 4335 y Fn(1)p 1065 4344 V 1065 4377 a(2)1104 4357 y Fi(\000)p Fo(\021)1190 4365 y Fm(s)1226 4387 y Ft(,)26 b(with)f Fp(v)1501 4399 y Fo(c)1548 4387 y Fl(\000)13 b Fp(v)1666 4399 y Fo(s)1725 4387 y Ft(=)22 b Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))26 b(and)f Fp(\021)2233 4399 y Fo(c)2267 4387 y Fp(;)14 b(\021)2345 4399 y Fo(s)2404 4387 y Ft(=)22 b Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\);)27 b(\(1.9\),\(1.11\))d(is)h(compat-)0 4487 y(ible)k(with)g(suc)n(h)f(b)r(eha)n(vior)g(but)h(is)g(not)f(enough)g (accurate)g(to)g(pro)n(v)n(e)f(it.)41 b(Another)28 b(prop)r(ert)n(y)g (whic)n(h)h(could)f(b)r(e)0 4587 y(probably)d(pro)n(v)n(ed)f(b)n(y)h (an)g(extension)h(of)f(our)g(tec)n(hniques)g(is)h(the)g(Borel)f (summabilit)n(y)g(of)h(our)f(critical)g(indexes)0 4686 y(as)i(a)g(function)h(of)g Fp(U)9 b Ft(.)33 4859 y(e\)Finally)30 b(w)n(e)f(could)h(consider)e(a)i(short)f(range)f(instead)i(of)f(lo)r (cal)g(p)r(oten)n(tial,)i(that)f(is)f(\(1.2\))h(with)g Fp(h)c Ft(=)g(0.)43 b(In)0 4959 y(suc)n(h)31 b(a)g(case)f(the)i (condition)f Fp(U)38 b(>)28 b Ft(0)j(is)g(replaced)g(b)n(y)g(the)g (condition)g Fp(U)12 b Ft(^)-45 b Fp(v)s Ft(\(2)p Fp(p)2496 4971 y Fo(F)2551 4959 y Ft(\))21 b(+)g Fp(F)12 b Ft(\()p Fp(U)d Ft(\))29 b Fp(>)g Ft(0,)i(where)g Fp(F)12 b Ft(\()p Fp(U)d Ft(\))0 5058 y(is)36 b(a)f(suitable)h Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)650 5028 y Fk(2)687 5058 y Ft(\))h(function.)61 b(Note)36 b(that)g(the)g(linear)f(term)h(is)g(v)-5 b(anishing)35 b(for)g(su\016cien)n(tly)h(long)f(range)0 5158 y(in)n(teractions)26 b(suc)n(h)i(that)j(^)-45 b Fp(v)s Ft(\(2)p Fp(p)977 5170 y Fo(F)1032 5158 y Ft(\))23 b(=)g(0.)0 5331 y Fq(1.7)98 b Fr(The)30 b(Hubb)l(ar)l(d)g(mo)l(del)h(in)e(a)i(magnetic)f(\014eld)33 5433 y Ft(Let)20 b(us)h(consider)e(the)h(Hamiltonian)g(\(1.2\))g(with)h Fp(h)i Fl(6)p Ft(=)f(0;)g(the)f(presence)e(of)h(a)g(magnetic)g(\014eld) g(destro)n(ys)f(the)h(spin)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1120 b Ft(6)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 0 83 a Ft(rotation)27 b(in)n(v)-5 b(ariance.)37 b(Moreo)n(v)n(er)26 b(it)i(turns)h(out)f(that)g(that)h(one)e(can)h (consider)f(also)g(attractiv)n(e)h(in)n(teractions,)0 183 y(if)34 b(the)h(in)n(teraction)e(is)g(smaller)g(than)h(the)g (magnetic)g(\014eld.)56 b(Calling)33 b Fp(S)2323 195 y Fo(\033)o(;L;\014)2490 183 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))35 b(=)p Fp(<)d( )2946 153 y Fi(\000)2943 203 y Fh(x)p Fo(;\033)3047 183 y Fp( )3104 153 y Fk(+)3101 203 y Fh(y)q Fo(;\033)3240 183 y Fp(>)3305 195 y Fo(L;\014)3449 183 y Ft(w)n(e)0 282 y(pro)n(v)n(e)26 b(the)i(follo)n(wing)e(result.)0 453 y Fq(1.8)94 b Fs(Theorem)28 b(2.)35 b Fr(Consider)28 b(the)e(hamiltonian)i(\(1.2\))g(with)f Fl(\000)p Ft(1)22 b Fp(<)g(\026)h(<)g Ft(1)j Fr(and)h Ft(0)22 b Fl(\024)h Fp(h)g Fl(\024)f Fp(h)3010 465 y Fk(0)3074 453 y Fr(for)27 b(a)g(suitable)0 552 y(c)l(onstant)32 b Fp(h)382 564 y Fk(0)451 552 y Fr(;)j(assume)d(also)i(that)e Ft(cos)1260 522 y Fi(\000)p Fk(1)1350 552 y Ft(\()p Fp(\026)20 b Ft(+)g Fp(h)p Ft(\))h(+)f(cos)1834 522 y Fi(\000)p Fk(1)1923 552 y Ft(\()p Fp(\026)h Fl(\000)f Fp(h)p Ft(\))28 b Fl(6)p Ft(=)g Fp(\031)s Fr(.)48 b(Ther)l(e)33 b(exists)f(p)l(ositive)i(c)l (onstants)0 652 y Fp(")39 664 y Fk(1)76 652 y Fp(;)14 b(")152 664 y Fk(2)217 652 y Fr(\(dep)l(ending)30 b(on)e Fp(\026)g Fr(and)h Fp(h)p Fr(,and)g Fp(")1263 664 y Fk(2)1328 652 y Fr(vanishing)h(as)e Fp(h)23 b Fl(!)g Ft(0)p Fr(\))28 b(such)g(that,)h(if)g Fl(\000)p Fp(")2645 664 y Fk(2)2705 652 y Fl(\024)23 b Fp(U)31 b Fl(\024)23 b Fp(")3008 664 y Fk(1)3073 652 y Fr(the)29 b(two)f(p)l(oint)0 752 y(Schwinger)j (function)e(is)i(given)f(by,)h(in)e(the)h(limit)h Fp(L;)14 b(\014)26 b Fl(!)e(1)664 1002 y Fp(S)715 1014 y Fo(\033)760 1002 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))24 b(=)1074 923 y Fj(X)1112 1098 y Fo(!)1440 946 y Fp(e)1479 916 y Fo(i!)r(p)1580 891 y Fm(\033)1580 933 y(F)1628 916 y Fk(\()p Fo(x)p Fi(\000)p Fo(y)r Fk(\))p 1218 983 814 4 v 1218 1059 a Fp(v)s Ft(\()p Fp(x)1340 1071 y Fk(0)1396 1059 y Fl(\000)18 b Fp(y)1520 1071 y Fk(0)1557 1059 y Ft(\))h(+)f Fp(i!)s Ft(\()p Fp(x)h Fl(\000)f Fp(y)s Ft(\))2052 946 y(1)f(+)i Fp(A)2257 958 y Fo(!)2305 946 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p 2052 983 457 4 v 2135 1059 a Fl(j)p Fq(x)19 b Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)2384 1035 y Fo(\021)2537 1002 y Ft(+)2634 981 y(\026)2620 1002 y Fp(S)5 b Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))453 b(\(1)p Fp(:)p Ft(18\))0 1268 y Fr(with)42 1464 y Fp(\021)26 b Ft(=)c Fp(aU)306 1430 y Fk(2)346 1464 y Ft(+)s Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)577 1430 y Fk(3)615 1464 y Ft(\))85 b Fp(p)774 1430 y Fo(\033)774 1485 y(F)852 1464 y Ft(=)23 b(cos)1051 1430 y Fi(\000)p Fk(1)1140 1464 y Ft(\()p Fp(\026)s Ft(+)s(sign)13 b(\()p Fp(\033)s Ft(\))p Fp(h)p Ft(\))s(+)s Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)c Ft(\))87 b Fp(v)26 b Ft(=)d(sin\(cos)2396 1430 y Fi(\000)p Fk(1)2485 1464 y Ft(\()p Fp(\026)s Ft(+)s(sign)14 b(\()p Fp(\033)s Ft(\))p Fp(h)p Ft(\)\))s(+)s Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)9 b Ft(\))43 b(\(1)p Fp(:)p Ft(19\))0 1660 y Fr(wher)l(e)30 b Fp(a)23 b(>)g Ft(0)29 b Fr(and)599 1881 y Fl(j)p Fp(@)671 1847 y Fo(n)712 1855 y Fn(0)759 1859 y Ft(\026)748 1881 y Fp(@)797 1847 y Fo(n)838 1855 y Fn(1)874 1881 y Fp(A)p Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p Fl(j)25 b(\024)e Fp(C)6 b(U)j Fl(j)p Fq(x)19 b Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)1654 1847 y Fi(\000)p Fo(n)1747 1855 y Fn(0)1780 1847 y Fi(\000)p Fo(n)1873 1855 y Fn(1)1994 1881 y Fl(j)2031 1860 y Ft(\026)2017 1881 y Fp(S)5 b Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p Fl(j)25 b(\024)2645 1825 y Fp(C)p 2420 1862 515 4 v 2420 1938 a Ft(1)18 b(+)g Fl(j)p Fq(x)h Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)2812 1914 y Fk(1+)p Fo(\022)3331 1881 y Ft(\(1)p Fp(:)p Ft(20\))0 2121 y Fr(for)31 b(suitable)f(p)l(ositive)h(c)l(onstants)e Fp(C)q(;)14 b(\022)r Fr(.)33 2292 y Ft(The)26 b(other)f(statemen)n(ts)h(in)g(the)g (previous)e(Theorem)h(can)h(b)r(e)g(rep)r(eated)f(with)h(some)f(ob)n (vious)g(mo)r(di\014cations.)0 2391 y(The)41 b(ab)r(o)n(v)n(e)e(result) h(sa)n(ys)f(that)i(the)g(Hubbard)g(mo)r(del)g(is)f(still)h(a)f (Luttinger)h(liquid)g(ev)n(en)f(in)h(presence)e(of)0 2491 y(a)d(magnetic)g(\014eld;)41 b(this)36 b(happ)r(ens)g(ev)n(en)g (in)h(the)f(attractiv)n(e)f(case,if)h(the)h(in)n(teraction)e(is)h (smaller)g(than)g(the)0 2591 y(magnetic)27 b(\014eld.)0 2761 y Fq(1.9)98 b Fr(Contents)33 2861 y Ft(In)30 b Fl(x)o Ft(2)f(and)g Fl(x)p Ft(3)g(w)n(e)f(write)h(the)h(Hubbard)f(mo)r(del)g (\(1.1\))g(partition)g(function)g(as)g(a)f(Grassmann)g(in)n(tegral,)h (and)0 2960 y(w)n(e)34 b(de\014ne)g(a)g(m)n(ultiscale)f(in)n(tegration) g(pro)r(cedure;)j(w)n(e)e(get)g(an)f(expansion)g(in)i(terms)e(of)h (running)g(coupling)0 3060 y(constan)n(ts,)h(whose)e(regularit)n(y)f (prop)r(erties)h(are)f(stated)i(in)g(Theorem)f(3.)56 b(In)34 b Fl(x)p Ft(4)f(w)n(e)h(study)g(the)g(\015o)n(w)f(of)h(the)0 3160 y(running)g(coupling)f(constan)n(ts)h(and)g(in)g Fl(x)p Ft(5)g(and)g Fl(x)o Ft(6)g(w)n(e)g(deriv)n(e)f(the)i (cancellations)e(of)h(the)g(Hubbard)g(mo)r(del)0 3259 y(Beta)c(function)g(b)n(y)g(W)-7 b(ard)29 b(iden)n(tities)i(and)e (Correction)g(iden)n(tities)h(of)g(a)f(suitable)h(reference)f(mo)r (del.)44 b(Finally)0 3359 y(suc)n(h)28 b(results)h(are)f(applied)g(in)h Fl(x)p Ft(7)g(to)f(the)i(computation)e(of)h(the)g(Sc)n(h)n(winger)f (functions)h(and)f(the)i(correlations)0 3458 y(and)25 b(in)g Fl(x)p Ft(8)f(the)i(presence)e(of)h(the)g(magnetic)g(\014eld)g (is)g(included.)36 b(W)-7 b(e)26 b(rely)e(on)h(man)n(y)f(tec)n(hnical)g (results)h(already)0 3558 y(obtained)40 b(in)g([BM1-4])f(\(the)i (presence)e(of)h(spin)g(has)g(a)f(small)h(e\013ect)g(on)g(the)h(pro)r (of)e(of)h(con)n(v)n(ergence,)h(for)0 3658 y(instance\))28 b(and)f(w)n(e)g(fo)r(cus)h(mainly)f(on)h(the)g(di\013erence)f(with)h (resp)r(ect)g(to)f(the)h(spinless)f(case.)1025 3875 y Fu(2.)100 b(The)37 b(ultra)m(violet)e(in)m(tegration)33 4164 y Ft(W)-7 b(e)33 b(assume)e Fp(\026)g Fl(2)g Ft(\012)21 b Fl(\\)h Ft(\()p Fl(\000)p Ft(1)p Fp(;)14 b Ft(1\),)32 b(where)g(\012)1407 4134 y Fo(c)1471 4164 y Ft(=)e Fl(f)p Fp(\026)g Ft(:)h Fl(j)p Fp(\026)p Fl(j)p Fp(;)14 b Fl(j)p Fp(\026)22 b Fl(\006)f Ft(1)p Fl(j)30 b(\024)36 b Ft(\026)-48 b Fp(\026)p Ft(,)33 b(where)38 b(\026)-48 b Fp(\026)30 b(>)h Ft(0)g(is)h(a)g(\014xed)g(constan)n(t.)0 4264 y(W)-7 b(e)41 b(call)e Fl(D)384 4276 y Fo(L;\014)538 4264 y Fl(\021)44 b(D)711 4276 y Fo(L)787 4264 y Fl(\002)27 b(D)943 4276 y Fo(\014)988 4264 y Ft(,)43 b(with)e Fl(D)1320 4276 y Fo(L)1413 4264 y Fl(\021)j(f)p Fp(k)i Ft(=)e(2)p Fp(\031)s(n=L)o(;)14 b(n)43 b Fl(2)i Fe(Z)-12 b Fp(;)14 b Fl(\000)p Ft([)p Fp(L=)p Ft(2])42 b Fl(\024)i Fp(n)f Fl(\024)h Ft([\()p Fp(L)27 b Fl(\000)f Ft(1\))p Fp(=)p Ft(2])p Fl(g)39 b Ft(and)0 4363 y Fl(D)64 4375 y Fo(\014)132 4363 y Fl(\021)23 b(f)p Fp(k)305 4375 y Fk(0)365 4363 y Ft(=)f(2\()p Fp(n)c Ft(+)g(1)p Fp(=)p Ft(2\))p Fp(\031)s(=\014)t(;)c (n)22 b Fl(2)h Fp(Z)q(;)14 b Fl(\000)p Fp(M)32 b Fl(\024)22 b Fp(n)h Fl(\024)g Fp(M)k Fl(\000)18 b Ft(1)p Fl(g)p Ft(;)27 b(moreo)n(v)n(er)e(w)n(e)i(de\014ne)1282 4544 y(~)1281 4559 y Fp(t)c Ft(=)g(1)18 b Fl(\000)g Fp(\016)1689 4544 y Ft(~)1688 4559 y Fp(t)c Ft(cos)f Fp(p)1899 4571 y Fo(F)1977 4559 y Ft(=)22 b Fp(\026)d Fl(\000)f Fp(\027)1116 b Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(1\))0 4755 y(with)36 b Fp(\016)o(;)14 b(\027)40 b Ft(suitable)35 b(coun)n(terterms)f(to)h(b)r(e)h(\014xed)f (prop)r(erly)g(in)g(the)h(follo)n(wing.)59 b(W)-7 b(e)36 b(in)n(tro)r(duce)f(a)f(\014nite)i(set)0 4855 y(of)h(Grassmanian)f(v)-5 b(ariables)36 b Fl(f)1027 4833 y Ft(^)1010 4855 y Fp( )1067 4819 y Fi(\006)1064 4880 y Fh(k)1123 4855 y Fl(g)p Ft(,)j(one)f(for)e (eac)n(h)h Fq(k)j Fl(2)g(D)1972 4867 y Fo(L;\014)2082 4855 y Ft(,)g(and)d(a)g(linear)g(functional)h Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))38 b(on)f(the)0 4955 y(generated)26 b(Grassmannian)g(algebra,)g(suc)n(h)i(that)225 5075 y Fj(Z)321 5188 y Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))568 5166 y(^)550 5188 y Fp( )607 5153 y Fi(\000)604 5213 y Fh(k)644 5221 y Fn(1)677 5213 y Fo(;\033)735 5221 y Fn(1)789 5166 y Ft(^)772 5188 y Fp( )829 5153 y Fk(+)826 5213 y Fh(k)866 5221 y Fn(2)898 5213 y Fo(;\033)956 5221 y Fn(2)1016 5188 y Ft(=)23 b Fp(L\014)t(\016)1249 5200 y Fh(k)1289 5208 y Fn(1)1320 5200 y Fo(;)p Fh(k)1380 5208 y Fn(2)1416 5188 y Fp(\016)1453 5200 y Fo(\033)1491 5208 y Fn(1)1524 5200 y Fo(;\033)1582 5208 y Fn(2)1622 5188 y Ft(^)-45 b Fp(g)s Ft(\()p Fq(k)1744 5200 y Fk(1)1781 5188 y Ft(\))24 b Fp(;)100 b Ft(^)-45 b Fp(g)r Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))24 b(=)2643 5132 y(1)p 2235 5169 858 4 v 2235 5250 a Fl(\000)p Fp(ik)2372 5262 y Fk(0)2427 5250 y Ft(+)2511 5235 y(~)2510 5250 y Fp(t)14 b Ft(cos)f Fp(p)2721 5262 y Fo(F)2794 5250 y Fl(\000)2878 5235 y Ft(~)2877 5250 y Fp(t)h Ft(cos)f Fp(k)3125 5188 y(:)225 b Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(2\))0 5433 y(W)-7 b(e)28 b(will)g(call)i(^)-45 b Fp(g)s Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))28 b(the)g Fr(pr)l(op)l(agator)i Ft(of)d(the)h(\014eld.)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1120 b Ft(7)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 33 83 a Ft(W)-7 b(e)28 b(de\014ne)g(also)f Fg(Grassmanian)e (\014eld)j Fp( )1319 53 y Fi(\006)1316 104 y Fh(x)1403 83 y Ft(is)g(de\014ned)g(b)n(y)1255 329 y Fp( )1312 294 y Fi(\006)1309 349 y Fh(x)p Fo(;\033)1436 329 y Ft(=)1567 272 y(1)p 1534 309 108 4 v 1534 386 a Fp(L\014)1722 250 y Fj(X)1665 428 y Fh(k)p Fi(2D)1802 437 y Fm(L;\014)1930 307 y Ft(^)1913 329 y Fp( )1970 293 y Fi(\006)1967 354 y Fh(k)p Fo(;\033)2071 329 y Fp(e)2110 294 y Fi(\006)p Fo(i)p Fh(k)p Fi(\001)p Fh(x)3373 329 y Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(3\))0 627 y(suc)n(h)f(that)759 699 y(1)p 726 736 V 726 812 a Fp(L\014)914 677 y Fj(X)857 855 y Fh(k)p Fi(2D)994 864 y Fm(L;\014)1119 755 y Fp(e)1158 721 y Fi(\000)p Fo(i)p Fh(k)p Fi(\001)p Fk(\()p Fh(x)p Fi(\000)p Fh(y)q Fk(\))1497 755 y Ft(^)-44 b Fp(g)r Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))24 b(=)1763 642 y Fj(Z)1860 755 y Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))p Fp( )2146 721 y Fi(\000)2143 776 y Fh(x)2202 755 y Fp( )2259 721 y Fk(+)2256 776 y Fh(y)2338 755 y Fl(\021)22 b Fp(g)2468 721 y Fo(L;\014)2578 755 y Ft(\()p Fq(x)p Ft(;)14 b Fq(y)q Ft(\))25 b Fp(;)545 b Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(4\))0 1025 y(It)22 b(is)g(w)n(ell)g(kno)n(wn)f(that)i(the)f (partition)g(function)g Fp(Z)29 b Ft(=)p Fp(<)22 b(e)1831 995 y Fi(\000)p Fo(\014)s(H)2009 1025 y Fp(>)2074 1037 y Fo(L;\014)2206 1025 y Ft(can)g(b)r(e)g(rewritten)g(as)f(the)i(limit)g Fp(M)31 b Fl(!)23 b(1)0 1124 y Ft(of)28 b(the)g(Grassmann)e(in)n (tegral)1538 1156 y Fj(Z)1635 1269 y Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))p Fp(e)1903 1235 y Fi(\000V)3373 1269 y Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(5\))0 1477 y(where)27 b Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))28 b(is)g(the)g(Grassmann)e(in)n(tegration)g (with)j(propagator)24 b(\(2.4\))k(and)5 1749 y Fl(V)i Ft(=)23 b Fp(U)253 1636 y Fj(Z)336 1657 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)300 1825 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)477 1749 y Fp(dx)567 1761 y Fk(0)619 1670 y Fj(X)660 1845 y Fo(x)753 1749 y Fp( )810 1714 y Fk(+)807 1770 y Fh(x)p Fo(;)p Fk(+)921 1749 y Fp( )978 1714 y Fi(\000)975 1770 y Fh(x)p Fo(;)p Fk(+)1090 1749 y Fp( )1147 1714 y Fk(+)1144 1770 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)1259 1749 y Fp( )1316 1714 y Fi(\000)1313 1770 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)1447 1749 y Ft(+)18 b Fp(\027)1591 1636 y Fj(Z)1674 1657 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)1637 1825 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)1814 1749 y Fp(dx)1904 1761 y Fk(0)1956 1670 y Fj(X)1967 1845 y Fo(x;\033)2090 1749 y Fp( )2147 1715 y Fk(+)2144 1770 y Fh(x)p Fo(;\033)2248 1749 y Fp( )2305 1715 y Fi(\000)2302 1770 y Fh(x)p Fo(;\033)2425 1749 y Ft(+)g Fp(\016)2561 1636 y Fj(Z)2645 1657 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)2608 1825 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)2785 1749 y Fp(dx)2875 1761 y Fk(0)2944 1670 y Fj(X)2927 1845 y Fo(x;y)r(;\033)3094 1749 y Fp(t)3124 1761 y Fo(x;y)3221 1749 y Fp( )3278 1715 y Fk(+)3275 1770 y Fh(x)p Fo(;\033)3380 1749 y Fp( )3437 1715 y Fi(\000)3434 1770 y Fh(x)p Fo(;\033)3373 1935 y Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(6\))0 2034 y(where)30 b Fp(t)273 2046 y Fo(x;y)399 2034 y Ft(=)502 2002 y Fk(1)p 502 2016 34 4 v 502 2063 a(2)545 2034 y Fp(\016)582 2046 y Fo(y)r(;x)p Fk(+1)784 2034 y Ft(+)879 2002 y Fk(1)p 879 2016 V 879 2063 a(2)922 2034 y Fp(\016)959 2046 y Fo(x;y)r Fk(+1)1171 2034 y Ft(and)h Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))31 b(has)g(propagator)d (giv)n(en)i(b)n(y)g Fp(g)s Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))32 b(\(2.4\).)47 b(Let)31 b Fp(T)3245 2004 y Fk(1)3312 2034 y Ft(b)r(e)g(the)0 2134 y(one)c(dimensional)h(torus,)f Fl(jj)p Fp(k)22 b Fl(\000)c Fp(k)1086 2104 y Fi(0)1109 2134 y Fl(jj)1155 2149 y Fo(T)1203 2132 y Fn(1)1268 2134 y Ft(the)28 b(usual)f(distance)h(b)r(et)n(w)n(een)g Fp(k)j Ft(and)c Fp(k)2554 2104 y Fi(0)2605 2134 y Ft(in)h Fp(T)2763 2104 y Fk(1)2828 2134 y Ft(and)f Fl(jj)p Fp(k)s Fl(jj)d Ft(=)f Fl(jj)p Fp(k)e Fl(\000)e Ft(0)p Fl(jj)p Ft(.)0 2234 y(W)-7 b(e)24 b(in)n(tro)r(duce)f(a)g Fg(scaling)f(parameter)g Fp(\015)28 b(>)23 b Ft(1)g(and)g(a)g(p)r(ositiv)n(e)g(function)h Fp(\037)p Ft(\()p Fq(k)2434 2204 y Fi(0)2458 2234 y Ft(\))f Fl(2)g Fp(C)2656 2204 y Fi(1)2727 2234 y Ft(\()p Fp(T)2820 2204 y Fk(1)2867 2234 y Fl(\002)10 b Fp(R)q Ft(\),)24 b Fq(k)3135 2204 y Fi(0)3182 2234 y Ft(=)e(\()p Fp(k)3347 2204 y Fi(0)3371 2234 y Fp(;)14 b(k)3451 2246 y Fk(0)3488 2234 y Ft(\),)0 2333 y(suc)n(h)27 b(that)930 2469 y Fp(\037)p Ft(\()p Fq(k)1064 2435 y Fi(0)1088 2469 y Ft(\))c(=)g Fp(\037)p Ft(\()p Fl(\000)p Fq(k)1430 2435 y Fi(0)1454 2469 y Ft(\))g(=)1597 2352 y Fj(\032)1673 2420 y Ft(1)82 b(if)28 b Fl(j)p Fq(k)1946 2390 y Fi(0)1970 2420 y Fl(j)23 b Fp(<)g(t)2134 2432 y Fk(0)2194 2420 y Fl(\021)g Fp(a)2326 2432 y Fk(0)2363 2420 y Fp(v)2403 2432 y Fk(0)2440 2420 y Fp(=\015)k(;)1673 2519 y Ft(0)82 b(if)28 b Fl(j)p Fq(k)1946 2489 y Fi(0)1970 2519 y Fl(j)23 b Fp(>)g(a)2148 2531 y Fk(0)2185 2519 y Fp(v)2225 2531 y Fk(0)2285 2519 y Fp(;)3373 2469 y Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(7\))0 2680 y(where)1287 2803 y Fl(j)p Fq(k)1360 2769 y Fi(0)1384 2803 y Fl(j)g Ft(=)1517 2702 y Fj(q)p 1600 2702 610 4 v 101 x Fp(k)1646 2775 y Fk(2)1643 2826 y(0)1702 2803 y Ft(+)18 b(\()p Fp(v)1857 2815 y Fk(0)1895 2803 y Fl(jj)p Fp(k)1987 2779 y Fi(0)2010 2803 y Fl(jj)2056 2818 y Fo(T)2104 2802 y Fn(1)2141 2803 y Ft(\))2173 2779 y Fk(2)2233 2803 y Fp(;)1117 b Ft(\(2)p Fp(:)p Ft(8\))1235 2992 y Fp(a)1279 3004 y Fk(0)1340 2992 y Ft(=)22 b(min)q Fl(f)p Fp(p)1650 3004 y Fo(F)1704 2992 y Fp(=)p Ft(2)p Fp(;)14 b Ft(\()p 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Ft(\(to)i(b)r(e)f(called)g(simply)g (trees)g(in)g(the)g(follo)n(wing\);)i(they)e(are)f(de\014ned)0 3501 y(b)n(y)27 b(asso)r(ciating)f(some)h(lab)r(els)h(with)g(the)g (unlab)r(eled)g(trees,)f(as)g(explained)g(in)h(the)g(follo)n(wing)e (items.)29 3611 y(2\))j(W)-7 b(e)29 b(asso)r(ciate)f(a)g(lab)r(el)i Fp(h)25 b Fl(\024)g Ft(0)j(with)i(the)f(ro)r(ot)f(and)h(w)n(e)g(denote) g Fl(T)2248 3623 y Fo(h;n)2381 3611 y Ft(the)g(corresp)r(onding)e(set)i (of)g(lab)r(eled)0 3710 y(trees)d(with)h Fp(n)g Ft(endp)r(oin)n(ts.)36 b(Moreo)n(v)n(er,)24 b(w)n(e)j(in)n(tro)r(duce)f(a)g(family)h(of)f(v)n (ertical)g(lines,)h(lab)r(eled)f(b)n(y)h(an)f(an)g(in)n(teger)0 3810 y(taking)33 b(v)-5 b(alues)33 b(in)g([)p Fp(h;)14 b Ft(2],)34 b(and)f(w)n(e)g(represen)n(t)f(an)n(y)h(tree)g Fp(\034)42 b Fl(2)33 b(T)2052 3822 y Fo(h;n)2189 3810 y Ft(so)g(that,)i(if)f Fp(v)i Ft(is)e(an)f(endp)r(oin)n(t)g(or)g(a)g (non)0 3909 y(trivial)26 b(v)n(ertex,)g(it)h(is)g(con)n(tained)f(in)h (a)f(v)n(ertical)g(line)h(with)g(index)g Fp(h)2134 3921 y Fo(v)2196 3909 y Fp(>)c(h)p Ft(,)k(to)f(b)r(e)h(called)g(the)g Fr(sc)l(ale)g Ft(of)g Fp(v)s Ft(,)g(while)0 4009 y(the)h(ro)r(ot)f(is)g (on)h(the)g(line)f(with)h(index)g Fp(h)p Ft(.)37 b(There)27 b(is)h(the)g(constrain)n(t)e(that,)i(if)g Fp(v)j Ft(is)c(an)h(endp)r (oin)n(t,)g Fp(h)3163 4021 y Fo(v)3225 4009 y Fp(>)23 b(h)18 b Ft(+)g(1.)33 4118 y(The)35 b(tree)f(will)g(in)n(tersect)g(in)h (general)e(the)h(v)n(ertical)g(lines)g(in)h(set)f(of)g(p)r(oin)n(ts)g (di\013eren)n(t)h(from)f(the)h(ro)r(ot,)g(the)0 4218 y(endp)r(oin)n(ts)d(and)f(the)h(non)g(trivial)f(v)n(ertices;)i(these)e (p)r(oin)n(ts)h(will)g(b)r(e)g(called)f Fr(trivial)k(vertic)l(es)p Ft(.)50 b(The)32 b(set)f(of)h(the)0 4318 y Fr(vertic)l(es)i Ft(of)f Fp(\034)43 b Ft(will)33 b(b)r(e)h(the)f(union)g(of)g(the)h (endp)r(oin)n(ts,)g(the)g(trivial)e(v)n(ertices)g(and)h(the)h(non)f (trivial)f(v)n(ertices.)0 4417 y(Note)i(that,)h(if)f Fp(v)539 4429 y Fk(1)610 4417 y Ft(and)g Fp(v)818 4429 y Fk(2)889 4417 y Ft(are)e(t)n(w)n(o)h(v)n(ertices)g(and)g Fp(v)1710 4429 y Fk(1)1781 4417 y Fp(<)f(v)1918 4429 y Fk(2)1956 4417 y Ft(,)j(then)f Fp(h)2257 4429 y Fo(v)2290 4437 y Fn(1)2360 4417 y Fp(<)e(h)2505 4429 y Fo(v)2538 4437 y Fn(2)2575 4417 y Ft(.)55 b(Giv)n(en)33 b(a)g(v)n(ertex)g Fp(v)s Ft(,)i(whic)n(h)0 4517 y(is)d(not)f(an)h(endp)r(oin)n(t,)h Fq(x)783 4529 y Fo(v)855 4517 y Ft(will)f(denote)g(the)g(family)g(of)g (all)f(space-time)g(p)r(oin)n(ts)h(asso)r(ciated)f(with)h(one)f(of)h (the)0 4617 y(endp)r(oin)n(ts)g(follo)n(wing)e Fp(v)s Ft(.)50 b(Moreo)n(v)n(er,)30 b(there)i(is)f(only)h(one)f(v)n(ertex)g (immediately)h(follo)n(wing)e(the)i(ro)r(ot,)g(whic)n(h)0 4716 y(will)j(b)r(e)h(denoted)f Fp(v)646 4728 y Fk(0)718 4716 y Ft(and)g(can)f(not)h(b)r(e)h(an)e(endp)r(oin)n(t;)39 b(its)d(scale)e(is)h Fp(h)23 b Ft(+)g(1.)58 b(Finally)-7 b(,)37 b(if)f(there)e(is)h(only)g(one)0 4816 y(endp)r(oin)n(t,)28 b(its)g(scale)f(m)n(ust)g(b)r(e)h(equal)f(to)h(+2)f(or)f Fp(h)19 b Ft(+)f(2.)25 4925 y(3\))24 b(With)h(eac)n(h)f(endp)r(oin)n(t) h Fp(v)i Ft(of)e(scale)f Fp(h)1264 4937 y Fo(v)1326 4925 y Ft(=)f(+2)g(w)n(e)h(asso)r(ciate)f(one)h(of)h(the)g(three)f(con)n (tributions)g(to)g Fl(V)7 b Ft(\()p Fp( )3347 4895 y Fk(\()p Fi(\024)p Fk(1\))3488 4925 y Ft(\),)0 5025 y(written)23 b(as)g(in)g(\(2.6\))g(and)g(a)g(set)g Fq(x)1067 5037 y Fo(v)1130 5025 y Ft(of)g(space-time)g(p)r(oin)n(ts,)h(the)f(corresp)r (onding)f(in)n(tegration)f(v)-5 b(ariables.)35 b(With)0 5124 y(eac)n(h)23 b(endp)r(oin)n(t)i Fp(v)j Ft(of)c(scale)f Fp(h)928 5136 y Fo(v)991 5124 y Fl(\024)f Ft(1)i(w)n(e)g(asso)r(ciate)f (one)h(of)g(lo)r(cal)g(terms)g(in)g Fl(LV)2478 5094 y Fk(\()p Fo(h)2543 5102 y Fm(v)2579 5094 y Fi(\000)p Fk(1\))2718 5124 y Ft(\(3.29\);)h(w)n(e)f(will)g(sa)n(y)f(that)0 5224 y(the)28 b(endp)r(oin)n(t)g(is)f(of)h(t)n(yp)r(e)g Fp(g)894 5236 y Fk(1)931 5224 y Ft(,)f Fp(g)1021 5236 y Fk(2)1086 5224 y Ft(and)g(so)g(on)h(dep)r(ending)f(on)h(the)g(term)f (w)n(e)h(asso)r(ciate)e(to)h(it.)33 5333 y(Moreo)n(v)n(er,)g(w)n(e)i (imp)r(ose)g(the)h(constrain)n(t)e(that,)i(if)g Fp(v)j Ft(is)c(an)g(endp)r(oin)n(t)g(and)h Fq(x)2484 5345 y Fo(v)2553 5333 y Ft(is)f(a)g(single)g(space-time)f(p)r(oin)n(t)0 5433 y(\(that)i(is)f(the)h(corresp)r(onding)d(term)i(is)h(lo)r(cal\),)f Fp(h)1566 5445 y Fo(v)1631 5433 y Ft(=)d Fp(h)1770 5445 y Fo(v)1805 5429 y Fd(0)1851 5433 y Ft(+)19 b(1,)30 b(if)f Fp(v)2150 5403 y Fi(0)2203 5433 y Ft(is)g(the)h(non)f(trivial)g(v)n (ertex)f(immediately)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(14)p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 0 83 a Ft(preceding)27 b Fp(v)s Ft(.)28 183 y(4\))h(If)g Fp(v)j Ft(is)d(not)g(an)g(endp)r(oin)n(t,)g(the)g Fr(cluster)58 b Fp(L)1498 195 y Fo(v)1565 183 y Ft(with)28 b(frequency)g Fp(h)2179 195 y Fo(v)2246 183 y Ft(is)g(the)g(set)g(of)g (endp)r(oin)n(ts)g(follo)n(wing)f(the)0 283 y(v)n(ertex)32 b Fp(v)s Ft(;)k(if)e Fp(v)j Ft(is)c(an)g(endp)r(oin)n(t,)h(it)g(is)f (itself)h(a)f(\()p Fr(trivial)p Ft(\))i(cluster.)53 b(The)33 b(tree)g(pro)n(vides)f(an)h(organization)d(of)0 382 y(endp)r(oin)n(ts)e (in)n(to)f(a)g(hierarc)n(h)n(y)f(of)h(clusters.)26 482 y(5\))g(W)-7 b(e)26 b(in)n(tro)r(duce)g(a)g Fr(\014eld)j(lab)l(el)f Fp(f)35 b Ft(to)26 b(distinguish)h(the)f(\014eld)h(v)-5 b(ariables)25 b(app)r(earing)g(in)i(the)g(terms)f(asso)r(ciated)0 582 y(with)e(the)f(endp)r(oin)n(ts)h(as)e(in)i(item)f(3\);)i(the)f(set) f(of)g(\014eld)g(lab)r(els)g(asso)r(ciated)f(with)i(the)g(endp)r(oin)n (t)f Fp(v)k Ft(will)c(b)r(e)h(called)0 681 y Fp(I)36 693 y Fo(v)76 681 y Ft(.)59 b(Analogously)-7 b(,)35 b(if)g Fp(v)j Ft(is)d(not)g(an)f(endp)r(oin)n(t,)j(w)n(e)e(shall)f(call)h Fp(I)2088 693 y Fo(v)2163 681 y Ft(the)g(set)g(of)g(\014eld)g(lab)r (els)f(asso)r(ciated)g(with)0 781 y(the)28 b(endp)r(oin)n(ts)g(follo)n (wing)f(the)h(v)n(ertex)f Fp(v)s Ft(;)i Fq(x)p Ft(\()p Fp(f)9 b Ft(\),)29 b Fp(\033)s Ft(\()p Fp(f)9 b Ft(\))28 b(and)g Fp(!)s Ft(\()p Fp(f)9 b Ft(\))28 b(will)g(denote)g(the)g (space-time)f(p)r(oin)n(t,)i(the)f Fp(\033)0 881 y Ft(index)g(and)f (the)h Fp(!)i Ft(index,)e(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)27 b(of)h(the)g(\014eld)f(v)-5 b(ariable)27 b(with)h(lab)r(el)g Fp(f)9 b Ft(.)33 981 y(If)28 b Fp(h)23 b Fl(\024)g Ft(0,)k(the)h (e\013ectiv)n(e)g(p)r(oten)n(tial)f(can)g(b)r(e)h(written)g(in)g(the)g (follo)n(wing)e(w)n(a)n(y)-7 b(,see)27 b([BM1]:)687 1247 y Fl(V)745 1213 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))839 1247 y Ft(\()871 1171 y Fj(p)p 955 1171 100 4 v 955 1247 a Fp(Z)1012 1259 y Fo(h)1054 1247 y Fp( )1111 1213 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1258 1247 y Ft(\))19 b(+)f Fp(L\014)1519 1226 y Ft(~)1500 1247 y Fp(E)1561 1259 y Fo(h)p Fk(+1)1711 1247 y Ft(=)1828 1143 y Fi(1)1802 1168 y Fj(X)1799 1344 y Fo(n)p Fk(=1)1985 1168 y Fj(X)1938 1346 y Fo(\034)7 b Fi(2T)2059 1355 y Fm(h;n)2166 1247 y Fp(V)2232 1213 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))2327 1247 y Ft(\()p Fp(\034)e(;)2437 1171 y Fj(p)p 2521 1171 V 2521 1247 a Fp(Z)2578 1259 y Fo(h)2620 1247 y Fp( )2677 1213 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))2824 1247 y Ft(\))429 b(\(3)p Fp(:)p Ft(38\))22 b Fp(;)0 1543 y Ft(where,)27 b(if)h Fp(v)379 1555 y Fk(0)444 1543 y Ft(is)g(the)g(\014rst)f(v)n(ertex)g(of)g Fp(\034)38 b Ft(and)27 b Fp(\034)1459 1555 y Fk(1)1497 1543 y Fp(;)14 b(::;)g(\034)1653 1555 y Fo(s)1716 1543 y Ft(\()p Fp(s)23 b Ft(=)g Fp(s)1937 1555 y Fo(v)1970 1563 y Fn(0)2007 1543 y Ft(\))28 b(are)e(the)i(subtrees)f(of)h Fp(\034)37 b Ft(with)28 b(ro)r(ot)f Fp(v)3247 1555 y Fk(0)3285 1543 y Ft(,)0 1642 y Fp(V)67 1612 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))162 1642 y Ft(\()p Fp(\034)5 b(;)272 1578 y Fl(p)p 341 1578 V 64 x Fp(Z)398 1654 y Fo(h)441 1642 y Fp( )498 1612 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))645 1642 y Ft(\))28 b(is)f(de\014ned)h(inductiv)n(ely)g(b)n(y)f(the)h(relation)700 1855 y Fp(V)767 1821 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))862 1855 y Ft(\()p Fp(\034)5 b(;)972 1779 y Fj(p)p 1056 1779 V 1056 1855 a Fp(Z)1113 1867 y Fo(h)1155 1855 y Fp( )1212 1821 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1359 1855 y Ft(\))23 b(=)544 1985 y(\()p Fl(\000)p Ft(1\))715 1955 y Fo(s)p Fk(+1)p 544 2022 291 4 v 659 2098 a Fp(s)p Ft(!)845 2041 y Fl(E)896 2007 y Fo(T)889 2062 y(h)p Fk(+1)1015 2041 y Ft([)1051 2020 y(\026)1038 2041 y Fp(V)1105 2007 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))1284 2041 y Ft(\()p Fp(\034)1352 2053 y Fk(1)1390 2041 y Fp(;)1427 1965 y Fj(p)p 1510 1965 100 4 v 76 x Fp(Z)1567 2053 y Fo(h)1610 2041 y Fp( )1667 2007 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(+1\))1898 2041 y Ft(\);)14 b Fp(::)p Ft(;)2063 2020 y(\026)2050 2041 y Fp(V)2117 2007 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))2296 2041 y Ft(\()p Fp(\034)2364 2053 y Fo(s)2400 2041 y Fp(;)2437 1965 y Fj(p)p 2520 1965 V 76 x Fp(Z)2577 2053 y Fo(h)2619 2041 y Fp( )2676 2007 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(+1\))2907 2041 y Ft(\)])24 b Fp(;)3331 1956 y Ft(\(3)p Fp(:)p Ft(39\))0 2281 y(and)174 2260 y(\026)161 2281 y Fp(V)228 2250 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))407 2281 y Ft(\()p Fp(\034)475 2293 y Fo(i)504 2281 y Fp(;)541 2217 y Fl(p)p 610 2217 V 64 x Fp(Z)667 2293 y Fo(h)709 2281 y Fp( )766 2250 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(+1\))997 2281 y Ft(\))28 2381 y(a\))j(is)h(equal)f(to)g Fl(R)613 2360 y Ft(^)603 2381 y Fl(V)661 2350 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))840 2381 y Ft(\()p Fp(\034)908 2393 y Fo(i)936 2381 y Fp(;)973 2316 y Fl(p)p 1043 2316 V 1043 2381 a Fp(Z)1100 2393 y Fo(h)1142 2381 y Fp( )1199 2350 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(+1\))1430 2381 y Ft(\))h(if)g(the)g (subtree)f Fp(\034)2036 2393 y Fo(i)2092 2381 y Ft(is)h(not)f(trivial;) 28 2480 y(b\))i(if)g Fp(\034)248 2492 y Fo(i)304 2480 y Ft(is)f(trivial)g(and)g Fp(h)c Fl(\024)f(\000)p Ft(1,)28 b(it)h(is)f(equal)f(to)h(one)g(of)g(the)h(terms)f(in)g Fl(LV)2441 2450 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))2649 2480 y Ft(\(3.29\)or,)e(if)j Fp(h)24 b Ft(=)g(0,)k(to)g(one)0 2580 y(of)g(the)g(terms)f(con)n(tributing)g(to)1054 2559 y(^)1043 2580 y Fl(V)7 b Ft(\()p Fp( )1190 2550 y Fi(\024)p Fk(1)1279 2580 y Ft(\))28 b(\(2.6\).)33 2680 y(It)19 b(is)f(then)h(easy)e(to)i(get,)h(b)n(y)e(iteration)g(of)g(the)h (previous)e(pro)r(cedure,)i(a)f(simple)h(expression)e(for)g Fp(V)3048 2650 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))3143 2680 y Ft(\()p Fp(\034)5 b(;)3253 2616 y Fl(p)p 3323 2616 V 3323 2680 a Fp(Z)3380 2692 y Fo(h)3422 2680 y Fp( )3479 2650 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))3626 2680 y Ft(\),)0 2780 y(for)27 b(an)n(y)g Fp(\034)33 b Fl(2)23 b(T)476 2792 y Fo(h;n)580 2780 y Ft(.)33 2880 y(W)-7 b(e)24 b(asso)r(ciate)d(with)j (an)n(y)e(v)n(ertex)g Fp(v)k Ft(of)d(the)g(tree)g(a)g(subset)g Fp(P)1924 2892 y Fo(v)1986 2880 y Ft(of)g Fp(I)2112 2892 y Fo(v)2152 2880 y Ft(,)h(the)g Fr(external)h(\014elds)e Ft(of)g Fp(v)s Ft(.)36 b(These)23 b(subsets)0 2979 y(m)n(ust)h(satisfy) g(v)-5 b(arious)23 b(constrain)n(ts.)35 b(First)24 b(of)g(all,)h(if)g Fp(v)i Ft(is)e(not)f(an)g(endp)r(oin)n(t)h(and)f Fp(v)2638 2991 y Fk(1)2675 2979 y Fp(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(v)2900 2991 y Fo(s)2931 2999 y Fm(v)2995 2979 y Ft(are)24 b(the)g(v)n(ertices) 0 3079 y(immediately)29 b(follo)n(wing)g(it,)h(then)f Fp(P)1178 3091 y Fo(v)1244 3079 y Fl(\032)c([)1389 3091 y Fo(i)1417 3079 y Fp(P)1470 3091 y Fo(v)1503 3099 y Fm(i)1534 3079 y Ft(;)30 b(if)g Fp(v)i Ft(is)e(an)e(endp)r(oin)n(t,)i Fp(P)2363 3091 y Fo(v)2429 3079 y Ft(=)25 b Fp(I)2555 3091 y Fo(v)2595 3079 y Ft(.)42 b(W)-7 b(e)30 b(shall)e(denote)h Fp(Q)3335 3091 y Fo(v)3368 3099 y Fm(i)3428 3079 y Ft(the)0 3178 y(in)n(tersection)i(of)g Fp(P)601 3190 y Fo(v)672 3178 y Ft(and)g Fp(P)890 3190 y Fo(v)923 3198 y Fm(i)954 3178 y Ft(;)i(this)f(de\014nition)g(implies)f(that)h Fp(P)2071 3190 y Fo(v)2140 3178 y Ft(=)d Fl([)2289 3190 y Fo(i)2317 3178 y Fp(Q)2383 3190 y Fo(v)2416 3198 y Fm(i)2446 3178 y Ft(.)48 b(The)32 b(subsets)f Fp(P)3036 3190 y Fo(v)3069 3198 y Fm(i)3100 3178 y Fl(n)p Fp(Q)3208 3190 y Fo(v)3241 3198 y Fm(i)3271 3178 y Ft(,)h(whose)0 3278 y(union)c(will)f(b)r(e)h(made,)g(b)n(y)f(de\014nition,)h(of)g(the) g Fr(internal)i(\014elds)e Ft(of)f Fp(v)s Ft(,)h(ha)n(v)n(e)f(to)g(b)r (e)h(non)g(empt)n(y)-7 b(,)28 b(if)g Fp(s)3154 3290 y Fo(v)3216 3278 y Fp(>)23 b Ft(1.)33 3378 y(Giv)n(en)28 b Fp(\034)k Fl(2)24 b(T)466 3390 y Fo(h;n)570 3378 y Ft(,)k(there)f(are)g(man)n(y)g(p)r(ossible)g(c)n(hoices)g(of)g(the)h (subsets)f Fp(P)2367 3390 y Fo(v)2407 3378 y Ft(,)h Fp(v)e Fl(2)e Fp(\034)9 b Ft(,)28 b(compatible)g(with)g(all)f(the)0 3478 y(constrain)n(ts;)f(w)n(e)g(shall)g(denote)h Fl(P)1085 3490 y Fo(\034)1153 3478 y Ft(the)g(family)g(of)g(all)f(these)h(c)n (hoices)f(and)g Fq(P)h Ft(the)h(elemen)n(ts)e(of)h Fl(P)3132 3490 y Fo(\034)3173 3478 y Ft(.)37 b(Then)27 b(w)n(e)0 3577 y(can)g(write)1066 3678 y Fp(V)1133 3644 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1228 3678 y Ft(\()p Fp(\034)5 b(;)1338 3601 y Fj(p)p 1421 3601 V 77 x Fp(Z)1478 3690 y Fo(h)1521 3678 y Fp( )1578 3644 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1725 3678 y Ft(\))23 b(=)1898 3599 y Fj(X)1868 3777 y Fh(P)p Fi(2P)2011 3785 y Fm(\034)2062 3678 y Fp(V)2128 3644 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))2223 3678 y Ft(\()p Fp(\034)5 b(;)14 b Fq(P)p Ft(\))24 b(;)854 b(\(3)p Fp(:)p Ft(40\))0 3948 y(Calling)29 b Fp(W)378 3905 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))366 3972 y Fo(\034)s(;)p Fh(P)505 3948 y Ft(the)h(k)n(ernels)f(of)h Fp(V)1094 3918 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1189 3948 y Ft(\()p Fp(\034)5 b(;)14 b Fq(P)p Ft(\))30 b(\(see)g(\(3.16\)\))g(and)f(rep)r (eating)g(the)i(analysis)d(in)i Fl(x)p Ft(3)g(of)f([BM1])h(one)0 4047 y(gets)d(the)h(follo)n(wing)f(b)r(ound)h(\(analogous)d(to)j (\(3.105\))e(of)i([BM1]\))286 4177 y Fj(Z)383 4290 y Fp(d)p Fq(x)476 4302 y Fo(v)509 4310 y Fn(0)546 4290 y Fl(j)p Fp(W)659 4247 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))647 4315 y Fo(\034)s(;)p Fh(P)756 4290 y Ft(\()p Fq(x)838 4302 y Fo(v)871 4310 y Fn(0)909 4290 y Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)1140 4256 y Fo(n)1185 4290 y Fp(L\014)t(")1332 4256 y Fo(n)1332 4311 y(h)1377 4290 y Fp(\015)1425 4256 y Fi(\000)p Fo(hD)1570 4265 y Fm(k)1606 4256 y Fk(\()p Fo(P)1674 4264 y Fm(v)1704 4276 y Fn(0)1741 4256 y Fk(\))1794 4290 y Fl(\001)291 4515 y(\001)443 4436 y Fj(Y)355 4615 y Fo(v)14 b Fb(not)24 b(e.p.)651 4515 y Fp(\037)p Ft(\()p Fp(P)788 4527 y Fo(v)828 4515 y Ft(\))874 4398 y Fj(\032)976 4459 y Ft(1)p 946 4496 102 4 v 946 4572 a Fp(s)985 4584 y Fo(v)1025 4572 y Ft(!)1058 4515 y Fp(C)1123 4419 y Fj(P)1210 4440 y Fm(s)1238 4448 y(v)1210 4506 y(i)p Fn(=1)1319 4475 y Fi(j)p Fo(P)1381 4483 y Fm(v)1411 4496 y(i)1441 4475 y Fi(j\000j)p Fo(P)1575 4483 y Fm(v)1611 4475 y Fi(j)1635 4423 y Fj(\020)1684 4515 y Fp(Z)1741 4527 y Fo(h)1780 4535 y Fm(v)1819 4515 y Fp(=)-5 b(Z)1913 4527 y Fo(h)1952 4535 y Fm(v)1988 4527 y Fi(\000)p Fk(1)2077 4423 y Fj(\021)2126 4440 y Fi(j)p Fo(P)2188 4448 y Fm(v)2224 4440 y Fi(j)p Fo(=)p Fk(2)2315 4515 y Fp(\015)2363 4481 y Fi(\000)p Fk([)p Fi(\000)p Fk(2+)2579 4451 y Fd(j)p Fm(P)2634 4459 y(v)2670 4451 y Fd(j)p 2579 4468 111 4 v 2620 4501 a Fn(2)2699 4481 y Fk(+)p Fo(z)r Fk(\()p Fo(P)2852 4489 y Fm(v)2888 4481 y Fk(\)])2937 4398 y Fj(\033)3036 4515 y Fp(;)3331 4428 y Ft(\(3)p Fp(:)p Ft(41\))0 4808 y(where)28 b Fp(z)t Ft(\()p Fp(P)369 4820 y Fo(v)408 4808 y Ft(\))d(=)f(2)k(if)h Fl(j)p Fp(P)777 4820 y Fo(v)817 4808 y Fl(j)24 b Ft(=)g(2)k(and)g Fp(z)t Ft(\()p Fp(P)1313 4820 y Fo(v)1353 4808 y Ft(\))c(=)g(1)k(if)h Fl(j)p Fp(P)1721 4820 y Fo(v)1761 4808 y Fl(j)24 b Ft(=)g(1)k(and)h Fl(jj)2190 4746 y Fj(P)2277 4833 y Fo(f)7 b Fi(2)p Fo(P)2403 4841 y Fm(v)2457 4808 y Fp(")p Ft(\()p Fp(f)i Ft(\))p Fp(!)s Ft(\()p Fp(f)g Ft(\))p Fp(p)2821 4820 y Fo(F)2875 4808 y Fl(jj)2921 4823 y Fo(T)2969 4806 y Fn(1)3031 4808 y Ft(=)24 b(0;)k(moreo)n(v)n(er)0 4921 y Fp(\037)p Ft(\()p Fp(P)137 4933 y Fo(v)177 4921 y Ft(\))k(are)g(de\014ned)g(so)g(that)g Fp(\037)p Ft(\()p Fp(P)1103 4933 y Fo(v)1143 4921 y Ft(\))f(=)f(0)i(if) g Fl(j)p Fp(P)1531 4933 y Fo(v)1571 4921 y Fl(j)f Ft(=)f(4)i(,)h Fp(h)1898 4933 y Fo(v)1968 4921 y Fl(\024)2064 4899 y Ft(\026)2063 4921 y Fp(h)f Ft(and)g Fl(jj)2369 4859 y Fj(P)2457 4946 y Fo(f)7 b Fi(2)p Fo(P)2583 4954 y Fm(v)2636 4921 y Fp(")p Ft(\()p Fp(f)i Ft(\))p Fp(!)s Ft(\()p Fp(f)g Ft(\))p Fp(p)3000 4933 y Fo(F)3055 4921 y Fl(jj)3101 4936 y Fo(T)3149 4920 y Fn(1)3216 4921 y Fl(6)p Ft(=)31 b(0,)i(and)0 5021 y Fp(\037)p Ft(\()p Fp(P)137 5033 y Fo(v)177 5021 y Ft(\))23 b(=)g(1)k(otherwise.)33 5134 y(W)-7 b(e)25 b(call)g(2)13 b Fl(\000)464 5094 y Fi(j)p Fo(P)526 5102 y Fm(v)561 5094 y Fi(j)p 464 5115 118 4 v 506 5163 a Fk(2)604 5134 y Fl(\000)g Fp(z)t Ft(\()p Fp(P)810 5146 y Fo(v)848 5134 y Ft(\))25 b(the)g Fr(dimension)h Ft(of)f(the)g(v)n(ertex)f Fp(v)k Ft(in)d(the)g(tree.)35 b(If)25 b(no)g(renormalization)d(is)j(de\014ned)0 5234 y Fl(R)e Ft(=)g(1)j(then)h(one)e(gets)h(a)g(similar)f(b)r(ound)i(with)f Fp(z)1577 5246 y Fo(v)1617 5234 y Ft(\()p Fp(P)1702 5246 y Fo(v)1742 5234 y Ft(\))d(=)g(0.)36 b(Hence)26 b(if)h Fl(R)c Ft(=)g(1)i(the)i(v)n(ertices)e Fp(v)30 b Ft(with)c Fl(j)p Fp(P)3328 5246 y Fo(v)3368 5234 y Fl(j)d Ft(=)g(4)0 5333 y(ha)n(v)n(e)f(v)-5 b(anishing)23 b(dimension)g(\()p Fr(mar)l(ginal)k(terms)p Ft(\))c(while)g(if)h Fl(j)p Fp(P)1929 5345 y Fo(v)1969 5333 y Fl(j)f Ft(=)g(2)f(they)i(ha)n(v)n(e)e (p)r(ositiv)n(e)h(dimension)g(\()p Fr(r)l(elevant)0 5433 y(terms)p Ft(\).)35 b(The)23 b(presence)f(of)h(the)g Fp(\037)p Ft(-functions)f(in)h(\(3.41\))f(is)h(easily)f(understo)r(o)r (d)g(b)n(y)h(noting)f(that)h(one)f(can)h(insert)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(15)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 0 83 a Ft(freely)22 b(suc)n(h)h Fp(\037)g Ft(functi)g(ons)g (in)g(momen)n(tum)g(space,)g(then)g(one)g(passes)e(to)i(co)r(ordinate)f (space)g(and)g(mak)n(e)g(b)r(ounds)0 183 y(using)27 b(the)h (Gram-Hadamard)e(inequalit)n(y)h(as)g(in)h([BM1].)33 299 y(F)-7 b(or)24 b(an)n(y)f Fp(v)28 b Ft(suc)n(h)23 b(that)i Fp(h)808 311 y Fo(v)870 299 y Fl(\024)959 277 y Ft(\026)958 299 y Fp(h)f Ft(it)g(holds)g Fl(\000)p Ft(2)12 b(+)1527 259 y Fi(j)p Fo(P)1589 267 y Fm(v)1624 259 y Fi(j)p 1527 280 118 4 v 1569 327 a Fk(2)1666 299 y Ft(+)g Fp(z)t Ft(\()p Fp(P)1871 311 y Fo(v)1909 299 y Ft(\))23 b Fl(\025)g Ft(1,)h(that)h(is)f(the)g(dimension)g(is)g (negativ)n(e,)g(while)0 420 y(if)k Fp(h)124 432 y Fo(v)186 420 y Fl(\025)275 398 y Ft(\026)274 420 y Fp(h)g Ft(it)g(holds)f Fl(\000)p Ft(2)17 b(+)867 379 y Fi(j)p Fo(P)929 387 y Fm(v)965 379 y Fi(j)p 867 400 V 909 448 a Fk(2)1013 420 y Ft(+)h Fp(z)t Ft(\()p Fp(P)1224 432 y Fo(v)1263 420 y Ft(\))24 b Fl(\025)e Ft(0.)33 522 y(W)-7 b(e)34 b(ha)n(v)n(e)e(to)i (p)r(erform)f(the)h(sums)f(o)n(v)n(er)f Fp(\034)43 b Ft(and)34 b Fq(P)p Ft(.)55 b(The)33 b(n)n(um)n(b)r(er)h(of)f(unlab)r (eled)h(trees)f(is)g Fl(\024)g Ft(4)3145 492 y Fo(n)3189 522 y Ft(;)k(\014xed)d(an)0 622 y(unlab)r(eled)c(tree,)g(the)g(n)n(um)n (b)r(er)g(of)f(terms)h(in)g(the)g(sum)g(o)n(v)n(er)e(the)i(v)-5 b(arious)28 b(lab)r(els)i(of)f(the)i(tree)e(is)h(b)r(ounded)g(b)n(y)0 722 y Fp(C)65 692 y Fo(n)110 722 y Ft(,)e(except)g(the)g(sums)f(o)n(v)n (er)f(the)i(scale)f(lab)r(els)g(and)h(the)g(sets)f Fq(P)p Ft(.)33 825 y(In)g(order)f(to)h(b)r(ound)g(the)h(sums)e(o)n(v)n(er)g (the)h(scale)f(lab)r(els)h(and)g Fq(P)g Ft(w)n(e)f(\014rst)h(use)g(the) g(inequalit)n(y)-7 b(,)27 b(for)g(a)f(constan)n(t)0 924 y(0)d Fp(<)f(c)h(<)g Ft(1)578 1085 y Fj(Y)490 1264 y Fo(v)14 b Fb(not)24 b(e.p.)786 1164 y Fp(\037)p Ft(\()p Fp(P)923 1176 y Fo(v)963 1164 y Ft(\))995 1071 y Fj(\020)1044 1164 y Fp(Z)1101 1176 y Fo(h)1140 1184 y Fm(v)1180 1164 y Fp(=)-5 b(Z)1274 1176 y Fo(h)1313 1184 y Fm(v)1348 1176 y Fi(\000)p Fk(1)1437 1071 y Fj(\021)1487 1089 y Fi(j)p Fo(P)1549 1097 y Fm(v)1584 1089 y Fi(j)p Fo(=)p Fk(2)1675 1164 y Fp(\015)1723 1129 y Fi(\000)p Fk([)p Fi(\000)p Fk(2+)1939 1099 y Fd(j)p Fm(P)1994 1107 y(v)2030 1099 y Fd(j)p 1939 1116 111 4 v 1980 1149 a Fn(2)2059 1129 y Fk(+)p Fo(z)r Fk(\()p Fo(P)2212 1137 y Fm(v)2248 1129 y Fk(\)])2320 1164 y Fl(\024)499 1414 y(\024)23 b Ft([)610 1335 y Fj(Y)648 1512 y Fk(~)-36 b Fo(v)716 1414 y Ft(\()p Fp(\037)p Ft(\()p Fp(h)883 1426 y Fk(~)g Fo(v)943 1414 y Fl(\024)1031 1392 y Ft(\026)1030 1414 y Fp(h)p Ft(\))p Fp(\015)1158 1379 y Fi(\000)p Fo(c)p Fk(\()p Fo(h)1308 1387 y Fn(~)-31 b Fm(v)1340 1379 y Fi(\000)p Fo(h)1434 1395 y Fn(~)g Fm(v)1462 1383 y Fd(0)1489 1379 y Fk(\))1537 1414 y Ft(+)18 b Fp(\037)p Ft(\()p Fp(h)1755 1426 y Fk(~)-36 b Fo(v)1815 1414 y Fl(\025)1904 1392 y Ft(\026)1903 1414 y Fp(h)p Ft(\)\)][)2149 1335 y Fj(Y)2061 1514 y Fo(v)14 b Fb(not)24 b(e.p.)2357 1414 y Fp(\037)p Ft(\()p Fl(j)p Fp(P)2517 1426 y Fo(v)2557 1414 y Fl(j)f Fp(>)g Ft(4\))p Fp(\015)2813 1379 y Fi(\000)2874 1350 y Fd(j)p Fm(P)2929 1358 y(v)2965 1350 y Fd(j)p 2874 1367 V 2901 1399 a Fn(40)2998 1414 y Ft(])g Fp(;)3331 1311 y Ft(\(3)p Fp(:)p Ft(42\))0 1715 y(where)k(~)-45 b Fp(v)27 b Ft(are)d(the)h(non)f(trivial)f(v)n(ertices,)h(and)k(~)-45 b Fp(v)1504 1685 y Fi(0)1552 1715 y Ft(is)24 b(the)h(non)f(trivial)f(v) n(ertex)h(immediately)g(preceding)j(~)-45 b Fp(v)28 b Ft(or)23 b(the)0 1815 y(ro)r(ot.)36 b(Then)28 b(it)g(holds)f(that,)h (noting)f(the)h(the)g(n)n(um)n(b)r(er)g(of)f(non)n(trivial)g(v)n (ertices)f(is)i(b)r(ounded)g(b)n(y)f Fp(n)784 1957 y Fj(X)773 2139 y Fi(f)p Fo(h)849 2147 y Fn(~)-31 b Fm(v)881 2139 y Fi(g)915 2036 y Ft([)938 1957 y Fj(Y)977 2135 y Fk(~)-36 b Fo(v)1045 2036 y Ft(\()p Fp(\037)p Ft(\()p Fp(h)1212 2048 y Fk(~)g Fo(v)1271 2036 y Fl(\024)1360 2014 y Ft(\026)1359 2036 y Fp(h)p Ft(\))p Fp(\015)1487 2002 y Fi(\000)p Fo(c)p Fk(\()p Fo(h)1637 2010 y Fn(~)-31 b Fm(v)1669 2002 y Fi(\000)p Fo(h)1763 2017 y Fn(~)g Fm(v)1791 2005 y Fd(0)1818 2002 y Fk(\))1866 2036 y Ft(+)18 b Fp(\037)p Ft(\()p Fp(h)2084 2048 y Fk(~)-36 b Fo(v)2144 2036 y Fl(\025)2232 2014 y Ft(\026)2231 2036 y Fp(h)p Ft(\)\)])24 b Fl(\024)f Fp(C)2543 2002 y Fo(n)2588 2036 y Fl(j)2612 2014 y Ft(\026)2611 2036 y Fp(h)p Fl(j)2682 2002 y Fo(\013n)3331 2036 y Ft(\(3)p Fp(:)p Ft(43\))0 2342 y(for)k(some)g(n)n(umerical)g(constan)n(t)g Fp(\013)p Ft(.)37 b(Finally)28 b(the)g(sum)f(o)n(v)n(er)f Fq(P)i Ft(can)f(b)r(e)h(done)g(as)f(describ)r(ed)g(in)h([BM1].)p 3348 2334 42 42 v 33 2563 a Fq(Remark)33 2666 y Ft(By)d(\(3.42\))f(w)n (e)h(get)f(also)g(that)h(the)h(b)r(ound)f(for)g(a)f(tree)h Fp(\034)32 b Fl(2)24 b(T)1935 2678 y Fo(h;n)2064 2666 y Ft(with)h(at)g(least)g(a)f(v)n(ertex)g(at)h(scale)f Fp(k)k Ft(impro)n(v)n(es)0 2765 y(b)n(y)f(a)g(factor)g Fp(\015)470 2735 y Fo(\022)r Fk(\()p Fo(h)p Fi(\000)p Fo(k)q Fk(\))687 2765 y Ft(;)g(this)h(prop)r(ert)n(y)f(is)g(called)h Fr(short)i(memory)g(pr)l(op)l(erty)p Ft(.)1237 2983 y Fu(4.)100 b(The)38 b(\015o)m(w)f(equation)0 3346 y Fq(4.1)98 b Fr(Se)l(c)l(ond)29 b(or)l(der)i(analysis.)33 3519 y Ft(By)36 b(the)g(iterativ)n(e)e(in)n(tegration)h(pro)r(cedure)g(seen)g (in)h(the)g(previous)f(section)g(it)h(follo)n(ws)f(that)h(the)g (running)0 3619 y(coupling)27 b(constan)n(ts)g(v)n(erify)g(a)g (recursiv)n(e)f(relation)g(whose)h(r.h.s.)37 b(is)27 b(called)g Fr(Beta)k(function)p Ft(:)1339 3810 y Fp(Z)1396 3822 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)p 1339 3847 185 4 v 1382 3923 a Fp(Z)1439 3935 y Fo(h)1557 3866 y Ft(=)22 b(1)c(+)g Fp(z)1826 3878 y Fo(h)1869 3866 y Ft(\()p Fp(v)1941 3878 y Fo(h)1985 3866 y Fp(;)c(::;)g(v)2145 3878 y Fk(1)2182 3866 y Ft(\))1159 b(\(4)p Fp(:)p Ft(1\))1270 4140 y Fp(\027)1311 4152 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)1462 4140 y Ft(=)22 b Fp(\015)5 b(\027)1638 4152 y Fo(h)1699 4140 y Ft(+)18 b Fp(\014)1833 4106 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1829 4161 y Fo(\027)1929 4140 y Ft(\()p Fp(v)2001 4152 y Fo(h)2044 4140 y Fp(;)c(::;)g(v)2204 4152 y Fk(1)2242 4140 y Ft(\))1099 b(\(4)p Fp(:)p Ft(2\))1297 4334 y Fp(\016)1334 4346 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)1485 4334 y Ft(=)23 b Fp(\016)1610 4346 y Fo(h)1671 4334 y Ft(+)18 b Fp(\014)1805 4291 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1801 4359 y Fo(\016)1901 4334 y Ft(\()p Fp(v)1973 4346 y Fo(h)2016 4334 y Fp(;)c(::;)g(v)2176 4346 y Fk(1)2214 4334 y Ft(\))1127 b(\(4)p Fp(:)p Ft(3\))1252 4531 y Fp(g)1292 4543 y Fo(i;h)p Fi(\000)p Fk(1)1485 4531 y Ft(=)23 b Fp(g)1613 4543 y Fo(i;h)1717 4531 y Ft(+)18 b Fp(\014)1851 4488 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1847 4554 y Fo(g)r(;i)1947 4531 y Ft(\()p Fp(v)2019 4543 y Fo(h)2062 4531 y Fp(;)c(::;)g(v)2222 4543 y Fk(1)2260 4531 y Ft(\))1081 b(\(4)p Fp(:)p Ft(4\))0 4729 y(with)19 b Fp(i)k Ft(=)f(\(1)p Fp(;)14 b Ft(2)p Fp(;)g Ft(3\).)33 b(The)18 b(ab)r(o)n(v)n(e)f(equations)h(are)f(also)h (called)g(\015o)n(w)f(equations.)33 b(The)19 b(functions)f Fp(z)3015 4741 y Fo(h)3058 4729 y Fp(;)c(\014)3146 4686 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))3142 4738 y Fo(\027)3241 4729 y Fp(;)g(\014)3329 4686 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))3325 4754 y Fo(\016)3424 4729 y Fp(\014)3475 4686 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))3471 4752 y Fo(g)r(;i)3571 4729 y Ft(\))0 4858 y(are)29 b(expressed)h(b)n(y)g(the)h(tree)f(expansion)g(seen)g(in)g Fl(x)p Ft(3)g(\(for)h(details,)g(see)f([BM1]\).)45 b(The)31 b(con)n(tribution)f(to)g Fp(\014)3448 4815 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))3444 4880 y Fo(g)r(;)p Fk(1)0 4958 y Ft(from)h(the)g (trees)f(with)i(t)n(w)n(o)e(end-p)r(oin)n(ts)h(asso)r(ciated)f(to)g (the)i(quartic)e(running)h(coupling)f(constan)n(ts)g(is)h(giv)n(en)0 5072 y(b)n(y)-7 b(,)27 b(if)208 5005 y Fj(R)277 5072 y Fp(d)p Fq(r)c Ft(=)470 5005 y Fj(R)525 5026 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)509 5102 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)687 5072 y Fp(dr)767 5084 y Fk(0)819 5010 y Fj(P)906 5097 y Fo(r)r Fi(2)p Fk(\003)451 5268 y Fj(X)448 5447 y Fo(k)q Fi(\024)p Fo(h)589 5347 y Ft(4)645 5234 y Fj(Z)741 5347 y Fp(d)p Fq(r)p Fp(g)866 5313 y Fk(\()p Fo(k)q Fk(\))863 5367 y Fo(!)959 5347 y Ft(\()p Fq(r)p Ft(\))p Fp(g)1105 5304 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1102 5367 y Fi(\000)p Fo(!)1202 5347 y Ft(\()p Fl(\000)p Fq(r)p Ft(\))p Fp(g)1410 5359 y Fk(1)p Fo(;k)1504 5347 y Fp(g)1544 5359 y Fk(1)p Fo(;k)1661 5347 y Ft(=)f(4)1804 5234 y Fj(Z)1900 5347 y Fp(d)p Fq(r)2071 5268 y Fj(X)1996 5447 y Fo(k)q Fk(=)p Fo(h;h)p Fk(+1)2280 5347 y Fp(g)2323 5313 y Fk(\()p Fo(k)q Fk(\))2320 5367 y Fo(!)2415 5347 y Ft(\()p Fq(r)p Ft(\))p Fp(g)2561 5304 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))2558 5367 y Fi(\000)p Fo(!)2658 5347 y Ft(\()p Fl(\000)p Fq(r)p Ft(\))p Fp(g)2866 5359 y Fk(1)p Fo(;h)2962 5347 y Fp(g)3002 5359 y Fk(1)p Fo(;k)3373 5347 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(5\))0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(16)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 0 83 a Ft(Using)33 b(that)h Fp(g)465 95 y Fk(1)p Fo(;h)583 83 y Fl(\000)22 b Fp(g)710 95 y Fk(1)p Fo(;h)p Fk(+1)922 83 y Ft(=)32 b Fp(O)r Ft(\()p Fp(v)1159 53 y Fk(2)1156 107 y Fo(h)1200 83 y Ft(\))i(and)f(\(2.11\),)i(and)e (computing)g(the)h(equation)f(analogue)e(to)j(\(4.5\))f(for)0 183 y Fp(g)40 195 y Fk(2)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)248 183 y Ft(and)28 b Fp(g)450 195 y Fk(4)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)658 183 y Ft(w)n(e)f(get)g(that)h Fp(g)1138 195 y Fo(i;h)1252 183 y Ft(v)n(erify)e(the)i(follo)n(wing)f(equations)1021 381 y Fp(g)1061 393 y Fk(1)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)1265 381 y Ft(=)22 b Fp(g)1392 393 y Fk(1)p Fo(;h)1506 381 y Fl(\000)c Fp(ag)1676 346 y Fk(2)1673 401 y(1)p Fo(;h)1787 381 y Ft(+)g Fp(O)r Ft(\()s(\026)-45 b Fp(v)2010 346 y Fk(2)2007 401 y Fo(h)2051 381 y Fp(\015)2099 346 y Fo(\022)r(h)2175 381 y Ft(\))19 b(+)f Fp(O)r Ft(\()s(\026)-45 b Fp(v)2449 346 y Fk(3)2446 401 y Fo(h)2490 381 y Ft(\))1011 611 y Fp(g)1051 623 y Fk(2)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)1255 611 y Ft(=)22 b Fp(g)1382 623 y Fk(2)p Fo(;h)1496 611 y Fl(\000)1589 555 y Fp(a)p 1589 592 44 4 v 1590 668 a Ft(2)1643 611 y Fp(g)1686 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Fo(\034)7 b(h)1526 2386 y Ft(\).)62 b(W)-7 b(e)36 b(\014x)g(then)h(our)e(atten)n (tion)h(on)g(the)g(\015o)n(w)f(equation)h(for)0 2486 y Fp(g)40 2498 y Fk(1)p Fo(;h)135 2486 y Fp(;)14 b(g)212 2498 y Fk(2)p Fo(;h)308 2486 y Fp(;)g(g)385 2498 y Fk(4)p Fo(;h)480 2486 y Ft(.)33 2585 y(More)27 b(explicitly)h(\(4.4\))f(can)g (b)r(e)h(written)g(as)0 2800 y Fp(g)40 2812 y Fk(1)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)243 2800 y Ft(=)23 b Fp(g)371 2812 y Fk(1)p Fo(;h)482 2800 y Fl(\000)14 b Fp(g)601 2812 y Fk(1)p Fo(;h)697 2800 y Ft([)p Fp(a)764 2812 y Fk(1)801 2800 y Fp(g)841 2812 y Fk(1)p Fo(;h)951 2800 y Ft(+)h Fp(a)1075 2812 y Fk(2)1112 2800 y Fp(g)1152 2812 y Fk(1)p Fo(;h)p Fk(+1)1331 2800 y Ft(])g(+)g Fp(G)1514 2766 y Fk(1)1514 2820 y Fo(h)1557 2800 y Ft(\()p Fp(g)1629 2812 y Fo(h)1672 2800 y Fp(;)f(::;)g(g)1832 2812 y Fk(0)1869 2800 y Ft(\))h(+)1996 2721 y Fj(X)1998 2900 y Fo(k)q(;k)2090 2883 y Fd(0)2130 2800 y Fp(g)2170 2812 y Fk(1)p Fo(;k)2263 2800 y Fp(g)2303 2812 y Fk(1)p Fo(;k)2392 2796 y Fd(0)2419 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Fk(0)2360 3136 y Ft(\)+)2457 3057 y Fj(X)2459 3236 y Fo(k)q(;k)2551 3219 y Fd(0)2590 3136 y Fp(g)2630 3148 y Fk(1)p Fo(;k)2724 3136 y Fp(g)2764 3148 y Fk(1)p Fo(;k)2853 3132 y Fd(0)2879 3136 y Fp(H)2955 3101 y Fk(2)2948 3156 y Fo(h;k)q(;k)3099 3140 y Fd(0)3127 3136 y Ft(\()p Fp(v)3199 3148 y Fo(h)3242 3136 y Fp(;)g(::;)g(v)3402 3148 y Fk(0)3440 3136 y Ft(\)+)p Fp(R)3601 3101 y Fk(2)3600 3156 y Fo(h)3643 3136 y Ft(\()p Fp(v)3715 3148 y Fo(h)3758 3136 y Fp(;)g(:::v)3904 3148 y Fk(1)3942 3136 y Ft(\))3373 3326 y(\(4)p Fp(:)p Ft(8\))156 3442 y Fp(g)196 3454 y Fk(4)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)399 3442 y Ft(=)23 b Fp(g)527 3454 y Fk(2)p Fo(;h)641 3442 y Ft(+)18 b Fp(\014)775 3408 y Fk(4)771 3463 y Fo(h)814 3442 y Ft(\()p Fp(\026)896 3454 y Fo(h)939 3442 y Fp(;)c(::;)g(\026)1109 3454 y Fk(0)1146 3442 y Ft(\))19 b(+)f Fp(G)1345 3408 y Fk(4)1345 3463 y Fo(h)1388 3442 y Ft(\()p Fp(g)1460 3454 y Fo(h)1503 3442 y Fp(;)c(::;)g(g)1663 3454 y Fk(0)1700 3442 y Ft(\))19 b(+)1834 3363 y Fj(X)1836 3542 y 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b(at)g(scale)g Fl(\024)e Ft(0)i(and)g(with)h(propagators)d Fp(g)1692 4341 y Fk(\()p Fo(k)q Fk(\))1689 4408 y Fo(L)1784 4384 y Ft(,)j(see)f(\(2.11\),)g(and)g(in)h(whic)n(h)f(the)h(factors)3126 4342 y Fo(Z)3171 4351 y Fm(k)q Fd(\000)p Fn(1)p 3126 4365 155 4 v 3163 4412 a Fo(Z)3208 4421 y Fm(k)3291 4384 y Ft(,)g Fp(k)h Fl(\025)c Fp(h)0 4497 y Ft(are)27 b(replaced)f(b)n(y)i (1)18 b(+)g Fp(z)768 4467 y Fk(1)764 4521 y Fo(k)804 4497 y Ft(.)33 4668 y(3\)The)28 b(terms)f(con)n(tributing)g(to)g Fp(\014)1134 4637 y Fk(2)1130 4691 y Fo(h)1173 4668 y Fp(;)14 b(\014)1261 4637 y Fk(4)1257 4691 y Fo(h)1328 4668 y Ft(are)27 b(b)n(y)g(de\014nition)h(indep)r(enden)n(t)g(from)g Fp(g)2658 4680 y Fk(1)p Fo(;k)2751 4668 y Ft(,)p Fp(k)e Fl(\025)c Fp(h)p Ft(.)33 4838 y(4\)The)27 b(terms)f(con)n(tributing)h (to)f Fp(G)1145 4808 y Fk(1)1145 4862 y Fo(h)1189 4838 y Fp(;)14 b(G)1291 4808 y Fk(2)1291 4862 y Fo(h)1334 4838 y Fp(;)g(G)1436 4808 y Fk(4)1436 4862 y Fo(h)1506 4838 y Ft(b)n(y)26 b(de\014nitions)h(dep)r(end)h(linearly)e(from)g Fp(g)2841 4850 y Fk(1)p Fo(;k)2934 4838 y Ft(,)i(that)f(is)f(they)h (are)0 4938 y(v)-5 b(anishing)24 b(if)i Fp(g)478 4950 y Fk(1)p Fo(;k)594 4938 y Ft(=)d(0)h(for)h(an)n(y)f Fp(k)j Ft(and)e(their)g(second)f(deriv)-5 b(ativ)n(es)24 b(resp)r(ect)h(to)f Fp(g)2548 4950 y Fk(1)p Fo(;k)2667 4938 y Ft(are)f(also)h(v)-5 b(anishing,)25 b(while)0 5037 y(the)j(\014rst)f(deriv)-5 b(ativ)n(e)27 b(are)g(not)g(v)-5 b(anishing.)33 5208 y(5\)The)28 b(terms)f(at)g(least)h(quadratic)e(in)i Fp(g)1313 5220 y Fk(1)1378 5208 y Ft(are)e(included)i(in)1945 5146 y Fj(P)2033 5233 y Fo(k)q(;k)2125 5216 y Fd(0)2166 5208 y Fp(g)2206 5220 y Fk(1)p Fo(;k)2300 5208 y Fp(g)2340 5220 y Fk(1)p Fo(;k)2429 5204 y Fd(0)2455 5208 y Fp(H)2531 5178 y Fo(i)2524 5231 y(h;k)q(;k)2675 5215 y Fd(0)2730 5208 y Ft(and)g(b)n(y)f(\(3.42\))g(it)h(holds)1220 5433 y Fl(j)p Fp(H)1319 5399 y Fo(i)1312 5454 y(h;k)q(;k)1463 5437 y Fd(0)1490 5433 y Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b 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Fk(2)2912 1317 y Fo(h)2955 1293 y Fp(;)14 b(\014)3043 1263 y Fk(4)3039 1317 y Fo(h)3082 1293 y Fp(;)g(G)3184 1263 y Fk(2)3184 1317 y Fo(h)3227 1293 y Fp(;)g(G)3329 1263 y Fk(4)3329 1317 y Fo(h)3373 1293 y Fp(;)g(G)3475 1263 y Fk(1)3475 1317 y Fo(h)3518 1293 y Fr(,)0 1393 y(for)31 b Fl(j)p Fp(v)196 1405 y Fo(h)239 1393 y Fl(j)23 b(\024)g Fp(")29 b Fr(ar)l(e)h(such)g(that,)g(for)h(a)f(suitable)g(c)l (onstant)f Fp(C)829 1595 y Fl(j)p Fp(\014)903 1561 y Fk(2)899 1616 y Fo(h)943 1595 y Ft(\()p Fp(\026)1025 1607 y Fo(h)1068 1595 y Fp(;)14 b(::;)g(\026)1238 1607 y Fo(h)1281 1595 y Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)13 b Ft(\026)-49 b Fp(\026)1562 1561 y Fk(2)1562 1616 y Fo(h)1605 1595 y Fp(\015)1653 1561 y Fo(\022)r(h)1814 1595 y Fl(j)p Fp(\014)1888 1561 y Fk(4)1884 1616 y Fo(h)1927 1595 y Ft(\()p Fp(\026)2009 1607 y Fo(h)2052 1595 y Fp(;)14 b(::;)g(\026)2222 1607 y Fo(h)2265 1595 y Ft(\))p Fl(j)24 b(\024)e Fp(C)13 b Ft(\026)-49 b Fp(\026)2546 1561 y Fk(2)2546 1616 y Fo(h)2590 1595 y Fp(\015)2638 1561 y Fo(\022)r(h)3331 1595 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(10\))842 1801 y Fl(j)p Fp(G)930 1767 y Fk(2)930 1822 y Fo(h)974 1801 y Ft(\()p Fp(g)1046 1813 y Fo(h)1089 1801 y Fp(;)14 b(::;)g(g)1249 1813 y Fo(h)1291 1801 y Ft(\))p Fl(j)24 b(\024)e Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)1565 1767 y Fk(2)1562 1822 y Fo(h)1605 1801 y Fp(\015)1653 1767 y Fo(\022)r(h)1814 1801 y Fl(j)p Fp(G)1902 1767 y Fk(4)1902 1822 y Fo(h)1945 1801 y Ft(\()p Fp(g)2017 1813 y Fo(h)2060 1801 y Fp(;)14 b(::;)g(g)2220 1813 y Fo(h)2263 1801 y Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)2537 1767 y Fk(2)2534 1822 y Fo(h)2577 1801 y Fp(\015)2625 1767 y Fo(\022)r(h)3331 1801 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(11\))1328 1966 y Fl(j)p Fp(G)1416 1932 y Fk(1)1416 1987 y Fo(h)1460 1966 y Ft(\()p Fp(g)1532 1978 y Fo(h)1575 1966 y Fp(;)14 b(::;)g(g)1735 1978 y Fo(h)1777 1966 y Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)2051 1932 y Fk(2)2048 1987 y Fo(h)2091 1966 y Fp(\015)2139 1932 y Fo(\022)r(h)3331 1966 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(12\))33 2299 y(The)25 b(ab)r(o)n(v)n(e)e(lemma)i(sa)n(ys)e(that)i(a)g(dramatic) f(cancellation)g(happ)r(ens)g(in)h(the)h(series)d(for)h(the)i(ab)r(o)n (v)n(e)d(functions;)0 2399 y(eac)n(h)d(order)f(is)h(sum)h(of)f(man)n(y) g(terms)g Fp(O)r Ft(\(1\),)j(but)e(at)f(the)h(end)f(the)h(\014nal)f (sum)h(is)f Fp(O)r Ft(\()p Fp(\015)2609 2368 y Fo(\022)r(h)2686 2399 y Ft(\),)i(that)f(is)f(asymptotically)0 2498 y(v)-5 b(anishing.)36 b(W)-7 b(e)26 b(call)f(suc)n(h)g(prop)r(ert)n(y)g Fr(p)l(artial)k(vanishing)g(of)g(the)f(Beta)g(function)e Ft(\(partial)f(b)r(ecouse)g(the)h Fp(O)r Ft(\()p Fp(g)3473 2468 y Fk(2)3470 2519 y(1)3511 2498 y Ft(\))0 2598 y(terms)h(are)g(not) h(v)-5 b(anishing\).)33 2699 y(Assuming)35 b(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)e (lemma,)k(whic)n(h)d(will)h(pro)n(v)n(ed)e(in)i(the)g(follo)n(wing)f(t) n(w)n(o)g(sections)g(as)g(consequence)f(of)0 2798 y(suitable)27 b(W)-7 b(ard)28 b(iden)n(tities,)g(w)n(e)f(can)g(pro)n(v)n(e)f(that)i (the)g(\015o)n(w)f(is)g(b)r(ounded)h(for)f(an)n(y)g Fp(g)2657 2810 y 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Ft(,)i(parametrically)d(in)i Fp(\027)q(;)14 b(\016)s Ft(,)31 b(and)g(sho)n(w)f(that,)i Fr(for)h(any)h(se)l(quenc)l(e)c Fp(\027)p 3420 3143 47 4 v 5 w(;)14 b(\016)p 3503 3143 41 4 v 0 3230 a Ft(with)33 b(the)f(supp)r(osed)g(prop)r(ert)n(y)-7 b(,)33 b(the)f(solution)g Fp(g)p 1532 3259 43 4 v 3 w Ft(\()p Fp(\027)p 1607 3243 47 4 v 5 w(;)14 b(\016)p 1690 3243 41 4 v 3 w Ft(\))31 b(=)g Fl(f)p Fp(g)1971 3242 y Fk(1)p Fo(;h)2066 3230 y Ft(\()p Fp(\027)p 2098 3243 47 4 v 5 w(;)14 b(\016)p 2181 3243 41 4 v 3 w Ft(\))p Fp(;)g(g)2330 3242 y Fk(2)p Fo(;h)2426 3230 y Ft(\()p Fp(\027)p 2458 3243 47 4 v 5 w(;)g(\016)p 2541 3243 41 4 v 3 w Ft(\))p Fp(;)g(g)2690 3242 y Fk(4)p Fo(;h)2786 3230 y Ft(\()p Fp(\027)p 2818 3243 47 4 v 6 w(;)g(\016)p 2902 3243 41 4 v 3 w Ft(\))p Fl(g)3016 3242 y Fo(h)p Fi(\024)p Fk(1)3176 3230 y Ft(exists)32 b(and)0 3330 y(has)27 b(go)r(o)r(d)g(deca)n(ying)f(prop)r(erties.)36 b(W)-7 b(e)28 b(\014nally)g(\014x)f(the)h(sequence)f Fp(\027)p 2114 3343 47 4 v 33 w Ft(via)g(a)h(con)n(v)n(ergen)n(t)d (iterativ)n(e)i(pro)r(cedure.)33 3548 y Fs(Lemma)39 b(1.)p Fr(Assume)34 b(that)i Fl(j)p Fp(\027)978 3560 y Fo(h)1021 3548 y Fl(j)p Fp(;)14 b Fl(j)p Fp(\016)1141 3560 y Fo(h)1184 3548 y Fl(j)35 b(\024)f Fp(cU)9 b(\015)1491 3518 y Fo(\022)r(h)1602 3548 y Fr(for)37 b(any)g Fp(h)p Fr(.)57 b(F)-6 b(or)36 b Fp(U)43 b(>)34 b Ft(0)i Fr(and)g(smal)t(l)h(enough)f(the)h(\015ow)f (is)0 3648 y(given)30 b(by,)h(for)g(any)f Fp(h)299 3867 y Fl(j)p Fp(g)362 3879 y Fk(2)p Fo(;h)476 3867 y Fl(\000)18 b Fp(g)599 3879 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(0)707 3867 y Fl(\000)g Fp(g)830 3879 y Fk(1)p Fo(;)p Fk(0)920 3867 y Fp(=)p Ft(2)p Fl(j)k(\024)h Fp(U)1203 3833 y Fk(3)p Fo(=)p Fk(2)1390 3867 y Fl(j)p Fp(g)1453 3879 y Fk(4)p Fo(;h)1567 3867 y Fl(\000)18 b Fp(g)1690 3879 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(0)1779 3867 y Fl(j)24 b(\024)e Fp(U)1979 3833 y Fk(3)p Fo(=)p Fk(2)2166 3867 y Ft(0)h Fp(<)g(g)2359 3879 y Fk(1)p Fo(;h)2477 3867 y Fl(\024)2733 3811 y Fp(g)2773 3823 y Fk(1)p Fo(;)p Fk(0)p 2575 3848 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Fk(0)2742 5433 y Ft(\))83 b Fp(i)23 b Ft(=)f(1)p Fp(;)14 b Ft(2)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(18)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 0 83 a Ft(and)27 b(a)h(similar)e(equation)h(for)h Fp(g)1010 95 y Fk(4)p Fo(;h)1105 83 y Ft(;)1177 62 y(\026)1156 83 y Fp(H)1225 95 y Fo(h;k)q(;k)1376 79 y Fd(0)1431 83 y Ft(v)n(eri\014es)e(\(4.9\),)1947 62 y(\026)1929 83 y Fp(R)1992 95 y Fo(h)2063 83 y Ft(\(4.14\))h(and)572 297 y Fl(j)p Fp(D)664 309 y Fo(h;k)764 297 y Fl(j)c(\024)f Fp(C)6 b(\015)1010 263 y Fi(\000)p Fk(2)p Fo(\022)r Fk(\()p Fo(k)q Fi(\000)p Fo(h)p Fk(\))1312 297 y Fp(U)j Fl(j)p Fp(g)1441 309 y Fo(h)1502 297 y Fl(\000)18 b Fp(g)1625 309 y Fo(k)1666 297 y Fl(j)166 b(j)p Fp(D)1949 263 y Fo(i)1947 317 y(h;k)2046 297 y Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)6 b(U)j(\015)2359 263 y Fi(\000)p Fk(2)p Fo(\022)r Fk(\()p Fo(k)q Fi(\000)p Fo(h)p Fk(\))2660 297 y Fl(j)p Fp(g)2723 309 y Fo(h)2784 297 y Fl(\000)18 b Fp(g)2907 309 y Fo(k)2948 297 y Fl(j)360 b Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(17\))0 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b(similar)f(decomp)r(osition)g(can)g(b)r(e)h(done)f(also)g(for) 1446 2076 y Fp(\014)1497 2042 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1493 2097 y Fo(\027)1616 2076 y Ft(=)22 b Fp(\014)1754 2042 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1750 2097 y Fo(\027;a)1868 2076 y Ft(+)c Fp(\014)2002 2033 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1998 2101 y Fo(\027;b)3331 2076 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(30\))0 2270 y(again)26 b(with)1476 2370 y Fl(j)p Fp(\014)1550 2335 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1546 2390 y Fo(\027;a)1645 2370 y Fl(j)d(\024)g Fp(C)6 b(U)j(\015)1958 2335 y Fk(2)p Fo(\022)r(h)3331 2370 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(31\))0 2536 y(b)n(y)28 b(the)i(parit)n(y)d(prop)r(ert)n(y)h Fp(g)890 2506 y Fo(h)887 2559 y(L;!)1000 2536 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))27 b(=)d Fl(\000)p Fp(g)1426 2506 y Fo(h)1423 2559 y(L;!)1536 2536 y Ft(\()p Fq(y)q Fp(;)14 b Fq(x)p Ft(\).)42 b(If)29 b(w)n(e)f(w)n(an)n(t)g(to)h(\014x)g Fp(\027)q(;)14 b(\016)31 b Ft(in)e(suc)n(h)g(a)f(w)n(a)n(y)f(that)j Fp(\027)3332 2548 y Fi(\0001)3479 2536 y Ft(=)0 2635 y Fp(\016)37 2647 y Fi(\0001)182 2635 y Ft(=)23 b(0,)k(w)n(e)g(m)n(ust) h(ha)n(v)n(e,)e(if)j(\()p Fp(\027)1054 2647 y Fk(1)1091 2635 y Fp(;)14 b(\016)1165 2647 y Fk(1)1202 2635 y Ft(\))24 b(=)e(\()p Fp(\027)q(;)14 b(\016)s Ft(\):)955 2908 y Fp(\027)29 b Ft(=)22 b Fl(\000)1277 2804 y Fk(1)1234 2829 y Fj(X)1191 3008 y Fo(k)q Fk(=)p Fi(\0001)1410 2908 y Fp(\015)1458 2874 y Fo(k)q Fi(\000)p Fk(2)1584 2908 y Fp(\014)1635 2874 y Fo(k)1631 2928 y(\027)1676 2908 y Ft(\()p Fp(g)1748 2920 y Fo(k)1789 2908 y Fp(;)14 b(\016)1863 2920 y Fo(k)1903 2908 y Fp(;)g(\027)1981 2920 y Fo(k)2022 2908 y Ft(;)g Fp(:)g(:)g(:)g Ft(;)g Fp(g)2247 2920 y Fk(1)2283 2908 y Fp(;)g(\016)2357 2920 y Fk(1)2394 2908 y Fp(;)g(\027)2472 2920 y Fk(1)2510 2908 y Ft(\))23 b Fp(:)743 b Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(32\))1045 3275 y Fp(\016)26 b Ft(=)d Fl(\000)1361 3171 y Fk(1)1317 3196 y Fj(X)1275 3375 y Fo(k)q Fk(=)p Fi(\0001)1494 3275 y Fp(\014)1545 3241 y Fo(k)1541 3295 y(\016)1586 3275 y Ft(\()p Fp(g)1658 3287 y Fo(k)1699 3275 y Fp(;)14 b(\016)1773 3287 y Fo(k)1813 3275 y Fp(;)g(\027)1891 3287 y Fo(k)1932 3275 y Ft(;)g Fp(:)g(:)g(:)g Ft(;)g Fp(g)2157 3287 y Fk(1)2194 3275 y Fp(;)g(\016)2268 3287 y Fk(1)2305 3275 y Fp(;)g(\027)2383 3287 y Fk(1)2420 3275 y Ft(\))23 b Fp(:)833 b Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(33\))0 3516 y(Note)28 b(that)g(in)f(\(4.32\),\(4.33\))f Fp(g)992 3528 y Fo(k)1056 3516 y Fl(\021)d Fp(g)1184 3528 y Fo(k)1224 3516 y Ft(\()p Fp(\027)p 1256 3529 47 4 v 6 w(;)14 b(\016)p 1340 3529 41 4 v 3 w Ft(\).)33 3616 y(If)28 b(w)n(e)f(manage)g(to)g(\014x)h Fp(\027)q(;)14 b(\016)30 b Ft(as)d(in)h(\(4.32\),)f(\(4.33\))g(w)n(e)g(also)g(get:)930 3826 y Fp(\027)971 3838 y Fo(h)1037 3826 y Ft(=)c Fl(\000)1207 3747 y Fj(X)1204 3926 y Fo(k)q Fi(\024)p Fo(h)1345 3826 y Fp(\015)1393 3792 y Fo(k)q Fi(\000)p Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)1609 3826 y Fp(\014)1660 3792 y Fo(k)1656 3846 y(\027)1701 3826 y Ft(\()p Fp(g)1773 3838 y Fo(k)1814 3826 y Fp(;)14 b(\016)1888 3838 y Fo(k)1928 3826 y Fp(;)g(\027)2006 3838 y Fo(k)2047 3826 y Ft(;)g Fp(:)g(:)g(:)g Ft(;)g Fp(g)2272 3838 y Fk(1)2308 3826 y Fp(;)g(\016)2382 3838 y Fk(1)2420 3826 y Fp(;)g(\027)2498 3838 y Fk(1)2535 3826 y Ft(\))23 b Fp(:)718 b Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(34\))1064 4134 y Fp(\016)1101 4146 y Fo(h)1167 4134 y Ft(=)23 b Fl(\000)1337 4055 y Fj(X)1334 4234 y Fo(k)q Fi(\024)p Fo(h)1475 4134 y Fp(\014)1526 4100 y Fo(k)1522 4155 y(\016)1567 4134 y Ft(\()p Fp(g)1639 4146 y Fo(k)1680 4134 y Fp(;)14 b(\016)1754 4146 y Fo(k)1794 4134 y Fp(;)g(\027)1872 4146 y Fo(k)1913 4134 y Ft(;)g Fp(:)g(:)g(:)g Ft(;)g Fp(g)2138 4146 y Fk(1)2174 4134 y Fp(;)g(\016)2248 4146 y Fk(1)2285 4134 y Fp(;)g(\027)2363 4146 y Fk(1)2401 4134 y Ft(\))23 b Fp(:)852 b Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(35\))33 4379 y(Let)33 b Fa(M)274 4391 y Fo(\022)343 4379 y Ft(b)r(e)g(the)g (space)e(of)h(sequences)f Fp(\027)p 1315 4392 47 4 v 36 w Ft(=)g Fl(f)p Fp(\027)1571 4391 y Fi(\0001)1692 4379 y Fp(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g(\027)1918 4391 y Fk(1)1955 4379 y Fl(g)p Ft(,)33 b Fp(\016)p 2053 4392 41 4 v 34 w Ft(=)d Fl(f)p Fp(\016)2298 4391 y 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Ft(First)28 b(note)f(that,)h(if)g Fp(U)37 b Ft(is)27 b(su\016cien)n(tly)h(small,)f(then)h Fq(T)g Ft(lea)n(v)n(es)e Fa(M)2140 95 y Fo(\022)2206 83 y Ft(in)n(v)-5 b(arian)n(t:)35 b(in)28 b(fact)487 283 y Fl(j)p Ft(\()p Fq(T)p Fp(\027)5 b Ft(\))686 295 y Fo(h)730 283 y Fl(j)23 b(\024)867 204 y Fj(X)864 383 y Fo(k)q Fi(\024)p Fo(h)1005 283 y Ft(2)p Fp(c)1083 295 y Fk(1)1120 283 y Fp(U)9 b(\015)1234 249 y Fo(\022)r(k)1307 283 y Fp(\015)1355 249 y Fo(k)q Fi(\000)p Fo(h)1510 283 y Fl(\024)22 b Fp(cU)9 b(\015)1747 249 y Fo(\022)r(h)1906 283 y Fl(j)p Ft(\()p Fq(T)p Fp(\016)s Ft(\))2099 295 y Fo(h)2143 283 y Fl(j)23 b(\024)2281 204 y Fj(X)2277 383 y Fo(k)q Fi(\024)p Fo(h)2418 283 y Ft(2)p Fp(c)2496 295 y Fk(1)2533 283 y Fp(U)9 b(\015)2647 249 y Fo(\022)r(k)2743 283 y Fl(\024)23 b Fp(cU)9 b(\015)2981 249 y Fo(\022)r(h)3331 283 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(38\))33 557 y(F)-7 b(urthermore)27 b(w)n(e)g(\014nd)h(that)g Fq(T)g Ft(is)f(a)h(con)n(traction)e(on)h Fa(M)1868 569 y Fo(\022)1906 557 y Ft(:)37 b(in)28 b(fact)305 753 y Fl(j)p Ft(\()p Fq(T)p Fp(\016)s Ft(\))498 765 y Fo(h)561 753 y Fl(\000)18 b Ft(\()p Fq(T)p Fp(\016)782 719 y Fi(0)806 753 y Ft(\))838 765 y Fo(h)881 753 y Fl(j)23 b(\024)1019 674 y Fj(X)1015 853 y Fo(k)q Fi(\024)p Fo(h)1156 753 y Fl(j)p Fp(\014)1230 719 y Fo(k)1226 774 y(\016)1272 753 y Ft(\()p Fp(g)1344 765 y Fo(k)1384 753 y Ft(\()p Fp(\027)p 1416 766 47 4 v 6 w(;)14 b(\016)s Ft(\))p Fp(;)g(\027)1650 765 y Fo(k)1691 753 y Fp(;)g(\016)1765 765 y Fo(k)1806 753 y Ft(;)g Fp(:)g(:)g(:)o Ft(\))19 b Fl(\000)f Fp(\014)2124 719 y Fo(k)2120 774 y(\027)2165 753 y Ft(\()p Fp(g)2237 765 y Fo(k)2278 753 y Ft(\()p Fp(\027)p 2310 766 V 2357 719 a Fi(0)2380 753 y Fp(;)c(\016)p 2417 766 41 4 v 2457 716 a Fi(0)2480 753 y Ft(\))p Fp(;)g(\027)2595 719 y Fi(0)2590 774 y Fo(k)2631 753 y Fp(;)g(\016)p 2668 766 V 2708 716 a Fi(0)2708 774 y Fo(k)2749 753 y Ft(;)g Fp(:)g(:)g(:)p Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)328 980 y(\024)g Fp(c)452 946 y Fi(00)494 980 y Fp(U)9 b(\015)608 946 y Fo(\022)r(h)684 980 y Ft([)p Fl(jj)p Fp(\027)p 753 993 47 4 v 24 w Fl(\000)18 b Fp(\027)p 901 993 V 947 946 a Fi(0)971 980 y Fl(jj)1017 992 y Fo(\022)1073 980 y Ft(+)g Fl(jj)p Fp(\016)p 1202 993 41 4 v 22 w Fl(\000)g Fp(\016)p 1344 993 V 1384 943 a Fi(0)1407 980 y Fl(jj)1453 992 y Fo(\022)1491 980 y Ft(])23 b Fp(:)3331 858 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(39\))0 1163 y(and)k(a)h(similar)e(equation)h(holds)h(for)f Fp(\027)5 b Ft(.)37 b(Then,)28 b(a)f(unique)h(\014xed)f(p)r(oin)n(t)h Fp(\027)p 2289 1176 47 4 v 2336 1133 a Fi(\003)2374 1163 y Fp(;)14 b(\016)p 2411 1176 41 4 v 30 w Ft(for)27 b Fq(T)i Ft(exists)e(on)g Fa(M)3131 1175 y Fo(\022)3169 1163 y Ft(.)p 3229 1155 42 42 v 33 1334 a(By)f(the)g(ab)r(o)n(v)n(e)f (Lemma)h(w)n(e)g(ha)n(v)n(e)f(found)h Fp(\016)s Ft(\()1447 1319 y(~)1446 1334 y Fp(t;)14 b(p)1555 1346 y Fo(F)1610 1334 y Fp(;)g(U)9 b Ft(\))p Fp(;)14 b(\027)5 b Ft(\()1861 1319 y(~)1860 1334 y Fp(t)q(;)14 b(p)1970 1346 y Fo(F)2024 1334 y Fp(;)g(U)9 b Ft(\);)27 b(inserting)f(them)g(in)h(\(2.1\))e(and)h (using)g(the)0 1433 y(implicit)i(function)h(theorem)e(w)n(e)g(get)g Fp(p)1255 1445 y Fo(F)1310 1433 y Ft(\()p Fp(U;)14 b(\026)p Ft(\))p Fp(;)1556 1418 y Ft(~)1555 1433 y Fp(t)p Ft(\()p Fp(U;)g(\026)p Ft(\).)33 1533 y(Finally)28 b(from)f(an)g(explicit)h (second)f(order)f(computation)i(w)n(e)f(obtain)g(that)1205 1721 y Fp(z)1244 1733 y Fo(h)1310 1721 y Ft(=)22 b Fp(a)p Ft([)p Fp(g)1507 1687 y Fk(2)1504 1742 y(1)p Fo(;h)1618 1721 y Ft(+)c Fp(g)1744 1687 y Fk(2)1741 1742 y(2)p Fo(;h)1855 1721 y Ft(+)g Fp(g)1981 1687 y Fk(2)1978 1742 y(4)p Fo(;h)2073 1721 y Ft(])h(+)f Fp(\014)2249 1687 y Fi(\025)p Fk(3)3331 1721 y Ft(\(4)p Fp(:)p Ft(40\))0 1909 y(with)30 b Fp(a)d(>)f Ft(0)j(is)h(a)f(suitable)h(constan)n(t,)g(and)f(using)g(the)i(previous) d(results)h(on)h(the)g(\015o)n(w)f(of)h Fp(g)2955 1921 y Fo(i;h)3041 1909 y Fp(;)14 b(\027)3119 1921 y Fo(h)3162 1909 y Fp(;)g(\016)3236 1921 y Fo(h)3308 1909 y Ft(w)n(e)30 b(get)0 2009 y(lim)115 2021 y Fo(h)p Fi(!1)327 1974 y Fo(Z)372 1983 y Fm(h)p 315 1990 110 4 v 315 2039 a Fo(\015)354 2022 y Fm(\021)q(h)457 2009 y Ft(=)22 b(1,)28 b(where)f Fp(\021)f Ft(=)d Fp(a)p Ft([)p Fp(g)1142 1979 y Fk(2)1139 2030 y(2)p Fo(;)p Fi(\0001)1332 2009 y Ft(+)18 b Fp(g)1458 1979 y Fk(2)1455 2030 y(4)p Fo(;)p Fi(\0001)1629 2009 y Ft(])h(+)f Fp(O)r Ft(\()p Fp(U)1917 1979 y Fk(3)1955 2009 y Ft(\).)572 2316 y Fu(5.)100 b(The)37 b(reference)h(mo)s(del)f (and)h(pro)s(of)g(of)f(Theorem)g(4)0 2676 y Fq(5.1)98 b Fr(The)30 b(mo)l(del.)33 2846 y Ft(In)e(order)e(to)i(pro)n(v)n(e)e (the)i(partial)e(v)-5 b(anishing)28 b(of)f(the)h(Hubbard)f(mo)r(del)h (Beta)f(function)i(expressed)d(b)n(y)h(\(4.10\),)33 2946 y(\(4.11\),\(4.12\))21 b(w)n(e)h(in)n(tro)r(duce)g(a)g Fr(r)l(efer)l(enc)l(e)j(mo)l(del)e Ft(written)g(directly)f(in)g(terms)g (of)g(grassmann)f(v)-5 b(ariables,)22 b(with)0 3046 y(an)h(ultra)n (violet)f(cuto\013)i(and)f(an)g(infrared)g(cuto\013)h Fp(\015)1590 3016 y Fo(h)1656 3046 y Fr(with)i(line)l(ar)h(disp)l (ersion)g(r)l(elation)g(and)f(in)g(the)g(c)l(ontinuum)p Ft(.)0 3145 y(W)-7 b(e)30 b(study)g(the)g(reference)f(mo)r(del)h(b)n(y) g(Renormalization)e(Group)h(and)h(w)n(e)f(sho)n(w)g(that)h(the)h(Beta)e (function)h(of)0 3245 y(this)c(mo)r(del)g(is)g(asymptotically)f(v)-5 b(anishing)25 b(as)g(a)h(consequence)f(of)g Fr(War)l(d)k(identities)e Ft(due)f(to)g(the)g(formal)f(lo)r(cal)0 3345 y(c)n(hiral)30 b(gauge)f(in)n(v)-5 b(ariance)30 b(\(whic)n(h)h(is)f(ho)n(w)n(ev)n(er)f (brok)n(en)g(b)n(y)i(the)g(presence)f(of)h(cuto\013s\);)h(then)g(w)n(e) e(pro)n(v)n(e)f(that)0 3444 y(the)h(Beta)g(function)g(of)g(the)g (reference)f(mo)r(del)h(coincides)g(partly)f(with)h(the)h(Beta)e (function)h(of)g(the)h(Hubbard)0 3544 y(mo)r(del,so)e(that)h(w)n(e)f (can)g(deduce)h(the)g Fr(p)l(artial)j(vanishing)e Ft(of)e(the)h (Hubbard)g(mo)r(del)f(Beta)h(function)g(from)f(the)0 3643 y(v)-5 b(anishing)27 b(of)h(the)g(reference)e(mo)r(del)i(Beta)f (function.)33 3743 y(The)h(partition)f(function)h(of)g(the)g(reference) e(mo)r(del)i(is)1525 3856 y Fj(Z)1622 3969 y Fp(P)1675 3981 y Fo(L)1725 3969 y Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))p Fp(e)1928 3935 y Fi(V)1970 3943 y Fm(L)3373 3969 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(1\))0 4195 y(where)f(the)h(propagator)d(is)988 4438 y Fp(g)1031 4404 y Fo(h)1028 4458 y(!)r(;L)1141 4438 y Ft(\()p Fq(x)19 b Fl(\000)f Fq(y)q Ft(\))24 b(=)1563 4382 y(1)p 1530 4419 108 4 v 1530 4495 a Fp(\014)t(L)1709 4359 y Fj(X)1661 4538 y Fh(k)p Fi(2D)1798 4547 y Fm(L\014)1890 4438 y Fp(C)1955 4402 y Fi(\000)p Fk(1)1949 4463 y Fo(h;)p Fk(0)2045 4438 y Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))2187 4382 y Fp(e)2226 4352 y Fi(\000)p Fo(i)p Fh(k)p Fk(\()p Fh(x)p Fi(\000)p Fh(y)q Fk(\))p 2170 4419 376 4 v 2170 4495 a Fl(\000)p Fp(ik)2307 4507 y Fk(0)2362 4495 y Ft(+)18 b Fp(!)s(k)3373 4438 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(2\))0 4739 y(with)28 b Fp(C)254 4703 y Fi(\000)p Fk(1)248 4764 y Fo(h;)p Fk(0)344 4739 y Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))c(=)570 4677 y Fj(P)658 4697 y Fk(0)658 4764 y Fo(k)q Fk(=)p Fi(\0001)881 4739 y Fp(f)931 4709 y Fo(k)972 4739 y Ft(\()p Fp(k)1047 4751 y Fk(0)1084 4739 y Fp(;)14 b(k)s Ft(\))28 b(and)678 5008 y Fl(V)729 5020 y Fo(L)801 5008 y Ft(=)889 4929 y Fj(X)927 5104 y Fo(!)1023 4895 y Fj(Z)1106 4916 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)1069 5084 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)1246 5008 y Fp(dx)1336 5020 y Fk(0)1388 4895 y Fj(Z)1471 4916 y Fo(L=)p Fk(2)1434 5084 y Fi(\000)p Fo(L=)p Fk(2)1617 5008 y Fp(dx)p Ft([)p Fp(g)1773 4974 y Fo(o)1770 5029 y Fk(2)1810 5008 y Fp( )1867 4974 y Fk(+)1864 5029 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2032 5008 y Fp( )2089 4974 y Fi(\000)2086 5029 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2254 5008 y Fp( )2311 4973 y Fk(+)2308 5029 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;\033)2527 5008 y Fp( )2584 4973 y Fi(\000)2581 5029 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;\033)2801 5008 y Ft(+)588 5280 y Fp(g)631 5240 y Fo(p)628 5302 y Fk(2)669 5280 y Fp( )726 5246 y Fk(+)723 5301 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)890 5280 y Fp( )947 5246 y Fi(\000)944 5301 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)1112 5280 y Fp( )1169 5245 y Fk(+)1166 5301 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)1438 5280 y Fp( )1495 5245 y Fi(\000)1492 5301 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)1782 5280 y Ft(+)18 b Fp(g)1905 5292 y Fk(4)1942 5280 y Fp( )1999 5246 y Fk(+)1996 5301 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2163 5280 y Fp( )2220 5246 y Fi(\000)2217 5301 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2385 5280 y Fp( )2442 5245 y Fk(+)2439 5301 y Fh(x)p Fo(;!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2659 5280 y Fp( )2716 5245 y Fi(\000)2713 5301 y Fh(x)p Fo(;!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2933 5280 y Ft(])417 b(\(5)p Fp(:)p Ft(3\))0 5433 y(Note)28 b(that)g(the)g(mo)r(del)f(is)h(not)f Fp(S)5 b(U)k Ft(\(2\))28 b(in)n(v)-5 b(arian)n(t,)26 b(as)h(the)h(in)n(teraction)f(dep)r(ends)h(from)f(the)h(spin)g(if)g Fp(g)3246 5403 y Fo(o)3243 5454 y Fk(2)3305 5433 y Fl(6)p Ft(=)23 b Fp(g)3436 5393 y Fo(p)3433 5455 y Fk(2)3474 5433 y Ft(.)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(21)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 33 83 a Ft(The)30 b(Grassmann)f(in)n(tegration)f(can)h(b)r(e) h(done)g(b)n(y)f(a)h(m)n(ultiscale)f(analysis)g(essen)n(tially)f(iden)n (tical)i(to)g(the)g(one)0 183 y(describ)r(ed)23 b(in)h Fl(x)p Ft(3;)g(ho)n(w)n(ev)n(er)d(the)j(symmetries)f(of)g(the)h(in)n (teraction)e(imply)i(that)g(the)g(lo)r(cal)e(part)h(of)h(the)f (e\013ectiv)n(e)0 282 y(p)r(oten)n(tial)28 b(\(3.29\))e(is)i(replaced)f (b)n(y)0 514 y Fl(LV)115 474 y Fo(j)108 538 y(L)181 514 y Ft(=)269 435 y Fj(X)307 609 y Fo(!)402 401 y Fj(Z)485 421 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)448 589 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)626 514 y Fp(dx)716 526 y Fk(0)768 401 y Fj(Z)851 421 y Fo(L=)p Fk(2)814 589 y Fi(\000)p Fo(L=)p Fk(2)996 514 y Fp(dx)p Ft([)s(~)-45 b Fp(g)1152 474 y Fo(p)1149 537 y Fk(2)p Fo(;j)1238 514 y Fp( )1295 479 y Fk(+)1292 534 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)1459 514 y Fp( )1516 479 y Fi(\000)1513 534 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)1681 514 y Fp( )1738 478 y Fk(+)1735 534 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;\033)1955 514 y Fp( )2012 478 y Fi(\000)2009 534 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;\033)2231 514 y Ft(+)5 b(~)-45 b Fp(g)2341 479 y Fo(o)2338 534 y Fk(2)p Fo(;j)2425 514 y Fp( )2482 479 y Fk(+)2479 534 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2647 514 y Fp( )2704 479 y Fi(\000)2701 534 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2869 514 y Fp( )2926 478 y Fk(+)2923 534 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3195 514 y Fp( )3252 478 y Fi(\000)3249 534 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3520 514 y Ft(])3373 688 y(\(5)p Fp(:)p Ft(4\))1141 788 y(+)s(~)g Fp(g)1246 800 y Fk(4)p Fo(;j)1333 788 y Ft([)p Fp( )1413 753 y Fk(+)1410 808 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)1578 788 y Fp( )1635 753 y Fi(\000)1632 808 y Fh(x)1672 816 y Fn(2)1704 808 y Fo(;!)r(;\033)1832 788 y Fp( )1889 752 y Fk(+)1886 808 y Fh(x)p Fo(;!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2106 788 y Fp( )2163 752 y Fi(\000)2160 808 y Fh(x)p Fo(;!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2379 788 y Ft(])0 931 y(Note)38 b(in)h(fact)f(that)g (the)h(analogue)d(of)i Fp(\027)1339 943 y Fo(h)1382 931 y Fp(;)14 b(\016)1456 943 y Fo(h)1537 931 y Ft(are)37 b(v)-5 b(anishing)38 b(b)n(y)g(\(in)h(the)f(limit)h Fp(L;)14 b(\014)44 b Fl(!)d(1)p Ft(\))d(parit)n(y)g(and)0 1030 y(in)n(v)-5 b(ariance)26 b(in)i(the)h(exc)n(hange)d(\()p Fp(x;)14 b(x)1151 1042 y Fk(0)1189 1030 y Ft(\))24 b Fl(!)f Ft(\()p Fp(x)1430 1042 y Fk(0)1468 1030 y Fp(;)14 b(x)p Ft(\))28 b(;)g(moreo)n(v)n(er)d(the)j(reference)f(mo)r(del)h(is)g (in)n(v)-5 b(arian)n(t)26 b(under)i(the)0 1130 y(total)c(gauge)f (transformation)f Fp( )1046 1100 y Fi(\006)1043 1150 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)1234 1130 y Fl(!)h Fp(e)1379 1100 y Fi(\006)p Fo(\013)1474 1108 y Fm(!)q(;\033)1575 1130 y Fp( )1632 1100 y Fi(\006)1629 1150 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)1821 1130 y Ft(for)g(an)n(y)g(v)-5 b(alues)24 b(of)g Fp(\013)2485 1142 y Fo(!)r(;\033)2594 1130 y Ft(,)h(so)e(that)h(terms)g(of)g(the)h (form)0 1241 y Fp( )57 1211 y Fk(+)54 1262 y Fo(!)r(;\033)162 1241 y Fp( )219 1206 y Fi(\000)216 1262 y Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;\033)396 1241 y Fp( )453 1206 y Fk(+)450 1262 y Fi(\000)p Fo(!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)663 1241 y Fp( )720 1206 y Fi(\000)717 1262 y Fo(!)r(;)p Fi(\000)p Fo(\033)915 1241 y Ft(cannot)37 b(b)r(e)h(generated)e(in)i(the)g(in)n(tegration)e (pro)r(cedure)g(as)h(they)h(violate)f(suc)n(h)0 1341 y(symmetry)-7 b(.)36 b(Note)26 b(also)f(that,)h(due)g(to)g(the)g (compact)f(supp)r(ort)h(of)g(the)g(cuto\013)g(in)g(\(5.2\),)g(the)g (running)g(coupling)0 1441 y(constan)n(ts)h(at)g(scale)g Fp(k)f(>)c(h)28 b Ft(of)f(the)h(theory)f(with)h(infrared)f(cuto\013)h Fp(\015)2180 1411 y Fo(h)2250 1441 y Ft(or)f(0)g(are)g(iden)n(tical.)33 1540 y(It)33 b(is)f(easy)g(to)g(v)n(erify)f(that)i(a)f(tree)g (expansion)f(similar)h(to)g(the)h(one)f(describ)r(ed)g(in)h Fl(x)o Ft(3.5)f(holds)g(also)f(for)h(the)0 1640 y(reference)c(mo)r (del,)i(and)f(that)g(the)h(analogue)d(of)i(Theorem)g(3)f(holds)h(also)f (in)h(this)h(case.)40 b(W)-7 b(e)30 b(will)f(pro)n(v)n(e)f(in)h Fl(x)p Ft(6)0 1740 y(the)f(follo)n(wing)f(Lemma.)33 1910 y Fs(Lemma)k(3)p Fr(Assume)d(that)j Ft(\026)-45 b Fp(g)26 b Ft(=)d Fp(max)p Ft(\()p Fl(j)p Fp(g)1281 1880 y Fo(o)1278 1931 y Fk(2)1318 1910 y Fl(j)p Fp(;)14 b Fl(j)p Fp(g)1444 1870 y Fo(p)1441 1932 y Fk(2)1482 1910 y Fl(j)p Fp(;)g Fl(j)p Fp(g)1605 1922 y Fk(4)1642 1910 y Fl(j)p Ft(\))29 b Fr(is)g(smal)t(l)h(enough;)g(then)f(for)g(any)h(inte)l(ger)f Fp(j)f Fl(\024)22 b Ft(0)p Fr(,)29 b(in)g(the)0 2010 y(limit)h Fp(h)23 b Fl(!)g(\0001)30 b Fr(for)g(a)g(suitable)h(c)l (onstant)e Fp(C)770 2176 y Fl(j)s Ft(~)-45 b Fp(g)836 2141 y Fo(o)833 2196 y Fk(2)p Fo(;j)939 2176 y Fl(\000)18 b Fp(g)1065 2141 y Fo(o)1062 2196 y Fk(2)1102 2176 y Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)1344 2141 y Fk(2)1466 2176 y Fl(j)s Ft(~)g Fp(g)1532 2136 y Fo(p)1529 2199 y Fk(2)p Fo(;j)1635 2176 y Fl(\000)18 b Fp(g)1761 2136 y Fo(p)1758 2198 y Fk(2)1799 2176 y Fl(j)23 b(\024)f Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)2040 2141 y Fk(2)2162 2176 y Fl(j)s Ft(~)g Fp(g)2225 2188 y Fk(4)p Fo(;j)2331 2176 y Fl(\000)18 b Fp(g)2457 2141 y Fk(4)2454 2196 y Fo(p)2494 2176 y Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)2736 2141 y Fk(2)3373 2176 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(5\))0 2341 y Fr(Mor)l(e)l(over)34 b Ft(~)-45 b Fp(g)408 2311 y Fo(o)405 2363 y Fk(2)p Fo(;j)493 2341 y Fp(;)16 b Ft(~)-44 b Fp(g)573 2302 y Fo(p)570 2365 y Fk(2)p Fo(;j)657 2341 y Fp(;)17 b Ft(~)-45 b Fp(g)734 2353 y Fk(4)p Fo(;j)851 2341 y Fr(have)31 b(a)f(limit)g(as)g Fp(h)23 b Fl(!)g(\0001)p Fr(.)33 2525 y Ft(It)31 b(is)g(an)f(immediate)h(corollary)d(of)j(Lemma) g(3)f(and)g(Theorem)g(3)g(that)e Fp(~)-39 b(v)2373 2495 y Fo(L)2370 2548 y(k)2452 2525 y Ft(=)27 b(\()s(~)-45 b Fp(g)2619 2495 y Fo(o)2616 2548 y Fk(2)p Fo(;k)2710 2525 y Fp(;)17 b Ft(~)-45 b Fp(g)2790 2485 y Fo(p)2787 2550 y Fk(2)p Fo(;k)2880 2525 y Fp(;)17 b Ft(~)-45 b Fp(g)2957 2537 y Fk(4)p Fo(;k)3050 2525 y Ft(\))31 b(are)f(analytic)0 2634 y(functions)35 b(of)d Fp(~)-38 b(v)508 2646 y Fk(1)581 2634 y Ft(=)35 b(\()p Fp(g)756 2595 y Fo(p)753 2657 y Fk(2)794 2634 y Fp(;)14 b(g)874 2595 y Fo(p)871 2657 y Fk(2)912 2634 y Fp(;)g(g)989 2646 y Fk(4)1026 2634 y Ft(\))35 b(around)g(\(0)p Fp(;)14 b Ft(0)p Fp(;)g Ft(0\).)58 b(Note)35 b(that)h(analyticit)n(y)e(in)i(the)f(coupling)g(around)f(the) 0 2734 y(origin)29 b(holds)g(for)h(the)g(reference)f(mo)r(del)h(and)f Fr(not)h Ft(for)f(the)i(Hubbard)e(mo)r(del.)44 b(Finally)30 b(the)g(analogue)e(of)i(the)0 2834 y(\015o)n(w)d(equations)g(\(4.8\))g (is)h(giv)n(en)e(b)n(y)-7 b(,)28 b(if)d Fp(~)-39 b(v)1294 2804 y Fo(L)1291 2857 y(k)1367 2834 y Ft(=)22 b(\()s(~)-45 b Fp(g)1529 2804 y Fo(o)1526 2857 y Fk(2)p Fo(;k)1620 2834 y Fp(;)17 b Ft(~)-45 b Fp(g)1700 2794 y Fo(p)1697 2859 y Fk(2)p Fo(;k)1790 2834 y Fp(;)17 b Ft(~)-45 b Fp(g)1867 2846 y Fk(4)p Fo(;k)1960 2834 y Ft(\))1243 3022 y(~)g Fp(g)1283 2988 y Fo(o)1280 3043 y Fk(2)p Fo(;j)s Fi(\000)p Fk(1)1475 3022 y Ft(=)26 b(~)-45 b Fp(g)1606 2988 y Fo(o)1603 3043 y Fk(2)p Fo(;j)1709 3022 y Ft(+)1804 3000 y(~)1792 3022 y Fp(\014)1843 2982 y Fk(2)p Fo(;o)1839 3045 y(j)1933 3022 y Ft(\()m Fp(~)-39 b(v)2008 2988 y Fo(L)2005 3043 y(j)2058 3022 y Fp(;)14 b(::;)d(~)-39 b(v)2221 2988 y Fo(L)2218 3043 y Fk(0)2271 3022 y Ft(\))1242 3208 y(~)-45 b Fp(g)1282 3168 y Fo(p)1279 3232 y Fk(2)p Fo(;j)s Fi(\000)p Fk(1)1475 3208 y Ft(=)25 b(~)-45 b Fp(g)1605 3168 y Fo(p)1602 3232 y Fk(2)p Fo(;j)1708 3208 y Ft(+)1803 3186 y(~)1791 3208 y Fp(\014)1842 3168 y Fk(2)p Fo(;p)1838 3232 y(j)1934 3208 y Ft(\()m Fp(~)-39 b(v)2009 3174 y Fo(L)2006 3229 y(j)2059 3208 y Fp(;)14 b(::;)d(~)-39 b(v)2222 3174 y Fo(L)2219 3229 y Fk(0)2272 3208 y Ft(\))1069 b(\(5)p Fp(:)p Ft(6\))1269 3372 y(~)-45 b Fp(g)1306 3384 y Fk(4)p Fo(;j)s Fi(\000)p Fk(1)1502 3372 y Ft(=)25 b(~)-45 b Fp(g)1629 3384 y Fk(4)p Fo(;j)1735 3372 y Ft(+)1830 3350 y(~)1818 3372 y Fp(\014)1869 3337 y Fk(4)1865 3392 y Fo(j)1907 3372 y Ft(\()m Fp(~)-39 b(v)1982 3337 y Fo(L)1979 3392 y(j)2032 3372 y Fp(;)14 b(::;)d(~)-39 b(v)2195 3337 y Fo(L)2192 3392 y Fk(0)2245 3372 y Ft(\))0 3515 y(W)-7 b(e)28 b(can)f(rewrite)g(the)h(ab)r(o)n(v)n (e)e(equations)h(as,for)f Fp(j)i(>)23 b(h)1045 3693 y Ft(~)-45 b Fp(g)1085 3658 y Fo(o)1082 3713 y Fk(2)p Fo(;j)s 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Fo(j)s Fk(\))1674 663 y Fo(~)1679 671 y Fk(\026)g Fo(n)1780 636 y Ft(+)1854 614 y Fp(~)1863 636 y(b)1899 649 y Fo(j;)o(~)k(n)2009 636 y Ft(+)2100 614 y Fp(~)2092 636 y(d)2134 594 y Fo(~)2139 602 y Fk(\026)c Fo(n)2135 657 y(j;k)3331 636 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(18\))0 810 y(whic)n(h)28 b(can)f(b)r(e)h(rewritten)f(as)1273 910 y Fp(~)-37 b(c)1314 867 y Fk(\()p Fo(j)s Fi(\000)p Fk(1\))1313 937 y Fo(~)1318 945 y Fk(\026)g Fo(n)1509 910 y Ft(=)18 b Fp(~)-38 b(c)1632 867 y Fk(\()p Fo(j)s Fk(\))1631 937 y Fo(~)1636 945 y Fk(\026)h Fo(n)1738 910 y Ft(+)1812 888 y Fp(~)1821 910 y(b)1856 923 y Fo(~)1861 931 y Fk(\026)g Fo(n)1920 910 y Ft(+)18 b Fp(O)r Ft(\()p Fp(\015)2159 853 y Fm(\022)p 2159 862 V 2160 896 a Fn(2)2198 876 y Fo(j)2233 910 y Ft(\))1066 b(\(5)p Fp(:)p Ft(19\))0 1087 y(so)27 b(that)c Fp(~)-37 b(c)318 1043 y Fk(\()p Fo(j)s Fk(\))317 1113 y Fo(~)322 1121 y Fk(\026)g Fo(n)432 1087 y Ft(is)28 b(necessarily)e(a)h(div)n(erging)f(as)h Fp(j)h Fl(!)23 b(1)p Ft(,)28 b(and)f(this)h(is)f(a)h(con)n(tradiction.) p 2776 1079 42 42 v 0 1375 a Fq(5.3)98 b Fr(Partial)31 b(vanishing)g(of)f(the)g(Hubb)l(ar)l(d)g(mo)l(del)h(Beta)f(function)g (\(Pr)l(o)l(of)h(of)f(The)l(or)l(em)h(4\).)33 1546 y Ft(W)-7 b(e)33 b(compare)f(the)h(Beta)f(functions)h(of)g(the)g (reference)e(mo)r(del)i(with)g(the)g(function)h(app)r(earing)d(in)i (the)g(\015o)n(w)0 1645 y(equations)27 b(of)g(the)h(Hubbard)g(mo)r (del.)33 1816 y(A\)Let)20 b(us)f(start)g(considering)e(\014rst)i(the)h (reference)e(mo)r(del)h(in)h(the)f(spin)g(symmetric)g(case,)h(that)g (is)f(if)g Fp(g)3193 1786 y Fo(o)3190 1836 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(0)3303 1816 y Ft(=)k Fp(g)3434 1776 y Fo(p)3431 1838 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(0)3520 1816 y Ft(.)0 1915 y(In)k(suc)n(h)f(a)g(case) f(b)n(y)h(the)h(same)f(argumen)n(ts)f(used)h(in)h(App)r(endix)g(,)g (for)f(an)n(y)f Fp(k)k(g)2506 1885 y Fo(o)2503 1939 y Fk(2)p Fo(;k)2620 1915 y Ft(=)22 b Fp(g)2750 1876 y Fo(p)2747 1940 y Fk(2)p Fo(;k)2867 1915 y Ft(and)k Fp(\014)3078 1885 y Fo(o)3074 1939 y Fk(2)p Fo(;k)3191 1915 y Ft(=)d Fp(\014)3330 1876 y Fo(p)3326 1940 y Fk(2)p Fo(;k)3419 1915 y Ft(,)k(so)0 2015 y(that)h(the)g(\015o)n(w)f(equation)g(\(5.6\))g (reduces)g(to)1009 2189 y(~)-45 b Fp(g)1046 2201 y Fk(2)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)1249 2189 y Ft(=)26 b(~)-45 b Fp(g)1377 2201 y Fk(2)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)1576 2189 y Ft(+)1671 2167 y(~)1659 2189 y Fp(\014)1710 2155 y Fk(2)1706 2210 y Fo(h)1749 2189 y Ft(\()s(~)g Fp(g)1821 2201 y Fk(2)p Fo(;h)1917 2189 y Fp(;)16 b Ft(~)-44 b Fp(g)1994 2201 y Fk(4)p Fo(;h)2089 2189 y Ft(;)14 b Fp(::;)j Ft(~)-45 b Fp(g)2249 2201 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(0)2339 2189 y Fp(;)16 b Ft(~)-44 b Fp(g)2416 2201 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(0)2505 2189 y Ft(\))1009 2373 y(~)f Fp(g)1046 2385 y Fk(4)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)1249 2373 y Ft(=)26 b(~)-45 b Fp(g)1377 2385 y Fk(4)p Fo(;h)p Fi(\000)p Fk(1)1576 2373 y Ft(+)1671 2351 y(~)1659 2373 y Fp(\014)1710 2339 y Fk(4)1706 2394 y Fo(h)1749 2373 y Ft(\()s(~)g Fp(g)1821 2385 y Fk(2)p Fo(;h)1917 2373 y Fp(;)16 b Ft(~)-44 b Fp(g)1994 2385 y Fk(4)p Fo(;h)2089 2373 y Ft(;)14 b Fp(::)p Ft(;)j(~)-45 b Fp(g)2249 2385 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(0)2339 2373 y Fp(;)16 b Ft(~)-44 b Fp(g)2416 2385 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(0)2505 2373 y Ft(\))0 2529 y(It)25 b(holds)f(that)h(the)g(functions) 984 2507 y(~)972 2529 y Fp(\014)1023 2499 y Fk(2)1019 2553 y Fo(h)1087 2529 y Ft(and)1257 2507 y(~)1245 2529 y Fp(\014)1296 2499 y Fk(4)1292 2553 y Fo(h)1360 2529 y Ft(essen)n(tially)e(coincide)h(with)h(the)g(functions)g Fp(\014)2801 2499 y Fk(2)2797 2553 y Fo(h)2840 2529 y Fp(;)14 b(\014)2928 2499 y Fk(4)2924 2553 y Fo(h)2991 2529 y Ft(of)25 b(the)g(Hubbard)0 2629 y(mo)r(del)j(de\014ned)g(in)g (\(4.8\);)f(that)h(is,)f(if)i Fp(\026)1264 2641 y Fo(h)1330 2629 y Ft(=)22 b(\()p Fp(g)1489 2641 y Fk(2)p Fo(;h)1585 2629 y Fp(;)14 b(g)1662 2641 y Fk(4)p Fo(;h)1757 2629 y Ft(\),for)28 b(a)f(suitable)g(constan)n(t)g Fp(C)1059 2813 y Fl(j)1094 2791 y Ft(~)1082 2813 y Fp(\014)1133 2778 y Fk(2)1129 2833 y Fo(h)1172 2813 y Ft(\()p Fp(\026)1254 2825 y Fo(h)1298 2813 y Fp(;)14 b(::;)g(\026)1468 2825 y Fo(h)1511 2813 y Ft(\))k Fl(\000)g Fp(\014)1695 2778 y Fk(2)1691 2833 y Fo(h)1734 2813 y Ft(\()p Fp(\026)1816 2825 y Fo(h)1860 2813 y Fp(;)c(::\026)1993 2825 y Fo(h)2036 2813 y Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)6 b(\026)2317 2778 y Fk(2)2317 2833 y Fo(h)2360 2813 y Fp(\015)2408 2778 y Fo(\022)r(h)3331 2813 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(20\))1059 2987 y Fl(j)1094 2965 y Ft(~)1082 2987 y Fp(\014)1133 2953 y Fk(4)1129 3007 y Fo(h)1172 2987 y Ft(\()p Fp(\026)1254 2999 y Fo(h)1298 2987 y Fp(;)14 b(::;)g(\026)1468 2999 y Fo(h)1511 2987 y Ft(\))k Fl(\000)g Fp(\014)1695 2953 y Fk(4)1691 3007 y Fo(h)1734 2987 y Ft(\()p Fp(\026)1816 2999 y Fo(h)1860 2987 y Fp(;)c(::\026)1993 2999 y Fo(h)2036 2987 y Ft(\))p Fl(j)23 b(\024)g Fp(C)6 b(\026)2317 2953 y Fk(2)2317 3007 y Fo(h)2360 2987 y Fp(\015)2408 2953 y Fo(\022)r(h)3331 2987 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(21\))0 3133 y(The)30 b(ab)r(o)n(v)n(e)e(equations)h(pro)n(v)n(e)f(\(4.10\).)43 b(In)30 b(order)e(to)i(pro)n(v)n(e)e(\(5.20\))h(and)g(\(5.21\))g(w)n(e) h(note)f(that)i(b)n(y)e(de\014nition)0 3233 y(the)40 b(only)e(di\013erence)i(b)r(et)n(w)n(een)1076 3211 y(~)1064 3233 y Fp(\014)1115 3203 y Fk(2)1111 3257 y Fo(h)1154 3233 y Fp(;)1202 3211 y Ft(~)1191 3233 y Fp(\014)1242 3203 y Fk(4)1238 3257 y Fo(h)1320 3233 y Ft(and)f Fp(\014)1544 3203 y Fk(2)1540 3257 y Fo(h)1583 3233 y Fp(;)14 b(\014)1671 3203 y Fk(4)1667 3257 y Fo(h)1749 3233 y Ft(is)39 b(that)h(in)f(one)g (case)f(the)i(mo)r(del)f(is)g(de\014ned)h(on)f(the)0 3333 y(con)n(tin)n(uum)28 b(and)f(in)h(the)g(other)f(case)g(on)g(the)h (lattice.)37 b(In)28 b(momen)n(tum)g(represen)n(tation)e(this)i(means)f (that)h(the)0 3432 y(delta)d(functions)g(in)666 3410 y(~)654 3432 y Fp(\014)k Ft(are)24 b(de\014ned)h(as)f Fp(L\014)t(\016)1393 3444 y Fo(k)q(;)p Fk(0)1486 3432 y Fp(\016)1523 3444 y Fo(k)1558 3452 y Fn(0)1591 3444 y Fo(;)p Fk(0)1673 3432 y Ft(while)h(in)g Fp(\014)k Ft(are)24 b(de\014ned)h(as)f(in)h(\(2.16\).)35 b(The)25 b(di\013erence)f(of)0 3532 y(the)30 b(t)n(w)n(o)f(delta)g(functions)h(sligh)n(tly)f (a\013ects)g(the)h(non)f(lo)r(cal)g(terms)g(on)h(an)n(y)e(scale,)i (hence)f(it)h(a\013ects)f(the)h(b)r(eta)0 3632 y(function;)f(ho)n(w)n (ev)n(er,)d(it)i(is)g(easy)f(to)g(sho)n(w)g(that)h(this)h(is)e(a)h (negligible)f(phenomenon.)37 b(Let)28 b(us)g(consider)f(in)h(fact)0 3731 y(a)33 b(particular)f(tree)h Fp(\034)43 b Ft(and)33 b(a)f(v)n(ertex)h Fp(v)i Fl(2)e Fp(\034)43 b Ft(of)33 b(scale)f Fp(h)1808 3743 y Fo(v)1881 3731 y Ft(with)i(2)p Fp(n)e Ft(external)h(\014elds)g(of)g(space)g(momen)n(ta)f Fp(k)3486 3701 y Fi(0)3483 3752 y Fo(r)3520 3731 y Ft(,)0 3839 y Fp(r)d Ft(=)d(1)p Fp(;)14 b(:)g(:)g(:)f(;)h Ft(2)p Fp(n)p Ft(;)31 b(the)f(conserv)-5 b(ation)28 b(of)h(momen)n(tum)h (implies)g(that)2154 3777 y Fj(P)2242 3797 y Fk(2)p Fo(n)2242 3864 y(r)r Fk(=1)2376 3839 y Fp(\033)2423 3851 y Fo(r)2461 3839 y Fp(k)2507 3809 y Fi(0)2504 3860 y Fo(r)2567 3839 y Ft(=)c(2)p Fp(\031)s(m)p Ft(,)k(with)g Fp(m)d Ft(=)f(0)j(in)h(the)0 3939 y(con)n(tin)n(uous)25 b(mo)r(del,)h(but)g Fp(m)g Ft(arbitrary)e(in)n(teger)g(for)i(the)g(lattice)f(mo)r(del.)37 b(On)25 b(the)h(other)g(hand,)g Fp(k)3120 3909 y Fi(0)3117 3959 y Fo(r)3179 3939 y Ft(is)g(of)g(order)0 4038 y Fp(\015)48 4008 y Fo(h)87 4016 y Fm(v)159 4038 y Ft(for)33 b(an)n(y)f Fp(r)r Ft(,)k(hence)d Fp(m)g Ft(can)f(b)r(e)i(di\013eren)n(t)f(from)g (0)f(only)h(if)h Fp(n)f Ft(is)g(of)g(order)e Fp(\015)2591 4008 y Fi(\000)p Fo(h)2682 4016 y Fm(v)2722 4038 y Ft(.)53 b(Since)33 b(the)h(n)n(um)n(b)r(er)e(of)0 4138 y(endp)r(oin)n(ts)24 b(follo)n(wing)g(a)g(v)n(ertex)f(with)i(2)p Fp(n)e Ft(external)h (\014elds)g(is)g(greater)f(or)g(equal)h(to)g Fp(n)12 b Fl(\000)g Ft(1)23 b(and)i(there)f(is)g(a)g(small)0 4238 y(factor)31 b(\(of)h(order)e Fp(\026)644 4250 y Fo(h)687 4238 y Ft(\))i(asso)r(ciated)e(with)i(eac)n(h)f(endp)r(oin)n (t,)i(w)n(e)e(get)g(an)g(impro)n(v)n(emen)n(t,)h(in)g(the)g(b)r(ound)f (of)h(the)0 4337 y(terms)26 b(with)g Fl(j)p Fp(m)p Fl(j)d Fp(>)g Ft(0,)j(with)g(resp)r(ect)g(to)g(the)g(others,)g(of)g(a)f (factor)g(exp\()p Fl(\000)p Fp(C)6 b(\015)2454 4307 y Fi(\000)p Fo(h)2545 4315 y Fm(v)2584 4337 y Ft(\).)37 b(Hence)26 b(it)h(is)e(easy)g(to)h(sho)n(w)0 4437 y(that)i(the)g (di\013erence)f(b)r(et)n(w)n(een)h(the)g(t)n(w)n(o)f(b)r(eta)h (functions)f(is)h(of)g(order)e Fp(\026)2305 4407 y Fk(2)2305 4460 y Fo(h)2348 4437 y Fp(\015)2396 4407 y Fo(\022)r(h)2472 4437 y Ft(.)33 4607 y(B\)In)35 b(order)f(to)g(pro)n(v)n(e)f(\(4.11\))h (w)n(e)h(consider)f(the)h(reference)f(mo)r(del)h(with)g Fp(g)2506 4577 y Fk(0)2503 4628 y(2)p Fo(;)p Fk(0)2628 4607 y Fl(6)p Ft(=)f Fp(g)2770 4568 y Fo(p)2767 4630 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(0)2857 4607 y Ft(,)j(so)d(that)h(there)f(are)0 4707 y(three)27 b(indep)r(enden)n(t)i(running)e(coupling)g(constan)n (ts.)36 b(W)-7 b(e)28 b(ha)n(v)n(e)e(seen)i(that,)g(for)f Fp(\013)c Ft(=)g(\(2)p Fp(;)14 b(p)p Ft(\))p Fp(;)g Ft(\(2)p Fp(;)g(o)p Ft(\))p Fp(;)g Ft(4)808 4876 y(~)796 4898 y Fp(\014)847 4863 y Fo(\013)843 4918 y(h)894 4898 y Ft(\()p Fp(v)969 4863 y Fo(L)966 4918 y(h)1020 4898 y Fp(;)g(::v)1146 4863 y Fo(L)1143 4918 y(h)1195 4898 y Ft(\))24 b(=)1408 4819 y Fj(X)1338 4993 y Fo(n)1379 5001 y Fn(1)1412 4993 y Fo(;n)1473 5001 y Fn(2)1505 4993 y Fo(;n)1566 5001 y Fn(3)1612 4898 y Fp(b)1648 4863 y Fo(\013)1648 4918 y(h;n)1748 4926 y Fn(1)1780 4918 y Fo(;n)1841 4926 y Fn(2)1873 4918 y Fo(;n)1934 4926 y Fn(3)1970 4898 y Ft([)p Fp(g)2036 4863 y Fo(o)2033 4918 y Fk(2)p Fo(;h)2129 4898 y Ft(])2152 4863 y Fo(n)2193 4871 y Fn(1)2229 4898 y Ft([)p Fp(g)2295 4858 y Fo(p)2292 4923 y Fk(2)p Fo(;h)2388 4898 y Ft(])2411 4863 y Fo(n)2452 4871 y Fn(2)2488 4898 y Ft([)p Fp(g)2551 4910 y Fk(4)p Fo(;h)2647 4898 y Ft(])2670 4863 y Fo(n)2711 4871 y Fn(3)3331 4898 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(22\))0 5158 y(On)g(the)h(other)g(hand)f(w)n(e)h(can)f(write)g(the)h (functions)g Fp(G)1732 5128 y Fo(\013)1732 5181 y(h)1805 5158 y Ft(\(4.8\))f(in)h(the)g(Hubbard)g(mo)r(del,)g Fp(\013)f Ft(=)e(\(2)p Fp(o)p Ft(\))p Fp(;)14 b Ft(\(2)p Fp(p)p Ft(\))p Fp(;)g Ft(4,)25 b(as)1025 5351 y Fp(G)1090 5317 y Fo(\013)1090 5372 y(h)1161 5351 y Ft(=)1290 5272 y Fj(X)1248 5447 y Fo(m)1307 5455 y Fn(2)1340 5447 y Fo(;m)1419 5455 y Fn(3)1465 5351 y Fp(c)1501 5317 y Fo(\013)1501 5372 y(h;)p Fk(1)p Fo(;n)1654 5380 y Fn(2)1685 5372 y Fo(;n)1746 5380 y Fn(3)1783 5351 y Ft([)p Fp(g)1846 5363 y Fk(1)p Fo(;h)1941 5351 y Ft(][)p Fp(g)2027 5363 y Fk(2)p Fo(;h)2123 5351 y Ft(])2146 5317 y Fo(m)2205 5325 y Fn(2)2241 5351 y Ft([)p Fp(g)2304 5363 y Fk(4)p Fo(;h)2400 5351 y Ft(])2423 5317 y Fo(m)2482 5325 y Fn(3)3331 5351 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(23\))0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(24)p eop %%Page: 25 25 25 24 bop 0 83 a Ft(The)33 b(co)r(e\016cien)n(ts)f Fp(c)637 53 y Fo(\013)637 107 y(h;)p Fk(1)p Fo(;n)790 115 y Fn(2)822 107 y Fo(;n)883 115 y Fn(3)953 83 y Ft(are)f(giv)n(en)i(b)n(y)f(sum)h (of)g(trees)g(\(or)f(pro)r(duct)h(of)g(trees,)g(for)g(the)g(presence)f (of)h(the)0 194 y Fp(z)43 164 y Fk(1)39 217 y Fo(k)115 194 y Ft(terms\))i(with)h(\(in)g(total\))g(one)f(end-p)r(oin)n(t)g Fp(g)1540 206 y Fk(1)1577 194 y Ft(,)j Fp(m)1711 206 y Fk(2)1783 194 y Ft(end-p)r(oin)n(ts)d Fp(g)2237 206 y Fk(2)2310 194 y Ft(and)g Fp(m)2552 206 y Fk(3)2625 194 y Ft(end-p)r(oin)n(ts)g Fp(g)3079 206 y Fk(4)3116 194 y Ft(;)k(the)d(SU\(2\))0 303 y(in)n(v)-5 b(ariance)32 b(of)i(the)g(Hubbard)f(mo)r(del)h(implies)f(that)h Fp(G)1793 273 y Fk(2)p Fo(o)1793 326 y(h)1897 303 y Ft(=)e Fp(G)2059 263 y Fk(2)p Fo(p)2059 328 y(h)2131 303 y Ft(.)55 b(T)-7 b(o)33 b Fp(g)2377 315 y Fk(1)2447 303 y Ft(and)h Fp(g)2655 315 y Fk(2)2725 303 y Ft(corresp)r(ond)e(t)n(w)n(o)h(terms,)0 403 y(the)k(parallel)f(or)f(an)n(tiparallel)h(part,)i(see)e(\(3.35\),)j (and)d(w)n(e)g(can)h(asso)r(ciate)e(to)h(the)i(endp)r(oin)n(ts)e(of)h (the)g(trees)0 502 y(con)n(tributing)30 b(to)g Fp(c)616 472 y Fo(\013)616 526 y(h;)p Fk(1)p Fo(;m)787 534 y Fn(2)819 526 y Fo(;m)898 534 y Fn(3)965 502 y Ft(an)g(extra)g(index)g (distinguishing)g(the)h(parallel)f(or)f(an)n(tiparallel)g(part;)j(then) f(w)n(e)0 602 y(can)c(write)855 701 y Fp(c)891 667 y Fo(\013)891 722 y(h;)p Fk(1)p Fo(;m)1062 730 y Fn(2)1094 722 y Fo(;m)1173 730 y Fn(3)1232 701 y Ft(=)1420 623 y Fj(X)1319 807 y Fo(m)1378 787 y Fm(o)1378 827 y Fn(1)1412 807 y Fk(+)p Fo(m)1522 779 y Fm(p)1522 827 y Fn(1)1556 807 y Fk(=1)1784 623 y Fj(X)1654 807 y Fo(m)1713 787 y Fm(o)1713 827 y Fn(2)1747 807 y Fk(+)p Fo(m)1857 779 y Fm(p)1857 827 y Fn(2)1891 807 y Fk(=)p Fo(m)2001 815 y Fn(2)2047 701 y Fp(c)2083 667 y Fo(\013)2083 726 y(h;m)2201 706 y Fm(o)2201 746 y Fn(1)2234 726 y Fo(;m)2313 698 y Fm(p)2313 746 y Fn(1)2348 726 y Fo(;m)2427 706 y Fm(o)2427 746 y Fn(2)2460 726 y Fo(;m)2539 698 y Fm(p)2539 746 y Fn(2)2573 726 y Fo(;m)2652 734 y Fn(3)3331 701 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(24\))0 953 y(It)h(holds)f(that)1082 1052 y Fp(c)1118 1018 y Fo(\013)1118 1073 y(h;)p Fk(1)p Fo(;m)1289 1081 y Fn(2)1321 1073 y Fo(;m)1400 1081 y Fn(3)1459 1052 y Ft(=)1677 973 y Fj(X)1547 1158 y Fo(m)1606 1138 y Fm(o)1606 1178 y Fn(2)1639 1158 y Fk(+)p Fo(m)1749 1130 y Fm(p)1749 1178 y Fn(2)1784 1158 y Fk(=)p Fo(m)1894 1166 y Fn(2)1940 1052 y Fp(c)1976 1018 y Fo(\013)1976 1077 y(h;)p Fk(0)p Fo(;)p Fk(1)p Fo(;m)2200 1057 y Fm(o)2200 1097 y Fn(2)2232 1077 y Fo(;m)2311 1049 y Fm(p)2311 1097 y Fn(2)2346 1077 y Fo(;m)2425 1085 y Fn(3)3331 1052 y Ft(\(5)p Fp(:)p Ft(25\))0 1314 y(that)h(is)f(only)g(the)h(spin)g(parallel)e(part)h(of)h Fp(g)1374 1326 y Fk(1)1438 1314 y Ft(can)f(con)n(tribute)h(to)f Fp(G)2156 1284 y Fk(2)2156 1337 y Fo(h)2227 1314 y Ft(or)f Fp(G)2393 1284 y Fk(4)2393 1337 y Fo(h)2437 1314 y Ft(;)h(in)h(fact)g (making)f(the)h(the)g(global)0 1413 y(gauge)k(transformation)f Fp( )869 1378 y Fi(\006)866 1435 y Fk(1)p Fo(;\033)996 1413 y Fl(!)h Fp(e)1150 1383 y Fo(i\033)1218 1413 y Fp( )1275 1378 y Fi(\006)1272 1435 y Fk(1)p Fo(;\033)1403 1413 y Ft(and)h Fp( )1627 1378 y Fi(\006)1624 1435 y(\000)p Fk(1)p Fo(;\033)1805 1413 y Fl(!)g Fp( )1978 1378 y Fi(\006)1975 1435 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y Fk(+1)p Fo(;m)2198 1930 y Fn(3)2258 1897 y Ft(=)f(0)944 b(\(5)p Fp(:)p Ft(26\))33 2168 y(C\)It)26 b(remains)e(to)h(consider)g(\(4.12\);)g(w)n(e)g(can)f(consider)h(equiv) -5 b(alen)n(tly)24 b(the)i(con)n(tribution)f(to)g(the)g(spin)h (parallel)0 2268 y(or)37 b(the)g(spin)h(an)n(tiparallel,)h(as)d(they)i (are)f(equal)g(b)n(y)g Fp(S)5 b(U)k Ft(\(2\))37 b(in)n(v)-5 b(ariance)36 b(of)h(the)h(Hubbard)g(mo)r(del,)i(that)d(is)0 2367 y Fp(G)65 2337 y Fk(1)p Fo(o)65 2391 y(h)158 2367 y Ft(=)23 b Fp(G)311 2328 y Fk(1)p Fo(p)311 2393 y(h)383 2367 y Ft(.)37 b(W)-7 b(e)28 b(consider)e(the)i(spin)g(parallel)e(part) h(and)h(w)n(e)f(can)g(write)995 2573 y Fp(G)1060 2533 y Fk(1)p Fo(p)1060 2598 y(h)1155 2573 y Ft(=)1284 2494 y Fj(X)1243 2668 y Fo(m)1302 2676 y Fn(2)1334 2668 y Fo(;m)1413 2676 y Fn(3)1459 2573 y Fp(c)1495 2533 y Fk(1)p Fo(p)1495 2598 y(h;)p Fk(1)p Fo(;m)1666 2606 y Fn(2)1697 2598 y Fo(;m)1776 2606 y Fn(3)1813 2573 y Ft([)p Fp(g)1876 2585 y Fk(1)p Fo(;h)1971 2573 y Ft(][)p Fp(g)2057 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Fr(Dyson)30 b(e)l(quations)33 4825 y Ft(Let)e(us)g(no)n(w)g(pro)n(v)n(e)e(\(5.5\),)i(extending)g(the)g (analysis)f(in)h([BM2],)f([BM3],)h([BM4])g(to)g(the)g(spinning)g(case.) 37 b(W)-7 b(e)0 4924 y(deriv)n(e)23 b(a)h(n)n(um)n(b)r(er)g(of)h(Dyson) f(equations)f(relating)h(some)f(Sc)n(h)n(winger)g(functions)i(of)f(the) h(reference)e(mo)r(del.)36 b(Let)0 5024 y(us)28 b(start)f(from,)g(if)h Fp(\032)644 5036 y Fh(p)p Fo(;!)r(;\033)837 5024 y Ft(=)961 4991 y Fk(1)p 934 5005 87 4 v 934 5052 a Fo(\014)s(L)1044 4962 y Fj(P)1132 5049 y Fh(k)1190 5024 y Fp( )1247 4988 y Fk(+)1244 5049 y Fh(k)p Fo(;!)r(;\033)1411 5024 y Fp( )1468 4988 y Fi(\000)1465 5049 y Fh(k)p Fi(\000)p Fh(p)p Fo(;!)r(;\033)1050 5229 y Fp(<)23 b( )1195 5193 y Fk(+)1192 5254 y Fh(k)1232 5262 y Fn(1)1264 5254 y Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)1399 5229 y Fp( )1456 5193 y Fi(\000)1453 5254 y Fh(k)1493 5262 y Fn(2)1525 5254 y Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)1660 5229 y Fp( )1717 5193 y Fk(+)1714 5254 y Fh(k)1754 5262 y Fn(3)1787 5254 y Fo(;)p 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Fr(c)l(orr)l(e)l(ction)j(term)c Ft(\001)1202 4899 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1311 4929 y Ft(in)g(\(4.3\).)34 b(As)18 b(explained)g(in)h Fl(x)p Ft(4)f(of)g([BM2],)2651 4908 y(\026)2637 4929 y(\001)2706 4899 y Fk(\()p Fo(ij)s Fk(\))2840 4929 y Fl(\021)k Fp(C)6 b Ft(\()p Fq(k)p Fp(;)14 b Fq(q)p Ft(\))p Fp(g)3236 4899 y Fk(\()p Fo(i)p Fk(\))3317 4929 y Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))p Fp(g)3474 4899 y Fk(\()p Fo(j)s Fk(\))3561 4929 y Ft(\()p Fq(q)p Ft(\))0 5029 y(is)29 b(non)g(v)-5 b(anishing)28 b(if)i(at)f(least)f(one)h(among)f Fp(i)h Ft(or)f Fp(j)34 b Ft(is)29 b(0)g(or)f Fp(h)p Ft(;)h(this)h (means)e(that)i(either)f(at)g(least)f(one)h(\014eld)g(in)0 5128 y Fp(\016)s(\032)k Ft(is)f(con)n(tracted)f(at)i(scale)f(0,)h(or)f (at)g(least)h(one)f(\014eld)h(in)f Fp(\016)s(\032)h Ft(is)g(con)n (tracted)e(at)h(scale)g Fp(h)p Ft(.)52 b(W)-7 b(e)33 b(can)f(split)h(the)0 5228 y(correction)26 b(term)h(in)h(the)g(follo)n (wing)f(w)n(a)n(y)1151 5431 y(\001)1220 5391 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1220 5455 y 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Fo(;\033)o(;)p Fi(\000)p Fo(;\033)797 83 y Ft(\()p Fq(k)879 95 y Fk(1)936 83 y Fl(\000)18 b Fq(k)1069 95 y Fk(2)1106 83 y Fp(;)c Fq(k)1193 95 y Fk(1)1231 83 y Fp(;)g Fq(k)1318 95 y Fk(2)1355 83 y Ft(\))24 b(=)e(\(1)d(+)f Fp(F)1739 49 y Fk(3)1727 104 y Fo(a)1776 83 y Ft(\))p Fp(H)1884 49 y Fk(2)p Fo(;a)1877 104 y(a)1995 83 y Ft(+)g Fp(F)2143 49 y Fk(3)2131 104 y Fo(b)2180 83 y Fp(H)2256 43 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)2249 108 y Fo(b)2365 83 y Ft(+)g Fp(F)2513 49 y Fk(3)2501 104 y Fo(c)2550 83 y Fp(H)2626 49 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)2619 104 y Fo(c)2734 83 y Ft(+)g Fp(F)2882 49 y Fk(3)2870 104 y Fo(d)2919 83 y Fp(H)2995 43 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)2988 108 y Fo(d)3331 83 y Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(21\))220 250 y Fp(D)289 262 y Fi(\000)345 250 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp(G)527 210 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)527 271 y(+)p Fo(;\033)o(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)823 250 y Ft(\()p Fq(k)905 262 y Fk(1)962 250 y Fl(\000)g Fq(k)1095 262 y Fk(2)1132 250 y Fp(;)c Fq(k)1219 262 y Fk(1)1257 250 y Fp(;)g Fq(k)1344 262 y Fk(2)1381 250 y Ft(\))24 b(=)e(\(1)d(+)f Fp(F)1765 216 y Fk(4)1753 271 y Fo(a)1802 250 y Ft(\))p Fp(H)1910 216 y Fk(2)p Fo(;a)1903 271 y(a)2021 250 y Ft(+)g Fp(F)2169 216 y Fk(4)2157 271 y Fo(b)2206 250 y Fp(H)2282 210 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)2275 275 y Fo(b)2391 250 y Ft(+)g Fp(F)2539 216 y Fk(4)2527 271 y Fo(c)2576 250 y Fp(H)2652 216 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)2645 271 y Fo(c)2760 250 y Ft(+)g Fp(F)2908 216 y Fk(4)2896 271 y Fo(d)2945 250 y Fp(H)3021 210 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)3014 275 y Fo(d)3331 250 y Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(22\))0 419 y(with)25 b Fp(F)239 431 y Fo(a)279 419 y Fp(;)14 b(F)369 431 y Fo(b)403 419 y Fp(;)g(F)493 431 y Fo(c)527 419 y Fp(;)g(F)617 431 y Fo(d)681 419 y Ft(are)23 b(com)n(binations)g(of)h(the)h Fp(\027)5 b Ft(,)25 b(with)g(the)g(prop)r(ert)n(y)e(that)i(if)g Fl(j)p Fp(\027)2624 379 y Fo(j)2619 442 y(i)2659 419 y Fl(j)e(\024)g Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)s Ft(,)25 b(then)g Fl(j)p Fp(F)3211 431 y Fo(i)3239 419 y Fl(j)e(\024)f Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)3477 431 y Fo(h)3520 419 y Ft(.)0 518 y(Then)28 b(\(6.19\))f(really)f(pro)n(vides)g(a)i (relation)e(b)r(et)n(w)n(een)i Fp(G)1773 488 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1891 518 y Ft(and)f Fp(G)2117 488 y Fk(2)2182 518 y Ft(up)h(to)g(b)r(ounded)g(corrections.)0 807 y Fq(6.2)98 b Fr(Pr)l(o)l(of)30 b(of)h(L)l(emma)f(5.)33 906 y Ft(W)-7 b(e)28 b(in)n(tro)r(duce)f(the)h(generating)f(function)h (for)f Fp(H)1623 876 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1616 927 y Fo(a)875 1016 y Fj(Z)972 1129 y Fp(P)1025 1141 y Fo(L)1075 1129 y Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))p Fp(e)1278 1088 y Fi(\000V)1372 1096 y Fm(L)1416 1088 y Fk(+)p Fo(T)1506 1096 y Fn(1)1538 1088 y Fk(+)1589 1028 y Fj(R)1656 1088 y Fo(d)p Fh(k)p Fo(d)p Fh(p)p Fo(J)1845 1096 y Fc(p)1882 1088 y Fo(\027)1919 1063 y Fm(a)1915 1105 y Fn(+)p Fm(;\033)2017 1088 y Fo(D)2071 1096 y Fn(+)2118 1088 y Fk(\()p Fh(p)p Fk(\))p Fo( )2258 1061 y Fn(+)2256 1110 y Fc(k)p Fm(;)p Fn(+)p Fm(;\033)2409 1088 y Fo( )2455 1061 y Fd(\000)2453 1110 y Fc(k)p Fn(+)p Fc(p)p Fm(;)p Fn(+)p Fm(\033)3331 1129 y Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(23\))156 1391 y Fp(e)195 1350 y Fi(\000)258 1289 y Fj(R)325 1350 y Fo(d)p Fh(k)p Fo(d)p Fh(p)p Fo(J)514 1358 y Fc(p)551 1350 y Fk([)p Fo(\027)607 1325 y Fm(a)603 1367 y Fn(+)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(\033)749 1350 y Fo(D)803 1358 y Fn(+)851 1350 y Fk(\()p Fh(p)p Fk(\))p Fo( )991 1323 y Fn(+)989 1372 y Fc(k)p Fm(;)p Fn(+)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(\033)1186 1350 y Fo( )1232 1323 y Fd(\000)1230 1372 y Fc(k)p Fn(+)p Fc(p)p Fm(;)p Fn(+)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(\033)1506 1350 y Fk(+)p Fo(\027)1594 1325 y Fm(a)1590 1367 y Fd(\000)p Fm(;\033)1694 1350 y Fo(D)1748 1358 y Fd(\000)1797 1350 y Fk(\()p Fh(p)p Fk(\))p Fo( )1937 1323 y Fn(+)1935 1372 y Fc(k)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(;\033)2091 1350 y Fo( )2137 1323 y Fd(\000)2135 1372 y Fc(k)p Fn(+)p Fc(p)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(;\033)2368 1350 y Fk(+)p Fo(\027)2456 1325 y Fm(a)2452 1367 y Fd(\000)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(\033)2600 1350 y Fo(D)2654 1358 y Fd(\000)2704 1350 y Fk(\()p Fh(p)p Fk(\))p Fo( )2844 1323 y Fn(+)2842 1372 y Fc(k)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(\033)3042 1350 y Fo( )3088 1323 y Fd(\000)3086 1372 y Fc(k)p Fn(+)p Fc(p)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(;)p Fd(\000)p Fm(\033)3364 1350 y Fk(])0 1540 y Ft(where)998 1661 y Fp(T)1047 1673 y Fk(1)1107 1661 y Ft(=)1194 1548 y Fj(Z)1291 1661 y Fp(d)p Fq(k)p Fp(d)p Fq(p)p Fp(J)1526 1673 y Fh(p)1573 1661 y Fp(C)6 b Ft(\()p Fq(k)p Fp(;)14 b Fq(k)20 b Ft(+)e Fq(p)p Ft(\))p Fp( )2052 1626 y Fk(+)2049 1686 y Fh(k)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)2224 1661 y Fp( )2281 1626 y Fi(\000)2278 1686 y Fh(k)p Fk(+)p Fh(p)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)3331 1661 y Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(24\))0 1858 y(The)36 b(analysis)e(pro)r(ceeds)h (essen)n(tially)g(iden)n(tical)g(to)h(the)g(one)f(of)h Fl(x)p Ft(4)f(of)h([BM2].)60 b(After)37 b(in)n(tegrating)d(the)i Fp( )3506 1828 y Fk(0)0 1958 y Ft(\014eld,)f(w)n(e)e(get)h(in)f(the)h (e\013ectiv)n(e)g(p)r(oten)n(tial)f(a)g(sum)h(of)f(monomials)f(of)i (the)g(form)f Fp(W)12 b(J)2791 1928 y Fo(m)2854 1958 y Fp( )2908 1970 y Fk(1)2945 1958 y Fp(::: )3068 1970 y Fo(n)3114 1958 y Ft(;)36 b(w)n(e)d(extend)0 2057 y(the)h (de\014nition)f(of)g Fl(L)h Ft(to)f(monomials)f(of)h(this)h(kind)f(b)n (y)g(requiring)f(that)h(it)h(acts)f(non)g(trivially)f(only)h(on)g(the)0 2157 y(terms)27 b(linear)g(in)h Fp(J)36 b Ft(and)27 b(quadratic)g(in)g Fp( )s Ft(,)h(as)f(a)g(p)r(o)n(w)n(er)g(coun)n(ting)g(argumen)n(t)f (sho)n(ws)h(that)g(they)h(are)f(the)h(only)0 2257 y(marginal)e(terms.) 33 2356 y(Consider)h(no)n(w)g(the)h(terms)f(in)h(whic)n(h)f Fp(T)1310 2368 y Fk(1)1375 2356 y Ft(is)g(con)n(tracted;)g(they)h(are)e (of)i(the)g(form)42 2496 y Fj(X)55 2673 y Fk(~)-39 b Fo(!)r(;)t Fk(~)i Fo(\033)175 2461 y Fj(Z)272 2574 y Fp(d)p Fq(p)382 2461 y Fj(Z)479 2574 y Fp(d)p Fq(k)572 2540 y Fk(+)628 2574 y Fp(J)674 2586 y Fh(p)737 2552 y Ft(^)720 2574 y Fp( )777 2539 y Fk(+)774 2603 y Fh(k)814 2587 y Fn(+)860 2603 y Fo(;)5 b Fk(~)-38 b Fo(!)r(;)t Fk(~)h Fo(\033)1005 2552 y Ft(^)988 2574 y Fp( )1045 2539 y Fi(\000)1042 2603 y Fh(k)1082 2587 y Fn(+)1129 2603 y Fi(\000)p Fh(p)p Fo(;)5 b Fk(~)-38 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Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3233 1515 y Fp( )3290 1480 y Fi(\000)3287 1540 y Fh(k)p Fk(+)p Fh(p)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3607 1515 y Ft(])0 1671 y(W)-7 b(e)24 b(can)f(iterate)g(the)g (ab)r(o)n(v)n(e)f(pro)r(cedure;)i(at)g(the)f(in)n(tegration)f(of)i(the) f(generic)g(scale)f(the)i(terms)f(quadratic)g(and)0 1771 y(linear)j(in)g Fp(J)35 b Ft(in)26 b(the)h(e\013ectiv)n(e)g(p)r(oten)n (tial)f(are)f(obtained)h(con)n(tracted)g(a)g Fp(T)2314 1783 y Fk(1)2377 1771 y Ft(v)n(ertex)f(\(in)i(suc)n(h)f(a)g(case)g(one) g(of)g(the)0 1871 y(t)n(w)n(o)i(\014elds)h(of)f Fp(T)516 1883 y Fk(1)582 1871 y Ft(is)h(necessarily)e(con)n(tracted)g(at)i (scale)f(0\))h(or)f(a)g Fp(\027)2111 1883 y Fo(k)q(;!)r(;\033)2304 1871 y Ft(v)n(ertex;)h(in)g(b)r(oth)g(case)f(the)h(preceding)0 1970 y(analysis)d(can)h(b)r(e)h(rep)r(eated)g(and)f(the)h(lo)r(cal)f (terms)g(linear)g(in)h Fp(J)36 b Ft(are,)27 b(for)g Fp(k)e(>)e(h)1046 2090 y Fj(Z)1143 2203 y Fp(d)p Fq(k)p Fp(d)p Fq(p)p Fp(J)1378 2215 y Fh(p)1425 2203 y Ft([)p Fp(\027)1494 2169 y Fo(a)1489 2224 y(k)q(;)p Fk(+)p Fo(;\033)1661 2203 y Fp(D)1730 2215 y Fk(+)1784 2203 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp( )1958 2168 y Fk(+)1955 2229 y Fh(k)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)2131 2203 y Fp( )2188 2168 y Fi(\000)2185 2229 y Fh(k)p Fk(+)p Fh(p)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(\033)2433 2203 y Ft(+)833 b(\(6)p Fp(:)p Ft(34\))0 2450 y Fp(\027)46 2416 y Fo(a)41 2471 y(k)q(;)p Fk(+)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)265 2450 y Fp(D)334 2462 y Fk(+)389 2450 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp( )563 2415 y Fk(+)560 2476 y Fh(k)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)787 2450 y Fp( )844 2415 y Fi(\000)841 2476 y Fh(k)p Fk(+)p Fh(p)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)1175 2450 y Ft(+)14 b Fp(\027)1300 2416 y Fo(a)1295 2471 y(k)q(;)p Fi(\000)p Fo(;\033)1468 2450 y Fp(D)1537 2462 y Fi(\000)1593 2450 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp( )1767 2415 y Fk(+)1764 2476 y Fh(k)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;\033)1940 2450 y Fp( )1997 2415 y Fi(\000)1994 2476 y Fh(k)p Fk(+)p Fh(p)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;\033)2277 2450 y Ft(+)g Fp(\027)2402 2416 y Fo(a)2397 2471 y(k)q(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2622 2450 y Fp(D)2691 2462 y Fi(\000)2747 2450 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp( )2921 2415 y Fk(+)2918 2476 y Fh(k)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3146 2450 y Fp( )3203 2415 y Fi(\000)3200 2476 y Fh(k)p Fk(+)p Fh(p)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3520 2450 y Ft(])0 2619 y(W)-7 b(e)44 b(ha)n(v)n(e)f(then)h(obtained)g(an)f (expansion)g(for)h Fp(H)1683 2589 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1676 2640 y Fo(a)1816 2619 y Ft(in)h(whic)n(h)e(new)h(running)g(coupling)f (constan)n(ts)g(ap-)0 2719 y(p)r(ear,namely)37 b Fp(\027)522 2731 y Fo(k)q(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)739 2719 y Ft(;)43 b(the)38 b(analogue)e(of)i(Theorem)f(3)g(ensures)g(con)n(v)n(ergence)e Fp(\027)2671 2731 y Fo(k)q(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)2926 2719 y Ft(are)i(small)g(or)g(an)n(y)0 2818 y Fp(k)26 b(>)d(h)p Ft(.)36 b(The)28 b(b)r(eta)g(function)g(for)f Fp(\027)1115 2830 y Fo(k)q(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)1359 2818 y Ft(has)g(the)h(follo)n(wing)f(form)612 3026 y Fp(\027)653 3038 y Fo(k)q Fi(\000)p Fk(1)p Fo(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)978 3026 y Ft(=)22 b Fp(\027)1106 3038 y Fo(k)q(;)p Fk(+)p Fo(;)p Fi(\006)p Fo(\033)1349 3026 y Ft(+)c Fp(\014)1483 2986 y Fk(1)p Fo(;k)1479 3047 y(!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)1639 3026 y Ft(\()p Fp(v)1714 2992 y Fo(L)1711 3047 y(k)1764 3026 y Fp(;)c(:::;)g(v)1950 2992 y Fo(L)1947 3047 y Fk(0)2000 3026 y Ft(\))19 b(+)f Fp(\014)2185 2986 y Fk(2)p Fo(;k)2181 3047 y(!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)2341 3026 y Ft(\()p Fp(v)2416 2992 y Fo(L)2413 3047 y(k)2466 3026 y Fp(;)c(\027)2544 3038 y Fo(k)2585 3026 y Fp(:::;)g(v)2734 2992 y Fo(L)2731 3047 y Fk(0)2784 3026 y Fp(;)g(\027)2862 3038 y Fk(0)2899 3026 y Ft(\))400 b(\(6)p Fp(:)p Ft(35\))0 3243 y(where)32 b(b)n(y)h(de\014nition)g Fp(\014)791 3203 y Fk(2)p Fo(;k)787 3263 y(!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)948 3243 y Ft(\()p Fp(v)1023 3213 y Fo(L)1020 3266 y(k)1073 3243 y Fp(;)14 b(\027)1151 3255 y Fo(k)1192 3243 y Fp(:::;)g(v)1341 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Ft(in)h(the)h(ab)r(o)n(v)n(e)d(b)r(ound) i(is)g(due)g(to)g(the)g(fact)0 3709 y(that,)i(for)e(the)i(supp)r(ort)f (prop)r(erties)f(of)h(the)g(function)h Fp(C)6 b Ft(\()p Fq(k)1885 3679 y Fk(+)1941 3709 y Fp(;)14 b Fq(k)2028 3679 y Fi(\000)2085 3709 y Ft(\))28 b(discussed)g(after)f(\(6.24\),)h (one)g(of)g(the)g(\014elds)0 3808 y(of)g Fp(T)144 3820 y Fk(1)208 3808 y Ft(is)f(necessarily)f(con)n(tracted)h(at)g(scale)g (0.)33 3908 y(In)h(fact)g(w)n(e)g(can)f(sho)n(w)g(\(pro)r(ceeding)g(as) g(in)h(the)h(pro)r(of)e(of)h(Lemma)f(3,or)g(in)h Fl(x)p Ft(4.6)f(of)g(BM3\))h(that)g(there)g(exists)0 4008 y(a)f(sequence)g Fp(\027)454 4020 y Fo(k)523 4008 y Ft(suc)n(h)g(that)h Fl(j)p Fp(\027)954 4020 y Fo(k)q(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)1171 4008 y Fl(j)23 b(\024)f Fp(C)9 b Ft(\026)-45 b Fp(g)1409 4020 y Fo(h)1452 4008 y Fp(\015)1500 3977 y Fo(\022)r(k)1602 4008 y Ft(b)n(y)27 b(solving)640 4288 y Fp(\027)681 4300 y Fo(k)q(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)921 4288 y Ft(=)c Fl(\000)1185 4184 y Fo(k)1144 4209 y 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b(ha)n(v)n(e)e(then)j(\014nd)f(an)f (expansion)f(for)h Fp(H)1482 4647 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1475 4697 y Fo(a)1572 4677 y Ft(\()1608 4655 y(\026)1604 4677 y Fq(k)1654 4689 y Fk(1)1716 4677 y Fl(\000)1809 4655 y Ft(\026)1804 4677 y Fq(k)1854 4689 y Fk(2)1892 4677 y Fp(;)1933 4655 y Ft(\026)1929 4677 y Fq(k)1979 4689 y Fk(1)2016 4677 y Fp(;)2058 4655 y Ft(\026)2053 4677 y Fq(k)2103 4689 y Fk(2)2141 4677 y Ft(\))h(v)n(ery)e(similar)h(to)g (the)h(one)f(of)h Fp(G)3268 4647 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)3358 4677 y Ft(,)i(but)0 4777 y(in)31 b(whic)n(h)g(eac)n(h)f(tree)g(con)n (tributing)g(to)h Fp(H)1357 4746 y Fk(2)p Fo(;)p Fk(1)1350 4797 y Fo(a)1446 4777 y Ft(\()1482 4755 y(\026)1478 4777 y Fq(k)1528 4789 y Fk(1)1587 4777 y Fl(\000)1676 4755 y Ft(\026)1672 4777 y Fq(k)1722 4789 y Fk(2)1760 4777 y Fp(;)1801 4755 y Ft(\026)1797 4777 y Fq(k)1847 4789 y Fk(1)1884 4777 y Fp(;)1925 4755 y Ft(\026)1921 4777 y Fq(k)1971 4789 y Fk(2)2009 4777 y Ft(\))g(ha)n(v)n(e)e(an)i(extra)f Fp(\015)2651 4746 y Fo(\022)r(h)2727 4777 y Ft(;)i(in)f(fact)g(or)f (there)g(is)h(an)0 4876 y(endp)r(oin)n(t)22 b Fp(\027)381 4888 y Fo(k)444 4876 y Ft(\(and)g(w)n(e)f(use)h(that)g Fp(\027)1101 4888 y Fo(k)q(;!)r(;)p Fi(\006)p Fo(\033)1341 4876 y Ft(=)h Fp(O)r Ft(\()p Fp(\015)1574 4846 y Fo(\022)r(k)1648 4876 y Ft(\))g(and)e(the)i(fact)f(that,)h(as)e(the)h(dimension)g(are)f (negativ)n(e,the)0 4976 y(v)-5 b(alue)28 b(of)g(the)h(tree)f(has)f(an)h (extra)g Fp(\015)1149 4946 y Fo(\022)r Fk(\()p Fo(h)p Fi(\000)p Fo(k)q Fk(\))1365 4976 y Ft(\))h(or)e(there)h(is)g(an)g(endp) r(oin)n(t)h Fp(T)2337 4988 y Fk(1)2402 4976 y Ft(con)n(tracted)e(at)h (scale)f(0)h(\(hence,)h(as)0 5075 y(the)f(dimensions)f(are)g(negativ)n (e,the)g(v)-5 b(alue)27 b(of)h(the)g(tree)f(has)g(an)g(extra)g Fp(\015)2317 5045 y Fo(\022)r(h)2393 5075 y Ft(\).)p 2485 5067 42 42 v 33 5293 a(Inserting)32 b(\(6.20\))g(in)h(the)h(Dyson) e(equation,)i(and)e(using)h(\(6.15\))f(and)g(\(6.14\),)i(w)n(e)e(see)h (that)g(the)g(\014rst)g(three)0 5413 y(addends)27 b(of)h(the)g(Dyson)f (equation)g(are)g(giv)n(en)g(b)n(y)g(\()p Fp(g)1701 5383 y Fk(0)1698 5434 y(2)1756 5413 y Ft(+)18 b Fp(O)r Ft(\()s(\026)-45 b Fp(g)1979 5383 y Fk(2)1976 5437 y Fo(h)2020 5413 y Ft(\)\))2094 5376 y Fo(\015)2133 5351 y Fd(\000)p Fn(4)p Fm(h)p 2095 5394 151 4 v 2128 5444 a Fo(Z)2177 5424 y Fn(2)2173 5466 y Fm(h)2255 5413 y Ft(.)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(29)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 33 83 a Ft(W)-7 b(e)28 b(ha)n(v)n(e)f(to)g(consider)g(no)n(w) g(the)h(last)f(three)g(addenda)g(in)h(the)g(Dyson)f(equation;)h(let)f (us)h(start)f(b)n(y)766 214 y Fj(Z)863 327 y Fp(d)p Fq(p)p Ft([)p Fp(g)1025 293 y Fo(o)1022 348 y Fk(2)1085 327 y Fp(<)c( )1230 292 y Fk(+)1230 345 y(\026)1227 361 y Fh(k)1267 369 y Fn(1)1299 361 y Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)1434 327 y Fp( )1491 292 y Fi(\000)1491 345 y Fk(\026)1488 361 y Fh(k)1528 369 y Fn(2)1560 361 y Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)1695 327 y Fp( )1752 292 y Fk(+)1752 345 y(\026)1749 361 y Fh(k)1789 369 y Fn(3)1822 361 y Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2009 327 y Fp( )2066 292 y Fi(\000)2066 345 y Fk(\026)2063 361 y Fh(k)2103 369 y Fn(4)2136 361 y Fi(\000)p Fh(p)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2417 327 y Fp(\032)2460 339 y Fh(p)p Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)2660 327 y Fp(>)2725 339 y Fo(T)3331 327 y Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(37\))0 571 y(Let)28 b(us)f(call)209 778 y Fp(G)274 738 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)274 802 y(+)p Fo(;\033)o(;!)446 785 y Fd(0)468 802 y Fo(\033)508 785 y Fd(0)535 778 y Ft(\()p Fq(k)617 790 y Fk(1)655 778 y Fp(;)14 b Fq(k)742 790 y Fk(2)779 778 y Fp(;)g Fq(k)866 790 y Fk(3)904 778 y Fp(;)g Fq(k)991 790 y Fk(4)1047 778 y Fl(\000)k Fq(p)p Ft(;)c Fq(p)p Ft(\))23 b(=)p Fp(<)f( )1537 742 y Fk(+)1534 803 y Fh(k)1574 811 y Fn(1)1607 803 y Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)1742 778 y Fp( )1799 742 y Fi(\000)1796 803 y Fh(k)1836 811 y Fn(2)1868 803 y Fo(;)p Fk(+)p Fo(;\033)2003 778 y Fp( )2060 742 y Fk(+)2057 803 y Fh(k)2097 811 y Fn(3)2129 803 y Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2317 778 y Fp( )2374 742 y Fi(\000)2371 803 y Fh(k)2411 811 y Fn(4)2443 803 y Fi(\000)p Fh(p)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2725 778 y Fp(\032)2768 790 y Fh(p)p Fo(;!)2874 773 y Fd(0)2896 790 y Fo(;\033)2956 773 y Fd(0)3006 778 y Fp(>)3071 790 y Fo(T)3331 778 y Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(38\))0 999 y(As)31 b Fl(j)153 977 y Ft(\026)149 999 y Fq(k)199 1011 y Fk(4)237 999 y Fl(j)e Ft(=)g Fp(\015)431 969 y Fo(h)504 999 y Ft(the)j(supp)r(ort)f(prop)r(erties)f(of)h(the)h (propagators)c(imply)j(that)h Fl(j)p Fq(p)p Fl(j)d(\024)f Fp(\015)e Ft(+)20 b Fp(\015)2905 969 y Fo(h)2977 999 y Fl(\024)28 b Ft(2)p Fp(\015)5 b Ft(,)32 b(hence)f(w)n(e)0 1099 y(can)26 b(freely)g(m)n(ultiply)h Fp(G)772 1059 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)772 1120 y(+)889 1099 y Ft(in)g(the)f(r.h.s.)37 b(of)26 b(\(6.37\))g(b)n(y)g(the)h(compact)f(supp)r(ort)g(function)h Fp(\037)2945 1111 y Fk(0)2982 1099 y Ft(\()p Fp(\015)3062 1069 y Fi(\000)p Fo(j)3141 1077 y Fm(m)3201 1099 y Fl(j)p Fq(p)p Fl(j)p 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Fp(\037)292 1727 y Fo(M)366 1715 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))h(is)f(a)h(compact)f(supp)r(ort)g(function)h(v)-5 b(anishing)27 b(for)h Fl(j)p Fq(p)p Fl(j)23 b(\025)f Fp(\015)2380 1685 y Fo(h)p Fk(+)p Fo(j)2497 1693 y Fm(m)2552 1685 y Fi(\000)p Fk(1)2669 1715 y Ft(and)1308 2005 y(~)-52 b Fp(\037)1350 2017 y Fo(M)1424 2005 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))23 b(=)1759 1898 y Fo(j)1786 1906 y Fm(m)1741 1926 y Fj(X)1652 2105 y Fo(h)1691 2113 y Fm(p)1726 2105 y Fk(=)p Fo(h)p Fk(+)p Fo(j)1894 2113 y Fm(m)1963 2005 y Fp(f)2004 2017 y Fo(h)2043 2025 y Fm(p)2082 2005 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))g Fp(:)1086 b Ft(\(6)p Fp(:)p Ft(40\))0 2315 y(Note)35 b(that)g(the)g(decomp)r(osition)f(of)h(the)g Fq(p)g Ft(sum)g(is)g(done)g(so)f(that)45 b(~)-52 b Fp(\037)2267 2327 y Fo(M)2341 2315 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))35 b(=)g(0)f(if)i Fl(j)p Fq(p)p Fl(j)f(\024)g Ft(2)p Fp(\015)3077 2285 y Fo(h)3119 2315 y Ft(.)58 b(It)36 b(is)e(easy)0 2441 y(to)c(sho)n(w)g(that)g(the)h(\014rst)f(term)g(in)h(\(6.39\))e(is)h(b)r (ounded)h(b)n(y)f Fp(O)r Ft(\()2013 2398 y Fk(\026)-34 b Fo(g)2046 2373 y Fn(2)2044 2415 y Fm(h)2083 2398 y Fo(\015)2122 2373 y Fd(\000)p Fn(3)p Fm(h)p 2012 2422 222 4 v 2080 2472 a Fo(Z)2129 2452 y Fn(2)2125 2494 y Fm(h)2243 2441 y Ft(\),)31 b(see)f([BM3].)45 b(Regarding)28 b(the)j(second)0 2560 y(addend)d(w)n(e)f(will)h(use)f(the)h(follo)n (wing)f(W)-7 b(ard)27 b(iden)n(tities)0 2766 y(\(1)7 b Fl(\000)g Fp(\027)199 2732 y Fo(a)194 2787 y Fk(+)p Fo(;\033)308 2766 y Ft(\))p Fp(D)409 2778 y Fk(+)465 2766 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp(G)647 2726 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)647 2787 y(+)p Fo(;\033)o(;)p Fk(+)p Fo(;\033)897 2766 y Fl(\000)g Fp(\027)1015 2732 y Fo(a)1010 2787 y Fk(+)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)1177 2766 y Fp(D)1246 2778 y Fk(+)1301 2766 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp(G)1483 2726 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)1483 2787 y(+)p Fo(;\033)o(;)p Fk(+)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)1785 2766 y Fl(\000)g Fp(\027)1903 2732 y Fo(a)1898 2787 y Fi(\000)p Fo(;\033)2014 2766 y Fp(D)2083 2778 y Fi(\000)2138 2766 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp(G)2320 2726 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)2320 2787 y(+)p Fo(;\033)o(;)p Fi(\000)p Fo(;\033)2572 2766 y Fl(\000)g Fp(\027)2690 2732 y Fo(a)2685 2787 y Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2852 2766 y Fp(D)2921 2778 y Fi(\000)2977 2766 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(\))p Fp(G)3159 2726 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)3159 2787 y(+)p Fo(;\033)o(;)p Fi(\000)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(\033)3479 2766 y Ft(=)141 2992 y Fp(G)206 2958 y Fk(4)206 3013 y(+)261 2992 y Ft(\()p Fq(k)343 3004 y Fk(1)400 2992 y Fl(\000)18 b Fq(p)p Fp(;)c Fq(k)623 3004 y Fk(2)660 2992 y Fp(;)g Fq(k)747 3004 y Fk(3)785 2992 y Fp(;)g Fq(k)872 3004 y Fk(4)928 2992 y Fl(\000)k Fq(p)p Ft(\))h Fl(\000)f Fp(G)1263 2958 y Fk(4)1263 3013 y(+)1318 2992 y Ft(\()p Fq(k)1400 3004 y Fk(1)1438 2992 y Fp(;)c Fq(k)1525 3004 y Fk(2)1581 2992 y Ft(+)k Fq(p)p Fp(;)c Fq(k)1804 3004 y Fk(3)1841 2992 y Fp(;)g Fq(k)1928 3004 y Fk(4)1984 2992 y Fl(\000)k Fq(p)p Ft(\))h(+)f Fp(H)2330 2958 y Fk(4)p Fo(;)p Fk(1)2323 3013 y Fo(a)2420 2992 y Ft(\()p Fq(k)2502 3004 y Fk(1)2540 2992 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(y-densit)n(y)f(correlation)f(can)h(b)r(e)h(written)g(in)h(terms)e(of)h (a)f(Grassmann)g(in)n(tegral)f(in)i(the)g(follo)n(wing)0 4569 y(w)n(a)n(y)564 4717 y Fp(<)23 b(\032)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fp(\032)p Ft(\()p Fq(y)q Ft(\))i Fp(>)1057 4729 y Fo(T)1109 4717 y Ft(=)p Fp(<)d(\032)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fp(\032)p Ft(\()p Fq(y)q Ft(\))j Fp(>)e Fl(\000)f Fp(<)h(\032)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))h Fp(><)e(\032)p Ft(\()p Fq(y)q Ft(\))i Fp(>)p Ft(=)2684 4661 y Fp(@)2733 4631 y Fk(2)2770 4661 y Fl(S)p 2542 4698 428 4 v 2542 4774 a Fp(@)5 b(\036)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fp(@)g(\036)p Ft(\()p Fq(y)q Ft(\))3373 4717 y(\(7)p Fp(:)p Ft(1\))0 4918 y(where)970 5039 y Fl(S)h Ft(\()p Fp(\036)p Ft(\))24 b(=)f(log)1372 4926 y Fj(Z)1469 5039 y Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )s Ft(\))p Fp(e)1737 4999 y Fi(\000V)5 b(\000)1888 4943 y Fj(P)1975 5030 y Fm(\033)2026 4938 y Fj(R)2093 4999 y Fo(d)p Fh(x)p Fo(\036)p Fk(\()p Fh(x)p Fk(\))p Fo( )2346 4974 y Fn(+)2344 5015 y Fc(x)p Fm(;\033)2434 4999 y Fo( )2480 4974 y Fd(\000)2478 5015 y Fc(x)p Fm(;\033)3373 5039 y Ft(\(7)p Fp(:)p Ft(2\))0 5234 y(W)-7 b(e)30 b(shall)f(ev)-5 b(aluate)30 b Fl(S)36 b Ft(in)30 b(a)f(w)n(a)n(y)g(whic)n(h)h(is)f(v)n (ery)g(close)g(to)g(that)h(used)g(for)f(the)i(in)n(tegration)d(of)i (the)g(partition)0 5333 y(function)f(in)g Fl(x)p Ft(2.)39 b(W)-7 b(e)29 b(in)n(tro)r(duce)f(the)h(scale)f(decomp)r(osition)g (describ)r(ed)h(ab)r(o)n(v)n(e)e(and)h(w)n(e)g(p)r(erform)g(iterativ)n (ely)0 5433 y(the)g(in)n(tegration)e(of)i(the)g(single)f(scale)g (\014elds,)g(starting)g(from)g(the)h(\014eld)g(of)g(scale)f(1.)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(31)p eop %%Page: 32 32 32 31 bop 33 83 a Ft(After)28 b(in)n(tegrating)e(the)i(\014elds)g Fp( )1085 53 y Fk(\(1\))1174 83 y Fp(;)14 b(::: )1337 53 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))1544 83 y Ft(w)n(e)27 b(\014nd)393 321 y Fp(e)432 287 y Fi(S)t Fk(\()p Fo(\036)p Fk(\))596 321 y Ft(=)c Fp(e)723 287 y Fi(\000)p Fo(L\014)s(E)911 296 y Fm(h)948 287 y Fk(+)p Fo(S)1043 262 y Fn(\()p Fm(h)p Fn(+1\))1197 287 y Fk(\()p Fo(\036)p Fk(\))1307 208 y Fj(Z)1404 321 y Fp(P)1457 333 y Fo(Z)1502 342 y Fm(h)1541 333 y Fo(;C)1609 342 y Fm(h)1651 321 y Ft(\()p Fp(d )1783 287 y Fi(\024)p Fo(h)1878 321 y Ft(\))p Fp(e)1949 287 y Fi(\000V)2048 262 y Fn(\()p Fm(h)p Fn(\))2131 287 y Fk(\()2157 242 y Fi(p)p 2212 242 84 3 v 45 x Fo(Z)2257 296 y Fm(h)2295 287 y Fo( )2341 262 y Fn(\()p Fd(\024)p Fm(h)p Fn(\))2470 287 y Fk(\)+)p Fi(B)2592 262 y Fn(\()p Fm(h)p Fn(\))2675 287 y Fk(\()2701 242 y Fi(p)p 2756 242 V 45 x Fo(Z)2801 296 y Fm(h)2840 287 y Fo( )2886 262 y Fn(\()p Fd(\024)p Fm(h)p Fn(\))3014 287 y Fo(;\036)p Fk(\))3127 321 y Fp(;)223 b Ft(\(7)p Fp(:)p Ft(3\))0 576 y(where)35 b Fp(P)301 588 y Fo(Z)346 597 y Fm(h)385 588 y Fo(;\033)443 597 y Fm(h)482 588 y Fo(;C)550 597 y Fm(h)592 576 y Ft(\()p Fp(d )724 546 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))871 576 y Ft(\))h(and)g Fl(V)1167 546 y Fo(h)1246 576 y Ft(are)e(giv)n(en)h(b)n(y)h(\(3.15\))f(and)h(\(3.16\),) h(resp)r(ectiv)n(ely)-7 b(,)37 b(while)f Fp(S)3192 546 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))3406 576 y Ft(\()p Fp(\036)p Ft(\),)0 676 y(whic)n(h)g(denotes)f(the)i(sum)f(o)n(v)n(er)e(all)i(the) g(terms)g(dep)r(enden)n(t)g(on)g Fp(\036)g Ft(but)h(indep)r(enden)n(t)g (of)f(the)g Fp( )j Ft(\014eld,)g(and)0 775 y Fl(B)58 745 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))152 775 y Ft(\()p Fp( )241 745 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))388 775 y Fp(;)14 b(\036)p Ft(\),)27 b(whic)n(h)g(denotes)f(the)g(sum)h(o)n(v)n(er)d(all) i(the)h(terms)f(con)n(taining)f(at)h(least)g(one)g Fp(\036)h Ft(\014eld)g(and)f(t)n(w)n(o)f Fp( )0 909 y Ft(\014elds,)j(can)f(b)r(e) h(represen)n(ted)e(in)i(the)g(form,)f(if)1478 842 y Fj(R)1547 909 y Fp(d)p Fq(x)c Ft(=)1751 842 y Fj(R)1816 833 y Fm(\014)p 1816 848 35 4 v 1819 881 a Fn(2)1790 950 y Fi(\000)1852 923 y Fm(\014)p 1852 938 V 1855 970 a Fn(2)1915 909 y Fp(dx)2005 921 y Fk(0)2057 847 y Fj(P)2144 934 y Fo(x)p Fi(2)p Fk(\003)664 1217 y Fp(S)720 1183 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))899 1217 y Ft(\()p Fp(\036)p Ft(\))h(=)1162 1113 y Fi(1)1135 1138 y Fj(X)1123 1314 y Fo(m)p Fk(=1)1280 1104 y Fj(Z)1377 1217 y Fp(d)p Fq(x)1470 1229 y Fk(1)1522 1217 y Fl(\001)14 b(\001)g(\001)f Fp(d)p Fq(x)1725 1229 y Fo(m)1789 1217 y Fp(S)1845 1183 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(+1\))1840 1237 y Fo(m)2024 1217 y Ft(\()p Fq(x)2106 1229 y Fk(1)2144 1217 y Fp(;)h(:)g(:)g(:)f(;)h Fq(x)2378 1229 y Fo(m)2441 1217 y Ft(\))2473 1125 y Fj(h)2551 1113 y Fo(m)2528 1138 y Fj(Y)2527 1315 y Fo(i)p Fk(=1)2648 1217 y Fp(\036)p Ft(\()p Fq(x)2779 1229 y Fo(i)2808 1217 y Ft(\))2840 1125 y Fj(i)3373 1217 y Ft(\(7)p Fp(:)p Ft(4\))564 1571 y Fl(B)622 1537 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))716 1571 y Ft(\()p Fp( )805 1537 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))952 1571 y Fp(;)g(\036)p Ft(\))24 b(=)1220 1467 y Fi(1)1193 1492 y Fj(X)1182 1668 y Fo(m)p Fk(=1)1368 1467 y Fi(1)1341 1492 y Fj(X)1339 1668 y Fo(n)p Fk(=1)1477 1492 y Fj(X)1485 1666 y Fo(\033)p 1485 1679 41 4 v 3 w(;!)p 1546 1679 44 4 v 1611 1458 a Fj(Z)1708 1571 y Fp(d)p Fq(x)1801 1583 y Fk(1)1853 1571 y Fl(\001)14 b(\001)g(\001)f Fp(d)p Fq(x)2056 1583 y Fo(m)2120 1571 y Fp(d)p Fq(y)2213 1583 y Fk(1)2265 1571 y Fl(\001)h(\001)g(\001)f Fp(d)p Fq(y)2468 1583 y Fk(2)p Fo(n)2570 1571 y Fl(\001)749 1874 y(\001)41 b Fp(B)880 1831 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))876 1896 y Fo(m;)p Fk(2)p Fo(n;\033)p 1049 1909 41 4 v 2 w(;!)p 1109 1909 44 4 v 1157 1874 a Ft(\()p Fq(x)1239 1886 y Fk(1)1277 1874 y Fp(;)14 b(:)g(:)g(:)g(;)g Fq(x)1512 1886 y Fo(m)1575 1874 y Ft(;)g Fq(y)1662 1886 y Fk(1)1700 1874 y Fp(;)g(:)g(:)g(:)f(;)h Fq(y)1934 1886 y Fk(2)p Fo(n)2013 1874 y Ft(\))2045 1782 y Fj(h)2122 1770 y Fo(m)2099 1795 y Fj(Y)2098 1972 y Fo(i)p Fk(=1)2219 1874 y Fp(\036)p Ft(\()p Fq(x)2350 1886 y Fo(i)2379 1874 y Ft(\))2411 1782 y Fj(i)q(h)2520 1770 y Fk(2)p Fo(n)2504 1795 y Fj(Y)2504 1972 y Fo(i)p Fk(=1)2625 1874 y Fp( )2682 1840 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))p Fo(\033)2863 1848 y Fm(i)2679 1895 y Fh(y)2719 1903 y Fm(i)2745 1895 y Fo(;!)2807 1903 y Fm(i)2894 1782 y Fj(i)2956 1874 y Fp(:)3373 1728 y Ft(\(7)p Fp(:)p Ft(5\))33 2106 y(Since)35 b(the)g(\014eld)h Fp(\036)f Ft(is)g(equiv)-5 b(alen)n(t,)36 b(from)f(the)g(p)r(oin)n(t)g(of)g(view)f(of)h (dimensional)g(considerations,)f(to)h(t)n(w)n(o)f Fp( )0 2206 y Ft(\014elds,)j(the)f(only)f(terms)g(in)h(the)g(r.h.s.)60 b(of)35 b(\(7.5\))g(whic)n(h)h(are)e(not)h(irrelev)-5 b(an)n(t)35 b(are)f(those)h(with)h Fp(m)g Ft(=)g(1)f(and)0 2305 y Fp(n)k Ft(=)f(1,)i(whic)n(h)d(are)f(marginal.)64 b(Hence)38 b(w)n(e)e(extend)i(the)f(de\014nition)h(of)f(the)h(lo)r (calization)e(op)r(erator)f Fl(L)p Ft(,)40 b(so)0 2405 y(that)35 b(its)h(action)e(on)h Fl(B)748 2375 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))842 2405 y Ft(\()p Fp( )931 2375 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1078 2405 y Fp(;)14 b(\036)p Ft(\))36 b(in)f(describ)r(ed)g(in)g(the)h(follo)n(wing)e(w)n(a)n(y)-7 b(,)36 b(b)n(y)f(its)g(action)f(on)h(the)h(k)n(ernels)0 2521 y Fp(B)67 2478 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))63 2543 y Fo(m;)p Fk(2)p Fo(n;\033)o(;!)340 2521 y Ft(\()p Fq(p)p Fp(;)14 b Fq(k)512 2533 y Fk(1)550 2521 y Fp(;)g(::;)g Fq(k)720 2533 y Fo(n)766 2521 y Ft(\):)28 2692 y(1\))27 b(if)h Fp(m)23 b Ft(=)g(1,)k Fp(n)c Ft(=)g(1)k(then)1100 2809 y Fl(L)p Fp(B)1224 2766 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1220 2831 y(1)p Fo(;)p Fk(2)p Fo(;\033)o(;!)1430 2809 y Ft(\()p Fq(p)p Ft(;)14 b Fq(k)1602 2821 y Fk(1)1640 2809 y Fp(;)g Fq(k)1727 2821 y Fk(2)1765 2809 y Ft(\))23 b(=)g Fp(B)1975 2766 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1971 2831 y(1)p Fo(;)p Fk(2)p Fo(;\033)o(;!)2181 2809 y Ft(\(0;)14 b(0)p Fp(;)g Ft(0\))928 b(\(7)p Fp(:)p Ft(6\))28 2969 y(2\))27 b Fl(L)c Ft(=)g(0)k(in)h(all)f (the)h(other)f(cases)33 3069 y(It)h(follo)n(ws)f(that)977 3223 y Fl(LB)1092 3188 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))1186 3223 y Ft(\()p Fp( )1275 3188 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1422 3223 y Fp(;)14 b(\036)p Ft(\))24 b(=)1662 3165 y Fp(Z)1725 3122 y Fk(\(1\))1719 3190 y Fo(h)p 1662 3203 152 4 v 1688 3279 a Fp(Z)1745 3291 y Fo(h)1823 3223 y Fp(F)1888 3179 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1876 3245 y(1)2054 3223 y Ft(+)2147 3165 y Fp(Z)2210 3122 y Fk(\(2\))2204 3190 y Fo(h)p 2147 3203 V 2173 3279 a Fp(Z)2230 3291 y Fo(h)2308 3223 y Fp(F)2373 3179 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))2361 3245 y(2)2543 3223 y Fp(;)807 b Ft(\(7)p Fp(:)p Ft(7\))0 3446 y(where)27 b Fp(Z)303 3403 y Fk(\(1\))297 3472 y Fo(h)419 3446 y Ft(and)h Fp(Z)644 3403 y Fk(\(2\))638 3472 y Fo(h)760 3446 y Ft(are)f(real)g(n)n(um)n(b)r(ers,)g(suc)n(h)g (that)h Fp(Z)1849 3403 y Fk(\(1\))1843 3469 y(1)1961 3446 y Ft(=)22 b Fp(Z)2111 3403 y Fk(\(2\))2105 3469 y(1)2223 3446 y Ft(=)h(1)k(and)944 3694 y Fp(F)1009 3651 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))997 3716 y(1)1179 3694 y Ft(=)1266 3615 y Fj(X)1274 3789 y Fo(!)r(;\033)1400 3581 y Fj(Z)1497 3694 y Fp(d)p Fq(x)p Fp(\036)p Ft(\()p Fq(x)p Ft(\))p Fp(e)1792 3660 y Fk(2)p Fo(i!)r Fh(p)1934 3668 y Fm(F)1983 3660 y Fo(x)2025 3694 y Fp( )2082 3660 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\)+)2079 3714 y Fh(x)p Fo(;!)r(;\033)2280 3694 y Fp( )2337 3651 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))p Fi(\000)2334 3714 y Fh(x)p Fo(;)p Fi(\000)p Fo(!)r(;\033)2576 3694 y Fp(;)774 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3398 y Fp(dx)1817 3410 y Fk(0)1869 3319 y Fj(X)1880 3494 y Fo(x;\033)2003 3398 y Fp(\027)2044 3410 y Fo(\033)2089 3398 y Fp( )2146 3364 y Fk(+)2143 3419 y Fh(x)p Fo(;\033)2247 3398 y Fp( )2304 3364 y Fi(\000)2301 3419 y Fh(x)p Fo(;\033)2413 3398 y Ft(+)2486 3285 y Fj(Z)2568 3306 y Fo(\014)s(=)p Fk(2)2531 3474 y Fi(\000)p Fo(\014)s(=)p Fk(2)2709 3398 y Fp(dx)2799 3410 y Fk(0)2868 3319 y Fj(X)2851 3494 y Fo(x;y)r(;\033)3018 3398 y Fp(\016)3055 3410 y Fo(\033)3100 3398 y Fp(t)3130 3410 y Fo(x;y)3227 3398 y Fp( )3284 3364 y Fk(+)3281 3419 y Fh(x)p Fo(;\033)3385 3398 y Fp( )3442 3364 y Fi(\000)3439 3419 y Fh(x)p Fo(;\033)3373 3584 y Ft(\(8)p Fp(:)p Ft(2\))33 3684 y(The)e(ultra)n(violet)f(and)g (infrared)g(in)n(tegration)g(are)g(done)g(as)g(in)i Fl(x)o Ft(2,)p Fl(x)p Ft(3,)g(with)f(the)g(di\013erence)g(that)g(for)g Fp(h)i Fl(\024)3322 3662 y Ft(\026)3321 3684 y Fp(h)e Ft(only)0 3783 y(quartic)32 b(momomials)g(v)n(erifying)g Fl(jj)1140 3721 y Fj(P)1228 3741 y Fk(4)1228 3808 y Fo(i)p Fk(=1)1354 3783 y Fp(")1393 3795 y Fo(i)1420 3783 y Fp(!)1472 3795 y Fo(i)1499 3783 y Fp(p)1541 3746 y Fo(\033)1579 3754 y Fm(i)1541 3808 y Fo(F)1610 3783 y Fl(jj)g Ft(=)g(0)h(\(instead)g (of)g(\(3.18\)\))f(are)g(presen)n(t)h(in)g(the)g(e\013ectiv)n(e)0 3883 y(p)r(oten)n(tial.)j(The)26 b(de\014nition)g(of)g Fl(L)g Ft(on)g(the)g(quartic)f(terms)h(is)g(similar)f(to)g(\(3.19\))g (with)i(the)f(di\013erence)g(that)g(the)0 3991 y(delta)i(function)g(in) g(the)g(\(3.19\))f(is)g(replaced)g(b)n(y)h Fp(\016)s Ft(\()1612 3929 y Fj(P)1700 3949 y Fk(4)1700 4016 y Fo(i)p Fk(=1)1825 3991 y Fp(")1864 4003 y Fo(i)1891 3991 y Fp(!)1943 4003 y Fo(i)1971 3991 y Fp(p)2013 3954 y Fo(\033)2051 3962 y Fm(i)2013 4015 y Fo(F)2081 3991 y Ft(\).)38 b(This)28 b(means)f(that)h(the)g(quartic)f(marginal)0 4103 y(terms)g(v)n(erify) 462 4041 y Fj(P)550 4062 y Fk(4)550 4128 y Fo(i)p Fk(=1)676 4103 y Fp(")715 4115 y Fo(i)742 4103 y Fp(!)794 4115 y Fo(i)821 4103 y Fp(p)863 4067 y Fo(\033)901 4075 y Fm(i)863 4128 y Fo(F)955 4103 y Ft(=)c(0)28 b(mo)r(d.)37 b(2)p Fp(\031)31 b Ft(and)c(this)h(condition)g(forbids)f(the)h (con\014guration)f(of)g Fp(!)k Ft(giv)n(en)c(b)n(y)0 4203 y(the)g(second)f(of)h(\(3.22\),)f(if)i Fp(h)e Ft(is)h(small)g (enough,)f(as)g Fp(p)1666 4215 y Fo(F)1721 4203 y Ft(\()p Fp(\033)s Ft(\))18 b Fl(\000)e Fp(p)1976 4215 y Fo(F)2031 4203 y Ft(\()p Fl(\000)p Fp(\033)s Ft(\))i(+)e Fp(n\031)26 b Fl(6)p Ft(=)d(0;)k(in)g(other)f(w)n(ords)f(there)i(is)g(no)0 4303 y(the)k(analogue)f(of)h(the)g Fp(g)783 4263 y Fo(p)780 4325 y Fk(1)821 4303 y Ft(-terms)g(in)g(the)g(e\013ectiv)n(e)g(p)r (oten)n(tial.)47 b(Moreo)n(v)n(er)29 b(w)n(e)h(are)g(assuming)g(in)i (Theorem)e(2)0 4402 y(that)24 b Fl(j)14 b Ft(cos)324 4372 y Fi(\000)p Fk(1)413 4402 y Ft(\()p Fp(\026)c Ft(+)g Fp(h)p Ft(\))g(+)g(cos)855 4372 y Fi(\000)p Fk(1)944 4402 y Ft(\()p Fp(\026)g Fl(\000)g Fp(h)p Ft(\))g Fl(\000)g Fp(\031)s Fl(j)23 b(\025)1478 4381 y Ft(\026)1460 4402 y Fp(C)29 b Ft(for)23 b(some)g(constan)n(t)f Fp(C)6 b Ft(;)26 b(this)d(implies)h(that)f(the)h(con\014guration)0 4502 y(\()p Fp(!)s(;)14 b Fl(\000)p Fp(!)s(;)g(!)s(;)g Fl(\000)p Fp(!)s Ft(\))26 b(is)h(not)h(allo)n(w)n(ed.)33 4602 y(The)40 b(w)n(a)n(v)n(e)e(function)j(renormalization)c(dep)r (ends)k(b)n(y)e Fp(\033)s Ft(,)44 b(that)c(is)g Fp(Z)2299 4614 y Fo(h;\033)2402 4602 y Ft(\))g(and)f(the)i(relev)-5 b(an)n(t)39 b(part)g(of)h(the)0 4701 y(e\013ectiv)n(e)28 b(p)r(oten)n(tial)f(is)h(giv)n(en)e(b)n(y)348 4901 y Fl(L)413 4880 y Fj(b)405 4901 y Fl(V)463 4867 y Fk(\()p Fo(h)p Fk(\))558 4901 y Ft(\()590 4828 y Fj(p)p 673 4828 185 4 v 73 x Fp(Z)730 4913 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)858 4901 y Fp( )915 4867 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1062 4901 y Ft(\))d(=)1205 4822 y Fj(X)1244 4996 y Fo(\033)1325 4901 y Fl(f)p Fp(\016)1404 4913 y Fo(h;\033)1506 4901 y Fp(F)1559 4913 y Fo(a;\033)1660 4901 y Ft(\()1692 4828 y Fj(p)p 1775 4828 V 73 x Fp(Z)1832 4913 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)1960 4901 y Fp( )2017 4867 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))2182 4901 y Ft(+)18 b Fp(\015)2313 4867 y Fo(h)2356 4901 y Fp(\027)2397 4913 y Fo(h;\033)2500 4901 y Fp(F)2553 4913 y Fo(n;\033)2659 4901 y Ft(\()2691 4828 y Fj(p)p 2775 4828 V 2775 4901 a Fp(Z)2832 4913 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)2959 4901 y Fp( )3016 4867 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))3163 4901 y Ft(\))178 b(\(8)p Fp(:)p Ft(3\))225 5181 y(+)p Fp(g)333 5141 y Fo(p)330 5206 y Fk(2)p Fo(;h;\033)486 5181 y Fp(F)539 5193 y Fk(2)p Fo(;\033)o(;)p Fi(\000)p Fo(\033)745 5181 y Ft(\()777 5108 y Fj(p)p 860 5108 V 73 x Fp(Z)917 5193 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)1045 5181 y Fp( )1102 5147 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))1267 5181 y Ft(+)18 b Fp(g)1393 5147 y Fo(o)1390 5201 y Fk(2)p Fo(;h;\033)1546 5181 y Fp(F)1599 5193 y Fk(2)p Fo(;\033)o(;\033)1754 5181 y Ft(\()1786 5108 y Fj(p)p 1869 5108 V 73 x Fp(Z)1926 5193 y Fo(h)p Fi(\000)p Fk(1)2054 5181 y Fp( )2111 5147 y Fk(\()p Fi(\024)p Fo(h)p Fk(\))2276 5181 y Ft(+)g Fp(g)2399 5193 y Fk(4)p Fo(;h;\033)2555 5181 y Fp(F)2608 5193 y Fk(4)p Fo(;\033)o(;)p Fi(\000)p Fo(\033)2814 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Ft(It)e(is)g(con)n(v)n(enien)n(t)e (to)i(in)n(tro)r(duce)f(an)g(ultra)n(violet)g(cut-o\013)g Fp(N)37 b Ft(b)n(y)27 b(writing)1275 4948 y Fp(g)1318 4914 y Fk([1)p Fo(;N)6 b Fk(])1471 4948 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))25 b(=)1819 4844 y Fo(N)1788 4869 y Fj(X)1786 5045 y Fo(n)p Fk(=0)1925 4948 y Fp(g)1968 4914 y Fk(\()p Fo(n)p Fk(\))2064 4948 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))1107 b(\(9)p Fp(:)p Ft(1\))0 5216 y(where)704 5354 y Fp(g)747 5319 y Fk(\()p Fo(n)p Fk(\))843 5354 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))25 b(=)1201 5298 y(1)p 1168 5335 108 4 v 1168 5411 a Fp(L\014)1308 5275 y Fj(X)1299 5454 y Fh(k)p Fi(2D)1469 5332 y Ft(^)1451 5354 y Fp(f)1492 5366 y Fo(u:v)r(:)1610 5354 y Ft(\()p Fq(k)p Ft(\))p Fp(h)1772 5366 y Fo(n)1818 5354 y Ft(\()p Fp(k)1893 5366 y Fk(0)1930 5354 y Ft(\))2230 5298 y Fp(e)2269 5267 y Fi(\000)p Fo(i)p Fh(k)p Fk(\()p Fh(x)p Fi(\000)p Fh(y)q Fk(\))p 1973 5335 858 4 v 1973 5415 a Fl(\000)p Fp(ik)2110 5427 y Fk(0)2165 5415 y Fl(\000)2249 5400 y Ft(~)2248 5415 y Fp(t)14 b Ft(cos)f Fp(k)21 b Ft(+)2565 5400 y(~)2564 5415 y Fp(t)14 b Ft(cos)f Fp(p)2775 5427 y Fo(F)3373 5354 y Ft(\(9)p Fp(:)p Ft(2\))0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(34)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 0 83 a Ft(with)32 b Fp(h)241 95 y Fk(0)278 83 y Ft(\()p Fp(k)353 95 y Fk(0)391 83 y Ft(\))e(=)f Fp(\037)p Ft(\()p Fp(k)674 95 y Fk(0)712 83 y Ft(\))i(and)h Fp(h)989 95 y Fo(n)1034 83 y Ft(\()p Fp(k)1109 95 y Fk(0)1147 83 y Ft(\))d(=)h Fp(\037)p Ft(\()p Fp(\015)1435 53 y Fi(\000)p Fo(n)p Fk(+1)1616 83 y Fp(k)1659 95 y Fk(0)1696 83 y Ft(\))21 b Fl(\000)g Fp(\037)p Ft(\()p Fp(\015)1967 53 y Fi(\000)p Fo(n)2064 83 y Fp(k)2107 95 y Fk(0)2144 83 y Ft(\);)34 b(it)e(holds)f(that)h(lim)2840 95 y Fo(N)6 b Fi(!1)3050 83 y Fp(g)3093 53 y Fk([1)p Fo(;N)g Fk(])3246 83 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))31 b(=)0 183 y Fp(g)43 153 y Fk(\()p Fo(u:v)r(:)p Fk(\))213 183 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))29 b(and,)e(for)g(an)n(y)g(in)n (teger)g Fp(K)1205 418 y Fl(j)p Fp(g)1271 383 y Fk(\()p Fo(n)p Fk(\))1367 418 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(y)q Ft(\))p Fl(j)25 b(\024)1960 361 y Fp(C)2019 373 y Fo(K)p 1715 398 615 4 v 1715 475 a Ft(1)18 b(+)g(\()p Fp(\015)1938 451 y Fo(n)1983 475 y Fl(j)p Fq(x)h Fl(\000)f Fq(y)q Fl(j)p Ft(\))2264 451 y Fo(K)3373 418 y Ft(\(9)p Fp(:)p Ft(3\))0 654 y(W)-7 b(e)28 b(de\014ne)903 775 y Fp(V)969 741 y Fk(\(0\))1059 775 y Ft(\()p Fp(\036)p Ft(\))c(=)60 b(lim)1283 829 y Fo(N)6 b Fi(!1)1488 775 y Ft(log)1651 719 y(1)p 1619 756 106 4 v 1619 832 a Fl(N)1687 844 y Fk(0)1749 662 y Fj(Z)1845 775 y Fp(P)12 b Ft(\()p Fp(d )2042 741 y Fk([1)p Fo(;N)6 b Fk(])2196 775 y Ft(\))p Fp(e)2267 741 y Fi(V)f Fk(\()p Fo( )2386 716 y Fn([1)p Fm(;N)g Fn(])2520 741 y Fk(+)p Fo(\036)p Fk(\))3373 775 y Ft(\(9)p Fp(:)p Ft(4\))0 968 y(W)-7 b(e)25 b(can)g(in)n(tegrate)f(iterativ)n (ely)g(scale)g(b)n(y)g(scale,)h(and)g(after)f(the)i(in)n(tegration)d (of)i(the)g(scales)f Fp(N)t(;)14 b(N)22 b Fl(\000)13 b Ft(1)p 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Fr(self-c)l(ontr)l(actions)g Ft(or)e Fr(tadp)l(oles)p Ft(;)43 b(note)36 b(ho)n(w)n(ev)n(er)f(that)i(no)0 2280 y(div)n(ergence)28 b(are)h(asso)r(ciate)f(to)i(self-con)n(tractions)e (as)h Fp(g)1768 2249 y Fk(\()p Fo(n;N)6 b Fk(\))1943 2280 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(x)p Ft(\))31 b(is)f(b)r(ounded)g (uniformly)g(in)g Fp(N)9 b Ft(.)43 b(Consider)0 2379 y(then)30 b(a)f(generic)g(tree)g(with)h(all)g(the)g(sets)f Fp(P)1385 2391 y Fo(v)1454 2379 y Ft(assigned;)h(the)g(simple)g(exp)r (ectations)f(o)n(v)n(er)f(the)h(trivial)g(v)n(ertices)0 2479 y(in)34 b(the)f(tree)g(with)h Fp(m)691 2491 y Fo(v)763 2479 y Ft(=)e(1)h(b)r(efore)g(the)g(\014rst)h(non)f(trivial)f(v)n (ertex)k(\026)-45 b Fp(v)36 b Ft(can)d(b)r(e)h(explicitly)f(computed,)i (giving)0 2590 y Fp( )57 2547 y Fk(+\()p Fi(\024)p Fo(n)230 2555 y Fn(\026)-31 b Fm(v)263 2547 y Fk(\))54 2600 y Fh(x)293 2590 y Fp( )350 2547 y Fi(\000)p Fk(\()p Fi(\024)p Fo(n)524 2555 y Fn(\026)g Fm(v)556 2547 y Fk(\))347 2600 y Fh(x)586 2590 y Fp(g)629 2560 y Fk(\()p Fo(n)699 2568 y Fn(\026)g Fm(v)731 2560 y Fo(;M)6 b Fk(\))851 2590 y Ft(\()p Fq(x)p Fp(;)14 b Fq(x)p Ft(\);)47 b(the)40 b(rest)g(of)g(the)g(tree)f(is)h(b)r(ounded)g(b)n(y)g(an)f(expression)g (lik)n(e)g(\(9.6\))h(with)0 2690 y Fp(m)73 2702 y Fo(v)135 2690 y Fp(>)23 b Ft(1,)k(so)g(that)h(b)n(y)f(summing)h(o)n(v)n(er)e (all)h(the)h(scales)f(and)g(the)h(trees)f(the)h(b)r(ound)g(\(2.17\))f (is)g(found.)0 2860 y Fq(9.2)70 b Fr(Spin)30 b(symmetry)33 2960 y Ft(Finally)23 b(the)f(symmetry)g(prop)r(ert)n(y)f(\(2.18\))h (follo)n(ws)f(from)i(the)f Fp(S)5 b(U)k Ft(\(2\))22 b(in)n(v)-5 b(ariance)21 b(of)i(the)f(Hubbard)h(mo)r(del.)35 b(A)0 3059 y(direct)28 b(w)n(a)n(y)e(to)i(c)n(hec)n(k)f(this)h(prop)r(ert)n (y)f(consists)g(in)i(expanding)e(the)h(truncated)g(exp)r(ectations)f (corresp)r(onding)0 3159 y(to)32 b(the)g(in)n(tegration)f(of)h Fp( )836 3129 y Fo(u:v)r(:)986 3159 y Ft(in)h(terms)f(of)g Fr(F)-6 b(eynmann)33 b(gr)l(aphs)p Ft(.)52 b(The)32 b(in)n(teraction)f (can)g(b)r(e)i(also)e(written)h(in)0 3259 y(the)c(follo)n(wing)f(w)n(a) n(y)-7 b(,)26 b(making)h(more)g(explicit)h(the)g(spin)f(symmetry)g(of)h (the)g(Hubbard)f(mo)r(del)0 3489 y Fl(V)j Ft(=)178 3433 y Fp(U)p 178 3470 66 4 v 190 3546 a Ft(2)268 3376 y Fj(Z)365 3489 y Fp(dx)455 3501 y Fk(0)506 3410 y Fj(X)548 3584 y Fo(x)626 3489 y Ft(\()658 3410 y Fj(X)698 3584 y Fo(\033)792 3489 y Fp( )849 3455 y Fk(+)846 3510 y Fh(x)p Fo(;\033)951 3489 y Fp( )1008 3455 y Fi(\000)1005 3510 y Fh(x)p Fo(;\033)1109 3489 y Ft(\)\()1173 3410 y Fj(X)1202 3588 y Fo(\033)1242 3572 y Fd(0)1307 3489 y Fp( )1364 3453 y Fk(+)1361 3513 y Fh(x)p Fo(;\033)1461 3497 y Fd(0)1488 3489 y Fp( )1545 3453 y Fi(\000)1542 3513 y Fh(x)p Fo(;\033)1642 3497 y Fd(0)1668 3489 y Ft(\)+)p Fp(\027)1825 3410 y Fj(X)1836 3584 y Fo(x;\033)1959 3376 y Fj(Z)2056 3489 y Fp(dx)2146 3501 y Fk(0)2184 3489 y Fp( )2241 3455 y Fk(+)2238 3510 y Fh(x)p Fo(;\033)2342 3489 y Fp( )2399 3455 y Fi(\000)2396 3510 y Fh(x)p Fo(;\033)2500 3489 y Ft(+)p 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Fr(Phys.)k(R)l(ev.)e(L)l(ett.)p Ft(45,)27 b(1358{1362)c(\(1980\).)0 1887 y([L])213 b(E.H.Lieb.)38 b(The)28 b(Hubbard)g(mo)r(del:)38 b(its)28 b(ph)n(ysiscs)f(and)h (mathematical)g(ph)n(ysics,)f(ed.)38 b(D.)29 b(Baeriswyl,)311 1987 y(D.)f(Campb)r(ell,)g(J.)g(Carmelo,)e(F.)i(Guinea,)g(E.Luis,)f (Nato)g(ASI)h(sero)r(es,)e(ph)n(ys)i(v)n(ol)e(343)g(\(1995\).)0 2078 y([L)-9 b(W])137 b(E.H.Lieb,)28 b(F.Y.W)-7 b(u.)38 b Fr(Phys.)h(R)l(ev.)g(L)l(ett.)p Ft(20,)26 b(1445{1449)d(\(1968\).)0 2178 y([ML])137 b(D.)28 b(Mattis,)g(E.)f(Lieb.)37 b Fr(J.)30 b(Math.)39 b(Phys.)g Fq(6)p Ft(,)27 b(304{312)e(\(1965\).)0 2277 y([O])200 b(A.A.)28 b(Ov)n(c)n(hinnik)n(o)n(v.)35 b Fr(Sov.Phys.)41 b(JETP)28 b Ft(30,1160)d(\(1970\).)0 2377 y([OS])154 b(M.Ogata,)26 b(H.Shiba.)38 b Fr(Phys.)h(R)l(ev.)g(B)28 b Ft(41,2326)d(\(1990\).)0 2477 y([PS)i(])135 b(A.P)n(arola)25 b(S.Sorella.)36 b Fr(Phys.R)l(ev.)k(L)l(ett.)d Ft(64,)26 b(1831-1834)e(\(1990\))0 2576 y([RS])158 b(A.Rosc)n(h,)27 b(N.Andrei.)38 b Fr(Phys)30 b(R)l(ev)g(L)l(ett)d Ft(85,5)f(1092{1096)d (\(2000\).)0 2676 y([S)28 b(])191 b(J.)28 b(Soly)n(om.)35 b Fr(A)l(dv.)k(Phys.)g Ft(28,)26 b(201{303)f(\(1979\).)0 2776 y([T)j(])177 b(M.)28 b(T)-7 b(ak)i(ahashi.)36 b Fr(Pr)l(o)l(g.)j(The)l(or.)h(Phys.)e Ft(89,)27 b(\(1972\).)0 5632 y Fn(17)p Fm(=f)5 b(ebbr)q(aio=)p Fn(2005;)30 b(15:21)1099 b Ft(36)p eop %%Trailer end userdict /end-hook known{end-hook}if %%EOF ---------------0502171136297--