Content-Type: multipart/mixed; boundary="-------------0108141312380" This is a multi-part message in MIME format. ---------------0108141312380 Content-Type: text/plain; name="01-301.keywords" Content-Transfer-Encoding: 7bit Content-Disposition: attachment; filename="01-301.keywords" spin glasses, Hopfield model, phase transition, overlap distribution ---------------0108141312380 Content-Type: application/postscript; name="phopf.ps" Content-Transfer-Encoding: 7bit Content-Disposition: inline; filename="phopf.ps" %!PS-Adobe-2.0 %%Creator: dvips(k) 5.86 Copyright 1999 Radical Eye Software %%Title: phopf.dvi %%Pages: 58 %%PageOrder: Ascend %%BoundingBox: 0 0 612 792 %%EndComments %DVIPSWebPage: (www.radicaleye.com) %DVIPSCommandLine: dvips phopf -o %DVIPSParameters: dpi=600, compressed %DVIPSSource: TeX output 2001.08.14:1227 %%BeginProcSet: texc.pro %! /TeXDict 300 dict def TeXDict begin/N{def}def/B{bind def}N/S{exch}N/X{S N}B/A{dup}B/TR{translate}N/isls false N/vsize 11 72 mul N/hsize 8.5 72 mul N/landplus90{false}def/@rigin{isls{[0 landplus90{1 -1}{-1 1}ifelse 0 0 0]concat}if 72 Resolution div 72 VResolution div neg scale isls{ landplus90{VResolution 72 div vsize mul 0 exch}{Resolution -72 div hsize mul 0}ifelse TR}if Resolution VResolution vsize -72 div 1 add mul TR[ matrix currentmatrix{A A round sub abs 0.00001 lt{round}if}forall round exch round exch]setmatrix}N/@landscape{/isls true N}B/@manualfeed{ statusdict/manualfeed true put}B/@copies{/#copies X}B/FMat[1 0 0 -1 0 0] N/FBB[0 0 0 0]N/nn 0 N/IEn 0 N/ctr 0 N/df-tail{/nn 8 dict N nn begin /FontType 3 N/FontMatrix fntrx N/FontBBox FBB N string/base X array /BitMaps X/BuildChar{CharBuilder}N/Encoding IEn N end A{/foo setfont}2 array copy cvx N load 0 nn put/ctr 0 N[}B/sf 0 N/df{/sf 1 N/fntrx FMat N df-tail}B/dfs{div/sf X/fntrx[sf 0 0 sf neg 0 0]N df-tail}B/E{pop nn A definefont setfont}B/Cw{Cd A length 5 sub get}B/Ch{Cd A length 4 sub get }B/Cx{128 Cd A length 3 sub get sub}B/Cy{Cd A length 2 sub get 127 sub} B/Cdx{Cd A length 1 sub get}B/Ci{Cd A type/stringtype ne{ctr get/ctr ctr 1 add N}if}B/id 0 N/rw 0 N/rc 0 N/gp 0 N/cp 0 N/G 0 N/CharBuilder{save 3 1 roll S A/base get 2 index get S/BitMaps get S get/Cd X pop/ctr 0 N Cdx 0 Cx Cy Ch sub Cx Cw add Cy setcachedevice Cw Ch true[1 0 0 -1 -.1 Cx sub Cy .1 sub]/id Ci N/rw Cw 7 add 8 idiv string N/rc 0 N/gp 0 N/cp 0 N{ rc 0 ne{rc 1 sub/rc X rw}{G}ifelse}imagemask restore}B/G{{id gp get/gp gp 1 add N A 18 mod S 18 idiv pl S get exec}loop}B/adv{cp add/cp X}B /chg{rw cp id gp 4 index getinterval putinterval A gp add/gp X adv}B/nd{ /cp 0 N rw exit}B/lsh{rw cp 2 copy get A 0 eq{pop 1}{A 255 eq{pop 254}{ A A add 255 and S 1 and or}ifelse}ifelse put 1 adv}B/rsh{rw cp 2 copy get A 0 eq{pop 128}{A 255 eq{pop 127}{A 2 idiv S 128 and or}ifelse} ifelse put 1 adv}B/clr{rw cp 2 index string putinterval adv}B/set{rw cp fillstr 0 4 index getinterval putinterval adv}B/fillstr 18 string 0 1 17 {2 copy 255 put pop}for N/pl[{adv 1 chg}{adv 1 chg nd}{1 add chg}{1 add chg nd}{adv lsh}{adv lsh nd}{adv rsh}{adv rsh nd}{1 add adv}{/rc X nd}{ 1 add set}{1 add clr}{adv 2 chg}{adv 2 chg nd}{pop nd}]A{bind pop} forall N/D{/cc X A type/stringtype ne{]}if nn/base get cc ctr put nn /BitMaps get S ctr S sf 1 ne{A A length 1 sub A 2 index S get sf div put }if put/ctr ctr 1 add N}B/I{cc 1 add D}B/bop{userdict/bop-hook known{ bop-hook}if/SI save N @rigin 0 0 moveto/V matrix currentmatrix A 1 get A mul exch 0 get A mul add .99 lt{/QV}{/RV}ifelse load def pop pop}N/eop{ SI restore userdict/eop-hook known{eop-hook}if showpage}N/@start{ userdict/start-hook known{start-hook}if pop/VResolution X/Resolution X 1000 div/DVImag X/IEn 256 array N 2 string 0 1 255{IEn S A 360 add 36 4 index cvrs cvn put}for pop 65781.76 div/vsize X 65781.76 div/hsize X}N /p{show}N/RMat[1 0 0 -1 0 0]N/BDot 260 string N/Rx 0 N/Ry 0 N/V{}B/RV/v{ /Ry X/Rx X V}B statusdict begin/product where{pop false[(Display)(NeXT) (LaserWriter 16/600)]{A length product length le{A length product exch 0 exch getinterval eq{pop true exit}if}{pop}ifelse}forall}{false}ifelse end{{gsave TR -.1 .1 TR 1 1 scale Rx Ry false RMat{BDot}imagemask grestore}}{{gsave TR -.1 .1 TR Rx Ry scale 1 1 false RMat{BDot} imagemask grestore}}ifelse B/QV{gsave newpath transform round exch round exch itransform moveto Rx 0 rlineto 0 Ry neg rlineto Rx neg 0 rlineto fill grestore}B/a{moveto}B/delta 0 N/tail{A/delta X 0 rmoveto}B/M{S p delta add tail}B/b{S p tail}B/c{-4 M}B/d{-3 M}B/e{-2 M}B/f{-1 M}B/g{0 M} B/h{1 M}B/i{2 M}B/j{3 M}B/k{4 M}B/w{0 rmoveto}B/l{p -4 w}B/m{p -3 w}B/n{ p -2 w}B/o{p -1 w}B/q{p 1 w}B/r{p 2 w}B/s{p 3 w}B/t{p 4 w}B/x{0 S rmoveto}B/y{3 2 roll p a}B/bos{/SS save N}B/eos{SS restore}B end %%EndProcSet TeXDict begin 40258431 52099146 1095 600 600 (phopf.dvi) @start %DVIPSBitmapFont: Fa cmmib10 10.95 1 /Fa 1 13 df12 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fb msam10 10.95 1 /Fb 1 4 df<007FB912E0BA12F0A300F0CBFCB3B3B2BAFCA36C18E03C3E7BBD47>3 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fc cmbx10 11.9902 28 /Fc 28 122 df46 D49 D<903801FFE0011F13FF017F14C048B612F84881260FF80113 FF271FE0007F1380D83F80011F13C06D6D13E0486C7F6D6D13F0487E6D6D13F8A217FC81 A36C5A5B6C5AEA0FC0C9FC4B13F8A217F05D17E05D17C04B138017004B5A4B5A4B5A16E0 4B5A4A5B4A48C7FC4A5A4A5AEC1FE04A5A4A48137802FEC7FC494814F8495A495A495AEB 1F8049C7EA01F0137E49141F48B7FC5A5A5A4816E05A5AB8FCA417C02E417AC039>III<0007150701F0EC3F8001FF9038 07FF0091B6FC5E5E5E5E5E5E5E4BC7FC15F815C04AC8FC01C0C9FCA9EC3FF001C3B5FC01 CF14C090B612F09138C03FF89039FC000FFE496D7E01E01580497F4915C06CC714E0C87E A217F0A317F8A2EA0F80EA3FE0487EA2487EA417F0A25B007F4A13E013C04915C0003EC7 5A6C16806D4913006C6C495AD807F0495AD803FEEBFFF86CB612E06C6C1480011F01FCC7 FC010313E02D427AC039>IIIIII67 D76 D80 D<003FBA12F8A21AFCA39026FE0007EB E00001F0171F4917070180170348C716011900127E1A7C007C197EA21A3EA31278A212F8 1A1EA3C81700B3B3A20103B812C0A547437CC250>84 D<903807FFF0017F13FF48B612E0 48813A07FC007FFC000FEC1FFE486CEB07FF6F7FA26F7FA26F7F6C5A1207EA03F0C9FCA4 0207B5FC91B6FC130F017F13803901FFF8004813C0000F90C7FC485A485A5B485AA2485A A45DA26C6CEB03BF15076C6C90380F3FF801FE013EEBFFE0391FFF80FC00079026FFF81F 13F06C4A7EC66CD9C00113E0D907FEC9FC342E7CAC38>97 D101 D<3801FFC0B5FCA412037E B2ED03FF031F13E0037F13F892B57E9139C3FC0FFE9139C7E007FFED8003DACF008002DC 7F14F8845CA25CA25CB3A7B600C0B61280A539457CC440>104 D<13FCEA03FF48138048 13C0A24813E0A56C13C0A26C138014006C5AEA00F890C7FCA83803FF80B5FCA412077EB3 B0B512FEA517457BC420>I<3803FF80B5FCA412077EB3B3B3A4B6FCA518457BC420>108 D<2803FF8003FFEC07FEB5013F01E090383FFFC092B500F890B512F002816E4880913D83 F81FFE07F81FFC0007903D87C007FF0FC00FFE000190268F80034A6C7EDA9E00EC9E0002 BC03BC7F02B86D01F8158014F84A5D4A5DA34A5DB3A7B60081B60081B6FCA5582D7BAC5F >I<3A01FFC003FFB5011F13E0037F13F892B57E9139C1FC0FFE00039039C3E007FFC690 38C7C003DACF008002DE7F14DC02FC815C5CA35CB3A7B600C0B61280A5392D7CAC40>I< EC0FFF91B512F0010714FC011F14FF90267FF80313C0903AFFC0007FE048496D7E4890C7 6C7E48486E7E000F6F7E4981121F003F6F13805B18C0127FA300FF17E0AA007F17C0A35E 6C6C1680A2001F17006D5C000F5E6C6C4A5A6C5E6C6D495A6C01E0EBFFE090267FF8035B 011FB6C7FC010714FC010114F0D9000F90C8FC332E7DAC39>I<3A01FFC00FFCB590B512 C002C314F002CF14FC9139DFE03FFE0003903AFF000FFF806C01FC6D13C04A6D13E04A7F 4A6D13F04AEC7FF8A218FC173F18FEA3171F18FFAA18FE173FA218FCA2177F18F8EFFFF0 806E4913E06E4913C06E49138002FF011F13009238C07FFE02CFB512F802C714E002C114 809126C03FF8C7FC92C9FCADB67EA538407CAC40>I114 D<90390FFF01C090B512F700 0314FF380FF801391FC0007F4848131F90C7120F007E1407A212FE15037EA201C090C7FC 13F013FF6C13FCECFFC015F86C806C14FF6C15806C15C0000115E06C7E010714F0EB003F 020113F8EC003F00F0141F6C140F150715037EA26C15F0A26C14076D14E06D130F01F0EB 1FC001FCEBFF8090B61200D8FC7F13FCD8F81F13F0D8E0031380252E7CAC2D>II121 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fd cmsy8 8.76 3 /Fd 3 75 df<007FB712FCB812FEA26C16FC2F047A933C>0 D<91383FFFFC49B512FE13 07011F14FCD93FE0C7FC01FFC8FCEA01FCEA03F0485A485A5B48C9FC5A123E123C127CA2 127812F8A25AA2B712FC16FEA216FC00F0C9FCA27EA21278127CA2123C123E123F7E6C7E 7F6C7E6C7EEA01FC6CB4FCEB3FE06DB512FC010714FE1301D9003F13FC27307AA934>50 D<4CB512F0161F93B612E0030315C0030F150092391FC003E092397E0007C003F8495A4A 48131F4A4891C7FC4A48133E4A48137E021F147C92C712FC4A5C023E1301027E5C027C13 0314F091C7485AA34C5AA34C5AA3163F94C8FCA35E167EA316FE5EA34B5A120F123E007E 4A5AA200FE5D4B5A6C140F5E4BC9FC6D133E6C6C5B01F05B9038FC07F06CB512C06C5C6C 49CAFC000313F0C613803C3B7DB134>74 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fe cmsy6 6.57 1 /Fe 1 1 df0 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Ff cmmi6 6.57 5 /Ff 5 113 df12 D<123812FEA212FFA3123B1203A212071206A2120E120C121C123812701260 0812798615>59 D 61 D78 D<3901F00FC03903FC3FF03907 3EF078390E3FC03C380C1F8090383F003ED81C3E131E1218A2D8107E133E1200137CA201 FC137E157C5B15FC000114F8EC01F0A2EC03E03903FC07809038FE1F00EBE7FCEBE1F0D8 07E0C7FCA25BA2120FA25BA2EAFFF8A21F237F9723>112 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fg cmmi8 8.76 8 /Fg 8 91 df<147F903803FFE090380FC1F090383F00FC017C017E13E04848EB3E010003 023F13C04848EB1F815B000F15834848158016C74848010F130016CF007F15CE90C713DE 16DC16F85A485D5EA25E127EA2151F003E143F003F9138F7C1C06C903801E7E13A0F800F 87E33B07C07E03E7803B01FFF801FF003A007F80007C2B217D9F32>11 DI<130E011F147049EB01F8A3491303A2017E5CA201FE1307A2495CA20001140FA2495C A20003141FA2495CA2000791383F81C0168349EC0380A2000FEC7F076D01FF1300EC01FE 0203130E391FF807BF9039FC1F1F1C9039BFFC0FF890398FF001E0D83F80C9FCA290CAFC A25AA2127EA212FEA25AA35A12702A307E9F2E>22 D<010FB712F8A3903A003FC0000F17 014B1300A21878027F157092C8FCA35C5CA2040F13F00101020E13E04A1500A2161E0103 141C4A133C16FC91B5FC5B5EECF0001678010F14705CA216F0011F5C5C93C8FCA2133F5C A3137F91CAFCA35B5B1201B512FEA335327DB131>70 D<010FB539803FFFFEA39026003F C0C71300A24B5CA21701147F92C75BA217035C4A5DA2170713014A5DA2170F13034A5D91 B7FCA25B02F0C7EA1FC0A2173F130F4A5DA2177F131F4A92C7FCA25F133F4A5CA2160113 7F91C75BA216035B495D00011507B5D8FC03B512F0A202F85D3F327DB13F>72 D<90260FFFE092380FFFE0614F13C0D9003FEFE0006F157F023BEEEFC0A2F001DF147B02 739238039F80F0071FDA71F8153F02F1150E02E1031C90C7FCA24E5A0101167002C1167E DAC0FC14E019FE0103ED01C002804A485AA2EF07010107150EDA007E5D171CEF38035B01 0E03705B17E01807011E90383F01C0011C5FEE0380933807000F133C0138020E5C5EDB1F 9C131F017814B8017002F05CA201F04A133FA200014B91C8FCD807F86D485BB500C09138 3FFFFE1600150E4B327CB14A>77 D<90260FFFC0903803FFFE81A29026001FF09038001F C0023F16806FEC0F00023B150E6F141E147BDA71FE141CA20270153CECF0FF4A6C143882 033F1478010180DAC01F14708218F001036D7E02805D6F7E170101071303020001FC5B15 01EEFE03491300010E02FF5B167F1787131E011CDA3FC7C7FCA2EE1FCF013C15EF0138EC 0FEE17FE1607137801706E5AA213F0160100015ED807F81400B512C017784A14703F327D B13D>I<0103B712C0A349903980007F8002F8C7EAFF004A495AD90FC0495A4A495A91C7 485A494A5A011E143F5F494A5A4CC7FC0138495A4B5A0178495A90C7485A4B5A4B5A4B5A 4BC8FCA24A5A4A5A4A5A4A5A4A5A4A5A4A5A4AC712E04948130149485C13074A1303495A 49485C49481307495A49C748C7FC485A48485C4848143E4848147E484814FE003FEC03FC 49131F48B6FCB7FC5E32327CB134>90 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fh msbm7 7.665 3 /Fh 3 83 df78 D80 D 82 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fi cmex10 10.95 56 /Fi 56 126 df<140E141E143C147814F01301EB03E0EB07C0A2EB0F80EB1F00A2133E13 7E137C13FC5B1201A2485AA3485AA2120F5BA2121FA25BA2123FA390C7FCA25AA6127E12 FEB3A4127E127FA67EA27FA3121FA27FA2120FA27F1207A26C7EA36C7EA212007F137C13 7E133E7FA2EB0F80EB07C0A2EB03E0EB01F013001478143C141E140E176C72832A>0 D<12E07E12787E7E121F6C7E6C7EA26C7E6C7EA26C7E7F137C137E133E133FA2EB1F80A3 EB0FC0A214E01307A214F0A21303A214F8A31301A214FCA6130014FEB3A414FC1301A614 F8A21303A314F0A21307A214E0A2130F14C0A2EB1F80A3EB3F00A2133E137E137C13FC5B 485AA2485A485AA2485A48C7FC121E5A5A5A5A176C7C832A>II I<150F157FEC01FFEC07FCEC1FE0EC7FC0ECFF00495A5C13035C13075CB3AD130F5C131F 5C495A49C7FCEA01FEEA03F8EA0FF0EA7F8000FEC8FCA2EA7F80EA0FF0EA03F8EA01FEEA 007F6D7E6D7E80130F801307B3AD801303801301806D7EEC7FC0EC1FE0EC07FCEC01FFEC 007F150F206C768335>8 D<12F012FEEAFFC0EA1FF0EA07FCEA01FE6C6C7EEB3FC0131F 80130F801307B3AD8013038013016D7E147FEC3F80EC1FE0EC07F8EC01FEEC007FA2EC01 FEEC07F8EC1FE0EC3F80EC7F0014FE495A13035C13075CB3AD130F5C131F5C133FEBFF80 4848C7FCEA07FCEA1FF0EAFFC048C8FC12F0206C768335>I<12F0B3B3B3A5043B73811E> 12 D16 D<12F07E127C7E7E6C7E6C7E7F6C7E6C7E12007F137E7FA26D7E6D7EA26D7E A26D7E6D7EA26D7EA280147E147F80A26E7EA281140FA281140781A21403A281A2140181 A3140081A4157E157FA5811680A9ED1FC0B3A9ED3F80A916005DA5157E15FEA45D1401A3 5D1403A25DA21407A25D140F5DA2141F5DA24AC7FCA25C147E14FE5CA2495AA2495A495A A2495AA2495A49C8FCA2137E5B5B1201485A485A5B485A48C9FC123E5A5A5A22A37D8336 >I<17F01601EE03E0EE07C0EE0F80EE1F00163E5E16FC4B5A4B5A4B5A5E150F4B5A4BC7 FCA2157E5D14015D4A5AA24A5A140F5D141F5D143F4AC8FCA214FEA2495AA2495AA2495A A3495AA2495AA3495AA349C9FCA25B5BA312015BA21203A25BA21207A25BA2120FA35BA2 121FA45BA2123FA65B127FAA48CAFCB3AE6C7EAA123F7FA6121FA27FA4120FA27FA31207 A27FA21203A27FA21201A27F1200A37F7FA26D7EA36D7EA36D7EA26D7EA36D7EA26D7EA2 6D7EA2147FA26E7E141F81140F8114076E7EA26E7E811400157E81A26F7E6F7E1507826F 7E6F7E6F7E167C8282EE0F80EE07C0EE03E0EE01F016002CDA6D8343>I<12F07E127C7E 7E6C7E6C7E6C7E7F6C7E6C7E137E133E133F6D7E6D7EA26D7E6D7E8013016D7EA2147E14 7F8081141F816E7EA26E7EA26E7EA26E7EA26E7EA3157FA26F7EA36F7EA36F7EA2821507 A3821503A282A21501A282A21500A282A382A21780A4163FA217C0A6161F17E0AAEE0FF0 B3AEEE1FE0AA17C0163FA61780A2167FA41700A25EA35EA21501A25EA21503A25EA21507 5EA3150F5EA24B5AA34B5AA34BC7FCA215FEA34A5AA24A5AA24A5AA24A5AA24A5A5D143F 92C8FC5C147E5CA2495A13035C495A495AA2495A49C9FC133E137E5B485A485A5B485A48 5A48CAFC123E5A5A5A2CDA7D8343>III< 1778EE01F81607161FEE7FE0EEFF8003031300ED07FC4B5A4B5A4B5A4B5A4B5A93C7FC4A 5A14035D14075D140F5DA34A5AB3B3B3A9143F5DA2147F5DA24AC8FCA2495A13035C495A 495A495A495A495A49C9FC485AEA07F8485AEA3FC0B4CAFC12FCA2B4FCEA3FC0EA0FF06C 7EEA01FE6C7E6D7E6D7E6D7E6D7E6D7E6D7E8013016D7EA26E7EA281143FA281141FB3B3 B3A96E7EA38114078114038114016E7E826F7E6F7E6F7E6F7E6F7E6FB4FC03001380EE7F E0EE1FF816071601EE00782DDA758344>26 D<12F012FCB47E7FEA3FF0EA0FFCEA03FE6C 7E6C13C0EB3FE06D7E6D7E6D7E1303806D7E7F81147F81143FA381141FB3B3B3A881140F A36E7EA26E7EA26E7EA26E7E6F7E82153F6F7E6F7E6F7EED01FE6F7EEE7F80EE1FE0EE07 F81601A21607EE1FE0EE7F80EEFF004B5AED07F84B5A4B5A4B5A157F5E4BC7FC4A5AA24A 5AA24A5AA24A5AA3141F5DB3B3B3A8143F5DA3147F5D14FF92C8FC5B495A5C1307495A49 5A495AEBFFC04890C9FC485AEA0FFCEA3FF0EAFFC05B00FCCAFC12F02DDA758344>I[<17 3E177E17FCEE01F8160317F0EE07E0EE0FC0EE1F80163F1700167E16FE4B5A5E15034B5A 5E150F4B5AA24B5A4BC7FCA215FEA24A5AA24A5AA24A5A140F5D141F5DA2143F5D147F92 C8FC5CA2495AA25C1303A2495AA3495AA3495AA3133F5CA3495AA313FF91C9FCA35A5BA3 1203A25BA31207A25BA3120FA35BA3121FA55BA2123FA75B127FAD5B12FFB3B3A4127F7F AD123F7FA7121FA27FA5120FA37FA31207A37FA21203A37FA21201A37F7EA380137FA36D 7EA380131FA36D7EA36D7EA36D7EA2130180A26D7EA28081143F81141FA281140F811407 6E7EA26E7EA26E7EA2157FA26F7E6F7EA26F7E1507826F7E1501826F7E167E821780161F EE0FC0EE07E0EE03F017F81601EE00FC177E173E>47 272 107 131 72 32 D[<12F87E127E7E7F121F6C7E6C7E6C7E7F12016C7E7F137F7F806D7E130F806D 7EA26D7E6D7EA26D7EA2147FA26E7EA26E7E81140F811407A281140381140181A26E7EA2 8182A26F7EA36F7EA36F7EA3821507A36F7EA3821501A38281A31780A2167FA317C0A216 3FA317E0A3161FA317F0A5160FA217F8A7160717FCAD160317FEB3B3A417FC1607AD17F8 160FA717F0A2161FA517E0A3163FA317C0A3167FA21780A316FFA21700A35D5EA315035E A34B5AA3150F5EA34B5AA34B5AA34B5AA293C7FC5DA24A5AA25D14035D14075DA2140F5D 141F5D4A5AA24AC8FCA214FEA2495AA2495A495AA2495A5C131F495A91C9FC5B13FE5B48 5A12035B485A485A485A123F90CAFC127E5A5A>47 272 125 131 72 I[27 272 104 131 53 I[27 272 127 131 53 I[<177CEE01FC1607160F163FEE7FF0EEFFE04B1380030713004B5A4B 5A5E4B5A4B5A4B5A5E5C4A90C7FC5D14075D140F5DA2141F5DA3143F5DB3B3B3B3A6147F 5DA44A5AA34990C8FCA2495AA2495AA2495AA2495A495A5C137F495A4890C9FC485A485A EA0FF0EA3FE0485A48CAFC5AA27EEA7FC06C7EEA0FF0EA07FC6C7E6C7E6C7F6D7E133F80 6D7E6D7EA26D7EA26D7EA26D7EA26D7FA36E7EA481143FB3B3B3B3A681141FA381140FA2 811407811403816E7F80826F7E6F7E6F7E826F7E6F7E030113806F13E0EE7FF0EE3FFC16 0F16071601EE007C>46 272 115 131 73 40 D 48 D<12F87E127EA27E6C7E6C7E7F12076C7E7F12017F6C7E137E137F6D7EA26D7E6D7E A26D7EA26D7E801301801300808081143F81141F81A26E7EA26E7EA2140381A26E7EA281 80A26F7EA282153FA282151FA282A2150F82A2150782A3150382A2150182A46F7FA4707E A483163FA483161FA483A3160FA383A41607A383A51603A383A882A31880AE82A218C0B3 A732A47D8250>III<12FEB3B3B3B3B3B3B3B3ACB612FEA71FA363833D> I<15FEB3B3B3B3B3B3B3B3ACB6FCA71FA380833D>I<12FEB3B3B3A3073963803D>I<12FE B3B3B3A3073968803D>I<157CEC01FC1403140F141FEC7FF8ECFFE04913C04913804913 00495A495A495A495A5C13FF485B5C5A4890C7FCA2485AA25B121FA2485AA3127F5BA412 FF5BB3B3AB1E525D7E51>I58 D60 D62 D64 DIII73 D80 DI84 D88 DII<003C1B0F007EF31F80B4F33FC0B3B3B3B3AF6D1A7F 007F1C80A46D1AFF003F1C006D61A26C6C4F5AA26C6C4F5AA26C6C4F5AA26C6C4F5A6D19 3F6C6D4E5A6E18FF6C6D4D5B6D6C4D5B6D6C4D90C7FC6D6C4D5A6DB4EF3FFC6D6D4C5A6D 01E04B485A6D01F803075B6D01FE031F5B91267FFFC091B55A6E01FE011F91C8FC020F90 B712FC6E5F020117E06E6C1680031F4BC9FC030315F0DB007F1480040301F0CAFC5A7F7B 7F65>I101 D104 DI<163CED01FC1507151FED 7FF0EDFFC04A1300EC07FC4A5A4A5A5D4A5A4A5A92C7FC5C5C1301A25CB3B3AA13035CA2 13075C130F5C131F495A495A49C8FC485A485AEA07F0EA1FE0EA7F8000FEC9FC12F812FE EA7F80EA1FE0EA07F0EA03FC6C7E6C7E6D7E6D7E6D7E130F801307801303A2801301B3B3 AA80A213008080816E7E6E7E816E7E6E7EEC01FF6E13C0ED7FF0ED1FFC15071501ED003C 26A375833D>110 D<12F012FE6C7E7FEA3FF0EA0FF8EA03FE6C7E6C7FEB3FC06D7EA26D 7E130780130380A21301B3B3AA801300A2808081143F6E7E816E7E6E7E6E7EEC00FFED7F 80ED1FE0ED0FF8ED03FC15001503ED0FF8ED1FE0ED7F80EDFF00EC03FC4A5A4A5A4A5A5D 4A5A147F92C7FC5C5CA213015CB3B3AA1303A25C13075C130F495AA2495AEBFF804890C8 FC485AEA0FF8EA3FF0EAFFC05B48C9FC12F026A375833D>I<1C601CF01B01A2F303E0A2 F307C0A2F30F80A2F31F00A21B3EA263A263A2631A01A2505AA2505AA2505AA250C7FCA2 1A3EA262A262A24F5AA24F5AA24F5AA24F5AA24FC8FCA2193EA261A261A24E5AA2611803 130C011C4C5A133E01FE4C5A487E484DC9FC380F7F80001C173E123826F03FC05D1240C6 6C6C5DA26D6C4A5AA24D5A6D7E4D5A6D7E4D5A6D7E4DCAFCA26D6C143EA26E6C5BA26E6C 5BA24C5AEC1FE04C5AEC0FF05F913807F807A24C5AEC03FC4CCBFCEC01FE163EEC00FF5E A26F5AA26F5AA26F5AA25E150F5E6FCCFC546D77835B>I<1C601CF0A21B01A21CE0A21B 03A21CC0A31B07A21C80A21B0FA21C00A263A21B1EA21B3EA21B3CA21B7CA21B78A31BF8 A263A21A01A263A21A03A263A21A07A263A21A0FA298C7FCA362A21A1EA21A3EA21A3CA2 1A7CA21A78A21AF8A262A31901A262A21903A262A21907A262A2190FA297C8FCA261A219 1EA3193EA2193CA2197CA21978A219F8A261A21801A261A21803A201045F130CA2011C16 07133E61137E01FE160FA2486C94C9FC5A605A26067F80151E120C001C173E1218003017 3C38703FC0126000C0177C1240000017786D7E18F8A2606D7E1701A260A26D6C1403A260 A217076D7E60A36D6C140FA295CAFCA25F6D7E171EA2173EA26E6C133CA2177CA26E6C13 78A317F8A26E6C5BA21601A25FEC0FF01603A25FEC07F81607A25FA2913803FC0FA294CB FCA36E6C5AA2161EA2913800FF3EA2163CA2167CED7FFC5EA46F5AA46F5AA56F5AA45E15 0793CCFC54DB77835B>114 D[<1C601CF0A31B01A21CE0A31B03A21CC0A31B07A21C80A3 1B0FA21C00A463A21B1EA31B3EA21B3CA31B7CA21B78A41BF8A263A31A01A263A31A03A2 63A31A07A263A41A0FA298C7FCA362A21A1EA31A3EA21A3CA31A7CA21A78A41AF8A262A3 1901A262A31903A262A41907A262A3190FA297C8FCA361A2191EA3193EA2193CA4197CA2 1978A319F8A261A31801A261A31803A201045F130CA2131C1807133E61137EA201FE160F A2486C94C9FCA25A601206181E486C7EA21218183E1230183C486C7EA200C0177CA20000 1778A26D7E18F8A260A26D7E1701A260A36D7E1703A260A36D6C1407A260A3170F6D7E95 CAFCA45F6D7E171EA3173E6E7E173CA3177CA26E6C1378A317F8A25F6E7EA31601A25FEC 0FF0A21603A25FA2EC07F81607A25FA2EC03FC160FA294CBFCA3EC01FE5EA2161EA39138 00FF3EA2163CA3167CED7FFC5EA5153F5EA4151F5EA56F5AA55E1507A293CCFC>84 273 119 131 91 I122 DI<12F87E7E7EA26C7E6C7E7F6C7E6C 7E13FE6C7E6C13C06C7F6C13F86DB4FC6D13E06D13FC6DEBFFF00103ECFFF87F7F143F14 0F14031400153F1507150016072D1E839D29>I<17F8160116031607A2EE0FF0EE1FE016 3FEE7FC0EEFF8015034B1300ED1FFE4B5AEDFFF802075B023F5B49B55A017F5CB648C7FC 5D5D15E015804AC8FC14F814E091C9FC13F890CAFC2D1E819D29>I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fj cmsy5 5.475 15 /Fj 15 107 df0 D<1370A400F0133838F830F8EA7E3338 1FB7E03807FF00EA00F8EA03FE381FBFC0387E33F038FC30F838F0707800401310000013 00A315137A9421>3 D<1660ED01E01507ED3F80EDFC00EC03F0EC0FC0023FC7FCEB01FC EB07E0EB1F80017EC8FCEA01F8EA07E0003FC9FC12FC5A127EEA1F80EA03F0EA00FC133F EB0FC0EB03F0EB00FEEC1F80EC07E0EC01F8EC007EED1FC0ED03E015001600A8B712C016 E0A2232B79A031>20 D<0107B512C0013F14E090B6FCD801FCC8FCEA03E0EA078048C9FC 121E5A123812781270A25AA71270A37E123C7E7E6C7EEA03E0EA01FC6CB612E0133F1307 2321799B31>26 D<166016E0A3ED01C0A2ED0380A2ED0F00151E5DEC01F8EC0FE0903803 FF80B500FCC7FC14E014FC380007FF9038001FE0EC01F0EC007C151E81ED07801503ED01 C0A2150016E0A316602320799A31>30 D<13F0EA01F8A3EA03F0A213E0120713C0A2EA0F 80A2EA1F00A2121E123E123CA25AA2127012F05A0D177C9814>48 D51 D<1520157015F015E0EC01C0A2EC0380EC0700A214 0E5CA25C5CA25C495AA2495A130791C7FC130EA25B5BA25B5BA2485A485AA248C8FC120E A25A123C12385AA25A5AA21C2B75A000>54 D<1460A2EBFCE0EA03FF380781C0380E01E0 001C13F014B8EA3803149C0078131CEA7007A238F00E1EA2130C131CA213181338A21330 1370A213E0A23870C01C1279A23839803C003B1338001F1378380F0070380701E0EBFF80 380EFE0090C7FC120CA217277BA221>59 D<011FB512E048B6FC00071580260F800FC7FC 381C000E003C131E485B1260C75AA35CA4495AA4495AA25C130791C8FC5B010E131C4913 3C013C5B003FB55AB612C092C7FC231F7D9E25>73 D<92383FFFE00203B5FC020F148091 393E00380002F05B49485B4948485A903807800302005B491307010E91C7FC010C5B90C7 FC151EA35DA35DA45DA2123800785C00F813015D6C495A4AC8FCB4130E387FC07C383FFF F06C13C0D803FEC9FC2B247B9E2C>I<021C1630023C1670027C16E01801027E15031807 180F027F151F4AED3FC002CF157B6F14F3EF01E3902601C7C0EB03C70287EC0787EF0F07 DA83E0131ED90303023C13806E6C137817F00106EC01E0913A00F803C00F010EEC078001 0C90387C1F00011CEB7E3E0118EB3E7CED3FF849EB1FE001706D5AD860605CD870E06DC7 FCB448010215DC92C813F849EE07E06CCAEA0380000E94C7FC3E237C9F47>77 D<187EEF01FE170317070270EC0FFC02F01500496C141C17186E14381730A202BE147017 60149FA29026030F805BA26E7E160190260703E05B010613F014016F48C7FCEB0C0015FC 157C49EB3E06153F151F491486ED0FCE0170EB07CCD8606014ECD870E0EB03FCB4481301 6F5A4914786CC81260001E92C8FC37277FA333>I92 D<12E0B3B3A9032D77A115>106 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fk msbm10 10.95 5 /Fk 5 83 df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ndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fl cmsl8 8.76 36 /Fl 36 122 df48 D<140E141E147EEB01FE133F3803FFFC13FC13C0C7FCA213015C A513035CA513075CA5130F5CA5131F5CA5133F91C7FCA4EBFF80B61280A3193178B027> III<15075D5D5DA2157E15FE1401 EC03BEEC073E1406EC0E7C141C1438147014E0EB01C05DEB0380EB0700130E5B5B903830 01F0137013E0EA01C0EA0380EA0700000E495AA25A5A5A007FB612E0B712C0A2C7380FC0 00A3141FA25DA4143F011FB5FCA25D23327CB127>I<0170EB0180017E133F017FB51200 5D15F85D90B512C092C7FCEBE0E091C8FCA312015BA53803C1FCEB8FFF9038BE07C09038 F003E0496C7E01C07F3807800090C77EC8FCA281A500181301007E5C12FEA34A5A5A00F0 5C4813076C5C4A5A0078495A4AC7FC6C137E381F01FC380FFFF0000313C0C648C8FC2133 7AB027>II56 D<167016F01501821503A21507A24B7EA2151DA21539821570A215E0A2EC01C00203137F 1580140715005C020E80021E133F141C5CA24A80161F5CA2495A91B67E5BA249C7120FA2 010E81011E1407131C133C1338137801706E7E13F012011203D80FF84A7EB591B512F0A3 34357DB43A>65 D67 D<90B812E0A3D903FCC7127F0101150F010315074A14031701A4010715005CA3161CA201 0F4A13005CA2167816F8150349B55AA3ECC00715011500013F5C5CEF01C0A2EF03801600 137F91C8EA0700A25F170E171E5B495D177CEE01FC4C5A0001153FB8FC5FA233327DB135 >69 D<90B81280A3903903FC00010101EC003F0103151F4A140F1707A4010715035CA316 38A2010F4AC7FC5CA216F01501150749B55AA3ECC00715031501013F5C1480A492C9FC13 7F91CAFCA55B5BA4487EB512FEA331327DB132>II77 D79 D<90B7FC17E017F8903A03FC0007 FE0101EC00FF0103ED7F804A143FEF1FC0A218E0A213075CA4EF3FC0130F4A1580EF7F00 A217FEEE01F8011FEC07F04AEB3FC091B6C7FC16FC02C0C9FCA2133F5CA5137F91CAFCA5 5B5BA41201B512FCA25C33327DB135>I<90B612F8EEFF8017E0903A03FC001FF00101EC 03FC01036E7E4A1300177F1880A313075CA318005F010F5D4A13015F4C5AEE07E0EE1FC0 011F02FFC7FC91B512F816E09138C001F86F7E167F013F804A80A2161F83A2017F143F91 C7FCA549147F49ED801C17C0A2043F133C00011738B500FC15784A90381FE0F093380FE1 E0C93803FFC09338007F0036347DB139>82 D<91390FF0038091387FFC0749B513009039 07F01FCF90390F8003FF49487E013E7F498049147E163E485AA2161E1203161CA37F93C7 FC7F6C7EEBFFC014FC6CEBFFC06D13F86D13FE6D7F010780010080020F7F1400ED1FF015 0F15071503A2001C1401123C1238A4003C4A5A127C4B5A127E4B5A007F4AC7FC6D133ED8 FBE05B39F9FC03F839F07FFFE0D8E01F138026C003FEC8FC29367CB32B>I97 D99 D<167CED1FFCA2153F15 01A316F8A41503A216F0A41507A202FE13E0903807FFC790381F81F790387E007F49133F D803F0131F0007EC0FC05B485A121F49131F123F168048C7FCA3153F5A481500A4007E5C A2157E6C14FEA26C1301390F8007FF6C6C4813F03803E07C3800FFF090393FC0FC002634 7BB22B>III<163E91387F01FF903A03FFE3C78090390FC1FF0F90381F00FC013E017C13 0049EB3E0601FC91C7FC4848133FA35D0003147E5B12015D6D5B0000130190387C03E090 38FE0FC02601DFFFC8FC380383F80180C9FCA21207A37F90B512C06C14F815FE6C804881 390F80007F003FC7EA1FC0003E140F48140712FC5AA2150F5E6C141F007C4AC7FC6C147E 391F8001F83907E00FE00001B5128026003FF8C8FC29317FA027>III108 D<013E13FF2607FE0713C0000F90381F07E091383803 F00000EBF001D97EC013F8137DEB7F801400137E150313FE4914F0A4150712014914E0A4 150F12034914C0A40007141FB53883FFFEA327207D9F2B>110 D<14FF010713E090381F 81F890383E007C01F87F48487F4848EB0F8012074914C0120F485AA2003F15E090C7FC5A A400FEEC1FC0A31680A2007EEC3F00A2157E003E147C003F14FC6CEB01F06C6C485A6C6C 485A2603F03FC7FC3800FFFCEB1FE023227CA027>I<903903E07F809039FFE3FFE04890 38EFC0F89138FE007E26001FF87F6D5A4AEB1F804A14C0A2160F17E0131F5CA4161F013F 15C091C7FCA2163F1780A249EC7F00017E14FEA2017F495A6E485AED07E0496C485A9026 FCF03FC7FCEC3FFCEC0FE091C9FC1201A25BA41203A3387FFFC0B55AA22B2E819F2B>I< 90383E07E03907FE1FF0EC38F8000FEB71FC000013E190387FC3F8EB7D81017F13F091C7 FCA2137E13FEA25BA412015BA512035BA41207B512C0A31E207E9F1E>114 D<903807F83090383FFF709038F807F03801E0033803C00138078000A248C712E0A27FA2 01E0130013FCEBFFE06C13FC6C7F6CEBFF806C7E010F13C0EB007FEC0FE0003813071403 A2007814C0A2127CEC0780A2007EEB0F00B4131EEB807C38E1FFF038C07F801C227EA01E >I<131CA4133CA213381378A213F8A21201485A1207381FFFFEB5FCA23803F00012075B A5120F5BA5121F5B1438A4003F13701300A214F06C13E0138114C0380FC7803803FF00EA 00FC172E7AAC1E>III<3B 01FFFC01FFF04816E0A227001FE00013004A137C010F147816706E13F001075C4B5AA26E 485A0103130793C7FC150E14F801015B153C15386E5A13005D14FDECFFC06E5AA292C8FC A2143EA2143C14381478147014F05C383C01C012FC6C485A49C9FC485A131EEAF03CEA70 78EA7FE0EA1F802C2E809E29>121 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fm cmmi5 5.475 34 /Fm 34 123 df11 DI<13FCD803FF130C48138048EBC018481438393E03E030397000F0700060EB70 6000E0EB30E048EB38C0C712191580141F150080A2140EA2140CA2141CA314181438A45C A214201E1F7D9422>I<133FEB7FF8EBE7FC13C0147814007F7F137013787F133E7FEB3F 803801FFC03803C7E0EA0707381E03F01301123C127CEA780012F8A25AEB01E0A3EB03C0 0078138038380700EA1E1EEA0FFCEA03F016227BA01E>II<01C013803901E001C0EC03E0120315C013C01407120715801380 140F120F15001300150E48EB1F0C143E151C903880FE18393FC3CF309038FF87F0393C7E 03E090C8FC127CA21278A212F8A25A12601F1F7C9427>22 D<007F130348EB0780A27E00 1F130F001E1400A2003E131EA2003C5B5C007C5B495A387803C0495AD8F81FC7FC133CEA F0F0EAF7C0B4C8FC12F819157A9420>I<0003B512FC4814FE121F4814FC39381C1C00EA 601800C01318EA80380000133813301370A2EBF03C13E01201143EEA03C0801207EB800E 380300041F157C9326>25 D<90387FFFF048B512F85A4814F0390FC0F800381F007C003E 133C5A127812F8A248137C1478A25C130100785BEB07C0383E1F80D81FFEC7FCEA07F81D 157B9325>27 D34 D<143FEC7FC0ECC1E0EB018090380300F0157001061378A41307D80F0313F8 381FC1C0393FE0F0F00031137F3961F00FF8EC01FED8E1E013E400C114E01403000314C0 13C0EC0780A20007EB0F001380141E141C5C3803C078EBE1E06CB45A6C6CC7FC1F217C9F 27>I47 D<1238127C12FCA312780606798515>58 D<1238127C127E12FE127E123E1206A3120CA21218123812701260070F798515>II<141CA21438A21478 1470A214E0A2EB01C0A2EB0380A2EB0700A25B130EA25BA25BA25BA25BA212015BA2485A A248C7FCA2120EA25AA2123C123812781270A25AA25A162D7AA121>I<2601FFC0EBFFF0 A226000FE0EB0F806EEB0E00130DEB1DF8011C140CD918FC131C147CEB383E023F1318D9 301F13381580EB700F913807C0300160EBE070140301E0EBF060140101C0EBF8E0140000 01EC7CC0157E49133FA200036E5A90C7120FA2D80F801307D8FFF091C7FC812C1F7B9E31 >78 D<137E3801FF184813BC380781FCEA0F00001E137C481378127CA2007813F800F85B A3EAF00115C014E0EB03E1D878071380130F393C3DE300381FF0FE3807E03C1A167B9423 >97 D99 DI103 D<1318133C137C133C13381300A4EA07C0EA0FE0EA1FF0EA3878 1270EA60F8EAE0F012C0EAC1E01201120313C0120713801383120F13071306130C133CEA 07F8EA03E0101F7C9D18>105 D<1438147814F8147814701400A4EB1F80EB3FC0EBFFE0 EBE0F0EA01801203EA0701000613E0A2EA0003A214C0A21307A21480A2130FA21400A25B A2131E1270EAF83C137C485AEAF7F0EA7FE0EA3F8015287E9D1B>III<00 0F017E137E3A1FC1FF81FFD83FE301C313803B71E703C703C02761FE01EC13E001FC13F8 EAE1F8D8C1F013F09038E003E0000316C0EDC00713C0020714800007150F038013030180 1507020FEB1F06000FED1E0E0300130C0100EC0E38EE0FF000060106EB03E030167C9438 >I<000F137E391FC1FF80D83FE313C03871E701D860FE13E013FCEAE1F8EAC1F013E000 03EB03C013C0A2EC078012079038800F8315031506120F150C01001338EC07F00006EB03 E020167C9428>I<3803C03E3907E0FF80D80FF113C0390C7B81E038183E0190383C00F0 EA387CEA3078A2EA00F8EBF001A3000114E0EBE00315C09038F0078012039038F80F00EB DC7EEBCFF83807C7E00180C7FCA3120F90C8FC487EEAFFF86C5A1C1E7E9422>112 DI<000F13FC381FC3FFD83FC713803931EE03C03860F807A2D8 E1F0138039C1E0030091C7FC12035BA312075BA3120F90C8FCA312061A167C941F>II<1330137813F85BA312015BA2B51280A33803C000A212075BA3120F90C7FCA3381F01 C0001E138013031400130EEA0F3CEA07F86C5A121E7C9C1A>II122 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fn cmr5 5.475 18 /Fn 18 111 df<127812FCA7127CA31278AB1230A21200A3127812FCA4127806217AA012 >33 D<13181330136013C01201EA0380EA07005A120E121E121C123CA25AA312F8A25AAA 7E1278A31238123CA2121C7EA27EEA03801201EA00C01360133013180D2D79A119>40 D<12C012707E7E7E7EEA0380A2EA01C013E0120013F0A21378A3137CA2133CA9137CA213 78A313F0A213E0120113C012031380EA0700120E120C5A5A12C00E2D7CA119>I<1438B1 007FB612FCB7FC7EC70038C7FCB1143026267C9D2F>43 D48 D<133013F0120F12FF12FC1200B3A4487E 387FFFE0A2131E7A9D1F>II<3801FF80000713 E0380F01F8381C007C123E143EA3001C137CC7FC14F814F0EB03E0EBFF8014C0EB03F0EB 0078143C143E143F141F1238127C12FC143F007C133E12780038137C381F83F8380FFFE0 00011380181F7D9D1F>I<146014E01301A213031307130D13191331A2136113C1EA0181 120313011206120C121C12381230126012C0B61280A2390001E000A4497E90387FFF80A2 191F7D9E1F>I<1230123F90B512805A15005C3870001C00605B5C00E0136000405BC648 5A49C7FC5B130EA25B133C13381378A313F85BA21201A66C5A19207C9E1F>55 D<127812FCA412781200A8127812FCA4127806147A9312>58 D<127812FCA412781200A8 127812F812FCA3127C120CA3121C12181238123012E01240061D7A9312>I61 D69 D77 D82 D<121E12FEA2121EB3A8121FEAFFE0A20B207C9F12> 108 D110 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fo cmr8 8.76 72 /Fo 72 123 df<91393FE00FE0903A01FFF83FF8903A07E03EF83C903A1F800FF07E903A 3F001FE0FE017E133F4914C0485A1738484890381F8000ACB812C0A33B03F0001F8000B3 A6486C497E267FFF83B5FCA32F347FB32D>11 DII22 D<003C1378007E13FC38FF01FEA2 EB81FFA2EA7F80003D137B00011303A300031307EB0006A248130E0006130C000E131C00 0C1318001C13384813704813E0006013C018167DB227>34 D<123C127EB4FCA21380A212 7F123D1201A312031300A25A1206120E120C121C5A5A126009167AB215>39 D<14C01301EB0380EB0F00130E5B133C5B5BA2485A12035B12075B120F90C7FC5AA3123E A45AA512FCA25AAC7EA2127CA57EA47EA37E7F12077F12037F12016C7EA213787F131C7F 130FEB0380EB01C01300124A79B61E>I<12C07E1270123C121C7E120F6C7E6C7EA26C7E 7F12007F1378137C133C133EA37FA4EB0F80A514C0A21307AC130FA21480A5EB1F00A413 3EA3133C137C137813F85B12015B485AA2485A48C7FC120E5A123C12705A5A124A7CB61E >I<123C127EB4FCA21380A2127F123D1201A312031300A25A1206120E120C121C5A5A12 6009167A8715>44 DI<123C127E12FFA4127E123C08087A8715> I<1518153C157CA2157815F8A215F01401A2EC03E0A215C01407A21580140FA2EC1F00A2 141E143EA2143C147CA25CA25C1301A25C1303A2495AA25C130FA249C7FCA2131E133EA2 133C137CA25BA25B1201A25B1203A2485AA25B120FA290C8FC5AA2123EA2123C127CA212 7812F8A25A12601E497CB627>II<13075B133F13FF120FB5FC133F12F01200B3B3497EB612C0A31A3179B027>I< EB3FC0EBFFF8000313FE3907C0FF80390F003FC0001EEB1FE048EB0FF0481307007014F8 140300FC14FCB4FCA21401A3007E13031218C7FC15F8140715F0A2EC0FE0EC1FC0A2EC3F 80EC7F00147E14F8495A495A495A495A49C7FC133E0178131C5B485A491338485A48C7FC 000E1478001FB512F85A5AB612F0A31E317CB027>III<001C1460391FC007E090B512C0158015005C14F814C0D81C1CC7FC90 C8FCA9EB0FE0EB7FF8EBF03E391FC01F809038000FC0001EEB07E0A2001CEB03F0C7FC15 F81401A215FCA31218127E12FEA415F800F81303007014F01278EC07E06C130F6CEB1FC0 001FEB3F80390FC0FF003803FFFCC613F0EB3F801E337CB027>I<14FF010313C090380F 81F090383E00784913384913FC3801F001EA03E0EA07C0120F90388000F8001F1400A248 C8FCA25AA2127EEB07F838FE1FFE9038380F8090387007C09038E003E039FFC001F00180 13F8EC00FC90C7FC157EA2157F5AA4127EA3127F7E157EA26C14FE6D13FC000F130101C0 13F83907E003F03903F007E03901F81FC06CB5128090383FFE00EB07F020337DB027>I< 1238123E003FB61280A3481500A25D0078C7123C0070143815785D48495A5D1403C7485A 4AC7FC140E141E5C143814785CA2495AA213035C1307A2495AA3131FA349C8FCA55BA913 1C21337CB027>III<123C127E12FFA4127E123C1200AF123C127E12FFA4127E123C081F7A9E15>I<00 7FB812C0B912E0A26C17C0CCFCAC007FB812C0B912E0A26C17C033147C9B3C>61 D64 D<15E04A7EA34A7EA34A7EA24A7E14 0EA2EC1EFFEC1C7FA2023C7FEC383FA24A6C7EA34A6C7EA2010180ECC007A2010380EC80 03A201076D7E1400A2010E6D7EA2010FB5FC4980A2013CC76C7E0138143FA20178810170 141FA2496E7EA300016F7E1203000782D81FF84A7EB549B512E0A333357DB43A>II68 DIIIII75 DIIIII82 D<90381FE0039038FFFC0748EBFF0F3907F01FCF390F8003FF48487E003E 7F814880815A81A3817EA27E007F91C7FC7F7FEA3FF8EBFFC06C13FC6CEBFF806C14E000 01806C6C7F010F7F01007FEC07FF1400ED7F80153FED1FC0150F12E0A21507A37EA26C15 80150F7E6CEC1F006C143E7F01E013FC39F1FC03F800F0B512E0D8E01F138026C003FEC7 FC22367CB32B>I<007FB8FCA390398007F000D87E00153F007C82007882007082A200F0 1780A2481603A6C792C7FCB3AA4A7E011FB512FCA331317DB038>I87 D91 D<0003130648130E000E131C481338001813300038137000301360007013E0006013C0A2 EAE00100C01380A300DE13BC00FF13FEEB81FFA2EA7F80A2383F007E001E133C181675B2 27>II97 DII<153FEC07FFA3EC007F81AEEB07F0 EB3FFE9038FC0FBF3903F003FF48487E48487E48487F8148C7FC5AA2127E12FEA9127E12 7FA27E6D5B121F6C6C5B00074913802603F00313F83900F81F3FEB3FFCD90FF013002534 7DB22B>IIIIIIIII<2707C01FC0137F00FF903AFF F803FFE0903BC3E0FC0F83F0903BC7007E1C01F8D80FCE6D486C7ED807DC5C01D86D4813 7E13F8495CA2495CB2486C496C13FFB52703FFFC0F13F0A33C207D9F41>I<3907C01FC0 00FFEBFFF89038C3E0FC9038C7007ED80FCE7FEA07DC01D8EB1F8013F85BA25BB2486CEB 3FC0B53803FFFCA326207D9F2B>II< 3907E07F8039FFE1FFE09038E7C0F89038FE007ED80FFC7F6C48EB1F804914C049EB0FE0 A2ED07F0A3ED03F8A9ED07F0A3ED0FE016C06D131F6DEB3F806D14006D137E9038E781F8 9038E3FFE0D9E07FC7FC91C8FCA9487EB5FCA3252E7E9F2B>I<903807F00790383FFC0F EBFC0F3903F0038F3907E001DF000F6DB4FC485A497F123F48C77EA312FEA9127FA36C7E 5D6C6C5B000F5BEA07E03903F007BF3900F81F3FEB3FFCEB0FE090C7FCA9ED7F80913807 FFF8A3252E7D9F29>I<3807C0F838FFC3FEEBC71F9038CE3F80EA0FDCEA07D813F89038 F01F0091C7FCA35BB1487EB512C0A319207E9F1E>II<1370A513F0A41201A212031207120F381FFFFEB5FCA238 03F000AF1407A83801F80EA23800FC1CEB7E3CEB3FF8EB07E0182E7FAC1E>IIII<3A7FFF01FFF8A32603FC0013800001ECFC0000005C017E5B6D485AEC 83C090381FC780010F90C7FCEB07EFEB03FE5C1301130080497E497F9038079FC0EB0F0F 90381E07E06E7E013C7F496C7EEBF800D803F0137ED80FF8EBFF80B46C4813FCA3261F7F 9E29>II<003FB512F0A29038800FE0383E001F003C14C000 38EB3F800078EB7F005C00705B495A495A130700005B495A495A133F5C90387F007013FE 12015B485A484813F0120F4913E0381FC001EA3F80007F1303EB001FB6FCA21C1F7E9E22 >I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fp cmr6 6.57 10 /Fp 10 58 df48 D<13381378EA01F812FF12FE1200B3AA487EB512F8A215247AA3 21>I<13FE3807FFC0381F03F0383800F84813FC0060137E00FC133E6C133FA3141F127C 0010133FC7FC143E147E147C14FC14F8EB01F0EB03E0EB07C0EB0F80EB1F00133C5BEBF0 03EA01E03803C006EA0700120E381FFFFE5A4813FCB5FCA218247CA321>I<13FF000713 C0380F03F0383C00F80030137C007E137EA2007F133E127E147E121CC7127C14FC14F8EB 01F0EB07C03801FF0014C0380003F0EB01F8EB00FC147EA2143FA21210127C12FEA3147E 5A007013FC383801F8381E03F03807FFC03801FE0018257CA321>I<1470A214F0130113 03A21307130F130D131913391371136113E1EA01C11381EA030112071206120C121C1238 1230126012E0B612C0A2390001F000A7497E90387FFFC0A21A257DA421>I<0018130C00 1F137CEBFFF814F014E014803819FC000018C7FCA6137F3819FFC0381F81F0381E00F800 1C13FC0018137CC7127E143E143FA3127812FCA448137E12600070137C003013F8383C01 F0380E07E03807FF803801FC0018257CA321>II<1230123C003FB512C0A21580481400A23860000E5C 5C4813301470C75A495A495AA249C7FC130EA2131E131C133CA2137CA2137813F8A31201 A86C5A1A267CA421>I<137F3803FFC0380F81F0381E007848133C0038133E0078131EA3 127C007E133E007F133C383FC07CEBF0F8381FF9F0380FFFC06C1380000113E04813F038 07BFF8381F0FFC383E03FEEA7C013878007F00F8133F48131FA2140FA36C130E0078131E 6C133C6C1378380F81F03803FFC0C6130018257CA321>I<137E3803FF80380781E0380F 00F0001E13785A007C133C127800F8133EA2141E141FA4143F1278127C003C137F123E6C 13FF380F83DF3803FF1FEA00FCEB001E143EA2003C133C007E137C147814F814F0387C01 E0383803C0381C0F80380FFE00EA03F818257CA321>I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fq cmti10 10.95 57 /Fq 57 123 df<933807FF80043F13E09338FE00F8DB01F0133EDB07E0130E4B48131F4C 137F031F14FF4BC7FCA218FE157E1878180015FE5DA31401A25DA414030103B712F0A218 E0903A0003F000070207140F4B14C0A3171F020F15805DA2173F1800141F5D5F177EA214 3F92C712FE5FA34A1301027EECF81CA3160302FEECF03C4A1538A21878187013014A0101 13F018E0933800F1C0EF7F804948EC1F0094C7FCA35C1307A2001E5B127F130F00FF5BA2 49CAFC12FEEAF81EEA703CEA7878EA1FF0EA07C0385383BF33>12 D<123812FCA27EA2127FA2EA3F80121F120F13C01207EA03E0120113F0120013600C1166 BE2E>18 DI39 DI<14031580A2EC01C0EC00E0A21570A215781538153CA3151EA415 1FA2150FA7151FA9153FA2153EA3157EA2157CA215FCA215F8A21401A215F0A2140315E0 A2140715C0A2EC0F80A2141F15005C143EA25CA25CA2495A5C1303495A5C130F49C7FC13 1E5B137C5B5B485A485A485A48C8FC121E5A12705A5A205A7FC325>I44 D<387FFFFCA3B5FCA21605799521>I<120FEA3F C0127FA212FFA31380EA7F00123C0A0A77891C>I<15031507150F151F151E153E157EEC 01FEEC03FC1407141FEB01FF90380FFBF8EB1FC3EB0E07130015F0A2140FA215E0A2141F A215C0A2143FA21580A2147FA21500A25CA25CA21301A25CA21303A25CA21307A25CA213 0FA25CA2131FA25CEB7FE0B612F0A215E0203D77BC2E>49 D<15FE913803FFC091380F01 F091383C00F84A137C4A7F4948133F49487F4A148049C7FC5BEB0E0C011E15C0EB1C0EEB 3C06133813781370020E133FD9F00C148013E0141C0218137F00011600EBC0384A13FEEC 600102E05B3A00E3C003F89039FF0007F0013C495A90C7485A5E037FC7FC15FC4A5A4A5A EC0FC04AC8FC147E14F8EB03E0495A011FC9FC133E49141801F0143C48481438485A1678 485A48C85A120E001E4A5AD83FE0130301FF495A397C3FF01FD8780FB55AD8700391C7FC D8F0015B486C6C5A6E5AEC07C02A3F79BC2E>II55 D<131EEB3F80137FEBFFC05AA214 806C13005B133C90C7FCB3120FEA3FC0127FA212FFA35B6CC7FC123C122777A61C>58 D<171C173C177CA217FCA216011603A21607A24C7EA2161DA216391679167116E1A2ED01 C1A2ED038115071601150EA2031C7FA24B7EA25D15F05D4A5AA24A5AA24AC7FC5C140E5C 021FB6FC4A81A20270C7127FA25C13015C495AA249C8FCA2130E131E131C133C5B01F882 487ED807FEEC01FFB500E0017FEBFF80A25C39417BC044>65 D<49B712C018F818FE903B 0003FC0001FF9438007F804BEC3FC0A2F01FE014074B15F0180FA2140F5D181FA2021F16 E05D183F19C0023FED7F804B14FF19004D5A027F4A5A92C7EA07F0EF1FE0EF7F804AD903 FEC7FC92B512F017FE4AC7EA3F800101ED1FE04A6E7E17078401036F7E5CA30107825CA3 010F5E4A1407A260011F150F5C4D5A60013F153F4A4A5A4D5A017F4A90C7FC4C5A91C7EA 0FF849EC3FF0B812C094C8FC16F83C3E7BBD40>I<9339FF8001C0030F13E0033F9038F8 03809239FF807E07913A03FC001F0FDA0FF0EB071FDA1FC0ECBF00DA7F806DB4FC4AC77E 495AD903F86E5A495A130F4948157E4948157C495A13FF91C9FC4848167812035B120749 1670120FA2485A95C7FC485AA3127F5BA312FF5BA490CCFCA2170FA2170EA2171E171C17 3C173817786C16706D15F04C5A003F5E6D1403001F4B5A6D4AC8FC000F151E6C6C5C6C6C 14F86C6C495A6C6CEB07C090397FC03F8090261FFFFEC9FC010713F0010013803A4272BF 41>I<49B812F8A390260003FEC7121F18074B14031801F000F014075DA3140F5D19E0A2 141F4B1338A2EF7801023F027013C04B91C7FCA217F0027F5CED80011603160F91B65AA3 ED001F49EC07805CA3010392C8FC5CF003804C13070107020E14005C93C75A180E010F16 1E4A151C183CA2011F5E5C60A2013F15014A4A5A1707017F150F4D5A4A147F01FF913807 FF80B9FCA295C7FC3D3E7BBD3E>69 D<49B812F0A390260003FEC7123F180F4B1403A2F0 01E014075DA3140F5D19C0A2141F5D1770EFF003023F02E013804B91C7FCA21601027F5C ED8003A2160702FFEB1F8092B5FCA349D9003FC8FC4A7F82A20103140E5CA2161E010714 1C5CA293C9FC130F5CA3131F5CA3133F5CA2137FA25C497EB612E0A33C3E7BBD3B>I<93 39FF8001C0030F13E0033F9038F803809239FF807E07913A03FC001F0FDA0FF0EB071FDA 1FC0ECBF00DA7F806DB4FC4AC77E495AD903F86E5A495A130F4948157E4948157C495A13 FF91C9FC4848167812035B1207491670120FA2485A95C7FC485AA3127F5BA312FF5BA303 03B512FC90C7FCA2DB000190C7FCA25FA216035FA316076C5E7FA2003F150F6D5D121F6D 141F000F153F6C6C4A5A6C6C14F76C6CEB01E36CB4EB07C1903A7FC03F81C090391FFFFE 00010701F890C8FC010013803A4272BF46>I<49B648B6FC495DA2D9000390C700031300 4B5D4B5DA2180714074B5DA2180F140F4B5DA2181F141F4B5DA2183F143F4B5DA2187F14 7F4B5DA218FF91B8FC96C7FCA292C712015B4A5DA2170313034A5DA2170713074A5DA217 0F130F4A5DA2171F131F4A5DA2173F133F4A5DA2017F157FA24A5D496C4A7EB66CB67EA3 483E7BBD44>I<49B6FC5BA2D9000313005D5DA314075DA3140F5DA3141F5DA3143F5DA3 147F5DA314FF92C7FCA35B5CA313035CA313075CA3130F5CA3131F5CA3133F5CA2137FA2 5C497EB67EA3283E7BBD23>I<49B6903807FFFE605ED9000390C7000113E04B6E13004B 15FC4E5A19E002074B5A4BEC0F804EC7FC183C020F5D4B5C4D5AEF07C0021F4AC8FC4B13 1E5F5F023F5C9238C003E0EE07804CC9FC027F5B4B5AEEFF801581ECFF834B7FED0F7FED 1E3F49017C7FECFEF89138FFE01F03C07F491380ED000F4A805C010714074A80A2160301 0F815C160183131F4A6D7FA2177F013F825C173F017F82A24A81496C4A7EB6D8800FB512 C0A261473E7BBD46>75 D<49B612C0A25FD9000390C8FC5D5DA314075DA3140F5DA3141F 5DA3143F5DA3147F5DA314FF92C9FCA35B5CA313035C18C0EF01E0010716C05C17031880 130F4A140718005F131F4A141EA2173E013F5D4A14FC1601017F4A5A16074A131F01FFEC FFF0B8FCA25F333E7BBD39>I<49B5933807FFFC496062D90003F0FC00505ADBBF805E1A 771AEF1407033F923801CFE0A2F1039F020FEE071F020E606F6C140E1A3F021E161C021C 04385BA2F1707F143C023804E090C7FCF001C0629126780FE0495A02705FF00700F00E01 14F002E0031C5BA2F03803010116704A6C6C5D18E019070103ED01C00280DA03805BA294 3807000F13070200020E5C5FDB03F8141F495D010E4B5CA24D133F131E011CDAF9C05CEE FB80197F013C6DB4C7FC013895C8FC5E01784A5C13F8486C4A5CD807FE4C7EB500F04948 B512FE16E01500563E7BBD52>I<902601FFFE020FB5FC496D5CA2D900016D010013C04A EE3F00193E70141C193CEC07BFDB3FE01438151F1978020F7FDA0E0F15708219F0EC1E07 021C6D5CA203031401023C7FDA38015DA2701303EC7800027002805BA2047F130702F014 C04A013F91C7FCA2715A0101141F4AECF00EA2040F131E010315F84A151C1607EFFC3C01 07140391C7143817FE040113784915FF010E16708218F0131E011C6F5AA2173F133C0138 5E171F137813F8486C6F5AEA07FEB500F01407A295C8FC483E7BBD44>II<49B77E 18F018FC903B0003FE0003FEEF00FF4BEC7F80F03FC00207151F19E05DA2020F16F0A25D A2141FF03FE05DA2023F16C0187F4B1580A2027FEDFF00604B495A4D5A02FF4A5A4D5A92 C7EA3FC04CB4C7FC4990B512FC17E04ACAFCA21303A25CA21307A25CA2130FA25CA2131F A25CA2133FA25CA2137FA25C497EB67EA33C3E7BBD3E>I<49B612FCEFFF8018F0903B00 03FE000FF8EF03FE4BEB00FF8419800207ED3FC05DA219E0140F5DA3021FED7FC05DA2F0 FF80143F4B15004D5A60027F4A5A4B495A4D5AEF3F8002FF02FEC7FC92380007F892B512 E01780499038000FE04A6D7E707E707E0103814A130083A213075CA25E130F5C5F160313 1F5CA3013F020714404A16E05F017F160119C04A01031303496C1680B6D8800113079438 FE0F009338007E1ECAEA3FFCEF07F03B407BBD42>82 D<92391FE00380ED7FFC913A01FF FE0700913907F01F8F91390FC007DF4AC66CB4FC023E6D5A4A130014FC495A4948147CA2 495AA2010F15785CA3011F1570A46E91C7FCA2808014FE90380FFFE015FC6DEBFF8016E0 6D806D806D6C7F141F02037FEC003FED07FF1501A281A282A212075A167E120EA2001E15 FE5EA25E003E14015E003F14034B5A486C5C150F6D495A6D49C8FCD8F9F0137C39F8FE01 F839F03FFFF0D8E00F13C026C001FEC9FC314279BF33>I<48B9FCA25A903AFE001FF001 01F89138E0007FD807E0163E49013F141E5B48C75BA2001E147FA2001C4B131C123C0038 14FFA2007892C7FC12704A153C00F01738485CC716001403A25DA21407A25DA2140FA25D A2141FA25DA2143FA25DA2147FA25DA214FFA292C9FCA25BA25CA21303A25CEB0FFE003F B67E5AA2383D71BC41>I<147E49B47E903907C1C38090391F80EFC090383F00FF017E13 7F4914804848133F485AA248481400120F5B001F5C157E485AA215FE007F5C90C7FCA214 01485C5AA21403EDF0385AA21407EDE078020F1370127C021F13F0007E013F13E0003E13 7FECF3E1261F01E313C03A0F8781E3803A03FF00FF00D800FC133E252977A72E>97 DIIII<167C4BB4FC923807C78092380F83C0ED1F87161FED3F3FA2157EA21780EE0E004B C7FCA414015DA414035DA30103B512F8A390260007E0C7FCA3140F5DA5141F5DA4143F92 C8FCA45C147EA414FE5CA413015CA4495AA4495AA4495A121E127F5C12FF49C9FCA2EAFE 1EEAF83C1270EA7878EA3FE0EA0F802A5383BF1C>III<1478EB01FCA21303A314F8EB00E01400AD137C48 B4FC38038F80EA0707000E13C0121E121CEA3C0F1238A2EA781F00701380A2EAF03F1400 12005B137E13FE5BA212015BA212035B1438120713E0000F1378EBC070A214F0EB80E0A2 EB81C01383148038078700EA03FEEA00F8163E79BC1C>I<1507ED1FC0A2153FA31680ED 0E0092C7FCADEC07C0EC3FF0EC78F8ECE07CEB01C01303EC807EEB0700A2010E13FE5D13 1E131CEB3C01A201005BA21403A25DA21407A25DA2140FA25DA2141FA25DA2143FA292C7 FCA25CA2147EA214FEA25CA213015CA2121C387F03F012FF495A5C495A4848C8FCEAF83E EA707CEA3FF0EA0FC0225083BC1C>IIIIII<903903E001F890390FF807FE90 3A1E7C1E0F80903A1C3E3C07C0013C137801389038E003E0EB783F017001C013F0ED8001 9038F07F0001E015F8147E1603000113FEA2C75AA20101140717F05CA20103140F17E05C A20107EC1FC0A24A1480163F010F15005E167E5E131F4B5A6E485A4B5A90393FB80F80DA 9C1FC7FCEC0FFCEC03E049C9FCA2137EA213FEA25BA21201A25BA21203A2387FFFE0B5FC A22D3A80A72E>I<027E1360903901FF81E0903807C1C390391F80E7C090383F00F7017E 137F5B4848EB3F80485AA2485A000F15005B121F5D4848137EA3007F14FE90C75AA34813 01485CA31403485CA314074A5A127C141F007E133F003E495A14FF381F01EF380F879F39 03FF1F80EA00FC1300143F92C7FCA35C147EA314FE5CA21301130390B512F05AA2233A77 A72A>IIII<137C48B4141C26038F80137EEA07 07000E7F001E15FE121CD83C0F5C12381501EA781F007001805BA2D8F03F130314000000 5D5B017E1307A201FE5C5B150F1201495CA2151F0003EDC1C0491481A2153F1683EE0380 A2ED7F07000102FF13005C01F8EBDF0F00009038079F0E90397C0F0F1C90391FFC07F890 3907F001F02A2979A731>I<017CEB01C048B4EB07F038038F80EA0707000E01C013F812 1E001C1403EA3C0F0038EC01F0A2D8781F130000705BA2EAF03F91C712E012005B017E13 0116C013FE5B1503000115805BA2ED07001203495B150EA25DA25D1578000114706D5B00 00495A6D485AD97E0FC7FCEB1FFEEB03F0252979A72A>I<017C167048B491387001FC3A 038F8001F8EA0707000E01C015FE001E1403001CEDF000EA3C0F0038177C1507D8781F4A 133C00701380A2D8F03F130F020049133812005B017E011F14784C137013FE5B033F14F0 000192C712E05BA2170100034A14C049137E17031880A2EF070015FE170E00010101141E 01F86D131C0000D9039F5BD9FC076D5A903A3E0F07C1E0903A1FFC03FFC0902703F0007F C7FC372979A73C>I<903903F001F890390FFC07FE90393C1E0E0F9026780F1C138001F0 EBB83FD801E013F89039C007F07FEA0380000714E0D9000F140048151C000E4AC7FCA200 1E131FA2C75BA2143F92C8FCA35C147EA314FE4A131CA30101143C001E1538003F491378 D87F811470018314F000FF5D9039077801C039FE0F7C033A7C0E3C078027783C1E1EC7FC 391FF80FFC3907E003F029297CA72A>I<137C48B4143826038F8013FCEA0707000E7F00 1E1401001C15F8EA3C0F12381503D8781F14F000701380A2D8F03F1307020013E012005B 017E130F16C013FE5B151F1201491480A2153F000315005BA25D157EA315FE5D00011301 EBF8030000130790387C1FF8EB3FF9EB07E1EB00035DA21407000E5CEA3F80007F495AA2 4A5AD8FF0090C7FC143E007C137E00705B387801F0383803E0381E0FC06CB4C8FCEA03F8 263B79A72C>II E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fr cmsy7 7.665 37 /Fr 37 113 df0 D<127C12FEA4127E123C0707799216> I<131EA2131CA30040EB018000F0130700FCEB0FC000FEEB3F80393F8C7E003807CDF838 01FBC0D8007FC7FC133E3801FFC03807CDF0381F8C7E39FE1C3F8000FC131F00F0130738 E01E03000090C7FCA5130C1A1B7A9C25>3 D10 D20 D<12F012FC127FEA1FC0EA07F0EA01FC38007F80EB1FE0EB03F8EB00FEEC3F80EC0FE0EC 03F8EC00FEED3F80ED0FE0ED03F8ED00FEEE3F80EE0FE01607EE1FC0EE7F00ED01FCED07 F0ED1FC0037FC7FCEC03FCEC0FF0EC3F8002FEC8FCEB03F8EB0FE0EB3F8001FEC9FCEA03 F8EA0FE0EA3F8000FECAFC12F812E0CBFCABB812E0A32B3779AA39>I<017E15063803FF C0487F4813F8381F81FC263E007E140E0038011F140C486D6C131CEC07E000606D6C1338 00E0D901FC13F8489039007F03F092383FFFE06F13C003071300ED00FC2F107B9739>24 D<027FB512C00107B612E0131FD93F80C8FC01FCC9FCEA01F0485AEA078048CAFC121EA2 5A123812781270A212F05AA87E1270A212781238123C121C121E7E6C7E6C7EEA01F0EA00 FCEB3F806DB612E01307D9007F14C02B2A79A439>26 D<186018701830183884A284F007 80F003C0F001F0BA12FCA26C18F0CBEA01C0F00380F00700180E60601830187018603E16 7B9A48>33 D<130C131C131E133E137F497E3801DDC038039CE0380F1C78003E133E00F8 EB0F8000E01303000090C7FCB3B3A819387AAB25>I<133E137FA213FFA213FEA2EA01FC A213F81203A213F0120713E0A2EA0FC0A21380A2EA1F00A3123EA2123C127C1278A25AA2 5A10207DA215>48 DI<91387FFFC00107B512E0131FD93F80C7FC01FCC8FCEA01F0485AEA 078048C9FC5A121E5A123812781270A212F05AA3B712E0A300E0C9FCA31270A212781238 123C121C121E7E6C7E6C7EEA01F0EA00FCEB3F806DB512E01307EB007F232A79A431>I< B512C014F814FFC7EA3F80EC07E0EC01F06E7E153C81150E150FED0780150316C01501A3 16E01500A2B7FCA27EC9FCA2150116C0A215031680150716005D151E5D5D4A5AEC07E0EC 3F80B6C7FC14FC14C0232A79A431>I<16E0150116C0150316801507ED0F00A2151E151C 153C153815785DA24A5A5D14035D14074AC7FCA2141E141C143C143814785CA2495A5C13 035C130749C8FCA2131E131C133C133813785B5B12015B12035B120748C9FC120E121E12 1C123C123812785A5AA2233A75AC00>54 D<00E0150EA26C151E0070151C12780038153C 1638003C1578001C1570001E15F0000E15E0120F6C140116C06D13036CB61280A26C1500 9038E0000700005C150E6D131E0170131C0178133C01381338133C011C13781570011E13 F0010E5BEB0F0101075B1481EB03835D14C7010190C7FC14E7EB00EE14FE147E147CA214 38A2272D7FAB29>56 DI<1760EE01E04C7E1607A2160FA2161F161B163B1673A216E3A2ED01C3A2ED0383 ED0703A2150EA2151C03387FA2ED700115E0A2EC01C01403EC078015004A804AB5FCA25C 5C02F0C7FC83495A386003C026700780147ED8F80FC8127FEAFC3FD8FFFEED3F9C4916FC 4916F06C48ED1FC0D83FC0ED0600D80F8092C7FC36317DAD3A>65 D<9039078003FF90263F001F13C049017F13E0484848B5FC48903903C01FF03A023F0F00 070000131E4A1303D93E7814E05CD93FE014C0017FEC07804AEB0F004A131E16784A485A ED0FC001FE017FC7FC913803FF80D9FC0F13F04A13FC823A01F80007FF03011380ED007F 49EC3FC0A20003151F5B160FA21207491580A2170048485C161E90C85AD81F385CD81EFE 495A3A3FFF8007C0003D90B55A007C4AC7FCD8783F13F0D8E00F90C8FC2C2D7DAB30>I< EDFFE0020F13F0143F91B5FC903803F0079038078003D90E0013E0133C5B49EB07C01201 49EB0F804848140000075C49131C000F91C7FC90C9FC5A121E123EA2127E127CA312FCA7 7E1640ED01C0007FEC07806D130F16006C6C131CD81FF013789038FC01F06CB512C06C5C 000149C7FC38007FF0242D7EAB27>I<91B612F8131F017F15F090B712C02703E0001EC7 FCD80780133E000F143C157C48C71278001C14F8C85A1401A24A5AA314075DA3140F5DA3 141F92C8FCA3143EA35CA25CA24948131C4A137C49485B49485B000FB65A003F1580484A C7FCB612F02D2B80AA29>73 D<93383FFFFE0303B512FC031F14F8037F14F0913A01FC00 1E00DA03E05BDA07805B4AC75A141E4A495A027C130302785C02F813074A5C4948130F02 8091C7FC90C85AA2161E163EA25EA45EA315015EA315035EA2120C003C4A5A127C00FC4A 5A93C8FC6C5C151E6C5C6D5B6C6C5B9038F807C06CB55A000F49C9FC6C13F0C613803732 7CAA32>I76 D<03F01760020118E00203EF01C06F16031A071A0FF21F806F163F1A7F020717FFA2DA06 7E5D963803DF00F1079F020EEE0F1FDA0C3F151E193E021C4C5A6F6C14F80218923801F0 3EF003E002386DEB07C0DA300FEC0F80F01F0002706D133EDA60074A137E6002E06D4913 7CDAC003EB03E001014B5A4A6C6C485A4DC7FC0103ECFC3E91C74914FC496E5A0106EC7F F0010E5D010C6E4880011C5DD860386EC8FC0078150ED8FFF091C9EAFF301BF049F07FC0 4919006C481808001FCEFC4C2F7DAB55>II<020EEBFFC0DA3C0313F0DAF00F7F902603C03F 7F903A07807007FE903A0E00E001FF4948487E9026780380EB7F80D9F007143F484848C7 FCD9C01EEC1FC00003133E3807803C000F017C140FEB00784813E0001E90C8FC123EA200 7E1780127CA2171F00FC1700A3173EA25F6C167817F85F007F4B5A4C5A6D4A5A003F4BC7 FC6D141E6C6C5C6D14F8D80FFCEB03E03A07FF801F806C90B5C8FC6C14FC6C6C13E0010F 90C9FC322D7BAB3A>I<027FB5FC0107B612F0013F15FCD9FFBF14FF2803E03F003F1380 D80780020313C0D80F00EC007F001EEE3FE048013E141F007C160F0078160748137EC7FC 18C0147C1880170F02FC1500171E4A5C177C17F001014A5A4AEB07C0041FC7FC16FE9039 03E0FFF802E313C0DAE7FEC8FC010713E002C0C9FCA3495AA349CAFCA2133EA35BA21378 5B13C0332E7EAA33>II< ED3FFE4AB51280020F14E05C91387C001F02F0130749481303495A130717C0010F150093 C7FCA2808080EB07FE6D6C7E6D13E06D13FC91383FFF80020F13E002017F9138003FF8ED 0FFC6F7E1501D801C06D7E000781001FC8FC003E815A163E12FC163C6C157C16786C5DD8 7FC0495A01F0EB07C0D83FFC011FC7FC6CB512FE000714F0000114C026007FFCC8FC2B2D 7EAB2D>83 D<903803FF80013F13F890B512FE3A03FC007F80D80FE0EB0FE048C7EA01F0 003EEC00F8003C157848153C0070151C00F0151E48150EB3AA27277BA531>92 D<126012E0B3B3B3A6B512C0A27E124073AF21>98 DI102 D<12FCB47EEA0FE0EA01F86C7E137C7FB3A2133F7F6D7E6D7EEB03F8903800FF 80A2903803F800EB07C0495A49C7FCA2133EB3A25B13FC485AEA07F0EAFFC000FCC8FC19 407AAF25>I<126012E0B3B3B3A9034077AF16>106 D<12E0A37E127012781238A2123C12 1C121E120EA2120F7E7F1203A27F12017F1200A27F137013781338A2133C131C131E130E A2130F7F801303A2801301801300A280147014781438A2143C141C141E140EA2140F8015 801403A215C0140115E01400A215601B407BAF25>110 D<180EA2181E181C183C183818 78187018F018E01701EF03C0A2EF078018005F170E171E171C173C17381778177017F04C 5AA24C5A5F160794C7FC5ED801C0140E0003151ED80FE0141C001F153CD87BF0143800E3 1578D8C1F85C12016C6C495A5E017E13035E6D130793C8FC6D6C5A150E90380FC01E151C 903807E03C5DEB03F05D6D6C5A14F9903800FDC014FF6E5AA26EC9FCA2141E141C373F7A 823C>112 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fs cmsy10 10.95 46 /Fs 46 113 df<007FB812F8B912FCA26C17F83604789847>0 D<121EEA7F80A2EAFFC0 A4EA7F80A2EA1E000A0A799B19>I<0060166000F816F06C1501007E15036CED07E06C6C EC0FC06C6CEC1F806C6CEC3F006C6C147E6C6C5C6C6C495A017E495A6D495A6D6C485A6D 6C485A6D6C48C7FC903803F07E6D6C5A903800FDF8EC7FF06E5A6E5AA24A7E4A7EECFDF8 903801F8FC903803F07E49487E49486C7E49486C7E49486C7E017E6D7E496D7E48486D7E 4848147E4848804848EC1F804848EC0FC048C8EA07E0007EED03F0481501481500006016 602C2C73AC47>I<1506150FB3A9007FB912E0BA12F0A26C18E0C8000FC9FCB3A6007FB9 12E0BA12F0A26C18E03C3C7BBC47>6 D10 D<007FB912E0BA12F0A26C18E0CDFCAE00 7FB912E0BA12F0A26C18E0CDFCAE007FB912E0BA12F0A26C18E03C287BAA47>17 D<1818187CEF01FCEF07F8EF1FF0EF7FC0933801FF00EE07FCEE1FF0EE7FC04B48C7FCED 07FCED1FF0ED7FC04A48C8FCEC07FCEC1FF0EC7FC04948C9FCEB07FCEB1FF0EB7FC04848 CAFCEA07FCEA1FF0EA7FC048CBFC5AEA7F80EA3FE0EA0FF8EA03FEC66C7EEB3FE0EB0FF8 EB03FE903800FF80EC3FE0EC0FF8EC03FE913800FF80ED3FE0ED0FF8ED03FE923800FF80 EE3FE0EE0FF8EE03FE933800FF80EF3FE0EF0FF8EF03FC170018381800AE007FB812F8B9 12FCA26C17F8364878B947>20 D<126012F812FEEA7F80EA3FE0EA0FF8EA03FEC66C7EEB 3FE0EB0FF8EB03FE903800FF80EC3FE0EC0FF8EC03FE913800FF80ED3FE0ED0FF8ED03FE 923800FF80EE3FE0EE0FF8EE03FE933800FF80EF3FE0EF0FF8EF03FC1701EF07F8EF1FF0 EF7FC0933801FF00EE07FCEE1FF0EE7FC04B48C7FCED07FCED1FF0ED7FC04A48C8FCEC07 FCEC1FF0EC7FC04948C9FCEB07FCEB1FF0EB7FC04848CAFCEA07FCEA1FF0EA7FC048CBFC 12FC1270CCFCAE007FB812F8B912FCA26C17F8364878B947>I24 D<0207B612F8023F15FC49B7FC4916F8D90FFCC9FCEB1FE0017FCAFC13FEEA01F8485A48 5A5B485A121F90CBFC123EA25AA21278A212F8A25AA87EA21278A2127CA27EA27E7F120F 6C7E7F6C7E6C7EEA00FE137FEB1FE0EB0FFC0103B712F86D16FCEB003F020715F8363678 B147>26 D<1818183CA3187CA21878A218F8A2EF01F0170318E0EF07C0170FEF1F80EF3F 0017FEEE03FCEE0FF0EE3FE0923801FF80DB1FFEC7FC913803FFF80103B512E0007FB6C8 FCB612F0A26C14FFD8000314E0D9000313F89138001FFE923801FF809238003FE0EE0FF0 EE03FCEE00FE173FEF1F80EF0FC01707EF03E018F01701EF00F8A21878A2187CA2183CA3 1818363678B047>30 D<19301978A2197C193CA2193E191EA2191F737EA2737E737EA273 7E737E1A7C1A7EF21F80F20FC0F207F0007FBB12FCBDFCA26C1AFCCDEA07F0F20FC0F21F 80F27E001A7C624F5A4F5AA24F5A4F5AA24FC7FC191EA2193E193CA2197C1978A2193050 307BAE5B>33 D<140CA3141EA3143FA34A7EA24A7E497F497FA2903807DEF890380F9E7C 90383F1E3F017E6D7ED801FCEB0FE0D807F8EB07F8D83FE0EB01FFD8FF809038007FC001 00143F00F815070040ED0080C71500B3B3B2140C2A517FBE2D>I<140C141EB3B3B20040 168000F8ED07C0B4153F0180147FD83FE0903801FF00D807F8EB07F8D801FCEB0FE0D800 7EEB1F80013F49C7FC90380F9E7C903807DEF86DB45AA26D5B6D5B6E5AA26EC8FCA3141E A3140CA32A517FBE2D>I41 D49 D<0207B512E0023F14F049B6FC4915E0D90FFCC8FCEB1FE0017FC9FC13FEEA01F8485A48 5A5B485A121F90CAFC123EA25AA21278A212F8A25AA2B812E017F0A217E000F0CAFCA27E A21278A2127CA27EA27E7F120F6C7E7F6C7E6C7EEA00FE137FEB1FE0EB0FFC0103B612E0 6D15F0EB003F020714E02C3678B13D>I<176017F01601A2EE03E0A2EE07C0A2EE0F80A2 EE1F00A2163EA25EA25EA24B5AA24B5AA24B5AA24B5AA24BC7FCA2153EA25DA25DA24A5A A24A5AA24A5AA24A5AA24AC8FCA2143EA25CA25CA2495AA2495AA2495AA2495AA249C9FC A2133EA25BA25BA2485AA2485AA2485AA2485AA248CAFCA2123EA25AA25AA25A12602C54 73C000>54 D<0060EE018000F0EE03C06C1607A200781780007C160FA2003C1700003E5E A26C163EA26C163C6D157CA2000716786D15F8A26C6C4A5AA200015E6D140390B7FC6C5E A3017CC7EA0F80A2013C92C7FC013E5CA2011E141E011F143EA26D6C5BA2010714786E13 F8A26D6C485AA201015CECF003A201005CECF807A291387C0F80A2023C90C8FCEC3E1FA2 EC1E1EEC1F3EA2EC0FFCA26E5AA36E5AA36E5A6E5A324180BE33>56 D<007FB612FEB8FCA27EC9120FB3A7001FB7FC127FA3C9120FB3A8007FB7FCB8FCA26C15 FE283F7BBE33>I<4E7EF007C0180F181F183F187FA218FFA25FA25F18BF1707183F170F 170E171E171C173C17381778177017F0EE01E0A2EE03C0A2EE0780A2EE0F00161EA25EA2 5E16F85E4B5A854B5A15075E4BC7121F5D151E033FB6FC5DA292B7FC4A82DA03E0C7121F A24A5A4A48140F0010131F003091C87F143E00785B007C13FC26FE01F86F7E38FF87F0D9 FFE0171CF1FE7C4A923803FFF86C4917E091C914C06C487013006C48EE00FCD80FF094C7 FCEA03C046477EC149>65 D<020EEC7FC0023E903803FFF802FE011F7F0103027F7F010F 49B6FC011F903803F81F013F90260FC0031380903A79FC1F00010101013E7F5D4B147F90 3803FDF002FF16005D5D187E4B14FE4990C85A604A4A5A4D5A4A4A5AEF1F80010F037EC7 FC4A495AEE0FF04AEB7FC0DB03FFC8FC011F011F13E04A4813F84B13FE92B6FC4AC66C7F 013F020F7F04037F4A1300717E173F49C86C7EA2170FA201FE1507A448485EA3495E0003 160F605B00074C5A4993C7FCD9E180143E260FE7C05CD9DFE05C48B46CEB03F0D9BFFCEB 0FC09139FF80FF80D83F1FD9FFFEC8FC6D14F8D87E0714E0D8780191C9FC39E0003FF039 427DBF3C>II<4AB512 FC023FECFFE049B712FC0107EEFF80011F8390277FE1FC0114F02601FC01D9000F7FD803 F003017FD807C09238003FFE260F80036F7E001F1707D83F0070138084007E4A6E13C012 FE48187F00F019E000C00107163FC7FC5D191FA3140F5DA21AC0A24A5AA2F13F80A24A5A 1A0061197E4AC9FC61A2027E4B5A02FE5E18034A4B5A01015F4E5A4A4BC7FC0103163E60 4A5D0107ED03F04AEC07C0EF1F80010F037EC8FC4A495A011FEC0FF04AEB7FC0DB0FFFC9 FC49B512FC90B612E04892CAFC4814F84891CBFC433E7EBD46>I<047FB612FC0307B8FC 031F1780157F4AB9FC912903F80FE000011300DA0FC0ED007EDA1F00167C023E17604A01 1F92C7FC02FC5C495AA213034A495A495A5C0106C7FC90C848CAFCA3167E16FEA34B5AA3 5E150393B612F0A24B5D614B92C8FC04E0CAFC5E151F5EA24BCBFCA25D157E15FE5DA24A 5AA24A5AA24A5AA20003495A121F486C485A127F486C48CCFCEBE03E387FFC7CEBFFF86C 5B6C13C06C5BD801FCCDFC49417FBD41>70 DI<033FB612F00207B7FC023F16E091B812 800103EEFE0090280FFC0007C0C7FCD91F80130F013EC7485A4992C8FC01FC5C48485C16 7E484814FE01C05C90C8FCC812015E1503A34B5AA35E150FA34B5AA44B5AA44BC9FCA415 FEA35D1401A25D14035DA24A5A18704A48EB01F04D5A4A48130792C7485A023E5D4A023F C7FC0007B712FE001F16F8485E481680B700FCC8FC3C3E83BD32>73 D<0507B512FE173F4CB612FC040715F0041F15C0933A7F8000F8009339FC0001F0DB03F0 495ADB07C0495A4B48130F4BC7485A033E92C7FC4B5C03FC147E4A5A4B5C140302071401 4B5C020F14034B5C92C7FC020C140791C85B170FA260171FA260173FA295C8FC5FA317FE A44C5AA44C5AA44C5AA21203000F5E003F150F485EA2484B5AA24CC9FC163E6D147E5E6D 5C4B5A6C6C495A6D495A6C6C495A01FE013FCAFC391FFFC0FC6CEBFFF86C14E06C1480C6 49CBFCEB1FF047497BBD3E>I<173F933803FFC0040F7F043F7F93B5FC4B80ED03E09238 0FC03F92381F801FED3F004B130F15FE4A5A604A485C020715804B91C7FC020F91C8FC5D 141FA24A5AA34A5AA34ACAFCA3495AA313035CA3495AA3130F5CA3131F5CA25C133FA249 5AF0078091C9121F01FEEE3F0018FF2601FFFE5D48D9FFE0130103FE5C489139FFE003F8 04FE5B4892B55AD81F811680263F001F92C7FC007E010114FC00F8D9001F13F000E00201 138039427DBF3F>76 D<0438198004F81801030119030303190770180F1D1FF53F00A203 0761706064525A1C07A24B6C170F1C1F525A030E187F7017FD031E6DED01F91CFB031CEF 03F3983807E3F892263C3FC0ED0FC3F31F830338EF3F03F37E079238781FE009FC5B0370 EE01F8F203F09226F00FF0EC07E003E093380FC00FF21F800201173F4B6C6C03005B1A7E 02035F03806D495A04034A48131F02074C5A03004B5A706C131F020E4C5A4FC75B021E6E 13FE021C6D495AF083F84ADB87F0143F94387FCFE00278EDDFC002706EB45A96C8FC4A6E 5A6001016F5A49485D0030705A267C07805DD87F0F6F5AB5C890C9EBE1C094CA13E749F3 FF80491C00F41FFC491BF06C48F20FC0D81FE097C8FCEA078062457DBF6D>II<030EEB0FFC033EEB3FFFDBFC01B512C0912601 F80780912607E00F8091270F803F017F913B3F007C007FFC027C49131F4A48486D7E4948 48481307494848486D7E903807C00F494848487FD91F0090C7FC49496E1380017E137E13 7C01FC5B4848177F49485A12034848485A5D000FEB078049CAFC121F1A005B123FA26100 7F6090CBFCA34E5A5A61A24E5AA24E5AA24E5A7F4E5A96C7FC606C6C167E187C6D5E4D5A 6C6C4B5A4D5A6C6C4B5A6D4BC8FC6C6C157E6D15F86C01C0EB03F06C01F0EB0FC06C01FE EBFF806C90B548C9FC6D14F8011F14C0010791CAFC010013F041427BBF48>I<4AB6FC02 3F15F849B712FE0107EEFF80011F17E090287FE1FC007F13F02601FC01020313F8D803F0 030013FC2607C003ED3FFED80F80160F001F1707D83F00EE03FF4B80127E12FE488300F0 130712C0C74915FEA319FC020F15014B15F8A2F003F0A2021FED07E04B15C0F00F80F01F 00183E4A485C4D5AEF03E0EF0FC04AC7007FC7FCEE0FFE923807FFF8DA7E1F13C0DAFE3F 90C8FCED7FF84BC9FC4948CAFCA35C1303A25C1307A25C130F5CA2131F5C133FA291CBFC 5B137EA25B13F013C040437EBD3F>II83 D85 D<0060EE018000F0EE03C0B3B3A36C1607A200781780007C160FA2 6CEE1F00003F5E6C6C157E6C6C5DD807F0EC03F8D803FCEC0FF06CB4EC3FE03B007FF003 FF80011FB548C7FC010714F8010114E09026001FFEC8FC32397BB63D>91 D<0060EE018000F0EE03C06C1607A2007CEE0F80A2003C1700003E5EA26C163EA26C6C5D A2000716786D15F8A26C6C4A5AA26C6C4A5AA200005E6D1407A2017C4A5AA26D4AC7FCA2 011E141E011F143EA26D6C5BA26D6C5BA26D6C485AA201015CECF003A26D6C485AA29138 7C0F80A2023C90C8FCEC3E1FA2EC1F3EA2EC0FFCA26E5AA36E5AA26E5A6E5A32397BB63D >95 D<126012F0B3B3B3B3ADB512FCA37E165A71C328>98 D<1418143CB3B3B3B3ADB512 FCA314F8165A7EC328>I<153FEC03FFEC0FE0EC3F80EC7E00495A5C495AA2495AB3AA13 0F5C131F495A91C7FC13FEEA03F8EA7FE048C8FCEA7FE0EA03F8EA00FE133F806D7E130F 801307B3AA6D7EA26D7E80EB007EEC3F80EC0FE0EC03FFEC003F205B7AC32D>102 D<12FCEAFFC0EA07F0EA01FCEA007E6D7E131F6D7EA26D7EB3AA801303806D7E1300147F EC1FC0EC07FEEC00FFEC07FEEC1FC0EC7F0014FC1301495A5C13075CB3AA495AA2495A13 3F017EC7FC485AEA07F0EAFFC000FCC8FC205B7AC32D>I<126012F0B3B3B3B3B1126004 5B76C319>106 D<0060131800F0133CB3B3B3B3B000601318165A75C32D>I<126012F07E A21278127CA2123C123EA2121E121FA27E7FA212077FA212037FA212017FA212007FA213 78137CA27FA2131E131FA27F80A2130780A2130380A2130180A2130080A21478147CA214 3C143EA2141E141FA26E7EA2140781A2140381A2140181A2140081A21578157CA2153C15 3EA2151E151FA2811680A2150716C0A21503ED0180225B7BC32D>110 D<1A03F207801A0FA2F21F00A21A3EA262A262A24F5AA24F5AA24F5AA24F5AA24FC7FCA2 193EA261A261A24E5AA24E5AA24E5AA24E5AA24EC8FCA2183EA260A260A24D5A131C017C 5E01FE15031201D807FF4B5A120E484C5A00787FD8E07F4BC9FC00C07FD8003F153E8001 1F5D80010F5D8001074A5A8001034A5AA26E495A13016E495A7F6F48CAFC147FEDC03E14 3F6F5A141F6F5A140FEDF1F015F9913807FBE015FF6E5BA26E5BA26E90CBFCA2157EA215 3C1538495B7B834C>112 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Ft cmr10 10.95 91 /Ft 91 128 df0 D<913801FFE0021F13FE 9139FF007F80D903F8EB0FE0D90FE0EB03F84948EB01FED97F80EB007F49C86C7E484882 48486F7E48486F7E8448481507001F83491503003F83A2491501007F83A9123F6D4B5AA3 001F5F7F000F1607606C7E4D5A12036D5E00014C5A12006D5E017E153F6D93C7FC173E6D 157E6D6C147C1778010715F826C003C09138F0018000E016E013010060ED01C06D6C1503 05801300127002605D6C017049485A263FFFF091B5FC60A37EA239407CBF42>10 DII<913803FF80023F13EE9138FE00FEEB03F0903807E001EB0F80EB1F 005B137E1500017C147E13FCAEB712FEA3D800FCC7127EB3AE486C14FF277FFFF83F13FC A32E407EBF33>II<131FEB3F80137FA2EBFF00485A 485A485A5BEA0FC0485A48C7FC123E12785A5A124011116DBE2D>19 D<00C0130600F0130F00FC133E003E13FC381F83F0380FE7E03803FFC06C13803800FE00 137C1318180B75B92D>I22 D<123EEA7F8012FF13C0A7138012 7FAB13007EAB123E121EAA121CA2120CC7FCA7121E127F1380EAFFC0A4EA7F801300121E 0A4178C019>33 D<001EEB0F80007FEB1FC09038803FE0D8FFC013F0A201E013F8A2127F 9038601FD8001EEB0F1800001300A4491330A3000114605B000314E090C712C048EB0180 000E1303000CEB070048130E485B002013181D1B7DBE2D>I<04C0130E1501A20303141E A2181C4C133C1507A2183893C712785DA2030E1470031E14F0A260031C1301153CA26003 3813031578A203705C03F01307A295C8FC4B5B007FBAFCBB1280A3C72703C0001EC8FCA2 4B131C0207143CA2173892C712785CA21770020E14F0141EA25F007FBAFCBB1280A27EC7 27380003C0C8FC1478A202705C02F01307A294C9FC4A5B1301A2160E4A131E1303A24A13 1C0107143CA2163891C712785BA21670010E14F0131EA25E491301A301186D5A41517BBE 4C>I<123E127FEAFF8013C0A213E0A2127F1360123E1200A413C0A3EA0180A212031300 1206120E5A5A12305A0B1B78BE19>39 D<14181438147014E0EB01C0EB0380EB0700130E 131E5B133813785BA2485AA2485AA2485AA2120F90C7FCA25A121EA2123EA3123C127CA5 1278A212F8B11278127CA5123C123EA3121EA2121FA27E7F1207A27F12037F12016C7EA2 1378A27F131C131E7FEB07801303EB01C0EB00E0147014381418155B77C323>I<12C012 6012387E121E7E6C7E12036C7E7F6C7EA21378A27F133E131E131F7FA214801307A214C0 1303A214E0A3130114F0A5130014F8B3EB01F0A614E01303A314C01307A21480A2130F14 005B131EA25BA25BA25B485AA2485A485A90C7FC120E121E5A5A12E05A155B7BC323>I< 1506150FB3A9007FB912F0BAFC19F86C18F0C8000FC9FCB3AA813D3D7BB447>43 D<123E127F5A1380A213C0A3127F123E1200A5EA0180A3120313005A1206120E120C121C 5A5A12200A1C788919>II<123EEA7F8012FF13C0A5EA7F80EA3E00 0A0A788919>I<14FE903807FFC090381F81F090383E007C01F87F48487FED0F80485A48 48EB07C016E0000F14034914F0121FA2ED01F8123F90C7FC16FC5AA416FEA25AB16C15FC A47F123F16F81503121F16F0A26C6C14E01507000715C06C6C130F6D14800001EC1F006C 6C133E017E5B90381F81F8903807FFE0010090C7FC273F7DBC2D>48 D<14C013011303130F133FEA01FFB5FC13CFEAFC0F1200B3B3AB80EB3FF8007FB512FCA3 1E3D78BC2D>III< 150E151EA2153EA2157E15FEA214011403A21406140E140C141814381430146014E014C0 EB0180130314001306130E130C131C5B1330137013605B12015B48C7FC5A12065A121C12 185A127012605AB8FCA3C8EAFE00AB913803FF8049B6FCA3283E7DBD2D>I<5D000F1407 01F013FF90B55A5D5D5D5D15804AC7FC380E3FE090C9FCACEB03FE90381FFF8090383C07 E09038F001F8390FC000FC49137E90C7127F000E80000C1580C8EA1FC0A3ED0FE0A316F0 A3123C127F5A7FA316E090C7FC00FC141F006015C0A36CEC3F80003815006C147E001E14 FE6C495A3907C003F03903F01FE0C6B55A6D48C7FCEB0FF0243F7BBC2D>II<1218121C121F90B612FE5AA216FC A216F816F0007EC8FC0070EC01E016C0ED0380006014071600150E00E0141E485CC81238 5D15F05D4A5A14035D4AC7FC5C140E141EA25CA2147C147814F8A21301A25C1303A31307 A25CA2130FA5131FAA6D5A6D5A27407BBD2D>III<121EEA 7F80A2EAFFC0A4EA7F80EA3F00121EC7FCB3121E127F1380EAFFC0A4EA7F801300121E0A 2778A619>I<121EEA7F80A2EAFFC0A4EA7F80EA3F00121EC7FCB3123E127FA2EAFF80A3 13C0127FA2123E1200A313801201A4EA0300A25A1206120E5A121812385A12200A3978A6 19>I<007FB912E0BA12F0A3CDFCAE007FB912E0BA12F0A27E3C167BA147>61 D65 DIIIIIIII< 011FB512FCA3D900071300EC01FEB3B3A7121EEA7F80EAFFC0A44A5A1380127F397E0007 F800305C0038495A6C495A000F495A2603E07FC7FC3801FFFC38003FE026407CBD2F>I< B600E090381FFFFEA3C601E0C7000313C0D97F80913801FE00EF00F84D5A18C04D5A4DC7 FC170E5F5F5F5F4C5A4C5A4CC8FC160E163C5E5E4B5A4B5A1507150F4B7E4B7E157FEDEF F8913881C7FC91388383FEEC870391388E01FFDABC007F14F84A6D7E4A6D7E5C4A6D7E70 7EA2707E707EA2707E707FA2717E717E171F84717E170784717E846E168048486C4A13E0 B600E090B6FCA3403E7DBD47>IIIIIIIII<003FB9 12C0A2D9F000EBE0000180D93FC0131F003EC71507481703127818011270A2180019E012 60A31960A212E0A3C81600B3B2157FEDFFF00107B612FEA33B3D7DBC42>IIII89 D<003FB712F8A391C7EA0FF001F0141F01C015E0 49143F90C8EA7FC0003E1680003C15FF4B130000385D15034B5A5A4B5A5E151F4B5A5EC8 127F4B5A93C7FC5C4A5AA24A5A5D140F4A5A5D143F4A5AA24A5A4990C8FCA2495A4A141C 1307495A5C131F495A1718495A495A17384890C8FC5B00031678485A17F8485A48481401 16034848140F4848143FED01FFB8FC17F0A22E3E7BBD38>II<486C1360000314E039070001C00006EB038048EB0700001C 130600185B123800305B127000605BA3485BA400CFEB63C039DF806FE039FFC07FF0A213 E0007F133FA2383FC01FEC0FE0390F0007C01C1B72BE2D>II<13101338137C13FE487E3803E7803807C3C0380F01E0381E 00F048137848133C48131E48130700401302180E75BE2D>I96 DII<1438903803FFC090381FE7F890387F003C01FC130F48 48EB07804848130F4848EB1FC0000F143F485AA2485AED1F80007FEC0F0092C7FC90C9FC A25AA97E7FA2003F154016E06C6C14C015016C7EED03806C6C14006C6C5B6C6C130ED800 7E133C90383F80F090380FFFE0010190C7FC232A7DA828>II< 1438903807FFC090381FEFF090387E00FC49137E48487F4848EB1F804848130F484814C0 121FED07E0485AA2007FEC03F0A290C7FC5AA290B6FCA290C9FCA67E7FA2003F15301670 6C7E16E06C7E0007EC01C06C6C14806C6C13036C6CEB0F00017F131E90381FC0F8903807 FFE001001380242A7EA828>II<163F903A03FE01FF80903A1FFF83C7C090397E07EF079038FC01FC 3901F800F848489038FC03804848017EC7FC157F48487FA2001F81A6000F92C7FC7FA200 07147E6C6C137C00015C6C6C485A3901FE07E039039FFF80D907FCC8FC48CAFCA35AA26C 7EA213E06CB512F015FF6C15E06C81823A07C0000FFC4848EB01FE001EC8127F003E8148 810078ED0F8012F8A5007CED1F00007E5D6C157E6C6C5C6C6C495AD803F0EB07E0D800FE EB3F8090263FFFFEC7FC010313E02A3C7EA82D>IIIII< EA07F812FFA3120712031201B3B3B1487EB512F0A3143F7DBE19>I<270FF803FE14FF00 FF90270FFFC00713E0913B3C0FE01F03F0913B7003F03C01F80007903BC001F87000FC27 03F9800049137E000190C76C5A01FBDAFD80133E01FE027F143F4992C7FCA349147EB3A6 486C02FFEC7F80B5D8F07F9039FC1FFFFEA347287DA74C>I<390FF803FE00FF90380FFF C091383C0FE091387003F000079038C001F83803F9800001130001FB6D7E13FE5BA35BB3 A382A3486C497EB5D8F07F13FCA32E287DA733>I<141C903803FFE090380FF3F890383F 003E017C6D7E4848EB07C048486D7E484880496D7E000F140048488082003F157E90C8FC 48157FA3481680A96C1600A27F003F15FEA2001F5D6D1301000F5D6C6C495A6C7E00014A 5AD800FCEB0F80017E013FC7FC90381F80FC903807FFF001001380292A7EA82D>I<390F F807FC00FF90383FFF809138781FE09039F9E007F03A07FB8001FCD801FFC77E49147F49 1580163F49EC1FC017E0A2160F17F0A2160717F8A917F0160FA217E0161F17C0163F6D15 80EE7F006D14FE6D495A9039FB8003F89039F9C007F09039F8F81FC0DA3FFFC7FCEC0FF8 91C9FCADEA07FCB512F0A32D3A7DA733>I<02FF130C0107EBC01C90381FC0F090397F00 383C01FC131CD803F8EB0E7C484813061503484814FC48481301A2003F14005B127FA290 C8FC5AA97E7FA2123FA26C7E15016C7E15036C6C13076C6C130E6C6C131CD8007E137890 383F81E090380FFFC0903801FE0090C8FCADED03FE92B512F8A32D3A7DA730>I<390FF8 0FC000FFEB3FF0EC79F8ECE1FC3807F9C3000313833801FB039038FE01F8A291C7FC5BA3 5BB3A5487EB512F8A31E287DA724>I<90380780209038FFF8703907F8FFF0380F000F00 1C130348130112780070130012F01570A27EA200FE14606C1400EA7FF013FF6C13F06C13 FE6C7F000314C0C614E0010F13F0EB007FEC0FF8140300C0EB00FC6C147CA2153CA27EA2 6C1438A26C14706C14F06CEB01E039FB8003C039F1E01F8039E0FFFE0038C01FF01E2A7D A824>I<130CA5131CA4133CA2137CA213FC120112031207003FB512E0B6FCA2D800FCC7 FCB31530AA017C1360137EA2013E13C0EB1F0190380FC380903807FF00EB00FC1C397EB7 23>II< B539C003FFF0A3D807FCC713006C48147C0001153C6D1438000015306D1470A2017E1460 017F14E06D5CEC80015E131FECC003010F91C7FC6E5A15061307ECF00E0103130CECF81C 01011318A2ECFC3801001330ECFE70EC7E60A2EC7FE06E5AA26E5AA36EC8FCA214062C28 7EA630>IIII<003FB612C016 809039C0007F0090C7FC003C14FE007C495A007813035D0070495A4A5A141F5D4A5A4AC7 FCC75A5C495A495A13075C495A131F90393FC001801480EB7F005B485A5B484813031207 5B48481307485A003FEC0F00495B48C75A4849B4FC90B6FCA222277DA628>II126 D<001E130F007FEB1FC0A239FF803FE0A4397F001F C0001EEB0F801B0977BC2D>I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fu cmbx10 10.95 46 /Fu 46 120 df45 DI48 D<140E141F5C14FF1307137FB6FCA31383EA0003B3B3AA007FB612F8A4253C78BB34>I< 903803FF80011F13F890B6FC000315C02607FC077F260FF0017F3A1FC0007FF848486D7E 6D80486C6D7E6D7F00FF16807F8117C0A36C5AA26C5AEA0F80C8FC4B1380A217005D5E4B 5AA24B5A5EEDFFC04A5B4A90C7FC5DEC07F84A5A4A5AEC3F804AC8FC02FEEB03C0494813 07EB03F049481480495A495A49C7120F137C49147F48B7FC5A4816005A5A5A5AB8FCA25E A22A3C7BBB34>II<167016F8150115031507A2150F151F153FA2157F15FF5C5C15BF1407EC0F3F141E14 3CA2147814F0EB01E0130314C0EB0780EB0F005B133E133C5B13F8485A485A5B1207485A 48C7FC123EA25A5AB812FCA4C8383FF800AA91B612FCA42E3C7DBB34>I<1608D807C014 7C01FEEB07FC90B65AA25E5E5E5E4BC7FC15F85D158002F8C8FC01C0C9FCA8EC7FE09038 C3FFFC01CF13FF01DF14C0D9FF807F9039FC003FF001F06D7E498001806D7EA2C87F8117 80A317C0A2120FEA3FC0487EA2487EA31780A25B6C484913005B007EC75B6C141F6C6C5C 6D495AD80FF0EBFFF02607FC0313C00001B65A6C4AC7FC013F13F0010390C8FC2A3D7BBB 34>II<121E121F7FEBFF804890B612F8A317F017E017C0A248168017005E5E 007CC7EA01F85E00784A5A150700F84A5A4B5A484AC7FC157E157CC85A14014A5A5D1407 4A5AA2141F5D143FA2147F92C8FC5CA25BA3495AA31307A5130FAA6D5A6D5A6D5A2D3F7A BD34>II< ECFFC0010F13FC013F13FF90B67E4801C013E0489038003FF048486D7E4848130F48486D 7E82003F14034980127F1780A212FF17C0A617E0A3127F5DA2123F5D6C7EA2000F5C6C6C 5B6C6C137B3901FF81FB6CEBFFF36D01E313C0010F1383903801FE0390C7FCA21780A2D8 07C05BD80FF01500121F486C5CA24B5AA24B5A49495A001F4A5A01C0495A000F495BD9F0 0F90C7FC6CB512FC000114F06C6C13C0D90FFCC8FC2B3D7BBB34>II<167C16FEA24B7EA24B7FA34B7FA24B7F A34B7FA24B7F153E157E037C7F167F03F87F163F140103F07F82DA03E080820207814B7E A2DA0F808082021F814B7E5C023E81824A81177F14FC4A6E7E91B7FC4982A25B02E0C700 0F7FA249486E7FA2495A717F131F91C88083013E8383137E017C8348B4167FB500FC027F B512FEA4473F7CBE4F>65 DI<922607FFE0130E92B500FC131E02079138FF803E023FED E07E91B539001FF0FE010301F8EB03FD4901C0EB00FF011F90C8123F4948151FD97FF815 0F494815074849150348491501A24849150048187E91CAFC5A193E485AA2191E127FA249 1700A212FFAC127FA2190C6D171E123FA36C7E193E6C183C806C187C6C6D16786C6D16F8 6EED01F06CEF03E0D97FFC15076D6CED0FC0D90FFFED1F806D01C0EC7F00010101F8EB01 FC6D9039FF801FF8023F90B512E002071580020002FCC7FC030713C03F407ABE4C>I69 DI<922607FFE0130F92B500FC5B02079138FF803F023FEDE07F91B5 39801FF0FF01039039F80003FD4901C00100B5FC011F90C8123FD93FFC81494881494881 484981484981A24849815A91CA7E5A85485AA3007F845B96C7FCA212FFAC007F0303B612 FEA27FA2003F92C7001F1300A36C7EA27E807E6C7F6C7F806C7F6D6C5D6D7E90260FFF80 5C6D01E091B5FC010101F8EB03FB6D9039FF801FF1023F90B5EAE07F0207ED801F020091 38FE0006030701E090C7FC47407ABE52>I76 DI80 D82 D<003FB912FEA35A903BFC003FFE001F01E016030180160190C7ED007F127E85007C84A2 1278A200F884A35A1A80A31907C893C7FCB3B1010FB712F8A4413D7CBC49>84 DI<903807FFC0017F13FC48B67E48812607 FC0113F09138003FF8486C6D7E150F6F7EA26F7E6C5A6C5AEA01E0C8FCA30203B5FC49B6 FC130F90387FFE033801FFE000071300485AEA1FF8485A485AA2485AA45D7F007F140E6D 5B6C6C01781380271FFF01F813FE6C9039FFF07FFF0003ECC03FC69138000FFED90FFC90 C7FC302A7DA833>97 D<3803FF80B5FCA412037EB0ED7FE0913883FFFE029F6D7E02BF14 E09139FF807FF09139FC001FFC02F06D7E4A6D7E4A7F4A15807013C0A37013E0A318F0AA 18E0A34C13C0A218805E6E15006E495A6E495AD9FEFCEB3FF8D9FC7FEBFFF0496CB512C0 D9F00F91C7FCD9E00313FCC813C034407DBE3A>IIIII<023CEB01F0903A0FFFE00FFC013F9038FC3FFE90B5EAFE7F48903980FFFCFF3A 03FE007FE04848133F48486D7E001F167E4990380FF83C1700003F81A7001F5D7F000F4A 5A7F6C6C495A6C6C6CB45A6C90B55A484AC7FCD8079F13F8018113C0D80F80C9FCA47F7F 90B512FEEDFFF016FC6C15FF6C16C017E06C16F05A000F16F8D81FF0C7FCD83FC0141F48 48EC07FC00FF150390C8FCA37F007F15076D15F8003F150F01F0EC3FF0D81FFCECFFE027 07FF800713C06C90B61200C615FC011F14E0010049C7FC303D7DA934>II<13F8EA03FC487E487E481380 A57E14006C5A6C5AC65A90C7FCA8EA07FF127FA412077EB3ADB512FCA4163F7CBE1D>I< 3803FF80B5FCA412037EB14BB5FCA49238007FC094C7FC16FEED03F84B5A4B5A4B5A4BC8 FC15FEEC81FCEC83F0EC87F8EC9FFC14BFECFFFE818202E37F14C102807F4A6C7E826F7E 151F6F7E6F7E836F7F816F7F8383B5D8FC03EBFFC0A4323F7DBE37>107 DIIII<3A03FF803FF0B53883FF FE028F6D7E02BF14E0DAFF8013F800039039FC003FFC6C01F06D7E4A6D7E4A7F4A6D1380 18C0A27013E0A38218F0AA4C13E0A318C05E18805E6E15006E495A6E495A02FCEB7FF891 39FF01FFF002BFB512C0028F91C7FC028313FC9138807FC092C9FCADB512FEA4343B7DA8 3A>I114 D<90383FFC0E48B512FE1207380FE007381F0001003EEB007E5A153E12FC151E7EA26C6C 90C7FC13F0EBFF806C13FCECFF806C14E015F86C8012076C80C66C7F1307EB003F020313 800060130000F0147F153F151F7EA27E16006C5C6C143E01C013FE9038F803FC90B55A00 F814E0D8F03F5B26E007FCC7FC212A7CA829>II<2607FF80EB3FFCB5EB07FFA4 0003EC003F6C151FB3A7163FA2167F6C15FFED01EF903A7FC003CFFEDAF00FEBFFF06DB5 128F010FEBFE0F6D13FC9026007FE014E0342A7CA83A>III E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fv cmmi7 7.665 56 /Fv 56 123 df11 DII<903801FF80010713F0EB0C1FEB080790381801E091C7 FCA2131CA2131E7FA2806D7E806D7E80A2EB1FFCEB7CFEEBF87E3801E07F3807C03F0180 1380000F131FEA1F00003E130FA2127E127CA212FC481400A25CA2141E143E0078133CA2 6C5B5C6C485A380F83C03803FF80D800FCC7FC1C2E7CAC21>II<14305CA4EC7FF8A214FF903803CFF049C7FC 130E5B5B5B5B485A485A120790C8FC120EA25AA2123C12381278A21270A212F0A57EA212 7CA2127E6C7E13E0EA1FFE380FFFC06C13F800017F38003FFEEB07FF1300141F80A3140E EB301EEB3C1CEB0FF8EB03E01D397CAB21>I20 D<131C013CEB03C0017C1307A2ED0F80A25BA2ED1F00A2485AA2153E A2485AA25DA24848140CA215F81618000F13011403D9E0071330EC0E783A1FF83C3C6090 393FF01FC090390FC00F8090C9FC123EA45AA45AA25A26297D9B2C>22 DI<14605CA4ECFFF0010313F8011F13F090383F1FE0017CC7 FC5B485A12035B12075BA57F12033801F3FE6CB5FC7F3801EFFED80380C7FC48C8FC120E 5A123C5AA2127012F0A47E7EB4FCEA7FC0EA3FF86CB4FC6C13E0000313FCC66C7EEB0FFF 01011380EB007F140F140715001330EB1E0EEB0FFCEB01F01D397DAB21>I<90B612FC12 03120F4815F83A3E0380C00000381300127038E0070112C0EA0006130EA3EB1C03A2133C A21378A28113F0A20001801401D803E07F5DEBC00000015C261C7D9A2B>I<0103B512F0 011F14F8017F14F090B612E03A03F80FC0003907E007E0380F8003EB00014880123E123C 127CA2127800F8495AA34A5A5A4A5A7E007849C7FC143E6C5B6C13F0380F07E03807FF80 D801FCC8FC251C7C9A2A>27 D<90B612C01203120F481580263E00E0C7FC1238485BEAE0 0112C0120013035CA21307A349C8FCA45B131EA2133EA3133C1318221C7D9A22>I<1607 486CEC0F8048C8EA1FC05A120E000C150F4815071603481680140C48131EA21700004013 3E00C0013C5B1606160E0238130C161C6C495B02F81378D8F0015C3AF807FC03E0397F3F BFBF01FFEBFFC06C011F5B01FE49C7FC391FF80FFC3907E003F02A1D7E9B2E>33 DII<127C12FEA5 123C0707798616>58 D<123C127E12FE12FFA2127F123F1203A312071206A2120E120C12 181238127012600813798616>I<1740EE03E0160FEE3FC0EEFE00ED03F8ED0FE0ED3F80 03FEC7FCEC03F8EC0FE0EC3F8002FEC8FCEB07F8EB1FE0EB7F80D801FEC9FCEA07F0EA1F C0007FCAFC12FCA2127FEA1FC0EA07F0EA01FCEA007FEB1FC0EB07F0EB01FE9038007F80 EC0FE0EC03F8EC00FEED3F80ED0FE0ED03F8ED00FEEE3F80EE0FE01603EE00C02B2A79A4 39>I<156015E0A2140115C0A21403158014071500A25C140E141E141CA2143C14381478 1470A25CA213015CA2495AA2130791C7FCA2130EA2131E131CA25BA213781370A25BA212 015BA2485AA2120790C8FCA2120EA2121E121CA25AA212781270A25AA31B407BAF25>I< 124012F012FC127FEA1FE0EA07F8EA00FEEB3F80EB0FE0EB03F8EB00FEEC3F80EC0FE0EC 03F8EC00FEED3F80ED0FE0ED03FCED00FFEE1FC0EE07E0A2EE1FC0EE7F00ED01FCED0FF0 ED3FC003FFC7FCEC03FCEC0FE0EC3F8002FEC8FCEB03F8EB0FE0EB3F8001FEC9FCEA03F8 EA0FE0EA7F8000FECAFC12F812602B2A79A439>I64 D<92397FF001C0913A07FF FE038091391FC00F0791397E0003CFD901F8EB00FFD907E0EC7F00495A49C87E133E4915 1E13FC485A485A0007161C5B485A121F4992C7FC123FA290CBFC5AA3127EA212FEA217C0 127EA216015F003E1503003F93C7FC16066C6C140E000F5D6D5C6C6C14F06C6CEB01C0D8 00FCEB0780017F013EC8FC90381FFFF8010313C0322D7CAB34>67 D<011FB7128018C0D900FEC7EA3F80027E140F4A14071703A3495AA4494801301300A294 C7FC16704948136016E01501150749B55AA2ECC0031501D91F805BA217040303130ED93F 00EB000C92C7FC5FA2017E15385FA25F4914014C5A16070001ED1F80484814FF007FB7FC B8C7FC322B7CAA35>69 D<011FB7FC1880D900FEC7EA7F00027E141F4A8083A3495AA34A 1406130316700460C7FC5C130716E04B5AECC00749B5FCA29138C00780EC8003131FA293 C8FC14005BA292C9FC133E137EA45BA31201487E387FFFF8B5FC312B7CAA2E>I<90271F FFFC03B51280A2D9007EC7380FE000605C4D5AA3495A4DC7FCA25C1303177EA25C13075F A291B6FC5B9139C00001F8A25C011F14035FA291C7FC5B4C5AA2133E137E4C5AA2137C13 FC4C5AA2120100034B7E3B7FFFE00FFFFEB5FC392B7CAA3C>72 D<90381FFFFCA2903800 7E00A25CA4495AA4495AA4495AA4495AA4495AA449C7FCA4137EA45BA312011203B512F0 A21E2B7CAA20>I<90261FFFFC90380FFFC0A2D9007EC73801FC00EF03E04A4A5A4DC7FC 171C1778494814E04C5AEE0780040EC8FC4948133C16705EED0380494848C9FC151F4B7E 15FF90390FC1DFC0ECC38F9138CF0FE09138DC07F0EB1FF89138E003F814C04A6C7E49C7 FC82167E167F017E8083161F8349140F83160700018200034B7E267FFFE090B57EB5FC3A 2B7CAA3D>75 D77 DII<013FB512F816FF903A00FC001FC04AEB07F00101EC01 F88316004A801303A35C01074A5AA24C5A4A5C010F4A5A4C5A043FC7FC91388001FC49B5 12F0168091388007E091380001F8496D7EA2167E133E137EA3017C14FE13FC5EA2491301 0001EE0180A21703491600486C01001306B500C0EB7E1EEE3FFCC9EA0FF0312C7BAA37> 82 D<91381FFC0391387FFF87903901F007CF903903C001FE90380F800049C7127E011E 143E49143C137C0178141C13F81618A37F16007FEB7FC014FC90383FFFC06D13F86D13FE 01037FD9007F138014039138007FC0151F1507A2ED03E0001815C0A40038158015071600 003C5C007C141E007E5C007F5CD8F3805B39F1F003C039E07FFF8026C01FFCC7FC282D7B AB2D>I<90260FFFF8EB7FFFA29026007FC0EB0FE06E481480EF0E006E6C5B5F6E6C5B5F 6E6C485A4C5A6E6C48C7FC160E6E6C5A5E6E6C5A5EED7FC05E153FA26F7E153FED6FE015 CF91380187F0EC030791380E03F8141C4A6C7E14704A6C7E495A4948137F49C77E010E81 49141F49810178140FD801F881000FED3FF0B549B512805B382B7DAA3C>88 DI< EB07E090383FF86090387C1DF03801F00F3803E007D807C013E0380F8003A2EA1F0048EB 07C0123E127EA2007CEB0F8012FCA348EB1F001503A3143E0078EB7E0614FE393C01DE0E 9038039E0C391F0F0F183907FE07F83901F001E0201D7C9B27>97 DII<913801FF804A1300A2EC001FA2153EA45DA45DA3EB07E090 383FF9F0EB7C1D3801F00F3803E007D807C05B380F8003A2EA1F0048495A123E127EA200 7C495A12FCA34849C7FC1503A3143E0078EB7E0614FE393C01DE0E9038039E0C391F0F0F 183907FE07F83901F001E0212D7CAB26>III<14FC903807 FF0C90380F839E90383E01FEEB7C0049137E4848137C12035B12074913F8120FA25B001F EB01F0A21300A2EC03E0A36C1307EC0FC03807801F143F3803E0F73900FFCF80EB3F0F13 00A2EC1F00A30038133E127800FC5B485B495A38F007E0387FFF80D81FFCC7FC1F297D9B 23>I105 D<15E0EC01F01403A215E0EC01C0 91C7FCA814FCEB03FEEB070F90381C07801318013013C013709038600F8013C0A21300EC 1F00A4143EA45CA45CA4495AA4495AA21238387C07C038FC0F80A2D8F83FC7FC137CEA7F F0EA1FC01C3780A91E>III<2707C007F8137F3C0FF01FFE01FFC03C1878 781F0783E03C307CE00F0E01F0D97DC0EB980026607F8001B07F020013E0137ED8C07C5C 01FC4A5BC6481501ED1F00A248484B5AA2153E4D5A485A19C04BEB0F80A24848ED1F81F0 01804B140319004848ED0F06181E4BEB07F86CC70060EB01F03A1D7D9B41>I<3907C007 F8390FF01FFE391878781F39307CE00FD97DC0138038607F801400137EEAC07C13FCC648 131F1600A2485A5D153EA24848137EED7C06A2EDF80C485A0201131CEDF0181638260F80 001370EDF8E0ED7FC06CC7EA1F00271D7D9B2D>I<9038F801F83901FE07FE39030F1E0F 00069038B8078002F013C0000CEBE00314C0028013E01218EB1F001200A21507133E16C0 A349130F1680A2ED1F0049131E6D133E5D6D5B3901F601F09038F387C09038F1FF80D9F0 FCC7FC4848C8FCA4485AA4120FEAFFFCA22328809B25>112 D<903807E01090383FF870 90387C1CF03801F00E3803E007D807C013E0380F8003A2EA1F0048EB07C0123E127EA200 7CEB0F8012FCA348EB1F00A4143E0078137E14FEEA3C01495A381F0F7CEA07FCEA01F0C7 5AA4495AA41303EB7FFFA21C287C9B21>I<3907C00FC0390FF07FF0391878F038393079 C07C90387F80FC00601300137E017C13F800C014704913001200A3485AA4485AA4485AA4 485AA36CC8FC1E1D7D9B22>II<130E131FA2133E A55BA45BB512F8A23800F800485AA4485AA4485AA3485AA31418381F0038143014701460 14C01301380F0380EB8F00EA07FEEA01F815297DA71B>II<013F137E9039FFC1FF803903C1E3813A0700F707C0000EEBFE0F 4813FC1218003801F813800030EC0700007091C7FCC7FC495AA4495AA35D49485A123800 7C5CD8FC0F1306150ED8F81F5B39F039E038397070F0F0393FE07FE0260F801FC7FC221D 7D9B29>120 D<011F131890387F80389038FFC03048EBF06048EBFFE09038807FC03907 0003800006EB0700C7120E5C5C14E0495A495A49C7FC131E13385B491330484813704848 136048C712E0390FC003C0381FFE1F003EB51280D8781F130038600FFE486C5AEB01F01D 1D7C9B23>122 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fw cmsl12 13.14 48 /Fw 48 128 df25 D44 DI<120FEA3FC0EA7FE012FFA413C0A2EA7F80EA1E000B0B768A 1E>I48 DIII<010315 0602C0141E02F814FC9139FF800FF892B512F017E0491580170016FC16F06E13C0DA0FFE C7FC49C9FC130EA5131E131CA5133C1338A2EC03FC91381FFF8091387C07E0903979E001 F89039778000FC017EC77E017C147E0178147F0170EC3F80136090C813C0A2161FA217E0 A2163FA6120ED83F80147F486C15C012FFA349ECFF80A290C8FC00FC4A130000E05DA24B 5A6C140700705D00784A5A00384A5A003C4A5A6C4A5A6C02FEC7FC9038C003FC3903F00F F06CB512C06C6C90C8FCEB0FF82F4A78C735>53 DIIII<18E01701841703A21707 A2170F84171FA2173FA2177F8417E7A2EE01C7A293380387FE16071703160F160E161E04 1C7F163CEE38011678167016F004E08003017F5E15035E150793C77F030E147FA25DA24B 81A24B143FA25DA24A4881181F4AB7FCA25C92C8121F020E82180F5CA25C855C18075CA2 495A8549481503A249C9FC5BA24983EB7F80496C4B7F00076D031F7F007F01FC0207B612 80A2B5FC494E7DCD50>65 D<010FB712FEF0FFE019F89026000FFEC7EA07FE6E48913801 FF809538007FC0F13FE04BED1FF0A2F10FF8A2F107FC140F5DA21AFEA3021F17FC5D190F A21AF8191F023F17F04BED3FE0A2F17FC0F1FF804E1300027F4B5A4BEC0FF84E5AF07FC0 DD03FFC7FC92B612F891B712FE92C8EA7FC0F01FF0F007F8727E727E49834A6F1380F17F C0A3F13FE013035CA21AF0A3010718E04A167FA31AC019FF010F18804A5D1A00604E5A4E 5A011F4C5A4A4B5A4E5A4D485A013F030790C7FCD9FFF0EC3FFCB912F018C005FCC8FC47 4B7BCA4C>II<010FB8FC19F019FC D9000F90C7EA07FF6E48020013C0F13FE0F10FF04B6F7E737E737E737E86020F18804BEE 3FC0A2F21FE0A3021FEF0FF05DA21BF8A3143F5DF207FC1A0FA3147F5DA502FF18F85D1A 1FA31BF05B92CA123FA21BE0A21A7F4919C05CF2FF80A21B00610107604A4C5AA24F5A4F 5AA2010F4D5A4A4C5A4F5A4FC7FC4E5A4E5A011F4C5A4AED1FE04E5A06FFC8FC013FED07 FED9FFF8EC7FF8B912E095C9FC17F04E4B7CCA52>I<010FB912FEA3D9000F90C8127F6E 481507190119004B167E1A3EA21A1EA2140F5DA21A0EA3141F5DA31870A2023F4B13005D A31701A2027F4A5A5D1707171F177F92B6FC91B75AA2ED8000173F170FA24993C8FC92C7 7EA41A1C49030E14385CA294C81270A3010718E05C19011AC0A21903010F18804A1607A2 190FF11F0061011F5F4A16FE18011807013FEE3FFCD9FFF8EC03FFBAFC61A2474B7CCA49 >I71 D<010FB612E0A3D9000FEBC000020390C7FCA35DA514075DA5140F5DA5141F5DA5143F5D A5147F5DA514FF5DA55B92C8FCA55B5CA513075CA5130F5CA3131FEB7FFEB612FEA32B4B 7CCA27>73 D<010FB595B512F0637019E0D9000F4EEBE0006E1A80631B0EDB3FC095C7FC 63A2631B394A6C6C1671020E611BE1A2F201C16F6C16C3021EEF0383021C94380703FCA2 1A0E6F7EF21C07143C023805385BA26F6C1570A2F2E00F147891267001FEDA01C05BF103 80A2F107001B1F9126F000FF140E4A6161A261706C153F01015F4A61614E5AEE3FC04E48 137F13034A4BC75BA293381FE00EA24E14FF130791C74A92C8FC706C5AA2606249913807 F9C0010E61EFFB80A205FFC7FC701503011E5D63013E5D017F5D496C01011507000701E0 4AEC1FFFB6041FB6FC5F4A01005F644B7BCA62>77 D<010FB712FEF0FFE019F8D9000F90 C7EA0FFE6E48913801FF809538007FC0F13FE04BED1FF0F10FF819071AFCA2020F17FE4B 1503A5021F16075DA4F10FFC143F4B16F8191F1AF0F13FE01AC0027FEE7F804BEDFF004E 5A4E5AF00FF0F03FE002FF913803FF8092B600FCC7FC18E00380CAFCA35B92CBFCA55B5C A513075CA5130F5CA5131F5CA3133FEBFFFCB612FCA25D474B7CCA49>80 D83 D85 D87 D97 D99 D II<167F923803FFE09238 0FC0F092383F80F8ED7E039238FC07FC1401EC03F8DA07F013F8A2DA0FE013F0021FEB01 C04BC7FCA2143F5DA5147F92C8FCA55C5CA348B612E0A2485D260001FCC8FCA513035CA5 13075CA5130F5CA5131F5CA5133F5CA5137F91C9FCA35B4813C0B612C05DA22E4D7CCC21 >I<187E92393FC003FF913B03FFF80F8780913A0FE07E3C0F913A1F803F701F91397F00 1FE002FEEB0FC049489138E00F004948010790C7FC0107815C130F494880A3160F013F5D 5CA34C5AA2011F5D163F5F6D6C49C8FC010714FE6E485A90390FF803F090390EFC0FC090 261C3FFFC9FC90383807F891CBFC5BA313F0A37F7F137E017FB512C016FC6D14FF6D15C0 6D15F0133F01FCC76C7ED803E0EC07FC484814014848140048C9127E123EA248163EA200 FC167E177C5A6C16FC007C5E1601007E4B5A003E4B5A6C4B5A6C6C4A5AD807E0027EC8FC D801F8EB01F8D8007FEB1FE0011FB5C9FC010113F039487FB035>II<141EEC3F80ECFFC0A25BA46D1380 1500143C91C7FCAE14FE13FFA3EB07FC13031301A313035CA513075CA5130F5CA5131F5C A5133F5CA5137F91C7FCA35B487FB512FEA25C1A497CC81E>I107 DIII<4AB4FC021F13E091 387E03F8903901F800FCD907E0133E49487F4948EB0F8049C713C0017EEC07E05B484815 F000031503484815F8A2485A001F16FCA2123F5BA2127FA249140712FFA590C8EA0FF8A3 17F0161F17E0A2EE3FC0A26C1680EE7F006C7E16FE001F4A5A6D495A000F4A5A6C6CEB0F C06C6C495AD800FC017EC7FC90387F01F890381FFFE0010390C8FC2E3279B035>I114 D<91380FF80391B51207903903F007CF90390F8001FF011EC7FC49147E49143E13F8485A 161EA24848141CA27FA26D143C7F6D14006D7E6C13FCECFFE06C14F86D13FE6DEBFF8001 0F14C0010314E0D9003F13F014019138001FF8150F001C14071503ED01FCA2003CEC00F8 A3123EA2ED01F0127E007FEC03E0A26DEB07C0ED0F80D87DC0EB1F00D8F8F0137C39F07C 03F839E01FFFC026C007FEC7FC28327DB02A>I<1470A314F05CA31301A213035C1307A2 130FA2131F495A137F13FF1203000F90B5FC127FB612FEC66CC7FCA55B5BA512015BA512 035BA51207491338A5000F14705BA315F015E0A2140115C00007130315803903F00700EB F80EC66C5AEB7FF8EB0FE0204477C22A>I<01FFEC07F8007FEC03FFB55BA2D803FE9038 001FF00001150F00001507A2160F12014915E0A4161F12034915C0A4163F1207491580A4 167F120F491500A45E121F495C1501A21503A215075E150F000F141DED39FE6C6C497EDA 01E313FC2701F8078313F839007FFE03D90FF8EBF8002E3175AF3B>I<2A7FFFFC1FFFFE 01B51280B512F8A20007D98000903AC0007FF8006C48C76C48EB1FE0000193C76C5A4960 7092C7FC7F00004B140E715B16FF61ED01DF6D5F6DEB039F715BED071F040F495A150E02 804B5A013F131C7148C8FC15380407130E157002C05D011F13E0715AECC1C004035BECC3 8002E35D90380FE700EFF9C014EE933801FB8014FC05FFC9FC6D5A5F5C705A5C5F6D5A5F 5C493077AE4D>119 D<90B500FC90B512E05DA2010301E090387FFC00010049EB3FF04B 14C0027F92C7FC023F143E6F5B021F5C6E6C5B6F485A0207495A6F485A020349C8FCEDFC 1E02015B6E6C5A6F5A6F5A5E6F5A82151F824B7E157FEDF7F8EC01E3913803C3FCEC0781 4AC67E021E7F4A7F4A800270133F4A800101141FD907C06D7E494880131F013F8101FF81 00076D49B4FCB56C90B512F8A33B2F7FAE38>I<90263FFFFE90380FFFF8495DA2010101 C0010713806D49903801FE0092C713F86E5DA26F5C023F5D4D5AA24DC7FC81021F140E17 1E171C6F133C020F14385FA25F810207495A16035FEDF807020391C8FC160EA25E15FC02 015B16781670EDFEF002005B6F5AA25EA26FC9FCA2157EA2153C1538A25D15F05D14015D 4A5AA24ACAFCA2003E130E007E131EB4131C5C1478485B485B38F803C038700780D87C1E CBFCEA1FFCEA07E03D4580AE38>I123 D<013E144001FF14E000 039038C001C0489038E007803A0F8FF00E00391E03FC7C393801FFF8486C6C5A00C0EB3F C048010FC7FC230A6CC735>126 D<000F14F0393F8003FC387FC007A200FFEB0FFE15FC A2EB8007D87F0013F8001EEB01E01F0A6AC835>I E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fx cmr7 7.665 39 /Fx 39 127 df<903A01FFF07FC0010F9038FFF9E0903A3F003FC3F0017CEB7F83491403 4848017E13E04990383E01C00003021EC7FC153EA9B8FCA22703E0003EC7FCB3A4486C13 7F3A7FFE03FFF8A22C2C7EAB2B>11 D22 D<127812FEA812FC127CAA1278A31238A81230A21200A5127812FC12FEA3127C1238072D 79AC15>33 D<0360136003E013E0A30201130103C05BA20203130303805BA3020749C7FC 1500A24A5B020E130EA2161E4A131CA2B912E0A27EC726380038C7FC0278137802701370 A202F013F04A5BA30101130102C05BA2B912E0A27E280007800780C7FC020090C8FCA349 130E130EA2011E131E011C131CA2013C133C01381338A20178137801701370A301F013F0 495B33387CAB3C>35 D40 D<7E7E12707E7E121E120E7EEA 038013C0120113E0120013F0137013781338133CA2131C131EA4130E130FAE130E131EA4 131C133CA2133813781370A213E0A2EA01C0A2EA0380EA07005A120E5A5A5A5A12801040 7BAF1C>I<14035CB3A3B812FCA3C70007C8FCB3A3802E2F7BA638>43 D48 D<130C133C13FC120712FFEA F87C1200B3AF13FFB512FEA2172A79A924>IIII<000CEB0180380FC01F90B512005C5C 5C14E0D80C3FC7FC90C8FCA7EB1FC0EB7FF8380DE07C380F801E497E000C1480EC07C0C7 FCEC03E0A215F0A4127812FCA315E0481307006014C012700030EB0F800038EB1F00001E 133E380780FC3803FFF0C613C01C2B7CA924>I I<1218123C003FB512FEA215FC15F8A2007CC71270007014E00060EB01C0EC0380A2EC07 0000E0130EC75A141814385C5CA2495AA2495A1307A291C7FC5BA25BA2131E133EA4137E A8133C1F2C7CAA24>III<127812FC 12FEA3127C12381200AD127812FC12FEA3127C1238071B799A15>I61 D69 D77 D82 D91 D93 D<13C0487E487E487EEA0F3EEA1E1F387C0F8038F003C038E001E038C000C0130A77AB24 >I<48B47E000713F0380C01F8381E007C003E7F123F80121E121CC7FCA2EB03FF137F38 03F81FEA0FC0EA1F80EA3E005AA2481406A3143FA2007CEB6F86007EEBE78C393F83C7FC 390FFF03F83901FC00C01F1D7C9B24>97 D100 DI<120FEA1F80123FA3121FEA0F00C7FC A8EA3F8012FFA2121F120FB3A3EA1FC0EAFFF8A20D2B7CAA15>105 D108 D<383FC07F39FFC3FFE0 9038C783F0390FCC00F8EA07D801F0137C5BA25BB1486C13FE3AFFFE0FFFE0A2231C7D9B 28>110 DI<383FC0FE39FF C7FFC09038DF03F0390FF801F83907F0007C49137E497F811680A2150F16C0A7ED1F80A3 ED3F006D133E157E6D5B9038D801F89038CE07E09038C7FF80D9C1FEC7FC01C0C8FCA848 7EEAFFFEA222287D9B28>I<383FC1F038FFC7FCEBCF3E380FDC7EEA07F813F0EBB03CEB E000A25BB0487EB5FCA2171C7D9B1C>114 D<3803FF18000F13F8EA3E01387800780070 133812F01418A27E00FE1300EA7FF013FF6C13C0000F13F0000313F838003FFC13033880 007E6C133E141E7EA27E141C6C133C6C137838E701F038C3FFC000C01300171D7D9B1D> I<1360A313E0A41201A212031207120FB512F8A23803E000AD140CA71418EA01F0143838 00F870EB7FE0EB0F8016287EA61C>I<393FC003FC00FF130FA2000F13000007147CB115 FCA2000313019038E0037CEC067F2601F81E13E038007FF890391FE06000231D7D9B28> II<3807C002380FF807381FFE1E383C7FFC38703FF838E00FE00040C7FC18 077AAA24>126 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fy cmmi10 10.95 65 /Fy 65 123 df11 DIIIII<131C013E141F017EEC7FC0ED01FFED07BF01FEEB1E 3F033813804913709238E01E0000014948C7FCEC0780D9F80EC8FC5C00035B14F0EBF3C0 01FFC9FC4813F0ECFF8001E013F0EC07FC000FEB00FE157F496D7EA2001F141F17705BA2 003F16F0033F13E090C71300A248ED01C0A2007EEC1F03178000FE91380F0700168E48EC 07FC0038EC01F02C297CA734>20 D<133F14E0EB07F0EB03FC13016D7EA3147FA26E7EA3 6E7EA36E7EA36E7EA36E7EA26E7EA36E7EA3157FA36F7E157F15FF4A7F5C913807CFE0EC 0F8FEC1F0F91383E07F0147C14FC49486C7EEB03F0EB07E049486C7EEB1F80EB3F00496D 7E13FE4848147F485A485A4848EC3F80485A123F4848EC1FC048C8FC4816E048150F48ED 07F0007015032C407BBE35>II<017FEC01C0D83FFFEC03 E016075B1200160F17C05B161F00011680163F491500A20003157EA2495C150100075D4B 5A49495AA2000F4A5A4B5A4949C7FC157E001F147C5D49485AEC07E0003F495A4AC8FCEB 003E14F848485AEB07C0D87E1FC9FC13FCEAFFE0138000F8CAFC2B287CA72D>II<011FB612FE017F15FF48B8FC5A4816FE3B0FC03801C000EA1F00003E140300 3C01785B4813705AECF0075AC712E0010191C7FCA25DEB03C0A313071480A2010F5BA2EB 1F0082A2133EA2137E825B150F0001815B120315075BC648EB038030287DA634>II<020FB512FE027F14FF49B7FC1307011F15FE903A3FE03FE00090387F000F 01FE6D7E4848130348488048481301485A5B121F5B123F90C7FC5A127EA2150300FE5D5A A24B5AA2150F5E4B5AA2007C4AC7FC157E157C6C5C001E495A001FEB07E0390F800F8026 03E07EC8FC3800FFF8EB3FC030287DA634>I<011FB612C090B7FC5A5A481680260FC007 C8FC48C65A123E003C130E48131E5A5AA2C75AA3147CA2147814F8A4495AA31303A25CA2 1307A3495AA3131FA25C6DC9FC2A287DA628>I<0120ED01C00178ED07F001F8150F0001 17F85B485A5B0007160749150348C9EA01F0A2121E1700121C003C023814E0003814FCA2 00781601140100704A14C0A217034B148000F0130317074B14005F5D0207141E6F133E6C 010F5C4A7E6C013F5C007E9038FFF8033B7F87FDFF0FF0D9FFF8EBFFE06C495C4A6C5B6C 496C90C7FC00079038001FFCD801F8EB03F035297EA739>33 DI<16FCED03FF92380F078092381E03C0153C037813E0EDF00103E013F0 140115C01403158017F8A214071500A415800203130315C0140115E02701F000F013F0D8 03FCEB7807D8071F133CD80E0F131E001E9038800787001CEC01FF003C9039C0007FE000 38151FEE0FFED8781FEC1FFF00704914C0A3D8F03F143F1780000090C7FCA249EC7F00A2 017E147E16FE13FE5E4913015E150300015D49495AA24B5AA24B5A93C7FC153E5D12006D 5B90387E01E06D485AD90FFFC8FCEB01FC30417EBF36>I<1618167CED01FC1503150F15 3FEDFF3CEC01FEEC07F8EC1FE0EC3F80ECFF00EB03FCEB07F0EB1FE0EB7F80D801FEC7FC 485AEA0FF0EA3FC048C8FC12FEA2127FEA3FC0EA0FF0EA03FC6C7E38007F80EB1FE0EB07 F0EB03FCEB00FFEC3F80EC1FE0EC07F8EC01FEEC00FFED3FFC150F15031501ED007C1618 262C7DAC2D>47 D<121EEA7F80A2EAFFC0A4EA7F80A2EA1E000A0A798919>58 D<121EEA7F8012FF13C0A213E0A3127FEA1E601200A413E013C0A312011380120313005A 120E5A1218123812300B1C798919>I<183818FC1703EF0FF8EF3FE0EFFF80933803FE00 EE0FF8EE3FE0EEFF80DB03FEC7FCED0FF8ED3FE0EDFF80DA03FEC8FCEC0FF8EC3FE0ECFF 80D903FEC9FCEB0FF8EB3FE0EBFF80D803FECAFCEA0FF8EA3FE0EA7F8000FECBFCA2EA7F 80EA3FE0EA0FF8EA03FEC66C7EEB3FE0EB0FF8EB03FE903800FF80EC3FE0EC0FF8EC03FE 913800FF80ED3FE0ED0FF8ED03FE923800FF80EE3FE0EE0FF8EE03FE933800FF80EF3FE0 EF0FF8EF03FC17001838363678B147>II<126012F8B4FCEA7FC0EA1FF0EA07FCEA 01FF38007FC0EB1FF0EB07FCEB01FF9038007FC0EC1FF0EC07FCEC01FF9138007FC0ED1F F0ED07FCED01FF9238007FC0EE1FF0EE07FCEE01FF9338007FC0EF1FF0EF07F8EF01FCA2 EF07F8EF1FF0EF7FC0933801FF00EE07FCEE1FF0EE7FC04B48C7FCED07FCED1FF0ED7FC0 4A48C8FCEC07FCEC1FF0EC7FC04948C9FCEB07FCEB1FF0EB7FC04848CAFCEA07FCEA1FF0 EA7FC048CBFC12FC1270363678B147>I<15FF020713E091381F00F80278133E4A7F4948 EB0F804948EB07C04948EB03E091C7FC496CEB01F002E014F8131F160017FCA25C0107C8 12FE90C9FCA7EC03FCEC3FFF9138FE03C1903903F000E149481371D91F80133149C7123B 017EEC1BFC5B0001151F4848140F484815F8A2485A121F17F0485A161F17E0127F5BEE3F C0A200FF168090C8127F1700A216FEA2484A5A5E007E1403007F4A5A5E6C4A5A6C6C495A 4BC7FC6C6C13FE6C6C485A3903F80FF06CB512C06C6C90C8FCEB0FF82F437CC030>64 D<49B712F818FF19E090260001FEC7EA3FF0F007F84B6E7E727E850203815D1A80A20207 167F4B15FFA3020F17004B5C611803021F5E4B4A5A180FF01FE0023F4B5A4B4A5ADD01FE C7FCEF07F8027FEC7FE092B6C8FC18E092C7EA07F84AEC01FE4A6E7E727E727E13014A82 181FA213034A82A301075F4A153FA261010F167F4A5E18FF4D90C7FC011F5E4A14034D5A 013FED1FF04D5A4AECFFC0017F020790C8FCB812FC17F094C9FC413E7DBD45>66 DI<49B912C0A3D9000190C71201 F0003F4B151F190F1A80020316075DA314075D1A00A2140F4B1307A24D5B021F020E130E 4B92C7FC171EA2023F5C5D177CEE01FC4AB55AA3ED800302FF6D5A92C7FCA3495D5C1938 0401147801034B13704A16F093C85AA2010716014A5E180361010F16074A4BC7FCA26001 1F163E4A157E60013F15014D5A4A140F017F15FFB95AA260423E7DBD43>69 D<49B9FCA3D9000190C7120718004B157F193F191E14035DA314075D191CA2140F5D1707 4D133C021F020E13384B1500A2171E023F141C4B133C177C17FC027FEB03F892B5FCA391 39FF8003F0ED00011600A2495D5CA2160101035D5CA293C9FC13075CA3130F5CA3131F5C A2133FA25C497EB612F8A3403E7DBD3A>I<49B6D8C03FB512F81BF01780D900010180C7 383FF00093C85B4B5EA2197F14034B5EA219FF14074B93C7FCA260140F4B5DA21803141F 4B5DA21807143F4B5DA2180F4AB7FC61A20380C7121F14FF92C85BA2183F5B4A5EA2187F 13034A5EA218FF13074A93C8FCA25F130F4A5DA21703131F4A5DA2013F1507A24A5D496C 4A7EB6D8E01FB512FCA2614D3E7DBD4C>72 D<49B612C05BA2D90001EB800093C7FC5DA3 14035DA314075DA3140F5DA3141F5DA3143F5DA3147F5DA314FF92C8FCA35B5CA313035C A313075CA3130F5CA3131F5CA2133FA25CEBFFE0B612E0A32A3E7DBD28>I<92B612E0A3 9239003FF000161F5FA2163F5FA3167F5FA316FF94C7FCA35D5EA315035EA315075EA315 0F5EA3151FA25EA2153FA25EA2157FA25EA2D80F8013FFEA3FC0486C91C8FCA25CD8FFC0 5B140301805B49485A00FC5C0070495A0078495A0038495A001E017EC9FC380F81FC3803 FFE0C690CAFC33407ABD32>I<49B600C090387FFFF896B5FC5FD900010180C7000F1300 93C813F84B16E01A804FC7FC0203163C4B15F84E5AF003C002074B5A4B021FC8FC183E18 78020F5D4BEB03E0EF07804DC9FC021F143E4B5B17F04C5A023F1307EDC00F4C7E163F02 7FEBFFF8ED81EFED83CF92388F87FC9138FF9F0792383C03FE15784B6C7E4913E0158092 C77F5C01036F7E5C717EA213074A6E7EA2717E130F4A6E7EA284011F15035C717E133F85 5C496C4A13E0B600E0017F13FFA34D3E7DBD4D>I<49B56C93B512C050148062D90001F1 8000704B90C7FC03DF5F1A0E1A1D1403039FEE39FC1A711A739126078FE015E3030F5FF1 01C3F10387140F020E93380707F0A2F10E0F021E161C91261C07F05E1938F1701F143C02 3804E05BA2953801C03F0278ED038091267003F85EF00700060E137F14F002E04B91C8FC A24E5B01015E4A6C6C5D60943801C00113030280DA03805BA294380700030107150E91C7 00FE5D5F1907495D010E4B5CA24D130F011E6E5A011C60705A013C171F017C92C7FC01FE 027E5DD803FF4D7EB500FC017C017FB512E0167804385E5A3E7CBD58>77 D<49B56C49B512F81BF0A290C76D9039000FFE004AEE03F0705D735A03DF150302037F03 8F5E82190791380787FC030793C7FC1503705C140F91260E01FF140EA26F151E021E8002 1C017F141C83193C023C6D7E02381638161F711378147802706D6C1370A2040714F002F0 804A01035C8318010101EC01FF4A5E82188313034A91387FC380A2EF3FC7010716E791C8 001F90C8FC18F718FF4981010E5E1707A2131E011C6F5AA2013C1501137C01FE6F5AEA03 FFB512FC187818704D3E7DBD49>II<49B712F018FF19C0D9000190C76C7EF00FF84BEC03FC1801020382727E5DA214071A 805DA2140F4E13005DA2021F5E18034B5D1807023F5E4E5A4B4A5A4E5A027F4B5A06FEC7 FC4BEB03FCEF3FF091B712C005FCC8FC92CBFCA25BA25CA21303A25CA21307A25CA2130F A25CA2131FA25CA2133FA25C497EB612E0A3413E7DBD3A>I<49B77E18F818FFD90001D9 00017F9438003FE04BEC0FF0727E727E14034B6E7EA30207825DA3020F4B5A5DA24E5A14 1F4B4A5A614E5A023F4B5A4B4A5A06FEC7FCEF03FC027FEC0FF04BEBFF8092B500FCC8FC 5F9139FF8001FE92C7EA7F80EF1FC084496F7E4A1407A28413035CA2170F13075C60171F 130F5CA3011F033F5B4AEE038018E0013F17071A004A021F5B496C160EB600E090380FF0 1E05075B716C5ACBEAFFE0F03F8041407DBD45>82 DI< 48B912FCA25A913A0003FE000F01F84A1301D807E0EE00F8491307491778000F5D90C7FC 001E140FA2001C4B1470123C0038141FA200785D1270033F15F000F018E0485DC8160015 7FA25EA215FFA293C9FCA25CA25DA21403A25DA21407A25DA2140FA25DA2141FA25DA214 3FA25DA2147FA214FF497F001FB612FCA25E3E3D7FBC35>I<027FB5D88007B512C091B6 FCA2020101F8C7EBF8009126007FE0EC7F804C92C7FC033F157C701478616F6C495A4E5A 6F6C495A4EC8FC180E6F6C5B606F6C5B6017016F6C485A4D5A6F018FC9FC179E17BCEE7F F85F705AA3707EA283163F167FEEF7FCED01E7EEC3FEED0383ED070392380E01FF151E4B 6C7F5D5D4A486D7E4A5A4A486D7E92C7FC140E4A6E7E5C4A6E7E14F0495A49486E7E1307 D91F806E7ED97FC014072603FFE0EC1FFF007F01FC49B512FEB55CA24A3E7EBD4B>88 DI<027FB712 F0A3DAFFFCC7EA3FE003E0EC7FC092C8EAFF8049484A13004A4A5A5C4A4A5A49484A5A4A 4A5A4D5A49484A5A4D5A91C74890C7FC5B010E4A5A4C5A4C5A011E4A5A90C8485A4C5A4C 5A4B90C8FCA24B5A4B5A4B5A4B5A4B5A4B5A4B5AA24A90C9FC4A5A4A5A4A5A4A4814704A 4814F04A485C14FF5D4990C7120149485D49481403495A49485D49481407495A4DC7FC49 485C4890C8FC48485D4848157E484815FE484814034848EC0FFC16FF48B7FCB8FC5F3C3E 7BBD3E>I97 DIIII<163EEEFFC0923803E1E0 923807C0F0ED0F811687ED1F8F160F153FA217E092387E038093C7FCA45DA514015DA301 03B512FCA390260003F0C7FCA314075DA4140F5DA5141F5DA4143F92C8FCA45C147EA414 FE5CA413015CA4495AA35CEA1E07127F5C12FF495AA200FE90C9FCEAF81EEA703EEA7878 EA1FF0EA07C02C537CBF2D>II<143C14FEA21301A314FCEB00701400AD137E3801FF803803C7C0EA0703000F13E0 120E121C13071238A2EA780F007013C0A2EAF01F14801200133F14005B137EA213FE5BA2 12015B0003130E13F0A20007131EEBE01CA2143CEBC0381478147014E013C13803E3C038 01FF00EA007C173E7EBC1F>105 DIII<01F8D907F0EB07F8D803FED93FFEEB1FFE28 078F80F81FEB781F3E0F0F81C00F81E00F803E0E07C78007C3C007C0001CD9CF00EBC780 02FEDAEF007F003C4914FE0038495C49485C12780070495CA200F0494948130F011F6000 00495CA2041F141F013F6091C75B193F043F92C7FC5B017E92C75A197E5E01FE9438FE01 C049027E14FCA204FE01011303000106F81380495CF20700030115F00003190E494A151E 1A1C03035E0007943800F8F0494AEC7FE0D801C0D900E0EC1F804A297EA750>I<01F8EB 0FF0D803FEEB3FFC3A078F80F03E3A0F0F83C01F3B0E07C7800F80001CEBCF0002FE8000 3C5B00385B495A127800705BA200F049131F011F5D00005BA2163F013F92C7FC91C7FC5E 167E5B017E14FE5EA201FE0101EB03804914F8A203031307000103F013005B170E16E000 035E49153C17385F0007913801F1E0496DB45AD801C0023FC7FC31297EA737>III<91381F800C9138FFE01C903903F0707C90390F C0387890391F801CF890383F000F137E4914F000011407485A485A16E0485A121F150F48 4814C0A3007F141F491480A300FF143F90C71300A35D48147EA315FE007E495A1403A26C 13074A5A381F801D000F13793807C1F33901FFC3F038007F03130014075DA3140F5DA314 1F5DA2143F147F90381FFFFE5BA2263A7DA729>III<14 7014FC1301A25CA21303A25CA21307A25CA2130FA25CA2007FB512F0B6FC15E039001F80 00133FA291C7FCA25BA2137EA213FEA25BA21201A25BA21203A25BA21207EC01C013E014 03000F1480A2EBC0071500140E141E5C000713385C3803E1E03801FF80D8003EC7FC1C3A 7EB821>I<137C48B4EC03802603C7C0EB0FC0EA0703000F7F000E151F121C0107158012 38163FEA780F0070491400A2D8F01F5C5C0000157E133F91C712FEA2495C137E150113FE 495CA215030001161C4914F0A21507173CEEE038150F031F1378000016706D133F017C01 7313F0017E01E313E0903A3F03C1F1C0903A0FFF007F80D901FCEB1F002E297EA734>I< D901F8133FD907FEEBFFE0903A1E0F83C0F0903A3807C780F890397003CF0301E013FED8 01C0EBFC071203018013F8D8070015F0EE01C0000E4AC7FCA2001E1307A2C75BA2140F5D A3141F5DA3143F92380001C0A34A1303001E1680003F017E1307267F80FE14005ED8FF81 141ED901DF131CD8FE035C3A7C078F80F03A3C0F07C1E03A1FFC03FF802707F0007EC7FC 2D297EA734>120 D<02F8130ED903FE131ED90FFF131C49EB803C49EBC0784914F09039 7E07F1E09038F800FF49EB1FC049EB07800001EC0F006C48131E90C75A5D5D4A5A4A5A4A 5A4AC7FC143E14785C495A495A495A49C8FC011E14E05B5B4913014848EB03C0485AD807 F8EB078048B4131F3A1F87E07F00391E03FFFE486C5B00785CD870005B00F0EB7FC04801 1FC7FC27297DA72A>122 D E %EndDVIPSBitmapFont %DVIPSBitmapFont: Fz cmbx12 13.14 48 /Fz 48 122 df45 DI<15F04A7E1403140F143FEB01FF133FB6FC A3EBFE7F13C0C7FCB3B3B3007FB712F0A52C4877C73D>49 DIII<0003163001C015F001FC1407D9FFC013FF91B65AA25F5F94C7FC16FC5E5E 16C093C8FC15F801EF138001E0CAFCABEC0FFE91B512C001E314F801E714FE9039FFF00F FFDA00037F01FC6D13E0496D7F49147F4981496E7EC9FC83A2707EA41880A2EA0F80EA1F E0487E487EA2487EA31800A25B6C484A5AA213C0003EC8485A003F5E6C6C14FF6D5D6C6C 495BD807F801075B6CB4011F5B6C90B548C7FC6C6C5C6D14F0010F1480010101FCC8FC31 497AC73D>II56 DII<17F84C7EA24C7EA21607835E84A25E845E84A25E8493B5FC04FB7FA2ED01F904F17F 150304E07FA20307137F04C07F150F4C6C7FA24B486C7FA25D033E6D7FA24B6D7FA215FC 4B6D7F14014B6D7FA24A487F8514074B6E7EA24A4880864AB8FC86A25C86027EC8120F02 7C6F7FA202FC6F7F5C13014A6F7FA20103707F5C13074A707E130F737F5C131F496C707F B600C0027FB612F0A5544C7CCB5D>65 DI<93267FFFC0EB 01E0030FB500F81303037F02FF13070203B7EAC00F020FEEF01F023F903AF8001FF83F4A 0180903803FE7F494848C8B5FC4901F8153F4901E08149018015074990C97E494882495A 49488248197F4849173F5C48191F5C48190F5C5A1A074890CBFCA3481903A297C7FC5BA2 12FFAD127FA27FA2F203E07EA36C7F1A077E6E18C07E6E170F6C1A806E171F6C6D18006C 616D6C177E6D6C5F6D6C16016D6D4B5A6D01E04B5A6D01F8ED1FE06D01FE4B5A6D6C6C6C 49B4C7FC6E01F8EB0FFE020F90B612F802015E6E6C1580030F4AC8FCDB007F13E04B4D79 CB59>IIII<93267FFFC0EB01E0030FB500F8130303 7F02FF13070203B7EAC00F020FEEF01F023F903AF8001FF83F4A0180903803FE7F494848 C8B5FC4901F8153F4901E08149018015074990C97E494882495A49488248197F4849173F 5C48191F5C48190F5C5A1A074890CBFCA3481903A297C8FC5BA212FFAD127F0507B712E0 7FA37E94C70007EBE000807EA27E807E807E806C7F7E6D7E6D7E6D7E6D01C05D6D6D5D6D 01F85D6D01FE5D9027007FFFC0EB01FE6E01FC903807FC7F020F90B6EAF81F0201EEE00F 6E6CED8003030F4AC7FCDB007F01E091C7FC534D79CB60>II< B712FEA5D80007EBE000B3B3B3ABB712FEA5274B7DCA2E>I76 DII<0303B5FC033F14F04AB612FE020F6F7E4AD9800713E0DA7F FCC713F8902601FFF0EC3FFE4901C0EC0FFF49496E7F4990C86C7F49486F7F49486F7F49 48707E4948707E48854849161F864849701380A248497013C0A2481AE091CA7EA2481AF0 A3481AF84983A400FF1AFCAE007F1AF86D5FA46C1AF0A26E5E6C1AE0A26C7F4F13C07E6E 4C13806C1A006E5E6C616C6D4C5A6D6C16FF626D6C4B5B6D6C4B5B6D6D4A5B010301E002 1F90C7FC6D6D4A5A9026007FFCECFFF891273FFF80075B020F90B612C002014BC8FCDA00 3F14F0030391C9FC4E4D79CB5C>II82 DI<003FBB12C0A25AA3DA00019038F8001F01F8170101E0830180183F90C717 1F1A0F007E1AE01A07127C12FC481903A51A015AA21BF0A3C894C7FCB3B3A70103B812F8 A54C4A7BC955>I87 D<903801FFFC011FEBFFC090B612F84815FE3A03FE001FFF486C01077F 6F7F486E7F6E6C7F167F8391C7FC6C6F7E5B6C5AEA00F090C8FCA5ED7FFF023FB5FC0103 B6FC011FEBE03F90387FFE003801FFF04813C0000F5B4848C7FC485AA2485AA2485AA416 7FA26D14EF127F6DEB01CF6C6C010713FF6C6CD90F8F13FE6C9038C07F0F6C9026FFFE07 13FF0001ECF803D8003FD9E00013FE010390C9FC38327CB03C>97 D<913807FFE0027F13FF0103B612C0010F15E0903A3FFE001FF0D97FF8EB3FF8D9FFE0EB 7FFC485B485B4890C7FC485A121FEE3FF8484815F0EE1FE0EE0380007F92C7FC5BA212FF AB127F7FA3123F171E6C6C153EA26C6C157CA26C6D14F86C6D13016C6DEB03F06C6DEB07 E0D97FFCEB1FC06DB4EB7F80010F90B51200010314FCD9007F13F0020790C7FC2F327CB0 37>99 DI<913807FF80027F13F80103B512FE010F6E7E90263FFC0313E0903A7FF0007FF0D9 FFC0133F48496D7E4890C76C7E481507484881001F15035B003F8282A2485A1880A212FF A390B8FCA301F8CAFCA5127FA27F123FA2EF07806C7E170F6C6C16006C5E6E143E6C6D14 7E6C6D5C6C6D495AD93FFCEB07F0903A1FFF803FE0010790B51280010192C7FCD9003F13 F8020313C031327DB038>IIII<137C48B4FC487F487F487FA86C5B6C5B6C90C7FC EA007C90C8FCABEBFFE0B5FCA512017EB3B3B61280A5194C7BCB22>I108 DI<2601FFC0EBFFC0B5010F13FC033F7F4B6D7EDBFE077F001F9026C3F0017F0003ECC0 006CD9C7808002CFC7FC02DE147F02DC8114F8A25CA35CB3AAB6D8E03FB512F0A53C317B B044>I<913807FFC0027F13FC0103B67E010F15E04948C613F8D97FF0EB1FFCD9FFC0EB 07FE48496D7E4890C76C1380486F13C0484816E0177F484816F018F8123F49153F007F17 FCA400FF17FEAA007F17FCA37F003FEE7FF8A2001F17F07F000FEEFFE07F6C4B13C06C6D 4913806C6D15006C6DEB0FFED97FF8495AD91FFEEBFFF86DB612E001031580D9007F01FC C7FC020713C037327DB03D>I<903AFFC003FF80B5013F13F892B512FE02C36E7E9126CF F8077F001F9026DFC00113F0000101FFC77F02FCEC3FFC4A814A141F4A6E7E19808319C0 8319E0A38319F0AB19E05FA319C05F1980A24D13006E5C6E5D4D5A02FE4A5A6E4A5ADBC0 035B9126EFF00F5B02E3B6C7FC02E114FCDAE03F13E0DB07FEC8FC92CAFCAFB612E0A53C 467CB044>I<9039FFC00FF0B5EB3FFC92B5FC02C11480DAC3F813C0001FEBC7E10001D9 CF8313E06C140314DEA214FC6F13C014F86F13004A133C93C7FCA35CB3A8B612F0A52B31 7CB032>114 D<903907FFE078017FEBFCF848B6FC1207390FF0007FD81F80130F48C712 07481403007E1401150012FEA27E6D14786D147001F0140013FE387FFFF8ECFFC015F86C 14FE6CECFF806C15C06C15F06C15F8C6FC013F14FC010314FEEB001FEC007FED1FFF0070 140700F81401A2816C157FA36C157E7EA26D14FC6D13016DEB03F801F8EB07F001FFEB3F E0486CB512C0486C1400D8F00713FC48C613C028327CB030>I<14F8A71301A31303A313 07A2130F131F133F137F13FF1203000F90B512F8B7FCA426007FF8C7FCB3A6163EAA013F 147C80A26D6C13F8010F1301903907FF83F06DEBFFE06D14C06D6C1300EC07FC27467EC4 30>III121 D E %EndDVIPSBitmapFont end %%EndProlog %%BeginSetup %%Feature: *Resolution 600dpi TeXDict begin %%EndSetup %%Page: 1 1 1 0 bop -173 264 a Fz(THE)41 b(SPIN-GLASS)g(PHASE-TRANSITION)e(IN)i (THE)g(HOPFIELD)f(MODEL)940 456 y(WITH)h Fy(p)p Fz(-SPIN)f(INTERA)m (CTIONS)1406 649 y(An)m(ton)g(Bo)m(vier)2131 616 y Fx(1)5 b(2)1377 818 y Fw(W)-9 b(eierstra\031{Institut)877 964 y(f)s(\177)-56 b(ur)35 b(Angew)m(andte)j(Analysis)e(und)h(Sto)s(c)m (hastik)793 1109 y(Mohrenstrasse)g(39,)f(D-10117)h(Berlin,)e(German)m (y)1275 1349 y Fz(Beat)40 b(Niederhauser)2276 1316 y Fx(3)6 b Fv(;)t Fx(4)1602 1518 y Fw(IME-USP)1366 1663 y(Caixa)37 b(P)m(ostal)e(66.281)1199 1809 y(05315-970)k(S~)-53 b(ao)37 b(P)m(aulo)f(-)f(SP)-9 b(,)1694 1954 y(Brasil)0 2364 y Fu(Abstract:)40 b Ft(W)-8 b(e)31 b(study)e(the)h(Hop\014eld)f (mo)s(del)g(with)h(pure)e Fy(p)p Ft(-spin)h(in)m(teractions)i(with)f (ev)m(en)g Fy(p)25 b Fs(\025)g Ft(4,)31 b(and)0 2509 y(a)41 b(n)m(um)m(b)s(er)d(of)j(patterns,)i Fy(M)10 b Ft(\()p Fy(N)g Ft(\))41 b(gro)m(wing)g(with)f(the)g(system)g(size,)k Fy(N)10 b Ft(,)43 b(as)d Fy(M)10 b Ft(\()p Fy(N)g Ft(\))43 b(=)e Fy(\013N)3303 2476 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)3439 2509 y Ft(.)70 b(W)-8 b(e)0 2655 y(pro)m(v)m(e)30 b(the)g(existence)g (of)g(a)g(critical)h(temp)s(erature)e Fy(\014)1833 2669 y Fv(p)1905 2655 y Ft(c)m(haracterized)i(as)f(the)f(\014rst)g(time)h (quenc)m(hed)f(and)0 2800 y(annealed)38 b(free)f(energy)h(di\013er.)61 b(W)-8 b(e)39 b(pro)m(v)m(e)f(that)g(as)g Fy(p)e Fs(")i(1)p Ft(,)h Fy(\014)2266 2814 y Fv(p)2345 2800 y Fs(!)2473 2723 y(p)p 2549 2723 256 4 v 77 x Fy(\013)p Ft(2)15 b(ln)h(2.)62 b(Moreo)m(v)m(er,)41 b(w)m(e)d(sho)m(w)0 2946 y(that)j(for)f(an)m(y)g Fy(\013)i(>)f Ft(0)g(and)e(for)h(all)h(in)m(v)m(erse)g(temp)s(eratures) f Fy(\014)5 b Ft(,)43 b(the)d(free)g(energy)g(con)m(v)m(erges)i(to)f (that)0 3091 y(of)f(the)h(REM)f(at)h(in)m(v)m(erse)g(temp)s(erature)e Fy(\014)5 b(=)1592 3026 y Fs(p)p 1669 3026 59 4 v 1669 3091 a Fy(\013)p Ft(.)70 b(Moreo)m(v)m(er,)45 b(ab)s(o)m(v)m(e)c(the)g (critical)h(temp)s(erature)e(the)0 3237 y(distribution)d(of)g(the)g Fq(r)-5 b(eplic)g(a)41 b(overlap)e Ft(is)e(concen)m(trated)i(at)f (zero.)62 b(W)-8 b(e)38 b(sho)m(w)f(that)h(for)f(large)h(enough)0 3382 y Fy(\013)p Ft(,)30 b(there)f(exists)g(a)g(non-empt)m(y)g(in)m (terv)-5 b(al)30 b(of)f(in)f(the)h(lo)m(w)g(temp)s(erature)g(regime)g (where)g(the)g(distribution)0 3528 y(has)e(mass)h(b)s(oth)f(near)g (zero)i(and)e(near)g Fs(\006)p Ft(1.)40 b(As)28 b(w)m(as)g(\014rst)f (sho)m(wn)g(b)m(y)h(M.)g(T)-8 b(alagrand)28 b(in)f(the)h(case)h(of)f (the)0 3673 y Fy(p)p Ft(-spin)35 b(SK)g(mo)s(del,)j(this)d(implies)i (the)f(the)g(Gibbs)f(measure)h(at)h(lo)m(w)f(temp)s(eratures)g(is)g (concen)m(trated,)0 3819 y(asymptotically)i(for)d(large)i Fy(N)10 b Ft(,)37 b(on)e(a)h(coun)m(table)h(union)e(of)h(disjoin)m(t)g (sets,)h(no)f(\014nite)f(subset)g(of)h(whic)m(h)0 3964 y(has)29 b(full)g(mass.)40 b(Finally)-8 b(,)31 b(w)m(e)f(sho)m(w)f (that)h(there)g(is)f Fy(\013)1836 3978 y Fv(p)1903 3964 y Fs(\030)c Ft(1)p Fy(=p)p Ft(!)30 b(suc)m(h)f(that)h(for)f Fy(\013)d(>)f(\013)2966 3978 y Fv(p)3037 3964 y Ft(the)30 b(set)g(carrying)0 4109 y(almost)35 b(all)g(mass)f(do)s(es)g(not)g(con) m(tain)i(the)e(original)h(patterns.)52 b(In)34 b(this)g(sense)g(w)m(e)g (describ)s(e)g(a)g(gen)m(uine)0 4255 y(spin)29 b(glass)j(transition.) 109 4406 y(Our)41 b(approac)m(h)i(follo)m(ws)g(that)g(of)g(T)-8 b(alagrand's)43 b(analysis)g(of)g(the)f Fy(p)p Ft(-spin)g(SK-mo)s(del.) 76 b(The)42 b(more)0 4551 y(complex)c(structure)g(of)f(the)h(random)f (in)m(teractions)j(necessitates,)i(ho)m(w)m(ev)m(er,)f(considerable)d (tec)m(hnical)0 4697 y(mo)s(di\014cations.)76 b(In)41 b(particular,)46 b(v)-5 b(arious)42 b(results)g(that)h(follo)m(w)g (easily)g(in)f(the)g(Gaussian)g(case)h(from)p 0 4813 546 4 v 109 4883 a Fp(1)147 4909 y Fo(e-mail:)35 b(b)r(o)n(vier@wias-b) r(erlin.de)109 4974 y Fp(2)147 5000 y Fo(w)n(ork)16 b(supp)r(orted)i (in)g(part)e(b)n(y)h(DF)n(G)g(Sc)n(h)n(w)n(erpunktprogramm)e(\\In)n (teracting)i(sto)r(c)n(hastic)i(systems)f(of)e(high)h(complexit)n(y".)p 3726 5027 46 91 v 109 5065 a Fp(3)147 5091 y Fo(e-mail:)35 b(b)r(eat@ime.usp.br)109 5156 y Fp(4)147 5182 y Fo(supp)r(orted)29 b(b)n(y)e(DF)n(G)h(in)h(the)f(Graduiertenk)n(olleg)h(\\Sto)r(c)n (hastisc)n(he)g(Prozesse)g(und)f(probabilistisc)n(he)j(Analysis"and)0 5273 y(F)-9 b(ASPES)25 b(under)h(gran)n(t)f(No.)35 b(00/05134-5.)0 5382 y Fn(14)p Fm(=aug)r(ust=)p Fn(2001;)d(12:27)1166 b Fo(1)p eop %%Page: 2 2 2 1 bop 0 45 a Fo(2)3282 b Fl(Chapter)25 b(0)0 264 y Ft(in)m(tegration)32 b(b)m(y)f(parts)f(from)m(ulas)g(ha)m(v)m(e)i(to)f (b)s(e)f(deriv)m(ed)g(b)m(y)g(expansion)h(tec)m(hniques.)0 464 y Fq(Keywor)-5 b(ds:)42 b Ft(spin)30 b(glasses,)h(Hop\014eld)g(mo)s (dels,)f(phase)g(transition,)h(o)m(v)m(erlap)h(distribution)0 609 y Fq(Mathematics)i(subje)-5 b(ct)32 b(classi\014c)-5 b(ation:)84 b Ft(82A87,)33 b(60K35)p eop %%Page: 3 3 3 2 bop 0 45 a Fl(Results)3376 b Fo(3)0 264 y Fz(1.)41 b(In)m(tro)s(duction)h(and)f(Results)0 528 y Ft(In)32 b(a)i(recen)m(t)g(pap)s(er)e([T4])i(\(see)g(also)g([T6])f(for)g(a)g (more)h(p)s(edagogical)h(exp)s(osition\))f(T)-8 b(alagrand)33 b(has)g(pre-)0 673 y(sen)m(ted)k(for)f(the)h(\014rst)f(time)h(a)h (rigorous)e(analysis)h(of)g(a)g(phase)g(transition)g(from)f(a)h(high)f (temp)s(erature)0 819 y(phase)d(to)g(what)g(could)g(b)s(e)g(called)h(a) f("spin)g(glass)h(phase".)48 b(This)32 b(w)m(as)i(done)f(in)f(the)h (con)m(text)i(of)e(the)h(so)0 964 y(called)28 b Fy(p)p Ft(-spin)e(Sherrington-Kirkpatric)m(k)g(\(SK\))h(mo)s(del)g([SK])f(for) h Fy(p)e Fs(\025)f Ft(3.)40 b(F)-8 b(rom)28 b(the)f(heuristic)f (analysis)0 1110 y(on)35 b(the)g(basis)f(of)h(the)g(replica)h(metho)s (d)e(\(see)i([MPV]\),)g(it)f(is)g(kno)m(wn)f(that)i(this)e(mo)s(del)h (should)f(ha)m(v)m(e)i(a)0 1255 y(spin)e(glass)h(phase)f(that)h(is)g(m) m(uc)m(h)f(simpler)g(than)h(in)f(the)g(case)i Fy(p)c Ft(=)g(2,)k(the)f(standard)e(SK)h(mo)s(del,)i(and)0 1401 y(this)27 b(fact)g(is)g(to)g(b)s(e)f(exp)s(ected)h(to)h(b)s(e)e (related)h(to)h(the)e(success)h(of)g(T)-8 b(alagrand's)27 b(approac)m(h.)40 b(In)26 b(an)m(y)h(ev)m(en)m(t,)0 1546 y(this)g(imp)s(ortan)m(t)h(new)f(result)g(has)g(highligh)m(ted)i(the)e Fy(p)p Ft(-spin)g(in)m(teraction)i(mo)s(del)e(as)h(an)f(imp)s(ortan)m (t)h(pla)m(y-)0 1692 y(ground)f(to)h(dev)m(elop)g(new)f(tec)m(hniques)h (and)f(to)i(gain)f(more)g(insigh)m(t)g(in)m(to)g(the)g(fascinating)h(w) m(orld)e(of)h(spin)0 1837 y(glasses.)109 1985 y(The)40 b(Hamiltonian)h(of)g(the)f Fy(p)p Ft(-spin)f(SK)h(mo)s(del)g(can)g (most)h(simply)e(b)s(e)h(describ)s(ed)f(as)h(a)h(Gaussian)0 2130 y(pro)s(cess)30 b Fy(X)392 2144 y Fv(\033)471 2130 y Ft(on)h(the)f(h)m(yp)s(ercub)s(e)f Fs(S)1249 2144 y Fv(N)1343 2130 y Fs(\021)c(f\000)p Ft(1)p Fy(;)15 b Ft(1)p Fs(g)1730 2097 y Fv(N)1831 2130 y Ft(with)30 b(mean)h(zero)g(and)f(co)m (v)-5 b(ariance)32 b(function)1350 2390 y Fk(E)11 b Fy(X)1480 2404 y Fv(\033)1535 2390 y Fy(X)1610 2404 y Fv(\033)1654 2386 y Fj(0)1709 2390 y Ft(=)25 b Fy(N)10 b(R)1957 2404 y Fv(N)2026 2390 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2206 2353 y Fr(0)2233 2390 y Ft(\))2268 2353 y Fv(p)3473 2390 y Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(1\))0 2651 y(where)24 b Fy(R)326 2665 y Fv(N)395 2651 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)575 2618 y Fr(0)602 2651 y Ft(\))25 b Fs(\021)783 2615 y Fx(1)p 769 2630 65 4 v 769 2682 a Fv(N)860 2583 y Fi(P)955 2605 y Fv(N)955 2678 y(i)p Fx(=1)1103 2651 y Ft(=)g(1)8 b Fs(\000)g Fy(dist)1485 2665 y Fv(H)d(am)1659 2651 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1839 2618 y Fr(0)1865 2651 y Ft(\))25 b(where)f Fy(d)2229 2665 y Fv(H)5 b(am)2427 2651 y Ft(denotes)25 b(the)f(Hamming)h(distance.)0 2796 y(Seen)32 b(from)g(this)g(p)s(oin)m(t)h(of)f(view,)i(the)f(distinction) g(b)s(et)m(w)m(een)g(di\013eren)m(t)g(v)-5 b(alues)32 b(of)h Fy(p)f Ft(is)g(in)h(the)f(sp)s(eed)g(of)0 2942 y(decrease)f(of)g(the)f(correlation)i(of)f(the)g(pro)s(cess)f Fy(X)1727 2956 y Fv(\033)1806 2942 y Ft(with)g(distance.)109 3089 y(T)-8 b(alagrand's)32 b(metho)s(ds)e(use)h(hea)m(vily)h(the)g (Gaussian)f(nature)g(of)g(the)g(SK)f(mo)s(del,)h(and)g(in)g(particular) 0 3235 y(the)g(fact)g(the)f Fy(X)567 3249 y Fv(\033)647 3235 y Ft(can)h(b)s(e)e(represen)m(ted)i(in)f(the)g(form)1036 3495 y Fy(X)1111 3509 y Fv(\033)1186 3495 y Ft(=)1534 3409 y Fi(X)1282 3604 y Fx(1)p Fr(\024)p Fv(i)1401 3613 y Fn(1)1436 3604 y Fv()g Ft(0)k(is)h(de\014ned)e(suc)m(h)g(that)i(the)g(co)m(v)-5 b(ariance)34 b(of)2267 926 y(\026)2243 949 y Fy(H)40 b Ft(is)32 b(in)g(leading)h(order)e(in)h Fy(N)42 b Ft(equal)33 b(to)0 1094 y Fy(\013N)10 b Ft(.)40 b(The)28 b(in)m(teraction)871 1071 y(\026)847 1094 y Fy(H)35 b Ft(is)29 b(a)f(straigh)m(tforw)m(ard)i (generalization)h(of)d(the)h(usual)f Fy(p)d Ft(=)g(2)k(case.)41 b(Ho)m(w)m(ev)m(er,)0 1240 y(computing)h(the)h(resulting)f(co)m(v)-5 b(ariance)45 b(function)d(one)g(sees)h(that)g(it)g(decreases)g(only)g (quadratically)0 1385 y(with)28 b(the)h(Hamming)f(distance.)41 b(Therefore)28 b(it)h(will)g(not)g(share)f(the)g(sp)s(ecial)h(features) g(of)g(the)f Fy(p)p Ft(-spin)g(SK)0 1531 y(mo)s(del.)41 b(An)30 b(analysis)g(of)h(the)g(high-temp)s(erature)f(phase)g(for)2193 1508 y(\026)2169 1531 y Fy(H)37 b Ft(has)30 b(b)s(een)g(presen)m(ted)g (in)g([Ni1].)109 1676 y(W)-8 b(e)28 b(will)f(no)m(w)f(state)i(our)e (results.)40 b(They)26 b(will)h(alw)m(a)m(ys)h(concern)f(the)f(mo)s (del)h(with)f(Hamiltonian)i(\(1.3\))0 1822 y(and)i Fy(p)25 b Fs(\025)g Ft(4.)109 1967 y(The)43 b(\014rst)f(result)h(w)m(e)g(pro)m (v)m(e)h(for)f(b)s(oth)f(c)m(hoices)j(of)e(the)g(Hamiltonian)h(is)f (that)h(for)f(high)f(enough)0 2113 y(temp)s(eratures)30 b(\(that)h(is,)g(lo)m(w)g(v)-5 b(alues)31 b(of)f Fy(\014)5 b Ft(\),)32 b(the)e(limit)h(of)g(the)f(annealed)h(free)g(energy)f (exists.)0 2331 y Fc(Theorem)41 b(1.1:)106 b Fq(If)35 b Fy(\014)h(<)30 b(e)1102 2298 y Fr(\000)p Fx(2)1200 2331 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1352 2273 y Fn(1)p 1353 2283 31 4 v 1353 2320 a(2)1430 2331 y Fs(\021)g Fy(\014)1587 2298 y Fr(0)1582 2353 y Fv(p)1625 2331 y Fq(,)36 b(then)g(the)g(anne)-5 b(ale)g(d)37 b(fr)-5 b(e)g(e)36 b(ener)-5 b(gy)36 b(c)-5 b(orr)g(esp)g(onding)39 b(to)d Fy(H)0 2476 y Fq(satis\014es)1297 2639 y Fy(F)1368 2601 y Fx(an)1355 2661 y Fv(N)s(;\014)1511 2639 y Ft(=)1618 2577 y Fy(\013\014)1732 2544 y Fx(2)p 1618 2618 156 4 v 1673 2701 a Ft(2)1785 2639 y(\(1)21 b(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2170 2601 y Fr(\000)p Fx(1)2267 2639 y Ft(\)\))p Fy(:)1066 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(12\))109 3066 y(Note)36 b(that)f(for)f(larger)i(v)-5 b(alues)34 b(of)h Fy(\014)5 b Ft(,)36 b(the)f(annealed)g(free)f(energy)h(div)m (erges.)54 b(Our)34 b(analysis)h(will)g(b)s(e)0 3211 y(limited)e(to)g(the)f(case)h(when)e Fy(\014)j(<)28 b(\014)1254 3178 y Fr(0)1249 3234 y Fv(p)1323 3211 y Ft(where)k(a)g(comparison)h (to)f(the)h(SK)e(mo)s(del)h(is)g(still)h(p)s(ossible.)46 b(It)32 b(is)0 3357 y(nice)h(to)f(see)h(that)g(this)f(v)-5 b(alue)32 b(tends)g(to)h(in\014nit)m(y)e(with)h Fy(p)g Ft(v)m(ery)g(rapidly)-8 b(.)46 b(Moreo)m(v)m(er,)35 b(w)m(e)d(shall)h (see)f(that)0 3502 y(this)e(v)-5 b(alue)31 b(b)s(ecomes)g(m)m(uc)m(h)f (larger)h(than)f(the)h(critical)h(temp)s(erature,)f(as)f Fy(\013)h Ft(gets)g(large.)109 3647 y(Jensen's)44 b(inequalit)m(y)h (implies)f(that)h(the)f(quenc)m(hed)g(free)g(energy)h(is)f(less)g(then) g(or)g(equal)h(to)g(the)0 3793 y(annealed)31 b(free)f(energy)-8 b(,)928 4049 y Fk(E)26 b Fy(F)1057 4063 y Fv(N)s(;\014)1219 4049 y Ft(=)1345 3987 y(1)p 1326 4028 83 4 v 1326 4111 a Fy(N)1420 4049 y Fk(E)47 b Ft(ln)14 b Fy(Z)1663 4063 y Fv(N)s(;\014)1820 4049 y Fs(\024)1946 3987 y Ft(1)p 1927 4028 V 1927 4111 a Fy(N)2036 4049 y Ft(ln)h Fk(E)25 b Fy(Z)2259 4063 y Fv(N)s(;\014)2421 4049 y Ft(=)g Fy(F)2588 4011 y Fx(an)2575 4071 y Fv(N)s(;\014)2706 4049 y Fy(:)697 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(13\))0 4303 y(W)-8 b(e)37 b(de\014ne)e(the)h (critical)i(temp)s(erature)e(to)g(b)s(e)f(the)h(in\014m)m(um)f(of)h(v) -5 b(alues)36 b(for)g(whic)m(h)f(equalit)m(y)j(holds)d(in)0 4448 y(\(1.13\),)e(i.e.)e(in)f(terms)h(of)f Fy(\014)5 b Ft(,)850 4702 y Fy(\014)901 4716 y Fv(p)969 4702 y Fs(\021)25 b Ft(sup)1217 4629 y Fi(\010)1270 4702 y Fy(\014)30 b Fs(\025)25 b Ft(0)h(:)g(lim)15 b(sup)1621 4779 y Fv(N)7 b Fr("1)1862 4702 y Fk(E)26 b Fy(F)1990 4716 y Fv(N)s(;\014)2153 4702 y Ft(=)f(lim)15 b(sup)2301 4779 y Fv(N)7 b Fr("1)2542 4702 y Fy(F)2613 4665 y Fx(an)2600 4725 y Fv(N)s(;\014)2732 4629 y Fi(\011)2785 4702 y Fy(:)618 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(14\))0 4982 y(Observ)m(e)30 b(that)h(in)f(general)i(lim)1092 4996 y Fv(N)1176 4982 y Fk(E)26 b Fy(F)1304 4996 y Fv(N)s(;\014)1472 4982 y Ft(need)k(not)g(exist.)109 5127 y(By)h(\(1.8\),)i(as)e(a)g (random)f(pro)s(cess)h(on)g Fs(S)1517 5141 y Fv(N)1586 5127 y Ft(,)g Fy(H)1718 5141 y Fv(N)1786 5127 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))h(has)e(\(up)g(to)i(an)f(o)m(v)m(erall)i(factor\))f (essen)m(tially)h(the)0 5273 y(same)g(co)m(v)-5 b(ariance)34 b(structure)e(as)h(the)f Fy(p)p Ft(-spin)f(SK)h(Hamiltonian.)48 b(This)31 b(suggest)i(that)g(as)g(in)f(that)h(case,)p eop %%Page: 7 7 7 6 bop 0 45 a Fl(Results)3376 b Fo(7)0 264 y Ft(for)34 b Fy(p)f Ft(large)i(the)g(mo)s(del)e(should)g(b)s(e)h(similar)g(to)h (Derrida's)f Fq(r)-5 b(andom)38 b(ener)-5 b(gy)36 b(mo)-5 b(del)36 b Ft(\(REM\))f([D1,D2]s)0 409 y(Recall)42 b(that)g(in)e(this)h (mo)s(del,)i Fy(H)1180 423 y Fv(N)1249 409 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))g Fs(\021)1531 332 y(p)p 1606 332 83 4 v 1606 409 a Fy(N)10 b(X)1764 423 y Fv(\033)1814 409 y Ft(,)43 b(where)d Fs(f)p Fy(X)2275 423 y Fv(\033)2325 409 y Fs(g)2370 423 y Fv(\033)r Fr(2S)2508 432 y Fm(N)2612 409 y Ft(are)i(i.i.d.)f(standard)f(normal)0 555 y(random)34 b(v)-5 b(ariables\).)55 b(De\014ning)34 b(the)h(corresp)s(onding)f (partition)h(function)g Fy(Z)2728 522 y Fx(REM)2721 580 y Fv(N)s(;\014)2932 555 y Ft(=)d Fk(E)3089 569 y Fv(\033)3144 555 y Fy(e)3186 522 y Fv(\014)3230 467 y Fr(p)p 3291 467 65 4 v 3291 522 a Fv(N)6 b(X)3415 531 y Fm(\033)3463 555 y Ft(,)36 b(one)0 700 y(easily)c(sees)e(that)h(the)g(free)f(energy) h(satis\014es)g([D2])532 1009 y Fy(f)587 971 y Fv(RE)s(M)577 1031 y(\014)804 1009 y Ft(=)67 b(lim)900 1067 y Fv(N)7 b Fr(!1)1154 947 y Ft(1)p 1135 988 83 4 v 1135 1071 a Fy(N)1229 1009 y Fk(E)47 b Ft(ln)15 b Fy(Z)1480 971 y Fx(REM)1473 1031 y Fv(N)s(;\014)1677 1009 y Ft(=)1772 853 y Fi(\()1876 940 y Fy(\014)1932 908 y Fx(2)1973 940 y Fy(=)p Ft(2)p Fy(;)481 b Ft(if)30 b Fy(\014)g Fs(\024)2829 863 y(p)p 2905 863 197 4 v 78 x Ft(2)15 b(ln)h(2)1876 1084 y Fy(\014)1932 1007 y Fs(p)p 2008 1007 V 77 x Ft(2)f(ln)h(2)k Fs(\000)g Ft(ln)15 b(2)p Fy(;)92 b Ft(if)30 b Fy(\014)g Fs(\025)2829 1007 y(p)p 2905 1007 V 77 x Ft(2)15 b(ln)h(2)3428 1009 y(\(1)p Fy(:)p Ft(15\))0 1334 y(W)-8 b(e)28 b(will)e(sho)m(w)h (that)g(as)f Fy(p)g Ft(tends)g(to)i(in\014nit)m(y)-8 b(,)1588 1269 y Fs(p)p 1664 1269 59 4 v 65 x Fy(\013)q(\014)1774 1348 y Fv(p)1842 1334 y Ft(tends)26 b(to)h(the)g(critical)h(v)-5 b(alue)2871 1257 y Fs(p)p 2947 1257 197 4 v 77 x Ft(2)15 b(ln)h(2)26 b(of)h(the)g(REM.)0 1480 y(Moreo)m(v)m(er,)33 b(p)s(oin)m(t)m(wise)e(in)f Fy(\013;)15 b(\014)5 b Ft(,)1060 1683 y(1)p 1054 1723 57 4 v 1054 1807 a Fy(\014)1165 1744 y Ft(lim)1136 1799 y Fv(p)p Fr(!1)1376 1744 y Ft(lim)1334 1803 y Fv(N)i Fr(!1)1588 1683 y Ft(1)p 1569 1723 83 4 v 1569 1807 a Fy(N)1663 1744 y Fk(E)47 b Ft(ln)15 b Fy(Z)1907 1765 y Fv(N)s(;)1990 1719 y Fr(p)p 2049 1719 48 4 v 2049 1765 a Fv(\013\014)2171 1744 y Ft(=)2283 1683 y(1)p 2277 1723 57 4 v 2277 1807 a Fy(\014)2345 1744 y(f)2400 1707 y Fv(RE)s(M)2390 1767 y(\014)2591 1744 y Fy(:)812 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(16\))0 2019 y(in)21 b(analogy)i(to)f(the)f(situation)h(in)f (the)h Fy(p)p Ft(-spin)e(SK)g(mo)s(del)h([T6].)39 b(While)22 b(this)f(ma)m(y)h(not)f(b)s(e)g(v)m(ery)g(surprising,)0 2165 y(it)31 b(is)f(also)i(not)e(totally)j(ob)m(vious)d(and)g(will)h (require)f(some)h(non-trivial)g(computations.)109 2313 y(Our)h(next)h(t)m(w)m(o)h(theorems)f(mak)m(e)h(these)f(relations)h (precise.)49 b(W)-8 b(e)34 b(will)f(denote)g(b)m(y)g Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))33 b(the)g Fq(Cr)-5 b(am)n(\023)-44 b(er)0 2459 y(entr)-5 b(opy)32 b Ft(function,)948 2614 y Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))25 b(=)1230 2553 y(1)p 1230 2593 46 4 v 1230 2677 a(2)1287 2614 y(\(1)c Fs(\000)f Fy(t)p Ft(\))15 b(ln\(1)21 b Fs(\000)f Fy(t)p Ft(\))g(+)2020 2553 y(1)p 2020 2593 V 2020 2677 a(2)2076 2614 y(\(1)h(+)f Fy(t)p Ft(\))15 b(ln\(1)21 b(+)f Fy(t)p Ft(\))p Fy(;)716 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(17\))0 2908 y Fc(Theorem)37 b(1.2:)91 b Fq(The)33 b(critic)-5 b(al)34 b(value)e Fy(\014)1532 2922 y Fv(p)1600 2908 y Ft(=)25 b Fy(\014)1747 2922 y Fv(p)1790 2908 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))33 b Fq(satis\014es)864 3220 y Fy(\014)915 3234 y Fv(p)957 3220 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))1085 3182 y Fx(2)1153 3220 y Fs(\025)24 b Ft(min)1415 3064 y Fi( )1498 3149 y Fy(\014)1554 3116 y Fr(0)1549 3172 y Fv(p)1591 3116 y Fx(2)p 1498 3199 135 4 v 1542 3282 a Ft(4)1643 3220 y Fy(;)66 b Ft(inf)1683 3283 y Fv(t)p Fr(2)p Fx([0)p Fv(;)p Fx(1])1910 3220 y Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))2071 3158 y(1)22 b(+)e Fy(t)2262 3125 y Fv(p)p 2072 3199 232 4 v 2121 3282 a Fy(\013t)2212 3256 y Fv(p)2314 3064 y Fi(!)2411 3220 y Fs(\021)2520 3196 y Ft(\024)2507 3220 y Fy(\014)2558 3234 y Fv(p)2601 3220 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))2729 3182 y Fx(2)2771 3220 y Fy(:)632 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(18\))0 3553 y Fq(F)-7 b(urthermor)i(e,)35 b(if)d Fy(\013)26 b Fs(\025)832 3517 y Fv(e)866 3490 y Fn(4)902 3517 y Fx(2)13 b(ln)f(2)p 832 3532 229 4 v 917 3584 a Fv(p)p Fx(!)1096 3553 y Fs(\021)25 b Fy(\013)1250 3567 y Fv(p)1325 3553 y Fq(then)1342 3848 y Fy(\014)1393 3862 y Fv(p)1435 3848 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))1563 3811 y Fx(2)1631 3848 y Fs(\024)1737 3787 y Ft(2)15 b(ln)h(2)p 1737 3827 197 4 v 1807 3910 a Fy(\013)1971 3848 y Fs(\021)2080 3824 y Ft(^)2067 3848 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))2251 3811 y Fx(2)2293 3848 y Fy(:)1110 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(19\))0 4332 y Fu(Remarks:)51 b Ft(\(i\))36 b(One)f(can)g(sho)m(w)g(that)h(the)g(inequalit)m(y)g (\(1.19\))i(actually)e(strict.)57 b(In)34 b([B2])j(it)e(is)h(sho)m(wn)0 4478 y(that)41 b(for)f(the)h(SK)e(case,)44 b Fy(\014)965 4492 y Fv(p)1050 4478 y Fs(\025)1162 4400 y(p)p 1238 4400 V 78 x Ft(2)15 b(ln)g(2)q(\(1)27 b Fs(\000)g Fy(c)1679 4492 y Fv(p)1721 4478 y Ft(\))41 b(with)f Fy(c)2053 4492 y Fv(p)2137 4478 y Ft(=)i(2)2295 4445 y Fr(\000)p Fv(p)p Fx(\(4+)p Fv(O)r Fx(\(1)p Fv(=p)p Fx(\)\))2768 4478 y Ft(.)71 b(This)39 b(follo)m(ws)j(from)e(a)0 4623 y(corresp)s(onding)21 b(upp)s(er)f(b)s(ound)h(on)h(the)g(suprem)m(um)f(of)h Fy(H)1973 4637 y Fv(N)2041 4623 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))h(whic)m(h)f (can)h(b)s(e)e(obtained)i(using)f(standard)0 4769 y(tec)m(hniques.)41 b(These)30 b(estimates)i(can)f(without)f(doubt)g(b)s(e)g(carried)g(o)m (v)m(er)i(to)f(our)f(case.)109 4917 y(\(ii\))k(The)e(b)s(ounds)f(on)i (the)g(critical)i(temp)s(erature)d(are)h(essen)m(tially)i(\(up)d(to)i (a)f(factor)3101 4852 y Fs(p)p 3177 4852 59 4 v 65 x Fy(\013)p Ft(\))g(the)h(same)0 5063 y(as)d(for)f(the)g Fy(p)p Ft(-spin)g(SK-mo)s(del)g(\([T4],)h(Theorem)f(1.1\).)1909 5030 y Fx(7)p 0 5173 546 4 v 109 5247 a Fp(7)147 5273 y Fo(Observ)n(e)d(that)e(in)h([T4],)h(the)f(normalization)f(of)g(the)h (Hamiltonian)g(con)n(tains)g(an)f(extra)h(factor)f(2)3044 5247 y Fe(\000)p Fp(1)p Ff(=)p Fp(2)3202 5273 y Fo(.)p eop %%Page: 8 8 8 7 bop 0 45 a Fo(8)3282 b Fl(Chapter)25 b(1)0 264 y Ft(By)31 b(elemen)m(tary)h(analysis)e(one)h(\014nds)e(that,)i(as)g Fy(p)f Ft(tends)g(to)h(in\014nit)m(y)-8 b(,)651 523 y(inf)600 582 y Fx(0)p Fr(\024)p Fv(t)p Fr(\024)p Fx(1)813 523 y Ft(\(\(1)22 b(+)e Fy(t)1074 485 y Fr(\000)p Fx(1)1171 523 y Fy(p)p Ft(\))p Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\)\))1437 485 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)1578 523 y Ft(=)1674 441 y Fs(p)p 1749 441 197 4 v 1749 523 a Ft(2)15 b(ln)h(2)1962 395 y Fi(\022)2028 523 y Ft(1)21 b Fs(\000)2196 461 y Ft(2)2241 429 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 2196 502 238 4 v 2246 585 a Ft(ln)15 b(2)2444 395 y Fi(\023)2531 523 y Ft(+)20 b Fs(O)s Ft(\()p Fy(p)2778 485 y Fx(3)2819 523 y Ft(2)2864 485 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(p)3000 523 y Ft(\))p Fy(:)368 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(20\))0 779 y(This,)28 b(together)i(with)e(the)h(con)m(v)m(exit)m(y)i(of)e(the)f(free)h (energy)g(in)f Fy(\014)5 b Ft(,)29 b(will)g(allo)m(w)h(us)d(to)j(pro)m (v)m(e)f(the)f(follo)m(wing)0 924 y(statemen)m(t.)0 1142 y Fc(Theorem)37 b(1.3:)91 b Fq(As)33 b Fy(p)25 b Fs(!)g(1)p Fq(,)32 b(the)h(lower)h(b)-5 b(ound)1900 1118 y Ft(\024)1888 1142 y Fy(\014)1939 1156 y Fv(p)2006 1142 y Fs(")2090 1118 y Ft(^)2077 1142 y Fy(\014)5 b Fq(.)42 b(Mor)-5 b(e)g(over,)34 b(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(\014)d Fs(\025)25 b Ft(0)33 b Fq(and)h Fy(\013)26 b(>)e Ft(0)p Fq(,)1261 1395 y Ft(lim)1251 1454 y Fv(p)p Fr("1)1437 1395 y Ft(lim)1413 1454 y Fv(N)7 b Fr("1)1632 1333 y Ft(1)p 1613 1374 83 4 v 1613 1457 a Fy(N)1707 1395 y Fk(E)26 b Fy(F)1836 1409 y Fv(N)s(;\014)1998 1395 y Ft(=)f Fy(f)2149 1357 y Fv(RE)s(M)2139 1424 y(\014)s(\013)2230 1406 y Fj(\000)p Fn(1)p Fm(=)p Fn(2)2384 1395 y Fy(:)1019 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(21\))39 1645 y(The)39 b(basic)g(strategy)i(used)d(to)i(pro)m(v)m(e)g (these)g(results)e(are)i(rather)f(general.)68 b(In)38 b(Chapter)h(2,)j(w)m(e)e(will)0 1790 y(explain)30 b(them)g(b)m(y)f (means)h(of)g(the)f(analogous)i(calculations)h(in)e(the)g(REM.)f(F)-8 b(or)31 b(no)m(w,)f(w)m(e)g(just)f(men)m(tion)0 1936 y(that)38 b(the)h(hard)d(part)i(is)g(to)h(pro)m(v)m(e)f(the)g(lo)m(w)m (er)h(b)s(ound)d(\(1.18\),)42 b(whereas)c(the)g(upp)s(er)e(b)s(ound)g (\(1.19\))k(is)0 2081 y(comparativ)m(ely)33 b(easy)e(and)e(will)i (follo)m(w)h(from)e(an)g(estimate)i(on)e(the)h(ground)e(state)j(energy) -8 b(.)109 2299 y(An)31 b(imp)s(ortan)m(t)h(p)s(oin)m(t)g(in)g(the)f (study)g(of)h(disordered)f(mo)s(dels)g(is)h(the)g(question)g(of)g (self-a)m(v)m(eraging)j(of)0 2445 y(the)i(free)g(energy)-8 b(.)60 b(While)38 b(in)e(man)m(y)h(cases)h(this)f(follo)m(ws)g(from)g (general)h(principles)e([MS,T1])h(of)g(mass)0 2590 y(concen)m(tration,) 26 b(due)c(to)i(the)e(failure)h(of)g(certain)g(con)m(v)m(exit)m(y)i (prop)s(erties,)f(it)f(turns)e(out)i(to)g(b)s(e)f(surprisingly)0 2736 y(di\016cult)30 b(to)h(pro)m(v)m(e)h(the)e(follo)m(wing)i(result) 1453 2703 y Fx(8)0 2954 y Fc(Theorem)42 b(1.4:)107 b Fq(F)-7 b(or)37 b(al)5 b(l)36 b Fy(\014)5 b(;)15 b(n;)g(\034)5 b(;)15 b(")32 b(>)f Ft(0)36 b Fq(ther)-5 b(e)37 b(exists)f Fy(C)2162 2968 y Fv(n)2243 2954 y Fy(<)31 b Fs(1)k Fq(\(dep)-5 b(ending)38 b(only)e(on)h Fy(n)e Fq(and)i Fy(\014)5 b Fq(\),)0 3099 y(and)203 3076 y Ft(\026)177 3099 y Fy(N)35 b(<)25 b Fs(1)32 b Fq(such)h(that)h(the)f(fr)-5 b(e)g(e)33 b(ener)-5 b(gy)33 b(satis\014es)995 3342 y Fk(P)1065 3241 y Fi(h)1109 3342 y Fs(j)p Fy(F)1192 3356 y Fv(N)s(;\014)1344 3342 y Fs(\000)20 b Fk(E)25 b Fy(F)1563 3356 y Fv(N)s(;\014)1700 3342 y Fs(j)h(\025)f Fy(\034)10 b(\014)5 b(N)2036 3304 y Fr(\000)2103 3280 y Fn(1)p 2103 3290 31 4 v 2103 3326 a(2)2145 3304 y Fx(+)p Fv(")2240 3241 y Fi(i)2308 3342 y Fs(\024)25 b Fy(C)7 b(N)2559 3304 y Fr(\000)p Fv(n)3428 3342 y Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(22\))0 3584 y Fq(for)33 b(al)5 b(l)33 b Fy(N)j Fs(\025)506 3561 y Ft(\026)479 3584 y Fy(N)10 b Fq(.)42 b(In)33 b(p)-5 b(articular,)1147 3827 y Ft(lim)1123 3886 y Fv(N)7 b Fr("1)1312 3827 y Fs(j)p Fy(F)1395 3841 y Fv(N)s(;\014)1547 3827 y Fs(\000)20 b Fk(E)26 b Fy(F)1767 3841 y Fv(N)s(;\014)1904 3827 y Fs(j)f Ft(=)g(0)p Fy(;)109 b Fk(P)21 b Fs(\000)f Fy(a:s:)891 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(23\))109 4215 y Fu(Remark:)43 b Ft(F)-8 b(rom)31 b(recen)m(t)i(results)e(in)g(the)g Fy(p)p Ft(-spin)f(SK-mo)s(del)h(and)f(the)i(REM)f([BKL],)h(one)f(actually)0 4360 y(exp)s(ects)g(that)g(the)f(\015uctuations)h(in)f(the)g(small)h Fy(\014)36 b Ft(region)31 b(are)g(of)f(m)m(uc)m(h)g(lo)m(w)m(er)i (order.)109 4506 y(While)38 b(the)g(critical)h(temp)s(erature)f(is)f (de\014ned)g(in)g(terms)g(of)h(the)g(b)s(eha)m(vior)f(of)h(the)g(free)f (energy)-8 b(,)40 b(it)0 4651 y(turns)31 b(out)i(that)g(this)g(phase)f (transition)h(go)s(es)g(along)h(with)e(a)h(c)m(hange)h(in)e(the)h(b)s (eha)m(vior)g(of)f(the)h(replica)0 4797 y(o)m(v)m(erlap)39 b(parameter,)h Fy(R)861 4811 y Fv(N)930 4797 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1110 4764 y Fr(0)1136 4797 y Ft(\).)62 b(This)36 b(will)i(ev)m(en)m(tually)h(lead)f(to)g(rather)f(detailed)i (insigh)m(t)e(in)m(to)i(the)0 4942 y(prop)s(erties)30 b(of)g(the)h(Gibbs)f(measures)g(at)h(lo)m(w)g(temp)s(eratures.)109 5088 y(The)f(crucial)h(link)f(b)s(et)m(w)m(een)h(the)g(t)m(w)m(o)h (will)e(b)s(e)g(pro)m(vided)g(b)m(y)g(the)h(next)g(theorem.)p 0 5176 546 4 v 109 5247 a Fp(8)147 5273 y Fo(A)26 b(sharp)r(er)g (estimate)h(can)e(b)r(e)h(pro)n(v)n(en)g(with)g(m)n(uc)n(h)f(less)i (e\013ort)f(for)f(the)h(in)n(teraction)2704 5254 y(\026)2684 5273 y Fg(H)2747 5285 y Ff(N)2811 5273 y Fo(,)g(see)h([Ni1].)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 0 45 a Fl(Results)3376 b Fo(9)0 264 y Fc(Theorem)37 b(1.5:)91 b Fq(Assume)33 b(that)h Fy(\014)c(<)1469 228 y Fx(1)p 1469 243 37 4 v 1469 295 a(2)1516 264 y Fy(\014)1572 231 y Fr(0)1567 286 y Fv(p)1610 264 y Fq(.)41 b(Then)33 b(the)g(r)-5 b(eplic)g(a)35 b(overlap)f Fy(R)2743 278 y Fv(N)2812 264 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2992 231 y Fr(0)3018 264 y Ft(\))33 b Fq(satis\014es)609 500 y Fk(E)695 439 y Fy(@)5 b(F)806 453 y Fv(N)s(;\014)p 695 479 243 4 v 762 563 a Fy(@)g(\014)975 500 y Ft(=)24 b Fy(\013\014)d Ft(\()q(1)f Fs(\000)g Fk(E)26 b Fs(G)1516 514 y Fv(N)s(;\014)1673 500 y Fs(\012)20 b(G)1818 514 y Fv(N)s(;\014)1950 500 y Ft([)p Fy(R)2044 514 y Fv(N)2113 500 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2293 463 y Fr(0)2319 500 y Ft(\))2354 463 y Fv(p)2397 500 y Ft(]\))h(\(1)21 b(+)e Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2857 463 y Fr(\000)p Fx(1)2955 500 y Ft(\)\))p Fy(;)378 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(24\))109 859 y(Note)32 b(that)g(in)f(the)g(case)h(of)f(the)h(Gaussian)f(SK)f(mo) s(dels,)h(this)g(relation)h(is)f(a)h(trivial)g(consequence)g(of)0 1005 y(the)f Fq(inte)-5 b(gr)g(ation)34 b(by)f(p)-5 b(arts)34 b(formula)1316 1218 y Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)t(f)10 b Ft(\()p Fy(g)s Ft(\)])32 b(=)25 b Fk(E)g Ft([)q Fy(g)1923 1181 y Fx(2)1970 1218 y Ft(])p Fk(E)h Ft([)p Fy(f)2145 1181 y Fr(0)2176 1218 y Ft(\()p Fy(g)s Ft(\)])p Fy(;)1086 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(25\))0 1432 y(whic)m(h)36 b(holds)g(for)h(an)m(y)f (cen)m(tered)i(Gaussian)f(random)e(v)-5 b(ariable)38 b Fy(g)i Ft(and)c(an)m(y)g(function)h Fy(f)45 b Ft(not)37 b(gro)m(wing)0 1577 y(faster)k(than)g(some)g(p)s(olynomial)g(at)g (in\014nit)m(y)-8 b(.)72 b(T)-8 b(o)42 b(establish)f(this)f(result)h (without)g(the)g(help)f(of)h(this)0 1723 y(form)m(ula)31 b(turns)f(out)h(to)h(require)e(a)i(considerable)f(e\013ort.)43 b(Similar)31 b(to)s(ols)h(are)f(also)h(instrumen)m(tal)f(in)g(the)0 1868 y(pro)s(of)f(of)g(Theorem)g(1.4.)109 2013 y(W)-8 b(e)32 b(then)e(ha)m(v)m(e)h(the)g(follo)m(wing)h(consequence)f(to)g (Theorem)f(1.2)i(and)d(Theorem)h(1.5.)0 2232 y Fc(Theorem)37 b(1.6:)91 b Fq(Assume)33 b(that)h Fy(\013)25 b Fs(\025)g Fy(\013)1518 2246 y Fv(p)1561 2232 y Fq(.)41 b(If)33 b Fy(\014)d(<)25 b(\014)1954 2246 y Fv(p)1997 2232 y Fq(,)32 b(then)1072 2445 y Ft(lim)15 b(sup)1125 2522 y Fv(N)7 b Fr("1)1366 2445 y Fk(E)26 b Fs(G)1490 2459 y Fv(N)s(;\014)1647 2445 y Fs(\012)20 b(G)1792 2459 y Fv(N)s(;\014)1923 2445 y Ft([)p Fy(R)2017 2459 y Fv(N)2086 2445 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2266 2408 y Fr(0)2293 2445 y Ft(\))2328 2408 y Fv(p)2370 2445 y Ft(])26 b(=)f(0)p Fy(:)841 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(26\))0 2712 y Fq(Conversely,)33 b(if)g Ft(lim)15 b(sup)858 2734 y Fv(N)942 2712 y Fk(E)1029 2665 y Fv(@)t(F)1118 2675 y Fm(N)r(;\014)p 1029 2691 204 4 v 1087 2743 a Fv(@)t(\014)1268 2712 y Fy(<)25 b(\013\014)5 b Fq(,)33 b(then)1086 2925 y Ft(lim)15 b(inf)1125 2984 y Fv(N)7 b Fr("1)1353 2925 y Fk(E)26 b Fs(G)1477 2939 y Fv(N)s(;\014)1634 2925 y Fs(\012)20 b(G)1779 2939 y Fv(N)s(;\014)1910 2925 y Ft([)p Fy(R)2004 2939 y Fv(N)2073 2925 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2253 2888 y Fr(0)2280 2925 y Ft(\))2315 2888 y Fv(p)2357 2925 y Ft(])26 b Fy(>)f Ft(0)p Fy(:)854 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(27\))0 3170 y Fq(In)33 b(p)-5 b(articular,)34 b(\(1.27\))h(holds)f(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(\014)e Fs(2)25 b Ft([)1550 3146 y(^)1537 3170 y Fy(\014)5 b(;)1644 3134 y Fx(1)p 1644 3149 37 4 v 1644 3201 a(2)1691 3170 y Fy(\014)1747 3137 y Fr(0)1742 3193 y Fv(p)1785 3170 y Ft(\))p Fq(.)0 3461 y Fu(Remark:)63 b Ft(It)37 b(seems)h(reasonable)g(that)g(\(1.27\))i(should)c(hold)h (for)g(all)h Fy(\014)43 b Ft(ab)s(o)m(v)m(e)38 b(the)g(critical)h Fy(\014)3417 3475 y Fv(p)3459 3461 y Ft(,)h(but)0 3606 y(there)31 b(seems)f(to)h(b)s(e)f(no)g(general)i(principal)e(that)h(w)m (ould)f(prohibit)g(a)g Fq(r)-5 b(e)g(entr)g(ant)35 b(phase)f(tr)-5 b(ansition)p Ft(.)109 3752 y(Inequalit)m(y)33 b(\(1.27\))i(expresses)d (in)g(a)g(w)m(eak)h(w)m(a)m(y)h(that)e(b)s(elo)m(w)h(the)f(critical)i (temp)s(erature,)f(the)g(Gibbs)0 3897 y(measure)g(giv)m(es)h(some)f (mass)f(to)i(a)f(a)g(small)g(subset)g(of)g(the)f(con\014guration)i (space.)48 b(This)32 b(result)h(can)g(b)s(e)0 4043 y(strengthened.)53 b(As)34 b(in)g([T4],)i(w)m(e)f(sho)m(w)g(that)g(the)f(o)m(v)m(erlap)i (b)s(et)m(w)m(een)f(replicas)g(is)g(either)g(v)m(ery)f(close)i(to)0 4188 y(one,)31 b(or)f(to)h(zero:)0 4406 y Fc(Theorem)41 b(1.7:)59 b Fq(F)-7 b(or)37 b(any)f Fy(\017)31 b(>)f Ft(0)36 b Fq(ther)-5 b(e)36 b(exists)g Fy(p)1854 4420 y Fx(0)1925 4406 y Fy(<)31 b Fs(1)k Fq(such)h(that)h(for)f(al)5 b(l)36 b Fy(p)30 b Fs(\025)h Fy(p)3057 4420 y Fx(0)3097 4406 y Fq(,)36 b Fy(\013)31 b(>)g(\013)3410 4420 y Fv(p)3452 4406 y Fq(,)36 b(and)0 4552 y(for)d(al)5 b(l)33 b Ft(0)26 b Fs(\024)f Fy(\014)30 b(<)25 b(\014)675 4519 y Fr(0)670 4574 y Fv(p)1086 4697 y Ft(lim)1062 4757 y Fv(N)7 b Fr("1)1252 4697 y Fk(E)j Fs(G)1366 4658 y Fr(\012)p Fx(2)1360 4725 y Fv(N)s(;\014)1497 4697 y Ft(\()p Fs(j)p Fy(R)1626 4711 y Fv(N)1696 4697 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1876 4660 y Fr(0)1903 4697 y Ft(\))p Fs(j)26 b(2)e Ft([)p Fy(\017;)15 b Ft(1)22 b Fs(\000)d Fy(\017)p Ft(]\))26 b(=)f(0)831 b(\(1)p Fy(:)p Ft(28\))0 4914 y Fq(If,)35 b(mor)-5 b(e)g(over,)37 b Fy(\014)d(<)747 4890 y Ft(\024)734 4914 y Fy(\014)785 4928 y Fv(p)828 4914 y Fq(,)h(then)g(for)g(any)h Fy(\017)29 b(>)f Ft(0)36 b Fq(ther)-5 b(e)35 b(exists)g Fy(p)2190 4928 y Fx(0)2260 4914 y Fy(<)29 b Fs(1)34 b Fq(such)h(that)h(for)f(al)5 b(l)36 b Fy(p)28 b Fs(\025)h Fy(p)3382 4928 y Fx(0)3423 4914 y Fq(,)35 b(such)0 5059 y(that)f(for)f(some)g Fy(\016)c(>)c Ft(0)p Fq(,)33 b(for)g(al)5 b(l)34 b(lar)-5 b(ge)33 b(enough)g Fy(N)10 b Fq(,)1166 5273 y Fk(E)h Fs(G)1280 5234 y Fr(\012)p Fx(2)1275 5299 y Fv(N)1384 5273 y Ft(\()p Fs(j)p Fy(R)1513 5287 y Fv(N)1582 5273 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)k(\033)1762 5235 y Fr(0)1789 5273 y Ft(\))p Fs(j)26 b(2)f Ft([)p Fy(\017;)15 b Ft(1]\))27 b Fs(\024)d Fy(e)2332 5235 y Fr(\000)p Fv(\016)r(N)3428 5273 y Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(29\))p eop %%Page: 10 10 10 9 bop 0 45 a Fo(10)3243 b Fl(Chapter)25 b(1)0 561 y Fu(Remark:)50 b Ft(Note)33 b(that)f(w)m(e)g(pro)m(v)m(e)g(this)f (result)h(without)f(an)m(y)h(restriction)h(on)e(the)h(temp)s(erature,)g (while)0 706 y(T)-8 b(alagrand)30 b(requires)e(some)i(upp)s(er)d(b)s (ound)g(on)i Fy(\014)34 b Ft(b)s(oth)28 b(in)h([T4])h(and)e(in)h(the)g (announcemen)m(t)h([T5])f(ev)m(en)0 851 y(though)i(the)g(b)s(ound)e(in) h([T5])i(is)f(greatly)h(impro)m(v)m(ed.)43 b(W)-8 b(e)32 b(stress)f(that)h(the)f(our)f(result)h(is)g(also)h(v)-5 b(alid)31 b(for)0 997 y(the)g Fy(p)p Ft(-spin)e(SK-mo)s(del.)40 b(The)30 b(same)h(applies)f(for)g(all)i(subsequen)m(t)d(results.)109 1148 y(The)35 b(information)g(pro)m(vided)g(b)m(y)g(Theorem's)g(1.6)i (and)d(1.7)j(allo)m(w)f(gain)g(considerable)g(insigh)m(t)g(in)m(to)0 1294 y(the)d(nature)f(of)g(the)h(Gibbs)e(measures)h(in)h(the)f(lo)m(w)h (temp)s(erature)f(phase.)47 b(This)31 b(observ)-5 b(ation)33 b(is)g(due)e(to)0 1439 y(T)-8 b(alagrand.)109 1591 y(In)34 b([T4])h(he)g(sho)m(w)m(ed)g(that)g(whenev)m(er)g(\(1.27\))i(and)d (\(1.28\))j(hold,)e(it)g(is)g(p)s(ossible)f(to)i(decomp)s(ose)f(the)0 1736 y(state)d(space)f Fs(S)521 1750 y Fv(N)620 1736 y Ft(in)m(to)g(a)g(collection)i(of)e(disjoin)m(t)f(subsets)g Fs(C)2074 1750 y Fv(k)2149 1736 y Ft(suc)m(h)g(that)-32 1887 y(\(i\))840 2051 y(lim)816 2110 y Fv(N)7 b Fr("1)1006 2051 y Fk(E)j Fs(G)1120 2012 y Fr(\012)p Fx(2)1114 2078 y Fv(N)1238 1977 y Fi(\000\010)1333 2051 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1513 2013 y Fr(0)1540 2051 y Ft(\))p Fs(j)g(j)p Fy(R)1709 2065 y Fv(N)1779 2051 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)g(\033)1959 2013 y Fr(0)1985 2051 y Ft(\))p Fs(j)26 b Fy(>)f(\017)2204 1977 y Fi(\011)2257 2051 y Fs(n)c([)2384 2065 y Fv(k)2448 2051 y Fs(C)2496 2065 y Fv(k)2561 2051 y Fs(\002)f(C)2700 2065 y Fv(k)2745 1977 y Fi(\001)2811 2051 y Ft(=)25 b(0)476 b(\(1)p Fy(:)p Ft(30\))109 2290 y(\(where)30 b(the)h Fs(C)612 2304 y Fv(k)687 2290 y Ft(dep)s(end)d(b)s(oth)i(on)g Fy(N)41 b Ft(and)29 b(on)i(the)f(random)g(parameter!\),)i(and)-58 2442 y(\(ii\))47 b(If)30 b Fy(\033)n(;)15 b(\033)345 2409 y Fr(0)397 2442 y Fs(2)24 b(C)530 2456 y Fv(k)575 2442 y Ft(,)31 b(then)f Fy(R)907 2456 y Fv(N)976 2442 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1156 2409 y Fr(0)1182 2442 y Ft(\))26 b Fs(\025)f Ft(1)20 b Fs(\000)g Fy(\017)p Ft(.)109 2593 y(Note)28 b(that)f(b)s(ecause)f(of)h(the)g(global)h(spin) d(\015ip)h(symmetry)g(of)h(our)e(mo)s(dels)i(with)f Fy(p)g Ft(ev)m(en,)i(these)f(lumps)0 2739 y(necessarily)k(app)s(ear)f(in)g (symmetric)h(pairs.)109 2890 y(In)f([T4])h(T)-8 b(algrand)30 b(analyzed)h(the)g(prop)s(erties)f(of)g(these)h(lumps)e(further)g (using)h(the)h(ca)m(vit)m(y)h(metho)s(d.)0 3036 y(He)e(sho)m(w)m(ed)g (that,)h(under)d(a)i(certain)h(h)m(yp)s(othesis)e(that)i(w)m(e)f(shall) g(discuss)f(shortly)-8 b(,)30 b(for)g Fy(\014)k Ft(not)c(to)s(o)h (large)0 3181 y(this)36 b(lumps)e(corresp)s(ond)h(to)i(what)e(is)h(kno) m(wn)g(as)g(\\pure)f(states".)59 b(While)37 b(it)f(is)g(v)m(ery)g(lik)m (ely)i(that)e(this)0 3327 y(analysis)f(can)g(also)g(b)s(e)f(carried)h (o)m(v)m(er)h(to)f(our)f(mo)s(dels,)h(w)m(e)g(will)g(lea)m(v)m(e)i (this)d(question)h(op)s(en)f(to)h(further)0 3472 y(in)m(v)m (estigation.)41 b(W)-8 b(e)23 b(\014nd)e(it)h(ho)m(w)m(ev)m(er)i(in)m (teresting)f(to)g(discuss)e(the)h(situation)h(of)g(the)f(general)h(h)m (yp)s(othesis.)0 3617 y(T)-8 b(algrand's)32 b(h)m(yp)s(othesis)e(in)h ([T4])h(concern)g(the)f(distribution)g(of)g(mass)g(on)g(the)h(lumps.)42 b(Roughly)-8 b(,)32 b(they)0 3763 y(can)f(b)s(e)e(states)j(as)0 3987 y Fc(Theorem)53 b(1.8:)148 b Fq(Assume)44 b(that)1388 3951 y Fx(1)p 1388 3966 37 4 v 1388 4018 a(2)1435 3987 y Fy(\014)1491 3954 y Fr(0)1486 4010 y Fv(p)1575 3987 y Fy(>)i(\014)51 b(>)46 b(\014)1962 4001 y Fv(p)2005 3987 y Fq(.)76 b(L)-5 b(et)45 b Fs(C)2326 4001 y Fv(k)2415 3987 y Fq(b)-5 b(e)44 b(or)-5 b(der)g(e)g(d)47 b(such)d(that)h(for)g (al)5 b(l)45 b Fy(k)s Fq(,)0 4132 y Fs(G)54 4146 y Fv(N)s(;\014)185 4132 y Ft(\()p Fs(C)268 4146 y Fv(k)313 4132 y Ft(\))26 b Fs(\025)f(G)524 4146 y Fv(N)s(;\014)655 4132 y Ft(\()p Fs(C)738 4146 y Fv(k)r Fx(+1)875 4132 y Ft(\))p Fq(.)42 b(Then)33 b(for)g(al)5 b(l)33 b Fy(k)c Fs(2)c Fk(N)6 b Fq(,)39 b(ther)-5 b(e)33 b(exists)g Fy(p)2301 4146 y Fv(k)2371 4132 y Fy(<)25 b Fs(1)32 b Fq(such)h(that)h(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(p)25 b Fs(\025)g Fy(p)3471 4146 y Fv(k)3515 4132 y Fq(,)1376 4405 y Ft(lim)1352 4464 y Fv(N)7 b Fr("1)1541 4405 y Fk(E)k Fs(G)1650 4419 y Fv(N)s(;\014)1802 4331 y Fi(\000)1844 4405 y Fs([)1905 4367 y Fv(k)1905 4427 y(l)p Fx(=1)2024 4405 y Fs(C)2072 4419 y Fv(l)2100 4331 y Fi(\001)2167 4405 y Fy(<)25 b Ft(1)1120 b(\(1)p Fy(:)p Ft(31\))0 4685 y Fq(exc)-5 b(ept)32 b(p)-5 b(ossibly)32 b(for)g(an)f(exc)-5 b(eptional)33 b(set)e(of)g Fy(\014)5 b Fq('s)31 b(of)h(zer)-5 b(o)32 b(L)-5 b(eb)g(esgue)30 b(me)-5 b(asur)g(e.)43 b(Mor)-5 b(e)g(over,)32 b(for)g Fy(k)i Fq(lar)-5 b(ge,)0 4830 y Fy(p)46 4844 y Fv(k)116 4830 y Fs(\030)223 4795 y Fx(2)p 223 4810 V 223 4862 a(3)281 4795 y(ln)12 b Fv(k)p 281 4810 114 4 v 283 4862 a Fx(ln)g(2)405 4830 y Fq(.)109 4982 y Ft(In)35 b([T5])i(T)-8 b(alagrand)37 b(has)f(announced)f(a)h(pro)s(of)g(of)g(an)g(ev)m(en)h (stronger)f(theorem)h(in)e(the)i Fy(p)p Ft(-spin)e(SK)0 5127 y(mo)s(del)27 b(that)h(mak)m(es)g(use)f(of)g(general)i(iden)m (tities)f(b)s(et)m(w)m(een)g(replica)g(o)m(v)m(erlaps)h(pro)m(v)m(en)e (b)m(y)g(Ghirlanda)h(and)0 5273 y(Guerra)i([GG].)i(W)-8 b(e)32 b(sho)m(w)e(that)h(at)g(least)g(Theorem)g(1.8)g(also)g(holds)f (in)g(our)g(mo)s(del.)p eop %%Page: 11 11 11 10 bop 0 45 a Fl(REM)3402 b Fo(11)109 264 y Ft(A)36 b(\014nal)e(result)i(is)f(particular)h(to)g(the)f(Hop\014eld)g(mo)s (del)h(and)e(concerns)i(the)f(storage)i(prop)s(erties)e(of)0 409 y(the)k(mo)s(del.)64 b(Newman)38 b(has)g(pro)m(v)m(en)h(in)f([N1])h (that)g(for)f(small)h Fy(\013)p Ft(,)i(the)e(Hamiltonian)g(has)g(deep)f (lo)s(cal)0 555 y(minima)e(in)f(the)h(vicinit)m(y)h(of)f(eac)m(h)h (pattern.)57 b(Here)37 b(w)m(e)f(sho)m(w)g(a)g(somewhat)g(con)m(v)m (erse)h(result,)h(stating)0 700 y(that)26 b(if)g Fy(\013)g Ft(is)g(not)g(to)s(o)g(small,)h(then)f(small)g(neigh)m(b)s(orho)s(o)s (ds)e(of)i(the)g(patterns)f(ha)m(v)m(e)i(asymptotically)h(mass)0 845 y(zero.)48 b(In)32 b(other)g(w)m(ords,)h(none)f(of)h(the)g (patterns)f(falls)h(in)m(to)h(one)e(of)h(the)g('lumps'.)46 b(This)32 b(giv)m(es)i(the)e(\014nal)0 991 y(justi\014cation)c(to)g (call)g(the)g(phase)e(transition)i(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(observ)m(ed)g (a)f(transition)h(to)g(a)f(gen)m(uine)h Fq(spin)i(glass)0 1136 y(phase)p Ft(.)0 1355 y Fc(Theorem)36 b(1.9:)91 b Fq(Supp)-5 b(ose)33 b(that)h Fy(\013)e Fq(satis\014es)h Fy(\013\014)1825 1369 y Fv(p)1868 1355 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))26 b Fy(>)f Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2259 1322 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)2431 1355 y Fq(.)41 b(Then)33 b(ther)-5 b(e)33 b(exists)f(a)g Fy(\016)d Fs(2)c Ft(\(0)p Fy(;)3577 1319 y Fx(1)p 3576 1334 38 4 v 3576 1386 a Fv(p)3625 1355 y Ft(\))0 1500 y Fq(and)203 1477 y Ft(\026)177 1500 y Fy(N)35 b Fs(2)25 b Fk(N)45 b Fq(such)33 b(that)g(for)h(al)5 b(l)33 b Fy(N)i Fs(\025)1367 1477 y Ft(\026)1341 1500 y Fy(N)10 b Fq(,)993 1802 y Fk(P)p Ft([arg)18 b(sup)c Fs(j)p Fy(H)1470 1816 y Fv(N)1539 1802 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b(2)1801 1680 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1849 1715 y Fi([)1832 1908 y Fv(\026)p Fx(=1)2014 1802 y Fy(B)2083 1816 y Fv(\016)2123 1802 y Ft(\()p Fy(\030)2202 1764 y Fv(\026)2251 1802 y Ft(\)])26 b Fs(\024)e Fy(N)2515 1764 y Fr(\000)p Fv(m)2641 1802 y Fy(;)762 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(32\))0 2112 y Fq(wher)-5 b(e)39 b Fy(B)331 2126 y Fv(\016)370 2112 y Ft(\()p Fy(\030)449 2079 y Fv(\026)498 2112 y Ft(\))f Fq(is)g(the)f Fy(N)10 b(\016)s Fq(-b)-5 b(al)5 b(l)39 b(ar)-5 b(ound)39 b Fy(\030)1515 2079 y Fv(\026)1601 2112 y Fq(in)e(the)h(sp)-5 b(ac)g(e)39 b Fk(R)2175 2079 y Fv(N)2287 2112 y Fq(with)f(r)-5 b(esp)g(e)g(ct)39 b(to)f(the)g(Hamming)g(met-)0 2257 y(ric.)76 b(In)44 b(p)-5 b(articular,)50 b(ther)-5 b(e)45 b(exists)f(an)h Fy(\013)1499 2271 y Fv(sp)1621 2257 y Ft(=)h Fy(\013)1796 2271 y Fv(sp)1872 2257 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(\))f Fq(such)f(that)i (\(1.32\))f(holds)h(for)f(al)5 b(l)44 b Fy(\013)j(>)f(\013)3556 2271 y Fv(sp)3632 2257 y Fq(.)0 2402 y(F)-7 b(urthermor)i(e,)794 2607 y Ft(arg)17 b(sup)d Fs(j)p Fy(H)1190 2621 y Fv(N)1259 2607 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)36 b Fy(=)-55 b Fs(2)1521 2486 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1569 2521 y Fi([)1551 2714 y Fv(\026)p Fx(=1)1733 2607 y Fy(B)1802 2621 y Fv(\016)1842 2607 y Ft(\()p Fy(\030)1921 2570 y Fv(\026)1970 2607 y Ft(\)])31 b(ev)m(en)m(tually)95 b Fk(P)21 b Fs(\000)f Fy(a:s:)562 b Ft(\(1)p Fy(:)p Ft(33\))0 3029 y(The)32 b(pro)s(of)g(of)g(this)h(result)f(is)h(based)f(on)h(the)f (comparison)h(b)s(et)m(w)m(een)g(the)g(ground)e(state)j(energy)f(of)g (the)0 3175 y(system)i(and)e(an)i(estimate)h(on)e(the)h(v)-5 b(alues)34 b(of)h(the)g(Hamiltonian)g(in)f(the)h(balls)g(around)e(the)i (patterns.)0 3320 y(While)d(the)f(former)f(increases)i(as)f Fy(N)1290 3255 y Fs(p)p 1365 3255 59 4 v 1365 3320 a Fy(\013)q Ft(,)g(the)g(latter)h(is)f(almost)h(constan)m(t)g(and)e(with) h(high)f(probabilit)m(y)0 3466 y(close)i(to)f Fy(N)10 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))553 3433 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)725 3466 y Ft(.)109 3611 y(The)35 b(remainder)f(of)h(this)g(pap)s (er)f(is)h(organized)h(as)f(follo)m(ws.)56 b(In)34 b(Chapter)h(2,)i(w)m (e)e(explain)g(the)h(ideas)0 3757 y(b)s(ehind)28 b(the)h(pro)s(of)g(of) h(the)f(b)s(ounds)f(on)h(the)h(critical)h(temp)s(erature)e(b)m(y)h (calculating)h(the)f(corresp)s(onding)0 3902 y(quan)m(tities)37 b(in)e(the)g(REM.)h(In)f(Chapter)g(3,)i(Theorem)e(1.1)i(is)e(pro)m(v)m (ed.)56 b(Chapter)35 b(4)h(is)f(dev)m(oted)i(to)f(the)0 4047 y(lo)m(w)m(er)44 b(and)e(the)h(upp)s(er)d(b)s(ound)h(on)h(the)h (critical)i Fy(\014)i Ft(\(as)d(w)m(ell)f(as)g(the)g(pro)s(of)f(of)h (Corollary)g(1.3\).)79 b(In)0 4193 y(Chapter)27 b(5)g(w)m(e)h(pro)m(v)m (e)g(Theorem)e(1.4)j(In)d(Chapter)g(6)i(w)m(e)g(pro)m(v)m(e)g(the)f (results)g(on)g(the)g(distribution)f(of)i(the)0 4338 y(replica)j(o)m(v)m(erlap,)h(Theorems)e(1.5)i(to)f(1.8.)42 b(In)29 b(Chapter)h(8)h(w)m(e)g(pro)m(v)m(e)g(Theorem)f(1.9.)0 4587 y Fz(2.)41 b(Second)h(Momen)m(t)f(Metho)s(d:)56 b(The)42 b(REM)0 4836 y Ft(This)32 b(section)h(is)f(mean)m(t)i(to)f (giv)m(e)g(a)g(p)s(edagogical)h(exp)s(osition)f(of)g(T)-8 b(alagrand's)33 b(truncated)f(second)g(mo-)0 4982 y(men)m(t)42 b(metho)s(d)g([T3,T4])h(in)f(the)g(con)m(text)i(of)e(the)g(simplest)g (p)s(ossible)g(setting,)k(the)c(random)g(energy)0 5127 y(mo)s(del.)e(A)30 b(more)g(detailed)g(exp)s(osition)g(can)g(also)g(b)s (e)f(found)f(in)i([B2])g(and)f([T6].)41 b(Since)30 b(the)g(application) 0 5273 y(of)d(this)f(metho)s(d)g(in)g(our)g(case)i(will)e(b)s(ecome)h (rapidly)f(somewhat)h(tec)m(hnical)h(in)f(our)f(case,)i(w)m(e)f(still)g (\014nd)e(it)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 0 45 a Fo(12)3243 b Fl(Chapter)25 b(2)0 264 y Ft(useful)g(to)i(giv)m(e)h(the)e(reader)h(an)f(outline)h(in)e(a)i (non-tec)m(hnical)h(con)m(text)2412 231 y Fx(9)2455 264 y Ft(.)39 b(Moreo)m(v)m(er,)29 b(the)e(REM)f(pro)m(vides)0 409 y(imp)s(ortan)m(t)31 b(b)s(ounds)d(for)i(the)g(real)h(mo)s(del.)109 555 y(W)-8 b(e)36 b(will)e(no)m(w)g(sho)m(w)h(ho)m(w)f(this)g(metho)s (d)g(w)m(orks)g(b)m(y)g(using)g(it)g(to)h(compute)g(the)f(free)h (energy)f(of)h(the)0 700 y(REM.)c(Note)g(\014rst)f(that)h(in)f (general,)945 838 y Fy(@)5 b(F)1056 852 y Fv(N)s(;\014)p 945 879 243 4 v 1012 962 a Fy(@)g(\014)1224 900 y Ft(=)25 b Fs(\000)1420 838 y Ft(1)p 1402 879 83 4 v 1402 962 a Fy(N)1495 900 y Fs(G)1549 914 y Fv(N)s(;\014)1681 900 y Ft([)p Fy(H)1782 914 y Fv(N)1850 900 y Ft(])h Fs(\024)2026 838 y Ft(1)p 2008 879 V 2008 962 a Fy(N)2102 900 y Fk(E)f Ft([)q(sup)2249 972 y Fv(\033)2355 900 y Fs(j)p Fy(H)2456 914 y Fv(N)2524 900 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)p Ft(])p Fy(:)749 b Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(1\))0 1100 y(Moreo)m(v)m(er,)33 b(since)660 1294 y Fk(P)15 b Ft([sup)803 1366 y Fv(\033)908 1294 y Fs(j)p Fy(H)1009 1308 y Fv(N)1078 1294 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)27 b Fy(>)d(tN)10 b Ft(])26 b Fs(\024)f Ft(2)1658 1256 y Fv(N)1727 1294 y Fk(P)15 b Ft([)p Fs(j)p Fy(H)1923 1308 y Fv(N)1993 1294 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b Fy(>)f(tN)10 b Ft(])26 b Fs(\024)e Ft(2)2572 1256 y Fv(N)7 b Fx(+1)2734 1294 y Fy(e)2776 1256 y Fr(\000)2844 1232 y Fm(t)2870 1213 y Fn(2)2905 1232 y Fm(N)p 2844 1242 115 4 v 2886 1278 a Fn(2)2974 1294 y Fy(:)474 b Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(2\))0 1495 y(from)30 b(this)g(it)h(follo)m(ws)h(easily)f(that)857 1687 y(1)p 838 1728 83 4 v 838 1811 a Fy(N)932 1749 y Fk(E)25 b Ft([)q(sup)1079 1821 y Fv(\033)1185 1749 y Fy(H)1261 1763 y Fv(N)1329 1749 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)])i Fs(\024)1602 1667 y(p)p 1677 1667 197 4 v 1677 1749 a Ft(2)15 b(ln)h(2)21 b(+)e(2)2139 1607 y Fr(1)2109 1625 y Fi(Z)2025 1848 y Fr(p)p 2086 1848 159 4 v 2086 1903 a Fx(2)12 b(ln)g(2)2279 1749 y Fy(e)2321 1711 y Fr(\000)p Fv(N)7 b Fx(\()2482 1687 y Fm(t)2508 1668 y Fn(2)p 2482 1697 62 4 v 2497 1733 a(2)2554 1711 y Fr(\000)p Fx(ln)12 b(2\))2753 1749 y Fy(dt)1506 2104 y Fs(\024)1602 2022 y(p)p 1677 2022 197 4 v 1677 2104 a Ft(2)j(ln)h(2)21 b(+)e Fy(N)2068 2067 y Fr(\000)p Fx(1)2166 1962 y Fi(r)p 2257 1962 159 4 v 2313 2043 a Ft(2)p 2268 2083 137 4 v 2268 2167 a(ln)c(2)2415 2104 y Fy(:)3473 1896 y Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(3\))0 2296 y(This)26 b(is)h(the)g(upp)s(er)e(b)s(ound)f(on)j (the)g(deriv)-5 b(ativ)m(e)28 b(of)f(the)g(exp)s(ectation)i(of)e(the)g (free)g(energy)-8 b(.)40 b(Supp)s(ose)25 b(no)m(w)0 2442 y(that)31 b Fy(\014)f(>)374 2364 y Fs(p)p 450 2364 197 4 v 78 x Ft(2)15 b(ln)h(2)25 b(=)g Fy(\014)824 2409 y Fr(0)850 2442 y Ft(.)41 b(Con)m(v)m(exit)m(y)32 b(of)f(the)f(free)h (energy)f(then)g(implies)h(that)1235 2635 y Fk(E)26 b Fy(F)1364 2649 y Fv(N)s(;\014)1526 2635 y Fs(\024)f Fk(E)h Fy(F)1750 2649 y Fv(N)s(;\014)1877 2631 y Fj(0)1932 2635 y Ft(+)20 b(\()p Fy(\014)26 b Fs(\000)20 b Fy(\014)2282 2598 y Fr(0)2307 2635 y Ft(\))p Fy(\014)2398 2598 y Fr(0)3473 2635 y Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(4\))0 2829 y(and)30 b(in)g(the)g(limit)772 3023 y(lim)15 b(sup)824 3100 y Fv(N)7 b Fr("1)1065 3023 y Fk(E)26 b Fy(F)1193 3037 y Fv(N)s(;\014)1356 3023 y Fs(\024)f(\000)1534 2961 y Fy(\014)1590 2928 y Fr(0)p Fx(2)p 1533 3002 118 4 v 1570 3085 a Ft(2)1682 3023 y(+)20 b Fy(\014)5 b(\014)1885 2985 y Fr(0)1937 3023 y Ft(=)2043 2961 y Fy(\014)2099 2928 y Fx(2)p 2043 3002 98 4 v 2069 3085 a Ft(2)2172 3023 y Fs(\000)19 b Ft(\()p Fy(\014)26 b Fs(\000)20 b Fy(\014)2521 2985 y Fr(0)2547 3023 y Ft(\))2582 2985 y Fx(2)2648 3023 y Fy(<)2755 2961 y(\014)2811 2928 y Fx(2)p 2755 3002 V 2781 3085 a Ft(2)2863 3023 y Fy(;)585 b Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(5\))0 3247 y(whic)m(h)38 b(b)m(y)g(de\014nition)g (means)h(that)g Fy(\014)1362 3214 y Fr(0)1426 3247 y Fs(\025)f Fy(\014)1586 3261 y Fn(REM)1730 3247 y Ft(.)65 b(In)38 b(the)g(case)i(of)e(the)h Fy(p)p Ft(-spin)e(Hop\014eld)h(mo)s (del,)j(the)0 3392 y(corresp)s(onding)28 b(calculations)k(will)e(b)s(e) f(iden)m(tical)i(to)f(those)g(ab)s(o)m(v)m(e,)h(except)g(for)e(the)h(b) s(ounds)d(on)j(the)f(ex-)0 3537 y(trema)23 b(of)f(the)g(Hamiltonian,)k (where)c(the)g(non)g(Gaussian)g(c)m(haracter)i(induces)d(somewhat)i (more)f(in)m(v)m(olv)m(ed)0 3683 y(calculations.)109 3828 y(The)33 b(basic)h(idea)h(b)s(ehind)c(T)-8 b(alagrand's)35 b(approac)m(h)f(to)g(pro)m(v)m(e)h(the)f(lo)m(w)m(er)g(b)s(ound)e (\(whic)m(h)i(he)f(did)g(for)0 3974 y(the)26 b Fy(p)p Ft(-spin)g(SK-mo)s(del)g(in)g([T4]\),)i(is)e(to)h(obtain)g(a)g(v)-5 b(ariance)27 b(estimate)h(on)e(the)h(partition)g(function.)39 b(This)0 4119 y(will)25 b(imply)f(that)h(the)g(exp)s(ectation)h(of)f (the)g(logarithm)g(b)s(eha)m(v)m(es)h(lik)m(e)f(the)g(logarithm)h(of)f (the)f(exp)s(ectation)0 4265 y(of)31 b(this)f(quan)m(tit)m(y)-8 b(.)42 b(In)30 b(the)g(REM,)h(one)g(w)m(ould)f(naiv)m(ely)i(compute)959 4438 y Fk(E)25 b Ft([)q Fy(Z)1123 4400 y Fn(REM)1116 4460 y Fv(N)s(;\014)1272 4400 y Fx(2)1313 4438 y Ft(])g(=)g Fk(E)1514 4452 y Fv(\033)n(;\033)1620 4433 y Fj(0)1655 4438 y Fk(E)h Fy(e)1767 4400 y Fv(\014)1812 4346 y Fr(p)p 1878 4346 65 4 v 1878 4400 a Fv(N)6 b Fx(\()p Fv(X)2030 4409 y Fm(\033)2073 4400 y Fx(+)p Fv(X)2189 4417 y Fm(\033)2228 4404 y Fj(0)2256 4400 y Fx(\))1363 4695 y Ft(=)25 b(2)1504 4658 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(N)1682 4513 y Fi(0)1682 4676 y(@)1780 4609 y(X)1761 4805 y Fv(\033)r Fr(6)p Fx(=)p Fv(\033)1905 4786 y Fj(0)1946 4695 y Fy(e)1988 4658 y Fv(N)7 b(\014)2097 4630 y Fn(2)2157 4695 y Ft(+)2248 4609 y Fi(X)2291 4800 y Fv(\033)2394 4695 y Fy(e)2436 4658 y Fx(2)p Fv(N)g(\014)2581 4630 y Fn(2)2622 4513 y Fi(1)2622 4676 y(A)1363 4977 y Ft(=)25 b Fy(e)1501 4940 y Fv(N)7 b(\014)1610 4912 y Fn(2)1665 4876 y Fi(h)1708 4977 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Ft(2)1945 4940 y Fr(\000)p Fv(N)2071 4977 y Ft(\))h(+)f(2)2263 4940 y Fr(\000)p Fv(N)2389 4977 y Fy(e)2431 4940 y Fv(N)7 b(\014)2540 4912 y Fn(2)2580 4876 y Fi(i)2638 4977 y Fy(:)3473 4711 y Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(6\))p 0 5085 546 4 v 109 5156 a Fp(9)147 5182 y Fo(Note)28 b(that)g(of)f(course)i(m)n(uc)n(h)e(sharp)r (er)i(results)h(than)e(those)g(presen)n(ted)i(here)e(can)g(b)r(e)h (obtained)f(in)g(the)h(REM)e(when)0 5273 y(making)e(use)h(of)f(its)i (sp)r(ecial)g(features.)36 b(See)26 b(e.g.)35 b([BKL])27 b(for)e(a)h(full)g(analysis)g(of)f(the)i(\015uctuations)f(of)f(the)h (free)g(energy)-6 b(.)p eop %%Page: 13 13 13 12 bop 0 45 a Fl(REM)3402 b Fo(13)0 264 y Ft(The)39 b(second)h(term)g(in)g(the)g(brac)m(k)m(ets)h(is)f(exp)s(onen)m(tially) h(small)f(if)g(and)f(only)h(if)g Fy(\014)2929 231 y Fx(2)3011 264 y Fy(<)h Ft(ln)15 b(2,)43 b(and)c(this)0 409 y(cannot)33 b(b)s(e)f(the)g(critical)j(v)-5 b(alue)33 b(since)g(it)f(violates)j (the)d(upp)s(er)f(b)s(ound)f Fy(\014)2537 376 y Fr(0)2595 409 y Ft(ab)s(o)m(v)m(e.)2846 376 y Fx(10)2971 409 y Ft(The)i(p)s(oin)m(t)h(is)f(that)0 555 y(while)i(in)g(the)g (computation)h(of)f Fk(E)26 b Fy(e)1264 522 y Fx(2)q Fv(\014)1345 467 y Fr(p)p 1411 467 65 4 v 1411 522 a Fv(N)6 b(X)1535 531 y Fm(\033)1583 555 y Ft(,)35 b(the)f(dominan)m(t)g (con)m(tribution)h(comes)g(from)f(the)g(part)g(of)0 700 y(the)29 b(distribution)f(of)i Fy(X)827 714 y Fv(\033)905 700 y Ft(around)e Fy(X)1287 714 y Fv(\033)1361 700 y Ft(=)d(2)p Fy(\014)1558 623 y Fs(p)p 1634 623 83 4 v 77 x Fy(N)10 b Ft(,)30 b(whereas)f(in)f Fk(E)e Fy(Z)2358 667 y Fn(REM)2351 726 y Fv(N)s(;\014)2536 700 y Ft(the)j(main)g(part)g (is)g(con)m(tributed)0 845 y(b)m(y)g Fy(X)200 859 y Fv(\033)279 845 y Ft(around)f Fy(\014)642 768 y Fs(p)p 718 768 V 77 x Fy(N)10 b Ft(.)40 b(One)29 b(is)h(th)m(us)f(led)g(to)h(consider)f (the)h(second)f(momen)m(t)h(of)g(a)f(suitably)h(truncated)0 991 y(v)m(ersion)h(of)f Fy(Z)481 958 y Fn(REM)474 1017 y Fv(N)s(;\014)624 991 y Ft(.)41 b(Namely)-8 b(,)32 b(for)e Fy(c)c(>)f Ft(0,)1175 1191 y(~)1156 1214 y Fy(Z)1225 1176 y Fn(REM)1218 1236 y Fv(N)s(;\014)1368 1214 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))i(=)e Fk(E)1654 1228 y Fv(\033)1709 1214 y Fy(e)1751 1176 y Fv(\014)1795 1122 y Fr(p)p 1856 1122 65 4 v 1856 1176 a Fv(N)6 b(X)1980 1185 y Fm(\033)2028 1214 y Ft(1)-23 b(I)2083 1243 y Fr(f)p Fv(X)2180 1252 y Fm(\033)2223 1243 y Fv()25 b(c:)3473 1732 y Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(8\))0 2023 y(Moreo)m(v)m(er,)33 b(for)d Fy(\014)g(<)25 b(c)p Ft(,)1053 2208 y Fk(E)1148 2185 y Ft(~)1123 2208 y Fy(Z)1185 2222 y Fv(N)s(;\014)1322 2208 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))h(=)f Fk(E)h Fy(Z)1685 2222 y Fv(N)s(;\014)1838 2053 y Fi( )1909 2208 y Ft(1)21 b Fs(\000)2077 2147 y Fy(e)2119 2114 y Fr(\000)2187 2089 y Fn(1)p 2187 2099 31 4 v 2187 2136 a(2)2229 2114 y Fx(\()p Fv(c)p Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\))2418 2086 y Fn(2)2455 2114 y Fv(N)p 2077 2187 447 4 v 2082 2206 a Fs(p)p 2158 2206 83 4 v 77 x Fy(N)10 b Ft(\()p Fy(c)21 b Fs(\000)f Fy(\014)5 b Ft(\))2535 2053 y Fi(!)3473 2208 y Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(9\))0 2444 y(On)30 b(the)g(other)h(hand,)494 2671 y Fk(E)589 2648 y Ft(~)564 2671 y Fy(Z)626 2685 y Fv(N)s(;\014)763 2671 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))872 2633 y Fx(2)939 2671 y Ft(=)25 b(\(1)c Fs(\000)f Ft(2)1272 2633 y Fr(\000)p Fv(N)1398 2671 y Ft(\))1448 2570 y Fi(\020)1503 2671 y Fk(E)1598 2648 y Ft(~)1573 2671 y Fy(Z)1635 2685 y Fv(N)s(;\014)1772 2671 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))1881 2570 y Fi(\021)1936 2589 y Fx(2)1997 2671 y Ft(+)g(2)2133 2633 y Fr(\000)p Fv(N)2259 2671 y Fk(E)26 b Fy(e)2372 2633 y Fx(2)p Fv(\014)2452 2579 y Fr(p)p 2518 2579 65 4 v 2518 2633 a Fv(N)6 b(X)2642 2642 y Fm(\033)2690 2671 y Ft(1)-23 b(I)2745 2700 y Fr(f)p Fv(X)2842 2709 y Fm(\033)2885 2700 y Fv()1402 3765 y(>)1402 3792 y(>)1402 3820 y(<)1402 3983 y(>)1402 4010 y(>)1402 4038 y(>)1402 4065 y(:)1513 3726 y Fy(e)1555 3693 y Fr(\000)p Fv(N)7 b Fx(\(ln)12 b(2)p Fr(\000)p Fv(\014)1915 3666 y Fn(2)1951 3693 y Fx(\))1984 3726 y Fy(;)518 b Ft(if)15 b Fy(\014)30 b(<)2785 3690 y Fv(c)p 2783 3705 37 4 v 2783 3758 a Fx(2)2830 3726 y Fy(;)1524 3890 y Fv(e)1558 3859 y Fj(\000)p Fm(N)5 b Fn(\()p Fm(c)p Fj(\000)p Fm(\014)r Fn(\))1828 3841 y(2)1863 3859 y Fj(\000)p Fm(N)g Fn(\(ln)11 b(2)p Fj(\000)2146 3842 y Fm(c)2176 3823 y Fn(2)p 2146 3850 65 4 v 2163 3883 a(2)2221 3859 y(\))p 1524 3905 727 4 v 1712 3969 a Fx(\(2)p Fv(\014)s Fr(\000)p Fv(c)p Fx(\))1937 3915 y Fr(p)p 1998 3915 65 4 v 1998 3969 a Fv(N)2262 3926 y Fy(;)240 b Ft(if)2608 3890 y Fv(c)p 2606 3905 37 4 v 2606 3957 a Fx(2)2678 3926 y Fy(<)25 b(\014)31 b(<)25 b(c;)1513 4122 y(e)1555 4089 y Fx(\()p Fv(c)1615 4062 y Fn(2)1652 4089 y Fv(=)p Fx(2)p Fr(\000)p Fx(ln)12 b(2\))p Fv(N)1989 4045 y Fs(p)p 2064 4045 83 4 v 2064 4122 a Fy(N)2158 4078 y Fx(\()p Fv(\014)s Fr(\000)p Fv(c)p Fx(\))2347 4051 y Fn(2)p 2158 4101 227 4 v 2186 4154 a Fx(2)p Fv(\014)s Fr(\000)p Fv(c)2395 4122 y Fy(;)107 b Ft(if)15 b Fy(\014)30 b(>)25 b(c)3428 3834 y Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(12\))0 4300 y(Hence,)31 b(for)g(all)g Fy(c)25 b(<)721 4223 y Fs(p)p 797 4223 197 4 v 77 x Ft(2)15 b(ln)h(2,)31 b(and)e(all)j Fy(\014)e Fs(6)p Ft(=)25 b Fy(c)1075 4550 y Fk(E)1162 4488 y Ft(\()1216 4465 y(~)1197 4488 y Fy(Z)1259 4502 y Fv(N)s(;\014)1390 4488 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))c Fs(\000)f Fk(E)1706 4465 y Ft(~)1681 4488 y Fy(Z)1743 4502 y Fv(N)s(;\014)1880 4488 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\)\))2024 4455 y Fx(2)p 1162 4529 905 4 v 1379 4623 a Fk(E)26 b Ft([)1499 4600 y(~)1474 4623 y Fy(Z)1536 4637 y Fv(N)s(;\014)1673 4623 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))1782 4597 y Fx(2)1824 4623 y Ft(])2103 4550 y Fs(\024)f Fy(e)2241 4512 y Fr(\000)p Fv(N)7 b(g)r Fx(\()p Fv(c;\014)s Fx(\))2560 4550 y Fy(;)843 b Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(13\))0 4804 y(where)30 b Fy(g)s Ft(\()p Fy(c;)15 b(\014)5 b Ft(\))27 b Fy(>)e Ft(0.)41 b(Th)m(us,)30 b(b)m(y)g(Cheb)m(yshev's)g (inequalit)m(y)-8 b(,)32 b(it)f(is)g(immediate)g(that)694 5033 y(lim)670 5093 y Fv(N)7 b Fr("1)889 4972 y Ft(1)p 870 5012 83 4 v 870 5096 a Fy(N)964 5033 y Fk(E)47 b Ft(ln)1165 5010 y(~)1146 5033 y Fy(Z)1208 5047 y Fv(N)s(;\014)1339 5033 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))26 b(=)49 b(lim)1570 5093 y Fv(N)7 b Fr("1)1789 4972 y Ft(1)p 1771 5012 V 1771 5096 a Fy(N)1880 5033 y Ft(ln)15 b Fk(E)2065 5010 y Ft(~)2040 5033 y Fy(Z)2102 5047 y Fv(N)s(;\014)2239 5033 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))p Fy(;)108 b Fs(8)p Fy(c)25 b(<)2692 4951 y Fs(p)p 2768 4951 197 4 v 82 x Ft(2)15 b(ln)g(2)q Fy(:)438 b Ft(\(2)p Fy(:)p Ft(14\))p 0 5176 546 4 v 109 5247 a Fp(10)180 5273 y Fo(This)27 b(is)f(already)g(con)n(tained)g(in)g([D2])p eop %%Page: 14 14 14 13 bop 0 45 a Fo(14)3243 b Fl(Chapter)25 b(3)0 264 y Ft(Since)e(this)g(giv)m(es)i(a)e(lo)m(w)m(er)i(b)s(ound)c(of)i(the)g (free)g(energy)h(that)g(is)f(as)g(close)i(to)e(the)h(upp)s(er)d(b)s (ound)g(as)i(desired,)0 409 y(w)m(e)31 b(see)g(that)g(the)f(upp)s(er)f (b)s(ound)f(giv)m(es)k(in)e(fact)h(the)g(true)f(v)-5 b(alue.)109 555 y(This)26 b(is)h(a)g(remark)-5 b(able)27 b(feature)g(of)g(the)g(REM:)g(the)g(exp)s(ectation)h(of)f(the)g (logarithm)g(of)g(the)g(partition)0 700 y(function)i(coincides)i(with)e (the)h(log)g(of)g(the)g(exp)s(ectation)h(of)f(a)g(suitably)f(truncated) h(partition)g(function.)0 845 y(While)43 b(this)f(is)g(rather)g(sp)s (ecial)g(to)h(the)f(REM,)g(the)h(metho)s(d)e(is)h(general)h(enough)f (to)h(pro)m(vide)f(lo)m(w)m(er)0 991 y(b)s(ounds)28 b(in)i(the)h(far)f (more)g(complicated)j(situations,)e(as)g(w)m(e)f(will)h(see.)0 1226 y Fz(3.)41 b(The)h(Annealed)f(F)-10 b(ree)41 b(Energy)-10 b(.)0 1461 y Ft(In)25 b(this)h(Section)h(w)m(e)f(compute)h(the)f (anneled)g(free)g(energy)-8 b(.)40 b(Apart)26 b(from)f(the)h(in)m (trinsic)h(in)m(terest)g(this)f(can)0 1607 y(b)s(e)34 b(seen)g(as)h(the)g(computation)g(of)g(the)f(log-momen)m(t)j (generating)e(function)g(of)f(the)h(Hamiltonian)h(and)0 1752 y(this)23 b(will)h(b)s(e)f(a)h(basic)g(input)e(in)i(the)f(sequel.) 39 b(While)24 b(in)g(the)f(SK)g(mo)s(dels)g(this)h(is)f(a)h(t)m(w)m(o)h (line)f(computation,)0 1898 y(here)30 b(ev)m(en)g(this)g(will)h (require)e(a)i(considerable)f(e\013ort.)42 b(The)29 b(idea)i(is)f(to)g (use)g(T)-8 b(a)m(ylor)31 b(expansions)f(and)f(to)0 2043 y(exploit)e(the)g(fact)g(that)g(the)f(Hamiltonian)i(is)e(a)g(sum)g(of)g (a)h(v)m(ery)f(large)h(n)m(um)m(b)s(er)e(of)i(indep)s(enden)m(t)e (random)0 2189 y(v)-5 b(ariables.)41 b(Namely)567 2468 y Fk(E)26 b Fy(Z)699 2482 y Fv(N)s(;\014)861 2468 y Ft(=)f Fk(E)h Fy(e)1069 2430 y Fr(\000)p Fv(\014)t(H)1231 2439 y Fm(N)1294 2430 y Fx([)p Fv(!)r Fx(]\()p Fv(\033)r Fx(\))1515 2468 y Ft(=)f Fk(E)47 b Ft(exp)1856 2285 y Fi(0)1856 2449 y(@)1935 2468 y Fy(\014)2007 2339 y Fi(\022)2176 2406 y Fy(p)p Ft(!)p 2084 2447 255 4 v 2084 2530 a Fy(N)2167 2504 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2350 2339 y Fi(\023)2427 2334 y Fn(1)p 2427 2344 31 4 v 2427 2380 a(2)2489 2346 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2522 2381 y Fi(X)2519 2574 y Fv(\026)p Fx(=1)2738 2381 y Fi(X)2701 2576 y Fr(I)t(2P)2846 2585 y Fm(N)2921 2468 y Fy(\030)2965 2424 y Fv(\026)2961 2494 y Fr(I)3013 2285 y Fi(1)3013 2449 y(A)861 2823 y Ft(=)957 2702 y Fv(M)g Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))998 2737 y Fi(Y)988 2929 y Fv(\026)p Fx(=1)1170 2668 y Fi(")1223 2823 y Fk(E)47 b Ft(exp)1468 2668 y Fi( )1540 2823 y Fy(\014)1611 2695 y Fi(\022)1780 2762 y Fy(p)p Ft(!)p 1689 2802 255 4 v 1689 2886 a Fy(N)1772 2859 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1954 2695 y Fi(\023)2032 2689 y Fn(1)p 2032 2699 31 4 v 2032 2736 a(2)2130 2737 y Fi(X)2093 2932 y Fr(I)t(2P)2238 2941 y Fm(N)2313 2823 y Fy(\030)2357 2780 y Fv(\026)2353 2850 y Fr(I)2405 2668 y Fi(!#)861 3176 y Ft(=)957 3020 y Fi(")1010 3176 y Fk(E)g Ft(exp)1255 3020 y Fi( )1327 3176 y Fy(\014)1398 3047 y Fi(\022)1550 3114 y Fy(p)p Ft(!)p 1476 3155 219 4 v 1476 3238 a Fy(N)1559 3212 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1705 3047 y Fi(\023)1783 3042 y Fn(1)p 1783 3052 31 4 v 1783 3088 a(2)1845 3176 y Fy(Y)1918 3020 y Fi(!#)2043 3035 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2260 3176 y Fy(;)3473 2808 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(1\))0 3447 y(where)26 b(w)m(e)h(in)m(tro)s(duced)f(the)h (abbreviation)g Fy(Y)45 b Fs(\021)25 b Fy(N)1794 3414 y Fr(\000)1862 3384 y Fm(p)p 1862 3400 34 4 v 1863 3436 a Fn(2)1926 3379 y Fi(P)2022 3474 y Fr(I)t(2P)2167 3483 y Fm(N)2246 3447 y Fy(\030)2290 3414 y Fx(1)2286 3472 y Fr(I)2336 3447 y Ft(.)39 b(W)-8 b(e)28 b(no)m(w)e(expand)g(the)h(exp) s(onen)m(tial)0 3597 y(function)j(according)h(to)h(the)e(b)s(ound)1313 3492 y Fi(\014)1313 3547 y(\014)1313 3601 y(\014)1344 3597 y Fy(e)1386 3564 y Fv(x)1452 3597 y Fs(\000)20 b Ft(1)h Fs(\000)e Fy(x)i Fs(\000)1873 3561 y Fv(x)1914 3534 y Fn(2)p 1873 3576 77 4 v 1894 3628 a Fx(2)1961 3492 y Fi(\014)1961 3547 y(\014)1961 3601 y(\014)2017 3597 y Fy(<)k Fs(j)p Fy(x)p Fs(j)2215 3564 y Fx(3)2256 3597 y Fy(e)2298 3564 y Fr(j)p Fv(x)p Fr(j)2387 3597 y Ft(.)41 b(Th)m(us,)67 3735 y Fi(\014)67 3789 y(\014)67 3844 y(\014)67 3898 y(\014)67 3953 y(\014)97 3894 y Fk(E)188 3738 y Fi(")241 3894 y Ft(exp)395 3738 y Fi( )467 3894 y Fy(\014)538 3766 y Fi(\022)689 3832 y Fy(p)p Ft(!)p 616 3873 219 4 v 616 3956 a Fy(N)699 3930 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)845 3766 y Fi(\023)923 3760 y Fn(1)p 923 3770 31 4 v 923 3806 a(2)984 3894 y Fy(Y)1057 3738 y Fi(!#)1202 3894 y Fs(\000)20 b Ft(1)h Fs(\000)1461 3832 y Fy(\014)1517 3799 y Fx(2)1558 3832 y Fy(N)1641 3799 y Fx(2)p Fr(\000)p Fv(p)p 1461 3873 316 4 v 1596 3956 a Ft(2)1787 3735 y Fi(\014)1787 3789 y(\014)1787 3844 y(\014)1787 3898 y(\014)1787 3953 y(\014)937 4207 y Fs(\024)k Fk(E)1124 4052 y Fi(")1177 4207 y Fy(\014)1233 4169 y Fx(3)1289 4079 y Fi(\022)1440 4146 y Fy(p)p Ft(!)p 1367 4186 219 4 v 1367 4269 a Fy(N)1450 4243 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1596 4079 y Fi(\023)1674 4073 y Fn(3)p 1674 4083 31 4 v 1674 4120 a(2)1735 4207 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)1858 4169 y Fx(3)1915 4207 y Ft(exp)2069 4052 y Fi( )2141 4207 y Fy(\014)2212 4079 y Fi(\022)2363 4146 y Fy(p)p Ft(!)p 2290 4186 219 4 v 2290 4269 a Fy(N)2373 4243 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2519 4079 y Fi(\023)2597 4073 y Fn(1)p 2597 4083 31 4 v 2597 4120 a(2)2658 4207 y Fs(j)p Fy(Y)g Fs(j)2781 4052 y Fi(!)q(#)2927 4207 y Ft(+)g Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)3211 4169 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)3346 4207 y Ft(\))p Fy(:)3473 4048 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(2\))0 4470 y(Observ)m(e)26 b(that)h(the)g(quadratic)g(term)f (is)h(in)f(fact)h(just)f Fy(N)1931 4437 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2092 4470 y Ft(times)h(the)g(v)-5 b(ariance)27 b(of)g Fy(H)3012 4484 y Fv(N)3080 4470 y Ft(.)40 b(W)-8 b(e)27 b(will)g(sho)m(w)0 4615 y(in)33 b(a)h(momen)m(t)g(that)g(the)g(exp)s (ectation)h(on)e(the)h(righ)m(t-hand)f(side)h(of)f(\(3.2\))j(is)d(b)s (ounded)e(b)m(y)j(a)g(constan)m(t)0 4760 y(times)d Fy(N)326 4727 y Fx(3)p Fr(\000)430 4697 y Fn(3)p Fm(p)p 430 4713 65 4 v 447 4749 a Fn(2)510 4760 y Ft(.)41 b(Assuming)29 b(this)h(and)g(recalling)i(that)f Fy(p)25 b Fs(\025)g Ft(4,)31 b(it)g(is)f(eviden)m(t)i(that)870 4988 y(ln)15 b Fk(E)26 b Fy(Z)1093 5002 y Fv(N)1193 4988 y Ft(=)f Fy(M)10 b Ft(\()p Fy(N)g Ft(\))15 b(ln)1647 4860 y Fi(\022)1714 4988 y Ft(1)21 b(+)1882 4927 y Fy(\014)1938 4894 y Fx(2)1979 4927 y Fy(N)2062 4894 y Fx(2)p Fr(\000)p Fv(p)p 1882 4968 316 4 v 2016 5051 a Ft(2)2208 4988 y(\(1)g(+)e Fy(O)s Ft(\()p Fy(N)2589 4951 y Fr(\000)p Fx(1)2687 4988 y Ft(\))2722 4860 y Fi(\023)1193 5247 y Ft(=)1300 5185 y Fy(\013\014)1414 5152 y Fx(2)1456 5185 y Fy(N)p 1300 5226 239 4 v 1397 5309 a Ft(2)1550 5247 y(\(1)i(+)f Fy(O)s Ft(\()p Fy(N)1932 5209 y Fr(\000)p Fx(1)2029 5247 y Ft(\)\))p Fy(:)3473 5104 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(3\))p eop %%Page: 15 15 15 14 bop 0 45 a Fl(Annealed)26 b(F)-6 b(ree)27 b(Energy)2833 b Fo(15)0 264 y Ft(whic)m(h)22 b(is)g(what)g(w)m(e)h(w)m(an)m(t)g(to)g (pro)m(v)m(e.)39 b(W)-8 b(e)23 b(no)m(w)f(turn)f(to)i(the)g (non-trivial)g(part)f(of)g(the)g(pro)s(of,)i(the)e(estimate)0 409 y(of)28 b(the)g(remainder)f(on)h(the)g(righ)m(t-hand)f(side)h(of)g (\(3.2\).)42 b(T)-8 b(o)28 b(to)g(this,)h(w)m(e)f(decomp)s(ose)g(the)g (exp)s(onen)m(t)g(in)m(to)0 555 y(t)m(w)m(o)k(factors,)f(and)f(use)g (on)g(one)h(the)g(ob)m(vious)f(b)s(ound)f Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)25 b(\024)g Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2271 522 y Fr(\000)p Fx(1)2370 555 y Fy(N)2453 522 y Fv(p=)p Fx(2)2568 555 y Ft(.)41 b(This)29 b(yields)395 794 y Fk(E)464 693 y Fi(h)513 794 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)636 757 y Fx(3)693 794 y Ft(exp)847 693 y Fi(\020)901 794 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1109 732 y Fn(1)p 1110 742 31 4 v 1110 779 a(2)1156 794 y Fy(N)1250 726 y Fn(2)p Fj(\000)p Fm(p)p 1250 743 114 4 v 1291 779 a Fn(2)1379 794 y Fs(j)p Fy(Y)21 b Fs(j)1503 693 y Fi(\021i)1625 794 y Ft(=)k Fk(E)1812 693 y Fi(h)1855 794 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)1978 757 y Fx(3)2034 794 y Ft(exp)2189 693 y Fi(\020)2243 794 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2451 732 y Fn(1)p 2452 742 31 4 v 2452 779 a(2)2498 794 y Fy(N)2592 726 y Fn(2)p Fj(\000)p Fm(p)p 2592 743 114 4 v 2633 779 a Fn(2)2721 794 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)2856 729 y Fn(2)p 2856 739 34 4 v 2856 776 a Fm(p)2905 794 y Fs(j)p Fy(Y)g Fs(j)3039 723 y Fm(p)p Fj(\000)p Fn(2)p 3039 740 114 4 v 3079 776 a Fm(p)3168 693 y Fi(\021)q(i)1625 994 y Fs(\024)25 b Fk(E)1812 893 y Fi(h)1855 994 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)1978 957 y Fx(3)2034 994 y Ft(exp)2189 893 y Fi(\020)2243 994 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2452 929 y Fn(2)p 2452 939 34 4 v 2452 976 a Fm(p)2496 954 y Fr(\000)2564 929 y Fn(1)p 2564 939 31 4 v 2564 976 a(2)2610 994 y Fs(j)p Fy(Y)21 b Fs(j)2746 929 y Fn(2)p 2745 939 34 4 v 2745 976 a Fm(p)2794 893 y Fi(\021i)2906 994 y Fy(:)3473 894 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(4\))0 1246 y(The)30 b(p)s(oin)m(t)g(is)h(that) g(the)f(term)h Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)1210 1213 y Fx(2)p Fv(=p)1356 1246 y Ft(should)29 b(b)s(eha)m(v)m(e)i(almost)h(lik)m(e)f (the)g(square)f(of)h(a)f(Gaussian.)41 b(More)0 1392 y(precisely)-8 b(,)32 b(w)m(e)e(ha)m(v)m(e)i(the)f(follo)m(wing)g(b)s(ound.)0 1610 y Fc(Lemma)45 b(3.1:)118 b Fq(L)-5 b(et)38 b Fs(f)p Fy(X)991 1624 y Fv(i)1022 1610 y Fs(g)1067 1624 y Fv(i)p Fx(=1)p Fv(;:::)11 b(;N)1412 1610 y Fq(b)-5 b(e)38 b(a)h(se)-5 b(quenc)g(e)37 b(of)h(i.i.d.)g(Bernoul)5 b(li)39 b(variables,)h(taking) e(values)0 1755 y Ft(+1)p Fq(,)d Fs(\000)p Ft(1)f Fq(with)h(e)-5 b(qual)35 b(pr)-5 b(ob)g(ability.)50 b(Then)34 b Fs(8)p Fy(C)h Fs(2)28 b Ft(\(0)p Fy(;)15 b(e)1881 1722 y Fr(\000)p Fx(1)1980 1755 y Ft(\))p Fq(,)35 b(ther)-5 b(e)35 b(exists)g(an)g Fy(")2731 1722 y Fr(0)2731 1780 y Fv(C)2821 1755 y Fy(<)28 b Fs(1)34 b Fq(\(dep)-5 b(ending)36 b(also)0 1901 y(on)d Fy(p)p Fq(\))g(and)g(an)579 1878 y Ft(\026)552 1901 y Fy(N)i Fs(2)25 b Fk(N)45 b Fq(such)33 b(that)h(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(")26 b(>)f(")1718 1868 y Fr(0)1718 1926 y Fv(C)745 2197 y Fk(P)830 2042 y Fi(")883 2038 y(\014)883 2093 y(\014)883 2147 y(\014)883 2202 y(\014)883 2256 y(\014)914 2197 y Fy(N)997 2160 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)1221 2111 y Fi(X)1184 2306 y Fr(I)t(2P)1329 2315 y Fm(N)1404 2111 y Fi(Y)1403 2307 y Fv(l)p Fr(2I)1536 2197 y Fy(X)1611 2211 y Fv(l)1639 2038 y Fi(\014)1639 2093 y(\014)1639 2147 y(\014)1639 2202 y(\014)1639 2256 y(\014)1695 2197 y Fy(>)g(")1833 2042 y Fi(#)1912 2197 y Fs(\024)g Ft(2)15 b(exp)2222 2042 y Fi( )2294 2197 y Fs(\000)p Fy(C)2437 2160 y Fx(2)2488 2136 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2641 2071 y Fn(2)p 2641 2081 V 2641 2117 a Fm(p)2690 2136 y Fy(")2744 2071 y Fn(2)p 2743 2081 V 2743 2117 a Fm(p)p 2488 2176 305 4 v 2617 2260 a Ft(2)2803 2042 y Fi(!)2890 2197 y Fy(:)558 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(5\))0 2664 y Fu(Pro)s(of:)43 b Ft(The)23 b(pro)s(of)g(is)g(surprisingly)f(more)h(in)m(v)m(olv)m(ed)i (than)e(what)g(one)h(migh)m(t)g(at)g(\014rst)e(susp)s(ect)h(\(at)h (least,)0 2810 y(if)35 b(optimal)h(constan)m(ts)h(are)e(desired\).)55 b(W)-8 b(e)37 b(shall)e(sho)m(w)g(that)2195 2742 y Fi(P)2291 2837 y Fr(I)t(2P)2436 2846 y Fm(N)2515 2810 y Fy(X)2590 2824 y Fr(I)2675 2810 y Ft(is)g(a)h(function)f(of)3321 2742 y Fi(P)3417 2764 y Fv(N)3417 2837 y(i)p Fx(=1)3554 2810 y Fy(X)3629 2824 y Fv(i)0 2955 y Ft(only)-8 b(.)41 b(Since)29 b(the)h(distribution)e(of)i(this)f(latter)i(random)d(v)-5 b(ariable)30 b(is)g(w)m(ell)g(kno)m(wn,)f(all)h(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h (to)f(do)f(is)0 3101 y(to)34 b(\014nd)d(an)i(accurate)h(upp)s(er)d(b)s (ound)f(for)j(the)g(function)g(relating)h(the)f(t)m(w)m(o)h(quan)m (tities.)49 b(And)32 b(since)h(w)m(e)0 3246 y(are)i(only)g(in)m (terested)g(in)g(the)f(tail)i(b)s(eha)m(vior,)g(w)m(e)f(can)g(restrict) g(our)f(atten)m(tion)j(to)e(large)h(v)-5 b(alues)35 b(of)g(the)0 3392 y(sum)29 b(\(large)j(meaning)f(at)g(least)h(of)e(the)h(order)f(of) 1739 3315 y Fs(p)p 1815 3315 83 4 v 77 x Fy(N)10 b Ft(\).)109 3537 y(Supp)s(ose)29 b(that)663 3469 y Fi(P)759 3491 y Fv(N)759 3564 y(i)p Fx(=1)896 3537 y Fy(X)971 3551 y Fv(i)1027 3537 y Ft(=)c Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(.)41 b(Then)29 b(the)i(quan)m(tit)m(y)2215 3469 y Fi(P)2310 3564 y Fr(I)t(2P)2455 3573 y Fm(N)2534 3537 y Fy(X)2609 3551 y Fr(I)2690 3537 y Ft(is)f(giv)m(en)i(b)m(y)608 3754 y Fi(X)572 3949 y Fr(I)t(2P)717 3958 y Fm(N)791 3840 y Fy(X)866 3854 y Fr(I)942 3840 y Ft(=)1085 3722 y Fv(p)1038 3754 y Fi(X)1038 3949 y Fv(k)r Fx(=0)1170 3840 y Ft(\()p Fs(\000)p Ft(1\))1356 3803 y Fv(k)1401 3712 y Fi(\022)1479 3779 y Fy(l)1468 3903 y(k)1519 3712 y Fi(\023)o(\022)1652 3779 y Fy(N)f Fs(\000)19 b Fy(l)1660 3903 y(p)h Fs(\000)g Fy(k)1875 3712 y Fi(\023)1968 3840 y Ft(=)k Fs(b)p Fy(z)2149 3803 y Fv(p)2192 3840 y Fs(c)2247 3767 y Fi(\002)2286 3840 y Ft(\(1)d(+)f Fy(z)t Ft(\))2559 3803 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)2708 3840 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(z)t Ft(\))2981 3803 y Fv(l)3010 3767 y Fi(\003)3063 3840 y Fy(;)385 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(6\))0 4184 y(where)27 b Fs(b)p Fy(z)346 4151 y Fv(p)389 4184 y Fs(c)p Ft(\()p Fs(\001)p Ft(\))f Fs(\021)668 4148 y Fx(1)p 657 4163 59 4 v 657 4215 a Fv(p)p Fx(!)756 4148 y Fv(@)799 4121 y Fm(p)p 737 4163 119 4 v 737 4215 a Fv(@)t(z)818 4197 y Fm(p)880 4184 y Fs(\001)919 4079 y Fi(\014)919 4134 y(\014)919 4188 y(\014)950 4248 y Fv(z)s Fx(=0)1111 4184 y Ft(is)h(the)h(op)s(erator)f(whic)m(h)g (extracts)i(the)e(co)s(e\016cien)m(t)j(of)d(the)h(term)f Fy(z)3406 4151 y Fv(p)3475 4184 y Ft(from)0 4329 y(a)35 b(formal)f(p)s(o)m(w)m(er)g(series.)52 b(Note)36 b(that)f(it)f(will)h (b)s(e)e(imp)s(ortan)m(t)i(to)f(tak)m(e)i(in)m(to)f(accoun)m(t)h(that)f (the)f(sum)f(in)0 4475 y(\(3.6\))k(is)f(oscillating)i(to)e(get)h(a)f (useful)e(estimate.)58 b(T)-8 b(o)36 b(do)g(this,)g(w)m(e)g(consider)g (the)g(p)s(olynomial)f(on)h(the)0 4620 y(righ)m(t-hand)30 b(side)h(of)f(\(3.6\))i(as)f(an)f(analytic)i(function)e Fk(C)49 b Fs(!)26 b Fk(C)54 b Ft(and)29 b(use)i(Cauc)m(h)m(y's)f(in)m (tegral)j(form)m(ula)d(to)0 4766 y(write)588 4911 y Fs(b)p Fy(z)674 4874 y Fv(p)717 4911 y Fs(c)772 4838 y Fi(\002)810 4911 y Ft(\(1)21 b(+)f Fy(z)t Ft(\))1083 4874 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)1233 4911 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(z)t Ft(\))1506 4874 y Fv(l)1535 4838 y Fi(\003)1598 4911 y Ft(=)1748 4850 y(1)p 1705 4890 132 4 v 1705 4974 a(2)p Fy(\031)s(i)1863 4787 y Fi(I)1913 4994 y Fr(C)1975 4911 y Fy(z)2021 4874 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2214 4911 y Ft(\(1)h(+)e Fy(z)t Ft(\))2486 4874 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)2636 4911 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(z)t Ft(\))2909 4874 y Fv(l)2953 4911 y Fy(dz)t(;)402 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(7\))0 5127 y(for)31 b(an)m(y)g(closed)h(path)f Fs(C)36 b Ft(surrounding)29 b(the)i(origin)g(coun)m(terclo)s(c)m (kwise.)45 b(T)-8 b(o)32 b(ev)-5 b(aluate)32 b(this)f(in)m(tegral,)i(w) m(e)0 5273 y(apply)26 b(the)h(w)m(ell)h(kno)m(wn)e(saddle)h(p)s(oin)m (t)f(metho)s(d)h(\(see)g(for)g(instance)g([CH]\).)h(W)-8 b(e)28 b(c)m(ho)s(ose)f Fs(C)32 b Ft(to)c(b)s(e)e(a)h(circle)p eop %%Page: 16 16 16 15 bop 0 45 a Fo(16)3243 b Fl(Chapter)25 b(3)0 264 y Ft(around)k(the)i(origin)g(with)f(radius)1038 576 y Fy(r)d Ft(=)1257 515 y Fy(N)j Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)p 1213 555 356 4 v 1213 639 a Ft(2\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(p)p Ft(\))1595 421 y Fi( )1667 576 y Ft(1)h Fs(\000)1824 413 y Fi(s)p 1915 413 581 4 v 163 x Ft(1)f Fs(\000)2082 515 y Ft(4)p Fy(p)p Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(p)p Ft(\))p 2082 555 402 4 v 2093 639 a(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))2432 612 y Fx(2)2510 421 y Fi(!)2597 576 y Fy(:)851 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(8\))0 906 y(Supp)s(ose)28 b(that)563 862 y Fx(4)p Fv(p)p Fx(\()p Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(p)p Fx(\))p 563 885 290 4 v 571 937 a(\()p Fv(N)g Fr(\000)p Fx(2)p Fv(l)p Fx(\))808 919 y Fn(2)888 906 y Fy(<)25 b(\024)h(<)f Ft(1.)40 b(Then)29 b(the)g(argumen)m(t)h(of)g (the)g(square)f(ro)s(ot)h(is)f(p)s(ositiv)m(e.)42 b(Moreo)m(v)m(er,)0 1052 y(the)31 b(follo)m(wing)g(b)s(ounds)e(for)h Fy(r)j Ft(hold,)1278 1251 y Fy(p)p 1167 1291 269 4 v 1167 1374 a(N)d Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)1472 1312 y Fs(\024)25 b Fy(r)i Fs(\024)1855 1251 y Fy(p)p 1743 1291 V 1743 1374 a(N)j Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)2023 1312 y Ft(\(1)h(+)e Fy(C)2279 1326 y Fx(1)2320 1312 y Ft(\()p Fy(\024)p Ft(\)\))p Fy(;)971 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(9\))0 1573 y(where)30 b Fy(C)328 1587 y Fx(1)399 1573 y Ft(increases)h(from)f(zero)h(to)g(some) g(\014nite)f(constan)m(t)i(as)f Fy(\024)f Ft(v)-5 b(aries)31 b(from)f(zero)h(to)g(1.)109 1720 y(Indeed,)433 1649 y Fs(p)p 508 1649 209 4 v 508 1720 a Ft(1)21 b Fs(\000)f Fy(x)33 b Ft(is)f Fy(C)915 1687 y Fr(1)1024 1720 y Ft(for)h(all)g Fs(j)p Fy(x)p Fs(j)d Fy(<)f Ft(1.)48 b(Therefore,)33 b(for)g(all)g Fy(\024)d(<)f Ft(1,)k(w)m(e)h(can)f(\014nd)e(a)i Fy(C)i(>)29 b Ft(0)k(suc)m(h)0 1866 y(that)195 1794 y Fs(p)p 271 1794 V 72 x Ft(1)20 b Fs(\000)g Fy(x)26 b Fs(\025)e Ft(1)17 b Fs(\000)760 1830 y Fv(x)p 760 1845 42 4 v 762 1897 a Fx(2)828 1866 y Fs(\000)f Fy(C)7 b(x)1039 1833 y Fx(2)1079 1866 y Ft(,)29 b(for)g(all)g Fs(j)p Fy(x)p Fs(j)d Fy(<)f(\024)p Ft(.)40 b(Ob)m(viously)-8 b(,)29 b Fy(C)35 b Ft(tends)28 b(to)2640 1830 y Fx(1)p 2640 1845 37 4 v 2640 1897 a(8)2715 1866 y Ft(as)h Fy(\024)g Ft(tends)f(to)h(zero.)41 b(This)0 2011 y(implies)32 b(the)h(upp)s(er)d (b)s(ound.)44 b(On)32 b(the)g(other)h(hand,)1859 1940 y Fs(p)p 1934 1940 209 4 v 1934 2011 a Ft(1)21 b Fs(\000)f Fy(x)28 b Fs(\024)g Ft(1)22 b Fs(\000)2440 1975 y Fv(x)p 2440 1990 42 4 v 2442 2042 a Fx(2)2492 2011 y Ft(,)33 b(for)f(all)h Fy(x)c Fs(\025)f(\000)p Ft(1,)33 b(whic)m(h)f(yields)0 2157 y(the)f(lo)m(w)m(er)g(b)s(ound.)109 2304 y(The)f(con)m(tour)h(in)m (tegral)h(in)e(\(3.7\))i(then)e(b)s(ecomes)170 2575 y Fy(I)i Fs(\021)367 2513 y Ft(1)p 324 2554 132 4 v 324 2637 a(2)p Fy(\031)s(i)481 2451 y Fi(I)532 2658 y Fv(C)608 2575 y Fy(z)654 2537 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)846 2575 y Ft(\(1)21 b(+)f Fy(z)t Ft(\))1119 2537 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)1269 2575 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(z)t Ft(\))1542 2537 y Fv(l)1586 2575 y Fy(dz)242 2872 y Ft(=)351 2811 y(1)p 324 2851 101 4 v 324 2935 a(2)p Fy(\031)499 2730 y Fv(\031)456 2749 y Fi(Z)430 3005 y Fr(\000)p Fv(\031)567 2872 y Ft(exp)721 2799 y Fi(\000)763 2872 y Fs(\000)p Fy(ip#)15 b Ft(ln)f Fy(r)23 b Ft(+)d(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(l)r Ft(\))15 b(ln\(1)21 b(+)f Fy(r)s(e)1887 2835 y Fv(i#)1961 2872 y Ft(\))h(+)f Fy(l)d Ft(ln\(1)k Fs(\000)f Fy(r)s(e)2506 2835 y Fv(i#)2580 2872 y Ft(\))2615 2799 y Fi(\001)2687 2872 y Fy(d#)25 b Fs(\021)2948 2811 y Ft(1)p 2920 2851 V 2920 2935 a(2)p Fy(\031)3095 2730 y Fv(\031)3052 2749 y Fi(Z)3027 3005 y Fr(\000)p Fv(\031)3164 2872 y Fy(e)3206 2835 y Fv(g)r Fx(\()p Fv(#)p Fx(\))3364 2872 y Fy(d#:)3428 3099 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(10\))0 3245 y(As)h(usual,)h(w)m(e)g(expand)f(the)g(function)g Fy(g)k Ft(around)25 b(its)i(maxim)m(um)f(\(whic)m(h)h(happ)s(ens)d(to)j(lie)g (at)g Fy(#)f Ft(=)e(0\))k(and)0 3390 y(try)i(to)h(con)m(trol)h(the)f (error.)40 b(This)30 b(yields)325 3710 y Fy(I)i Ft(=)25 b(exp)647 3555 y Fi( )719 3710 y Fy(g)s Ft(\(0\))d(+)1004 3649 y(\(2)p Fy(\031)s Ft(\))1174 3616 y Fx(3)p 1004 3689 213 4 v 1075 3773 a Ft(3!)1325 3710 y(sup)1242 3791 y Fv(\020)t Fr(2)p Fx([)p Fr(\000)p Fv(\031)r(;\031)r Fx(\))1560 3710 y Fy(g)1606 3673 y Fx(\(3\))1705 3710 y Ft(\()p Fy(\020)7 b Ft(\))1822 3555 y Fi(!)1958 3568 y Fv(\031)1914 3587 y Fi(Z)1889 3843 y Fr(\000)p Fv(\031)2026 3710 y Fy(e)2079 3648 y Fm(#)2118 3630 y Fn(2)p 2079 3658 75 4 v 2101 3695 a(2)2164 3673 y Fv(g)2201 3645 y Fn(\(2\))2287 3673 y Fx(\(0\))2399 3710 y Fy(d#)397 4075 y Ft(=)25 b Fy(r)537 4037 y Fr(\000)p Fv(p)636 4075 y Ft(\(1)c(+)e Fy(r)s Ft(\))906 4037 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)1055 4075 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(r)s Ft(\))1326 4037 y Fv(l)1369 4075 y Ft(exp)1523 3919 y Fi( )1606 4013 y Ft(\(2)p Fy(\031)s Ft(\))1776 3980 y Fx(3)p 1606 4054 213 4 v 1677 4137 a Ft(3!)1928 4075 y(sup)1844 4155 y Fv(\020)t Fr(2)p Fx([)p Fr(\000)p Fv(\031)r(;\031)r Fx(\))2163 4075 y Fy(g)2209 4037 y Fx(\(3\))2307 4075 y Ft(\()p Fy(\020)7 b Ft(\))2424 3919 y Fi(!)2560 3933 y Fv(\031)2517 3951 y Fi(Z)2491 4208 y Fr(\000)p Fv(\031)2628 4075 y Fy(e)2681 4013 y Fm(#)2720 3994 y Fn(2)p 2681 4023 75 4 v 2703 4059 a(2)2767 4037 y Fv(g)2804 4010 y Fn(\(2\))2889 4037 y Fx(\(0\))3002 4075 y Fy(d#)3428 3901 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(11\))0 4426 y(The)21 b(main)h(con)m (tribution)g(comes)h(from)e(the)h(term)g Fy(r)1773 4393 y Fr(\000)p Fv(p)1872 4426 y Ft(\(1)s(+)s Fy(r)s Ft(\))2108 4393 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)2258 4426 y Ft(\(1)s Fs(\000)s Fy(r)s Ft(\))2494 4393 y Fv(l)2522 4426 y Ft(.)38 b(Using)22 b(\(3.9\),)j(this)d(is)g(b)s(ounded)0 4571 y(b)m(y)343 4686 y Fy(r)387 4648 y Fr(\000)p Fv(p)486 4686 y Ft(\(1)f(+)e Fy(r)s Ft(\))756 4648 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)906 4686 y Ft(\(1)21 b Fs(\000)e Fy(r)s Ft(\))1176 4648 y Fv(l)1229 4686 y Ft(=)25 b(exp)15 b(\()q Fs(\000)p Fy(p)g Ft(ln)f Fy(r)23 b Ft(+)d(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(l)r Ft(\))15 b(ln)q(\(1)21 b(+)e Fy(r)s Ft(\))i(+)e Fy(l)f Ft(ln)o(\(1)j Fs(\000)f Fy(r)s Ft(\)\))1229 4858 y Fs(\024)25 b Ft(exp)15 b(\()q Fs(\000)p Fy(p)g Ft(ln)f Fy(p)20 b Ft(+)g Fy(p)15 b Ft(ln\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))h(+)f(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)19 b Fy(l)r Ft(\))p Fy(r)24 b Fs(\000)19 b Fy(l)r(r)s Ft(\))1229 5031 y Fs(\024)25 b Ft(exp)15 b(\()q Fs(\000)p Fy(p)g Ft(ln)f Fy(p)20 b Ft(+)g Fy(p)15 b Ft(ln\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))h(+)f(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)19 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))p Fy(r)s Ft(\))1229 5229 y Fs(\024)1336 5168 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))1675 5135 y Fv(p)p 1336 5208 382 4 v 1491 5291 a Fy(p)p Ft(!)1728 5168 y Fs(p)p 1804 5168 46 4 v 61 x Fy(pe)1892 5192 y Fv(C)1944 5201 y Fn(1)1980 5192 y Fx(\()p Fv(\024)p Fx(\))p Fv(p)2121 5229 y Fy(:)3428 4979 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(12\))p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 0 45 a Fl(Annealed)26 b(F)-6 b(ree)27 b(Energy)2833 b Fo(17)0 264 y Ft(The)30 b(in)m(tegral)i(in)e(\(3.11\))j(is)d (explicitly)190 439 y Fv(\031)147 457 y Fi(Z)121 714 y Fr(\000)p Fv(\031)258 581 y Fy(e)311 519 y Fm(#)350 501 y Fn(2)p 312 529 75 4 v 333 565 a(2)397 543 y Fv(g)434 516 y Fn(\(2\))519 543 y Fx(\(0\))632 581 y Fy(d#)25 b Fs(\024)854 457 y Fi(Z)857 718 y Fh(R)960 581 y Ft(exp)1115 453 y Fi(\022)1192 519 y Fy(#)1246 486 y Fx(2)p 1192 560 95 4 v 1217 643 a Ft(2)1313 453 y Fi(\022)1510 519 y Fy(l)r(r)p 1391 560 312 4 v 1391 643 a Ft(\(1)c Fs(\000)f Fy(r)s Ft(\))1662 617 y Fx(2)1733 581 y Fs(\000)1835 519 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(l)r Ft(\))p Fy(r)p 1835 560 338 4 v 1848 643 a Ft(\(1)h(+)f Fy(r)s Ft(\))2119 617 y Fx(2)2183 453 y Fi(\023\023)2348 581 y Fy(d#)25 b Ft(=)2570 398 y Fi(0)2570 562 y(@)2939 519 y Fy(\031)p 2660 560 613 4 v 2671 619 a Fx(\()p Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(l)p Fx(\))p Fv(r)p 2671 642 238 4 v 2680 694 a Fx(\(1+)p Fv(r)r Fx(\))2864 676 y Fn(2)2939 663 y Fs(\000)3122 627 y Fv(lr)p 3041 642 222 4 v 3041 694 a Fx(\(1)p Fr(\000)p Fv(r)r Fx(\))3226 676 y Fn(2)3284 398 y Fi(1)3284 562 y(A)3364 417 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)3493 581 y Fy(;)3428 808 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(13\))0 953 y(and)30 b(can)g(b)s(e)g(b)s (ounded)e(b)m(y)j(\(for)f(all)h Fy(N)41 b Ft(large)31 b(enough\))313 1094 y Fi(\022)380 1222 y Ft(\()p Fy(N)f Fs(\000)20 b Fy(l)r Ft(\))818 1160 y Fy(r)p 684 1201 312 4 v 684 1284 a Ft(\(1)h(+)f Fy(r)s Ft(\))955 1258 y Fx(2)1027 1222 y Fs(\000)g Fy(l)1292 1160 y(r)p 1158 1201 V 1158 1284 a Ft(\(1)h Fs(\000)e Fy(r)s Ft(\))1428 1258 y Fx(2)1480 1094 y Fi(\023)1547 1113 y Fr(\000)1615 1088 y Fn(1)p 1615 1098 31 4 v 1615 1135 a(2)1686 1222 y Fs(\024)25 b Fy(p)1828 1184 y Fr(\000)1896 1160 y Fn(1)p 1896 1170 V 1896 1206 a(2)1957 1094 y Fi(\022)2024 1222 y Ft(1)c Fs(\000)2338 1160 y Fy(p)2384 1127 y Fx(2)p 2192 1201 380 4 v 2192 1284 a Ft(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))2530 1258 y Fx(2)2583 1094 y Fi(\023)15 b(\022)2732 1222 y Ft(1)20 b Fs(\000)2899 1160 y Ft(2)p Fy(\024)p 2899 1201 98 4 v 2925 1284 a Ft(3)3008 1094 y Fi(\023)3090 1222 y Fy(:)313 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(14\))0 1459 y(Finally)-8 b(,)36 b(w)m(e)d(estimate)i(the)f(error)f(due)f(to)i (the)g(remainder)f(in)g(the)g(T)-8 b(a)m(ylor)35 b(expansion)e(in)g (\(3.11\).)51 b(One)0 1605 y(sho)m(ws)33 b(b)m(y)h(a)g(straigh)m(tforw) m(ard)g(computation)g(that)g(for)g(all)g Fy(\024;)15 b(\016)35 b(>)30 b Ft(0)k(there)g(exists)g(an)3114 1582 y(\026)3087 1605 y Fy(N)3160 1619 y Fv(\024;\016)3295 1605 y Fs(2)c Fk(N)46 b Ft(suc)m(h)0 1750 y(that)653 1896 y Fs(j)p Fy(g)724 1858 y Fx(\(3\))823 1896 y Ft(\()p Fy(#)p Ft(\))p Fs(j)26 b(\024)f Fy(p)p Ft(\(1)20 b(+)g Fy(C)1396 1910 y Fx(1)1437 1896 y Ft(\()p Fy(\024)p Ft(\)\))15 b(\()r(1)21 b(+)f Fy(\024)p Ft(\(1)h(+)f Fy(C)2112 1910 y Fx(1)2153 1896 y Ft(\()p Fy(\024)p Ft(\)\))h(+)f Fy(\016)s Ft(\))27 b(=)e Fy(pC)2734 1910 y Fx(3)2774 1896 y Ft(\()p Fy(\024;)15 b(\016)s Ft(\))p Fy(;)424 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(15\))0 2089 y(where)30 b Fy(C)328 2103 y Fx(3)394 2089 y Ft(=)25 b(1)31 b(for)f Fy(\024)25 b Ft(=)g Fy(\016)k Ft(=)c(0.)42 b(Hence,)31 b(the)g(error)f(committed)h(can)g(b)s(e)e(b)s (ounded)g(as)h(\(if)h Fy(N)k(>)3406 2066 y Ft(\026)3380 2089 y Fy(N)3453 2103 y Fv(\024;\016)3557 2089 y Ft(\))122 2357 y(exp)276 2202 y Fi( )359 2296 y Ft(\(2)p Fy(\031)s Ft(\))529 2263 y Fx(3)p 359 2336 213 4 v 430 2420 a Ft(3!)680 2357 y(sup)597 2438 y Fv(\020)t Fr(2)p Fx([)p Fr(\000)p Fv(\031)r(;\031)r Fx(\))915 2357 y Fy(g)961 2320 y Fx(\(3\))1060 2357 y Ft(\()p Fy(\020)7 b Ft(\))1177 2202 y Fi(!)1274 2357 y Fs(\024)25 b Ft(exp)1524 2229 y Fi(\022)1602 2296 y Ft(2)p Fy(\031)p 1602 2336 101 4 v 1617 2420 a Ft(3!)1713 2357 y Fy(p)p Ft(\(1)c(+)f Fy(C)2016 2371 y Fx(1)2057 2357 y Ft(\()p Fy(\024)p Ft(\)\))2229 2229 y Fi(\022)2297 2357 y Ft(1)h(+)f Fy(\024)p Ft(\(1)h(+)f Fy(C)2763 2371 y Fx(1)2804 2357 y Ft(\()p Fy(\024)p Ft(\)\))i(+)3166 2296 y Fy(C)3231 2310 y Fx(2)p 3084 2336 269 4 v 3084 2420 a Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)3364 2229 y Fi(\023\023)3513 2357 y Fy(:)3428 2548 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(16\))0 2694 y(This)30 b(follo)m(ws)h(from)f(the)h(exact)g (expression)g(for)f Fy(g)1741 2661 y Fx(\(3\))1839 2694 y Ft(,)778 2933 y Fy(g)824 2896 y Fx(\(3\))922 2933 y Ft(\()p Fy(#)p Ft(\))c(=)f Fy(ir)s(e)1285 2896 y Fv(i#)1374 2805 y Fi(\022)1441 2933 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(l)r Ft(\))1802 2872 y Fy(r)s(e)1888 2839 y Fv(i#)1982 2872 y Fs(\000)g Ft(1)p 1746 2912 429 4 v 1746 2995 a(\(1)h(+)f Fy(r)s(e)2024 2969 y Fv(i#)2098 2995 y Ft(\))2133 2969 y Fx(3)2205 2933 y Fs(\000)g Fy(l)2392 2872 y Ft(1)g(+)g Fy(r)s(e)2634 2839 y Fv(i#)p 2336 2912 V 2336 2995 a Ft(\()p Fy(r)s(e)2457 2969 y Fv(i#)2551 2995 y Fs(\000)g Ft(1\))2722 2969 y Fx(3)2775 2805 y Fi(\023)2857 2933 y Fy(;)546 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(17\))0 3166 y(whic)m(h)30 b(one)h(gets)g(through)f(straigh)m(tforw)m(ard)h(deriv)-5 b(ation.)109 3311 y(Inserting)30 b(the)h(b)s(ounds)d(\(3.12\),)33 b(\(3.14\),)g(and)c(\(3.15\))k(in)m(to)e(the)g(estimate)h(\(3.11\))h (then)d(giv)m(es)1218 3546 y Fy(I)i Fs(\024)1397 3485 y Ft(\()p Fy(N)e Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))1735 3452 y Fv(p)p 1397 3525 382 4 v 1552 3609 a Fy(p)p Ft(!)1789 3546 y Fy(e)1831 3509 y Fx(\()p Fv(C)1911 3518 y Fn(1)1947 3509 y Fx(\()p Fv(\024)p Fx(\)+)p Fv(C)2154 3518 y Fn(3)2190 3509 y Fx(\()p Fv(\024;\016)r Fx(\)\))p Fv(p)2417 3546 y Fy(;)986 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(18\))0 3773 y(and)30 b(th)m(us)680 3946 y Fy(f)749 3790 y Fi( )827 3859 y(X)821 4054 y Fv(i)p Fr(2N)980 3946 y Fy(X)1055 3960 y Fv(i)1086 3790 y Fi(!)1183 3946 y Fs(\024)1302 3884 y Ft(1)p 1290 3925 71 4 v 1290 4008 a Fy(p)p Ft(!)1372 3946 y Fy(e)1414 3908 y Fv(p)p Fx(\()p Fv(C)1531 3917 y Fn(1)1567 3908 y Fx(\()p Fv(\024)p Fx(\)+)p Fv(C)1774 3917 y Fn(3)1810 3908 y Fx(\()p Fv(\024;\016)r Fx(\)\))2015 3790 y Fi( )2087 3859 y(X)2092 4054 y Fv(i)p Fr(2I)2233 3946 y Fy(X)2308 3960 y Fv(i)2339 3790 y Fi(!)2411 3809 y Fv(p)2468 3946 y Fy(;)106 b(N)35 b Fs(\025)2830 3923 y Ft(\026)2803 3946 y Fy(N)2876 3960 y Fv(\024;\016)3428 3946 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(19\))0 4206 y(Let)43 b Fy(\032)p Ft(\()p Fy(\024;)15 b(\016)s Ft(\))47 b(=)d Fy(e)631 4173 y Fx(\()p Fv(C)711 4182 y Fn(1)748 4173 y Fx(\()p Fv(\024)p Fx(\)+)p Fv(C)955 4182 y Fn(3)990 4173 y Fx(\()p Fv(\024;\016)r Fx(\)\))p Fv(p)1217 4206 y Ft(,)h(for)d Fy(\024)j Fs(2)g Ft(\(0)p Fy(;)15 b Ft(1\))44 b(and)d Fy(\016)49 b(>)44 b Ft(0.)76 b(Then)42 b Fy(\032)g Ft(is)g(increasing)g(in)g Fy(\024)h Ft(and)0 4351 y(b)s(ounded)29 b(b)s(elo)m(w)j(b)m(y)f Fy(e)800 4318 y Fv(p)843 4351 y Ft(.)44 b(Th)m(us,)31 b(for)g(all)h Fy(C)i Fs(2)27 b Ft(\(0)p Fy(;)15 b(e)1785 4318 y Fr(\000)p Fv(p)1885 4351 y Ft(\),)32 b(w)m(e)g(can)g(\014nd)h(~) -48 b Fy(\024)27 b Fs(2)g Ft(\(0)p Fy(;)15 b Ft(1\))34 b(and)3046 4327 y(~)3042 4351 y Fy(\016)c(>)d Ft(0)32 b(suc)m(h)f(that)0 4497 y Fy(C)h Fs(\024)25 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024;)372 4473 y Ft(~)367 4497 y Fy(\016)5 b Ft(\))447 4464 y Fr(\000)p Fx(1)545 4497 y Ft(.)40 b(Let)31 b(no)m(w)1357 4686 y Fy(")1399 4700 y Fv(\024;\016)1528 4686 y Fs(\021)1624 4558 y Fi(\022)1702 4624 y Ft(4)p Fy(p)p 1702 4665 92 4 v 1722 4748 a(\024)1804 4558 y Fi(\023)1871 4576 y Fv(p=)p Fx(2)2013 4624 y Fy(\032)p Ft(\()p Fy(\024;)15 b(\016)s Ft(\))p 2013 4665 255 4 v 2104 4748 a Fy(p)p Ft(!)2278 4686 y Fy(:)1125 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(20\))0 4904 y(Supp)s(ose)29 b(that)i Fy(")25 b(>)g(")762 4932 y Fx(~)-39 b Fv(\024;)827 4915 y Fx(~)824 4932 y Fv(\016)894 4904 y Ft(and)30 b Fy(N)35 b Fs(\025)1301 4881 y Ft(\026)1275 4904 y Fy(N)1351 4932 y Fx(~)-39 b Fv(\024)o(;)1415 4915 y Fx(~)1412 4932 y Fv(\016)1452 4904 y Ft(.)41 b(Then,)29 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)h(that)292 5187 y Fk(P)362 5031 y Fi(")416 5187 y Fy(N)499 5149 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)691 5100 y Fi(X)685 5295 y Fv(i)p Fr(2N)844 5187 y Fy(X)919 5201 y Fv(i)975 5187 y Fy(>)1071 5086 y Fi(\020)1125 5187 y Fy("p)p Ft(!)15 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024)q(;)1433 5163 y Ft(~)1428 5187 y Fy(\016)5 b Ft(\))1508 5149 y Fr(\000)p Fx(1)1606 5086 y Fi(\021)1660 5104 y Fx(1)p Fv(=p)1775 5031 y Fi(#)1854 5187 y Fs(\024)25 b Ft(exp)2104 5058 y Fi(\022)2171 5187 y Fs(\000)2253 5125 y Ft(1)p 2253 5166 46 4 v 2253 5249 a(2)2324 5086 y Fi(\020)2378 5187 y Fy("p)p Ft(!)15 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024)q(;)2686 5163 y Ft(~)2681 5187 y Fy(\016)t Ft(\))2760 5149 y Fr(\000)p Fx(1)2858 5086 y Fi(\021)2913 5104 y Fx(2)p Fv(=p)3028 5058 y Fi(\023)3110 5187 y Fy(;)293 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(21\))p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 0 45 a Fo(18)3243 b Fl(Chapter)25 b(3)0 264 y Ft(b)m(y)30 b(the)h(standard)e(b)s(ound)g(on)h(sums)f(of)i(Bernoulli) g(v)-5 b(ariables.)41 b(On)30 b(the)g(other)h(hand,)e(since)328 510 y Fy(N)411 473 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)603 424 y Fi(X)597 619 y Fv(i)p Fr(2N)756 510 y Fy(X)831 524 y Fv(i)887 510 y Fy(>)983 410 y Fi(\020)1037 510 y Fy("p)p Ft(!)15 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024)r(;)1345 486 y Ft(~)1341 510 y Fy(\016)t Ft(\))1420 473 y Fr(\000)p Fx(1)1518 410 y Fi(\021)1572 428 y Fx(1)p Fv(=p)1713 510 y Fy(>)1809 410 y Fi(\020)1863 510 y Fy(")1908 539 y Fx(~)-39 b Fv(\024;)1973 522 y Fx(~)1970 539 y Fv(\016)2009 510 y Fy(p)p Ft(!)15 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024)q(;)2275 486 y Ft(~)2270 510 y Fy(\016)5 b Ft(\))2350 473 y Fr(\000)p Fx(1)2448 410 y Fi(\021)2502 428 y Fx(1)p Fv(=p)2643 510 y Ft(=)2739 382 y Fi(\022)2816 449 y Ft(4)p Fy(p)p 2816 490 92 4 v 2839 573 a Ft(~)-48 b Fy(\024)2918 382 y Fi(\023)2985 401 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)3428 510 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(22\))0 768 y(implies)31 b(that)1560 857 y(4)p Fy(pN)p 1457 898 380 4 v 1457 981 a Ft(\()p Fy(N)g Fs(\000)20 b Ft(2)p Fy(l)r Ft(\))1796 955 y Fx(2)1873 919 y Fy(<)29 b Ft(~)-49 b Fy(\024)26 b(<)f Ft(1)p Fy(;)1215 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(23\))0 1124 y(the)30 b(condition)g(follo)m(wing)g(\(3.8\))i (is)d(satis\014ed)h(and)e(hence)i(the)f(ab)s(o)m(v)m(e)i(b)s(ound)c(on) j Fy(f)10 b Ft(\()2926 1056 y Fi(P)3021 1151 y Fv(i)p Fr(2N)3185 1124 y Fy(X)3260 1138 y Fv(i)3290 1124 y Ft(\))30 b(is)f(v)-5 b(alid.)0 1270 y(Th)m(us)221 1506 y Fk(P)276 1377 y Fi(\024)325 1506 y Fy(N)408 1468 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)600 1419 y Fi(X)594 1614 y Fv(i)p Fr(2N)753 1506 y Fy(X)828 1520 y Fv(i)884 1506 y Fy(>)980 1405 y Fi(\020)1034 1506 y Fy("p)p Ft(!)15 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024)q(;)1342 1482 y Ft(~)1337 1506 y Fy(\016)5 b Ft(\))1417 1468 y Fr(\000)p Fx(1)1515 1405 y Fi(\021)1569 1424 y Fx(1)p Fv(=p)1700 1377 y Fi(\025)1773 1506 y Ft(=)25 b Fk(P)1939 1350 y Fi(")1993 1506 y Fy(N)2076 1468 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)2259 1444 y Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024;)2438 1420 y Ft(~)2433 1444 y Fy(\016)5 b Ft(\))p 2259 1485 255 4 v 2350 1568 a Fy(p)p Ft(!)2539 1350 y Fi( )2617 1419 y(X)2611 1614 y Fv(i)p Fr(2N)2770 1506 y Fy(X)2845 1520 y Fv(i)2876 1350 y Fi(!)2948 1369 y Fv(p)3015 1506 y Fy(>)25 b(")3153 1350 y Fi(#)1773 1824 y Fs(\025)g Fk(P)1939 1668 y Fi(")1993 1824 y Fy(N)2076 1786 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)2248 1824 y Fy(f)2317 1668 y Fi( )2395 1737 y(X)2389 1932 y Fv(i)p Fr(2N)2548 1824 y Fy(X)2623 1838 y Fv(i)2654 1668 y Fi(!)2751 1824 y Fy(>)g(")2889 1668 y Fi(#)2958 1824 y Fy(:)3428 1667 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(24\))0 2086 y(Hence,)31 b(b)m(y)g(\(3.21\))h(and)e (\(3.24\),)72 2340 y Fk(P)142 2185 y Fi(")196 2340 y Fy(N)279 2303 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)451 2340 y Fy(f)10 b Ft(\()541 2254 y Fi(X)547 2449 y Fv(i)p Fr(2I)687 2340 y Fy(X)762 2354 y Fv(i)793 2340 y Ft(\))26 b Fy(>)e(")991 2185 y Fi(#)1070 2340 y Fs(\024)h Ft(exp)1320 2212 y Fi(\022)1387 2340 y Fs(\000)1469 2279 y Ft(1)p 1469 2319 46 4 v 1469 2403 a(2)1540 2239 y Fi(\020)1595 2340 y Fy("p)p Ft(!)15 b Fy(\032)p Ft(\()s(~)-48 b Fy(\024)q(;)1902 2316 y Ft(~)1898 2340 y Fy(\016)t Ft(\))1977 2303 y Fr(\000)p Fx(1)2075 2239 y Fi(\021)2129 2258 y Fx(2)p Fv(=p)2245 2212 y Fi(\023)2337 2340 y Fs(\024)25 b Ft(exp)2587 2212 y Fi(\022)2654 2340 y Fs(\000)2736 2279 y Fy(C)2808 2246 y Fx(2)p Fv(=p)p 2735 2319 187 4 v 2806 2403 a Ft(2)2933 2340 y(\()p Fy("p)p Ft(!)15 b(\))3131 2303 y Fx(2)p Fv(=p)3248 2212 y Fi(\023)3330 2340 y Fy(:)73 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(25\))0 2607 y(Th)m(us,)31 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)g(sho)m(wn)e(that)h (for)g(all)g Fy(C)i Fs(2)28 b Ft(\(0)p Fy(;)15 b(e)1697 2574 y Fr(\000)p Fv(p)1797 2607 y Ft(\),)33 b(there)f(exists)38 b(~)-51 b Fy(")2418 2621 y Fv(C)2507 2607 y Ft(=)27 b Fy(")2650 2636 y Fx(~)-39 b Fv(\024;)2715 2619 y Fx(~)2712 2636 y Fv(\016)2784 2607 y Ft(suc)m(h)31 b(that)h(\(3.25\))i(holds)0 2753 y(for)g(all)h Fy(")e(>)k Ft(~)-51 b Fy(")492 2767 y Fv(C)588 2753 y Ft(and)34 b(all)h Fy(N)45 b Ft(large)35 b(enough.)53 b(T)-8 b(ogether)35 b(with)f(the)h(analogue)h(b)s(ound)c (for)i(the)h(negativ)m(e)0 2898 y(tails,)d(this)e(pro)m(v)m(es)h(the)g (lemma.)41 b Fb(\003)0 3116 y Ft(T)-8 b(o)34 b(\014nish)e(the)i(pro)s (of)f(of)h(the)g(theorem,)h(let)g(us)e(go)i(bac)m(k)f(to)h(\(3.4\).)52 b(T)-8 b(o)34 b(get)h(the)f(claimed)h(b)s(ound,)e(it)h(is)0 3262 y(enough)c(to)g(sho)m(w)g(that)g(the)g(in)m(tegral)i(on)d(the)h (righ)m(t-hand)g(side)f(is)h(b)s(ounded)e(uniformly)h(in)g Fy(N)10 b Ft(.)41 b(Indeed,)0 3407 y(since)31 b(the)f(v)-5 b(ariable)31 b Fy(Y)51 b Ft(satis\014es)31 b(the)f(b)s(ound)e(\(3.5\)) 33 b(of)d(the)h(lemma,)g(w)m(e)g(get)g(for)f(an)m(y)h Fy(C)3059 3374 y Fr(0)3109 3407 y Fy(<)25 b(e)3247 3374 y Fr(\000)p Fv(p)156 3598 y Fk(E)226 3524 y Fi(\002)270 3598 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)393 3560 y Fx(3)450 3598 y Ft(exp)604 3524 y Fi(\000)645 3598 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))854 3533 y Fn(2)p 854 3543 34 4 v 854 3579 a Fm(p)899 3557 y Fr(\000)966 3533 y Fn(1)p 966 3543 31 4 v 966 3579 a(2)1013 3598 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)1148 3533 y Fn(2)p 1147 3543 34 4 v 1147 3579 a Fm(p)1196 3524 y Fi(\001\003)1301 3598 y Fs(\024)1397 3511 y Fi(X)1404 3707 y Fv(l)p Fr(\025)p Fx(1)1543 3598 y Fk(E)1613 3524 y Fi(\002)1657 3598 y Fs(j)p Fy(Y)g Fs(j)1780 3560 y Fx(3)1821 3598 y Ft(1)-23 b(I)1877 3614 y Fr(fj)p Fv(Y)15 b Fr(j2)p Fx([)p Fv(l;l)p Fx(+1\))p Fr(g)2331 3598 y Ft(exp)2485 3524 y Fi(\000)2527 3598 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2736 3533 y Fn(2)p 2735 3543 V 2735 3579 a Fm(p)2780 3557 y Fr(\000)2848 3533 y Fn(1)p 2848 3543 31 4 v 2848 3579 a(2)2894 3598 y Fs(j)p Fy(Y)20 b Fs(j)3029 3533 y Fn(2)p 3029 3543 34 4 v 3029 3579 a Fm(p)3078 3524 y Fi(\001)o(\003)1301 3859 y Fs(\024)25 b Ft(\()p Fy(l)d Ft(+)e(1\))1652 3821 y Fx(3)1694 3859 y Fk(P)p Ft([)p Fs(j)p Fy(Y)h Fs(j)k(\025)g Fy(l)r Ft(])15 b(exp)2243 3785 y Fi(\000)2284 3859 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2493 3794 y Fn(2)p 2493 3804 V 2493 3840 a Fm(p)2538 3818 y Fr(\000)2605 3794 y Fn(1)p 2605 3804 31 4 v 2605 3840 a(2)2652 3859 y Ft(\()p Fy(l)22 b Ft(+)e(1\))2919 3794 y Fn(2)p 2919 3804 34 4 v 2919 3840 a Fm(p)2968 3785 y Fi(\001)1301 4105 y Fs(\024)1426 3963 y Fr(1)1397 3981 y Fi(Z)1404 4240 y Fx(0)1488 4105 y Ft(\()p Fy(x)g Ft(+)g(1\))1766 4068 y Fx(3)1823 4105 y Ft(exp)1977 4032 y Fi(\000)2019 4105 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2228 4040 y Fn(2)p 2228 4050 V 2228 4087 a Fm(p)2272 4065 y Fr(\000)2340 4040 y Fn(1)p 2340 4050 31 4 v 2340 4087 a(2)2386 4105 y Ft(\()p Fy(x)21 b Ft(+)f(1\))2677 4040 y Fn(2)p 2676 4050 34 4 v 2676 4087 a Fm(p)2746 4105 y Fs(\000)f Fy(C)2908 4068 y Fr(0)t Fx(2)p Fv(=p)3049 4105 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))3202 4040 y Fn(2)p 3202 4050 V 3202 4087 a Fm(p)3251 4105 y Fy(x)3315 4040 y Fn(2)p 3314 4050 V 3314 4087 a Fm(p)3363 4032 y Fi(\001)3404 4105 y Fy(dx)1387 4364 y Ft(+)h(\()6 b(~)-51 b Fy(")1555 4378 y Fv(p;C)1670 4359 y Fj(0)1720 4364 y Ft(+)20 b(1\))1891 4326 y Fx(3)1933 4364 y Fy(:)3428 4473 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(26\))0 4618 y(By)34 b(the)g(preceding)g(lemma,)i(for)e(an)m(y)g Fy(\014)i Fs(\024)31 b Fy(e)1591 4585 y Fr(\000)p Fx(2)1689 4618 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1841 4561 y Fn(1)p 1842 4571 31 4 v 1842 4607 a(2)1888 4618 y Ft(,)k(w)m(e)g(can)f(\014nd)e Fy(C)2513 4585 y Fr(0)2569 4618 y Fy(<)f(e)2713 4585 y Fr(\000)p Fv(p)2846 4618 y Ft(and)j(a)g(corresp)s(onding)0 4764 y Fy(")42 4731 y Fr(0)42 4789 y Fv(C)98 4770 y Fj(0)158 4764 y Ft(suc)m(h)c(that)h(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)h(in)m(tegral)g(is)e (\014nite.)41 b(Setting)31 b Fy(C)2050 4731 y Fv(p)2117 4764 y Ft(=)25 b Fy(C)2285 4731 y Fr(0)2310 4764 y Ft(,)30 b(this)g(pro)m(v)m(es)h(the)g(theorem.)41 b Fb(\003)0 4982 y Ft(W)-8 b(e)35 b(observ)m(e)f(that)g(w)m(e)f(could)h(ha)m(v)m(e) h(equally)f(w)m(ell)g(replaced)g Fy(H)2223 4996 y Fv(N)2325 4982 y Ft(b)m(y)f(in)g Fs(\000)p Fy(H)2710 4996 y Fv(N)2812 4982 y Ft(in)g(the)g(pro)s(of)g(of)h(Theo-)0 5127 y(rem)e(1.1,)i (without)f(c)m(hanging)g(the)f(result)h(\(since)g(only)f(the)h(square)f (of)g(the)h(Hamiltonian)h(do)s(es)e(en)m(ter\).)0 5273 y(W)-8 b(e)32 b(therefore)e(ha)m(v)m(e)i(readily)f(the)f(follo)m(wing)i (result,)f(whic)m(h)f(w)m(e)h(state)g(for)f(further)g(use.)p eop %%Page: 19 19 19 18 bop 0 45 a Fl(Annealed)26 b(F)-6 b(ree)27 b(Energy)2833 b Fo(19)0 264 y Fc(Corollary)38 b(3.2:)92 b Fq(If)32 b Fs(j)p Fy(\014)5 b Fs(j)26 b Fy(<)f(\014)1158 231 y Fr(0)1153 286 y Fv(p)1195 264 y Fq(,)33 b(then)1233 530 y Fk(E)26 b(E)1364 544 y Fv(\033)1419 530 y Fy(e)1461 493 y Fv(\014)s(H)1565 502 y Fm(N)1653 530 y Ft(=)f Fy(e)1802 462 y Fm(\013\014)1882 444 y Fn(2)1918 462 y Fm(N)p 1802 479 170 4 v 1872 515 a Fn(2)1982 493 y Fx(\(1+)p Fr(O)r Fx(\()p Fv(N)2255 465 y Fj(\000)p Fn(1)2340 493 y Fx(\)\))2401 530 y Fy(:)1002 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(27\))30 783 y Fu(Pro)s(of:)48 b Ft(Completely)31 b(analogous)h(to)f(the)f(pro)s(of)g(of)h(Theorem)f (1.1.)41 b Fb(\003)109 1001 y Ft(W)-8 b(e)34 b(also)g(put)d(a)i(result) g(here,)g(that)h(will)f(b)s(e)f(used)f(in)i(the)g(next)f(c)m(hapter,)j (but)d(whose)g(pro)s(of)g(is)h(v)m(ery)0 1147 y(similar)e(to)g(the)f (ab)s(o)m(v)m(e.)0 1365 y Fc(Lemma)38 b(3.3:)91 b Fq(If)33 b Fs(j)p Fy(\014)5 b Fs(j)26 b Fy(<)1010 1329 y Fx(1)p 1010 1344 37 4 v 1010 1396 a(2)1057 1365 y Fy(\014)1113 1332 y Fr(0)1108 1387 y Fv(p)1150 1365 y Fq(,)33 b(then)g(ther)-5 b(e)33 b(exists)g(a)g(c)-5 b(onstant)35 b Fy(C)c(>)25 b Ft(0)33 b Fq(such)g(that)922 1620 y Fk(E)1013 1520 y Fi(h)1056 1620 y Fy(e)1098 1583 y Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1259 1592 y Fm(N)1317 1583 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1578 1592 y Fm(N)1638 1583 y Fx(\()p Fv(\033)1710 1555 y Fj(0)1735 1583 y Fx(\))1768 1520 y Fi(i)1836 1620 y Fs(\024)25 b Fy(e)1974 1583 y Fv(\013N)7 b(\014)2130 1555 y Fn(2)2166 1583 y Fx(\(1+)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)2475 1555 y Fj(0)2501 1583 y Fx(\))2529 1555 y Fm(p)2568 1583 y Fx(+)p Fv(C)t Fx(\))2713 1620 y Fy(;)690 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(28\))0 1873 y Fq(for)33 b(al)5 b(l)33 b Fy(N)43 b Fq(lar)-5 b(ge)33 b(enough.)0 2091 y Fu(Pro)s(of:)68 b Ft(The)39 b(pro)s(of)f(is)i(actually)h(almost)f(iden)m(tical)h(to)f (the)g(pro)s(of)e(of)i(Theorem)f(1.1.)69 b(W)-8 b(e)40 b(start)g(b)m(y)0 2237 y(expanding)22 b(the)h(exp)s(onen)m(tial)h(up)e (to)h(order)f(t)m(w)m(o,)k(with)d(the)g(same)g(error)f(as)h(in)g(the)f (pro)s(of)g(of)h(Theorem)g(1.1)0 2382 y(\(inequalit)m(y)33 b(\(3.2\)\).)45 b(This)30 b(error)h(term)g(is)g(then)g(treated)h (similarly)-8 b(,)32 b(b)m(y)f(\014rst)g(decoupling)g(the)g(terms)g(in) 0 2528 y Fy(\033)f Ft(and)c Fy(\033)310 2495 y Fr(0)362 2528 y Ft(with)g(Cauc)m(h)m(y-Sc)m(h)m(w)m(arz.)41 b(This)26 b(already)h(sho)m(ws)f(wh)m(y)g Fy(\014)32 b Ft(has)26 b(to)h(b)s(e)f(less)h(than)f(half)g(the)h(b)s(ound)0 2673 y(of)g(Theorem)f(1.1.)40 b(The)26 b(linear)h(term)g(in)f(the)h (expansion)f(v)-5 b(anishes,)27 b(whereas)f(the)h(quadratic)g(term)g (giv)m(es)0 2819 y(us)j(the)g(co)m(v)-5 b(ariance)33 b(term)d Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1180 2786 y Fr(0)1207 2819 y Ft(\))1242 2786 y Fv(p)1284 2819 y Ft(.)41 b(Indeed,)29 b(if)i(w)m(e)g(set)f Fy(Y)2102 2786 y Fv(\026)2151 2819 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))c(=)f Fy(N)2481 2786 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)2669 2750 y Fi(P)2765 2846 y Fr(I)t(\032N)2956 2819 y Fy(\030)3000 2775 y Fv(\026)2996 2845 y Fr(I)3048 2819 y Fy(\033)3100 2845 y Fr(I)3150 2819 y Ft(,)31 b(w)m(e)f(get)61 3072 y(ln)15 b Fk(E)227 2971 y Fi(h)286 3072 y Ft(exp)o(\()p Fs(\000)p Fy(\014)5 b(H)662 3086 y Fv(N)731 3072 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(\014)5 b(H)1100 3086 y Fv(N)1169 3072 y Ft(\()p Fy(\033)1259 3034 y Fr(0)1285 3072 y Ft(\)\))1355 2998 y Fi(\003)157 3345 y Fs(\024)243 3224 y Fv(M)i Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))276 3259 y Fi(X)273 3452 y Fv(\026)p Fx(=1)455 3345 y Ft(ln)546 3217 y Fi(\022)613 3345 y Ft(1)21 b(+)780 3284 y Fy(\014)836 3251 y Fx(2)877 3284 y Fy(p)p Ft(!)p 780 3324 168 4 v 842 3408 a(2)959 3345 y Fy(N)1042 3308 y Fx(2)p Fr(\000)p Fv(p)1177 3345 y Fk(E)1247 3272 y Fi(\002)6 b(\000)1333 3345 y Fy(Y)1406 3308 y Fv(\026)1454 3345 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))22 b(+)d Fy(Y)1764 3308 y Fv(\026)1813 3345 y Ft(\()p Fy(\033)1903 3308 y Fr(0)1929 3345 y Ft(\))1964 3272 y Fi(\001)2006 3291 y Fx(2)2047 3272 y Fi(\003)248 3658 y Ft(+)349 3596 y Fy(\014)405 3563 y Fx(3)446 3596 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))598 3539 y Fn(3)p 599 3549 31 4 v 599 3585 a(2)p 349 3637 296 4 v 475 3720 a Ft(3)656 3658 y Fy(N)739 3620 y Fx(3)p Fr(\000)843 3590 y Fn(3)p Fm(p)p 843 3606 65 4 v 860 3642 a Fn(2)923 3658 y Fk(E)993 3557 y Fi(h)1042 3658 y Fs(j)p Fy(Y)1140 3620 y Fv(\026)1189 3658 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))i(+)f Fy(Y)1499 3620 y Fv(\026)1548 3658 y Ft(\()p Fy(\033)1638 3620 y Fr(0)1664 3658 y Ft(\))p Fs(j)1724 3620 y Fx(3)1780 3658 y Ft(exp)1934 3557 y Fi(\020)1989 3658 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2197 3596 y Fn(1)p 2198 3606 31 4 v 2198 3642 a(2)2244 3658 y Fy(N)2327 3620 y Fx(1)p Fr(\000)2431 3590 y Fm(p)p 2431 3606 34 4 v 2432 3642 a Fn(2)2480 3658 y Fs(j)p Fy(Y)2578 3620 y Fv(\026)2627 3658 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b(+)f Fy(Y)2937 3620 y Fv(\026)2986 3658 y Ft(\()p Fy(\033)3076 3620 y Fr(0)3102 3658 y Ft(\))p Fs(j)3162 3557 y Fi(\021)c(i)3275 3529 y(\023)3342 3658 y Fy(:)3428 3378 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(29\))0 3923 y(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(apply)g (the)h(triangle)g(inequalit)m(y)h(and)e(Cauc)m(h)m(y-Sc)m(h)m(w)m(arz)i (to)f(the)f(error)g(term,)h(whic)m(h)f(yields)641 4162 y Fy(N)724 4124 y Fx(3)p Fr(\000)828 4094 y Fn(3)p Fm(p)p 828 4110 65 4 v 845 4146 a Fn(2)908 4162 y Fk(E)978 4061 y Fi(h)1027 4162 y Fs(j)p Fy(Y)1125 4124 y Fv(\026)1174 4162 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b(+)f Fy(Y)1484 4124 y Fv(\026)1533 4162 y Ft(\()p Fy(\033)1623 4124 y Fr(0)1649 4162 y Ft(\))p Fs(j)1709 4124 y Fx(3)1750 4162 y Fy(e)1792 4124 y Fv(\014)s Fx(\()p Fv(p)p Fx(!\))1950 4097 y Fn(1)p Fm(=)p Fn(2)2052 4124 y Fv(N)2117 4097 y Fn(1)p Fj(\000)p Fm(p=)p Fn(2)2299 4124 y Fr(j)p Fv(Y)2379 4097 y Fm(\026)2422 4124 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(Y)2637 4097 y Fm(\026)2680 4124 y Fx(\()p Fv(\033)2752 4097 y Fj(0)2778 4124 y Fx(\))p Fr(j)2832 4061 y Fi(i)666 4421 y Fs(\024)25 b Fy(N)845 4384 y Fx(3)p Fr(\000)949 4353 y Fn(3)p Fm(p)p 949 4370 V 966 4406 a Fn(2)1092 4308 y Fx(3)1044 4335 y Fi(X)1051 4528 y Fv(i)p Fx(=1)1191 4320 y Fi(\020)1245 4421 y Fk(E)1336 4320 y Fi(h)1379 4421 y Fs(j)p Fy(Y)1477 4384 y Fv(\026)1526 4421 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)1676 4384 y Fx(2)p Fv(j)1767 4421 y Ft(exp)1921 4320 y Fi(\020)1975 4421 y Ft(2)p Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2228 4359 y Fn(1)p 2229 4369 31 4 v 2229 4406 a(2)2276 4421 y Fy(N)2359 4384 y Fx(1)p Fr(\000)2463 4353 y Fm(p)p 2463 4370 34 4 v 2464 4406 a Fn(2)2512 4421 y Fs(j)p Fy(Y)2610 4384 y Fv(\026)2659 4421 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)2809 4320 y Fi(\021)q(i\021)2972 4315 y Fn(1)p 2972 4325 31 4 v 2972 4361 a(2)752 4710 y Fs(\002)843 4609 y Fi(\020)897 4710 y Fk(E)988 4609 y Fi(h)1031 4710 y Fs(j)p Fy(Y)1130 4672 y Fv(\026)1178 4710 y Ft(\()p Fy(\033)1268 4672 y Fr(0)1294 4710 y Ft(\))p Fs(j)1354 4672 y Fx(6)p Fr(\000)p Fx(2)p Fv(j)1538 4710 y Ft(exp)1692 4609 y Fi(\020)1746 4710 y Ft(2)p Fy(\014)g Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1999 4648 y Fn(1)p 2000 4658 V 2000 4694 a(2)2047 4710 y Fy(N)2130 4672 y Fx(1)p Fr(\000)2234 4642 y Fm(p)p 2234 4658 34 4 v 2235 4694 a Fn(2)2283 4710 y Fs(j)p Fy(Y)2381 4672 y Fv(\026)2430 4710 y Ft(\()p Fy(\033)2520 4672 y Fr(0)2546 4710 y Ft(\))p Fs(j)2606 4609 y Fi(\021)q(i\021)2769 4603 y Fn(1)p 2769 4613 31 4 v 2769 4650 a(2)666 4902 y Fs(\024)25 b Fy(C)827 4916 y Fx(1)868 4902 y Fy(N)951 4865 y Fx(3)p Fr(\000)1055 4835 y Fn(3)p Fm(p)p 1055 4851 65 4 v 1072 4887 a Fn(2)1135 4902 y Fy(;)3428 4519 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(30\))0 5127 y(if)35 b Fy(\014)k(<)293 5091 y Fx(1)p 293 5106 37 4 v 293 5159 a(2)340 5127 y Fy(\014)396 5094 y Fr(0)391 5150 y Fv(p)468 5127 y Ft(and)c Fy(N)45 b Ft(large)36 b(enough,)h(b)m(y)e(the)g(result)g(in)g(the)h (pro)s(of)e(of)i(Theorem)f(1.1)h(\(cf.)g(the)f(remark)0 5273 y(after)c(\(3.2\)\).)p eop %%Page: 20 20 20 19 bop 0 45 a Fo(20)3243 b Fl(Chapter)25 b(4)109 264 y Ft(The)20 b(quadratic)h(term)g(in)f(\(3.29\))j(is)d(ev)-5 b(aluated)22 b(easily)-8 b(.)39 b(One)20 b(obtains)h(\(observing)g (that)g(the)g(co)m(v)-5 b(ariance)0 409 y(of)31 b Fy(H)180 423 y Fv(N)278 409 y Ft(app)s(ears\))652 651 y Fk(E)722 550 y Fi(h)771 651 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(Y)950 614 y Fv(\026)999 651 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(Y)1309 614 y Fv(\026)1357 651 y Ft(\()p Fy(\033)1447 614 y Fr(0)1473 651 y Ft(\)\))1543 614 y Fx(2)1585 577 y Fi(\003)1648 651 y Ft(=)25 b(2)p Fk(E)h Ft([)q Fy(Y)1963 614 y Fv(\026)2012 651 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))2137 614 y Fx(2)2179 651 y Ft(])20 b(+)g(2)p Fk(E)27 b Ft([)p Fy(Y)2535 614 y Fv(\026)2584 651 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(Y)2782 614 y Fv(\026)2831 651 y Ft(\()p Fy(\033)2921 614 y Fr(0)2947 651 y Ft(\)])1648 878 y(=)e(2)p Fy(N)1872 841 y Fr(\000)p Fv(p)1971 750 y Fi(\022)2038 817 y Fy(N)2057 941 y(p)2121 750 y Fi(\023)2208 878 y Ft(+)20 b(2)p Fy(N)2427 841 y Fr(\000)p Fv(p)2562 792 y Fi(X)2542 987 y Fr(I)t(\032N)2728 878 y Fy(\033)2780 901 y Fr(I)2830 878 y Fy(\033)2885 841 y Fr(0)2882 901 y(I)1648 1157 y Ft(=)1768 1096 y(2)p 1755 1137 71 4 v 1755 1220 a Fy(p)p Ft(!)1837 1157 y(\(1)h(+)f Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2279 1120 y Fr(0)2305 1157 y Ft(\))2340 1120 y Fv(p)2383 1157 y Ft(\))20 b(+)g Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2722 1120 y Fr(\000)p Fx(1)2820 1157 y Ft(\))p Fy(:)3428 915 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(31\))0 1414 y(Hence,)138 1725 y(ln)15 b Fk(E)26 b Fy(e)341 1688 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()q Fv(H)531 1697 y Fm(N)595 1688 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)811 1697 y Fm(N)870 1688 y Fx(\()p Fv(\033)942 1660 y Fj(0)967 1688 y Fx(\)\))1054 1725 y Fs(\024)1150 1604 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1183 1639 y Fi(X)1180 1831 y Fv(\026)p Fx(=1)1362 1725 y Ft(ln)1453 1624 y Fi(\020)1507 1725 y Ft(1)21 b(+)1735 1664 y Fy(\014)1791 1631 y Fx(2)p 1675 1704 219 4 v 1675 1787 a Fy(N)1758 1761 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1904 1725 y Ft(\(1)g(+)f Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2346 1688 y Fr(0)2372 1725 y Ft(\))2407 1688 y Fv(p)2449 1725 y Ft(\))21 b(+)2663 1664 y Fy(C)2728 1678 y Fx(2)p 2607 1704 V 2607 1787 a Fy(N)2690 1761 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2856 1725 y Ft(+)3038 1664 y Fy(C)3103 1678 y Fx(1)p 2958 1704 267 4 v 2958 1806 a Fy(N)3052 1744 y Fn(3)p Fm(p)p 3052 1761 65 4 v 3068 1796 a Fn(2)3127 1775 y Fr(\000)p Fx(3)3235 1624 y Fi(\021)1054 1968 y Fs(\024)k Fy(M)10 b Ft(\()p Fy(N)g Ft(\)\()p Fy(\014)1492 1930 y Fx(2)1534 1968 y Fy(N)1617 1930 y Fx(2)p Fr(\000)p Fv(p)1752 1968 y Ft(\(1)21 b(+)f Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2194 1930 y Fr(0)2220 1968 y Ft(\))2255 1930 y Fv(p)2297 1968 y Ft(\))21 b(+)f Fy(C)2509 1982 y Fx(3)2550 1968 y Fy(N)2633 1930 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2768 1968 y Ft(\))p Fy(;)3428 1796 y Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(32\))0 2177 y(that)31 b(is,)957 2323 y Fk(E)25 b Fy(e)1069 2285 y Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1230 2294 y Fm(N)1294 2285 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1555 2294 y Fm(N)1615 2285 y Fx(\()p Fv(\033)1687 2258 y Fj(0)1712 2285 y Fx(\))1770 2323 y Fs(\024)g Fy(e)1908 2285 y Fv(\013\014)1999 2258 y Fn(2)2036 2285 y Fv(N)7 b Fx(\(1+)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)2410 2258 y Fj(0)2435 2285 y Fx(\))2463 2258 y Fm(p)2502 2285 y Fx(\)+)p Fv(C)2638 2294 y Fn(4)2678 2323 y Fy(:)725 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(33\))0 2530 y(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(the)f(lemma.) 41 b Fb(\003)109 2676 y Ft(Finally)-8 b(,)32 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)h(as) e(an)g(application)i(of)f(Corollary)g(3.2.)0 2894 y Fc(Lemma)38 b(3.4:)91 b Fq(The)33 b(Hamiltonian)h(satis\014es)180 3258 y Fk(P)250 3130 y Fi(\024)298 3258 y Ft(sup)345 3330 y Fv(\033)450 3258 y Fs(j)p Fy(H)551 3272 y Fv(N)620 3258 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b Fy(>)f(tN)1008 3130 y Fi(\025)1081 3258 y Fs(\024)g Fy(C)1249 3044 y Fi(8)1249 3126 y(>)1249 3153 y(<)1249 3317 y(>)1249 3344 y(:)1360 3139 y Ft(exp)1514 3038 y Fi(\020)1568 3139 y Fs(\000)p Fy(N)10 b Ft(\()1779 3104 y Fv(t)1806 3076 y Fn(2)p 1768 3119 84 4 v 1768 3171 a Fx(2)p Fv(\013)1883 3139 y Fs(\000)20 b Ft(ln)15 b(2\))2145 3038 y Fi(\021)2215 3139 y Fy(;)478 b Ft(if)30 b Fy(t)c Fs(\024)2966 3095 y Fv(\013)p Fx(\()p Fv(p)p Fx(!\))3139 3047 y Fn(1)p 3139 3055 31 4 v 3139 3088 a(2)p 2966 3118 220 4 v 3041 3171 a Fv(e)3075 3153 y Fn(2)3197 3139 y Fy(;)1360 3367 y Ft(exp)1514 3239 y Fi(\022)1581 3367 y Fs(\000)p Fy(N)10 b Ft(\()1781 3323 y Fx(\()p Fv(p)p Fx(!\))1907 3274 y Fn(1)p 1907 3282 31 4 v 1907 3316 a(2)p 1781 3346 173 4 v 1832 3398 a Fv(e)1866 3380 y Fn(2)1964 3367 y Fy(t)20 b Fs(\000)2119 3326 y Fv(\013p)p Fx(!)p 2119 3346 107 4 v 2119 3398 a(2)p Fv(e)2189 3380 y Fn(4)2256 3367 y Fs(\000)g Ft(ln)15 b(2\))2518 3239 y Fi(\023)2601 3367 y Fy(;)108 b Ft(otherwise.)3428 3258 y(\(3)p Fy(:)p Ft(34\))35 3622 y Fu(Pro)s(of:)57 b Ft(W)-8 b(e)36 b(start)f(with)g(a)g(crude)f(b) s(ound)e(to)k(extract)g(the)f(suprem)m(um.)52 b(Standard)34 b(argumen)m(ts)h(and)0 3767 y(Cheb)m(yshev's)30 b(inequalit)m(y)h(in)f (its)h(exp)s(onen)m(tial)h(form)e(yield)267 4018 y Fk(P)p Ft([sup)394 4091 y Fv(\033)500 4018 y Fs(j)p Fy(H)601 4032 y Fv(N)669 4018 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)d Fy(>)e(tN)10 b Ft(])25 b Fs(\024)g Ft(2)1249 3981 y Fv(N)1343 4018 y Ft(inf)1333 4075 y Fv(q)r(>)p Fx(0)1477 4018 y Fy(e)1519 3981 y Fr(\000)p Fv(q)r(tN)1708 4018 y Fk(E)h Fy(e)1821 3981 y Fv(q)r(H)1916 3990 y Fm(N)1980 3981 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))2106 4018 y Ft(+)20 b(2)2242 3981 y Fv(N)2336 4018 y Ft(inf)2327 4075 y Fv(q)r(>)p Fx(0)2470 4018 y Fy(e)2512 3981 y Fr(\000)p Fv(q)r(tN)2702 4018 y Fk(E)25 b Fy(e)2814 3981 y Fr(\000)p Fv(q)r(H)2966 3990 y Fm(N)3030 3981 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))3136 4018 y Fy(:)267 b Ft(\(3)p Fy(:)p Ft(35\))0 4278 y(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(use)g(Theorem)g(1.1,)i(resp)s(ectiv)m(ely)g (Corollary)f(3.2)g(to)g(b)s(ound)d(the)j(t)m(w)m(o)h(in)m(tegrals)g (and)d(obtain)163 4542 y Fk(P)233 4414 y Fi(\024)282 4542 y Ft(sup)328 4614 y Fv(\033)434 4542 y Fs(j)p Fy(H)535 4556 y Fv(N)604 4542 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)d Fy(>)f(tN)992 4414 y Fi(\025)1065 4542 y Fs(\024)g Fy(C)1226 4556 y Fx(1)1267 4542 y Ft(2)1312 4504 y Fv(N)7 b Fx(+1)1573 4542 y Ft(inf)1489 4605 y Fv(q)r Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)1703 4587 y Fj(0)1700 4623 y Fm(p)1739 4605 y Fx(\))1782 4542 y Fy(e)1824 4504 y Fr(\000)p Fv(q)r(tN)2014 4542 y Fy(e)2067 4474 y Fm(\013q)2141 4456 y Fn(2)2175 4474 y Fm(N)p 2067 4490 163 4 v 2133 4526 a Fn(2)1065 4909 y Ft(=)25 b Fy(C)1226 4923 y Fx(2)1267 4695 y Fi(8)1267 4777 y(>)1267 4804 y(<)1267 4968 y(>)1267 4995 y(:)1378 4790 y Ft(exp)1532 4689 y Fi(\020)1586 4790 y Fs(\000)p Fy(N)10 b Ft(\()1797 4754 y Fv(t)1824 4727 y Fn(2)p 1786 4769 84 4 v 1786 4822 a Fx(2)p Fv(\013)1901 4790 y Fs(\000)20 b Ft(ln)15 b(2\))2163 4689 y Fi(\021)2233 4790 y Fy(;)476 b Ft(if)31 b Fy(t)25 b Fs(\024)2983 4746 y Fv(\013)p Fx(\()p Fv(p)p Fx(!\))3156 4698 y Fn(1)p 3156 4706 31 4 v 3156 4739 a(2)p 2983 4769 220 4 v 3057 4822 a Fv(e)3091 4803 y Fn(2)3213 4790 y Fy(;)1378 5018 y Ft(exp)1532 4889 y Fi(\022)1599 5018 y Fs(\000)p Fy(N)10 b Ft(\()1799 4973 y Fx(\()p Fv(p)p Fx(!\))1925 4925 y Fn(1)p 1925 4933 31 4 v 1925 4967 a(2)p 1799 4997 173 4 v 1832 5049 a Fx(2)p Fv(e)1902 5031 y Fn(2)1982 5018 y Fy(t)20 b Fs(\000)2137 4977 y Fv(\013p)p Fx(!)p 2137 4997 107 4 v 2137 5049 a(2)p Fv(e)2207 5031 y Fn(4)2274 5018 y Fs(\000)g Ft(ln)15 b(2\))2536 4889 y Fi(\023)2619 5018 y Fy(;)106 b Ft(otherwise.)3428 4775 y(\(3)p Fy(:)p Ft(36\))0 5273 y(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(the)f (lemma.)41 b Fb(\003)p eop %%Page: 21 21 21 20 bop 0 45 a Fl(Critical)27 b Fg(\014)j Fl(and)25 b(Con)n(v)n(ergence)h(to)f(the)h(REM)2224 b Fo(21)0 264 y Fz(4.)41 b(Critical)f Fa(\014)k Fz(and)d(Con)m(v)m(ergence)f(to)h (the)g(REM)0 511 y Fu(4.1.)35 b(Estimates)g(on)g(the)f(T)-9 b(runcated)35 b(P)m(artition)g(F)-9 b(unction.)0 729 y Ft(T)h(o)36 b(get)g(the)f(lo)m(w)m(er)h(b)s(ound)d(for)i(the)g (critical)i(temp)s(erature,)g(w)m(e)e(w)m(ould)g(lik)m(e)h(to)g (compare)g Fk(E)25 b Fy(Z)3348 697 y Fx(2)3341 755 y Fv(N)s(;\014)3514 729 y Ft(and)0 875 y(\()p Fk(E)h Fy(Z)167 889 y Fv(N)s(;\014)304 875 y Ft(\))339 842 y Fx(2)380 875 y Ft(.)83 b(Ho)m(w)m(ev)m(er,)51 b(as)44 b(men)m(tioned)h(in)f(the) h(in)m(tro)s(duction)g(and)e(explained)i(in)f(Chapter)g(2)h(it)g(is)0 1020 y(essen)m(tial)32 b(to)f(do)f(this)h(comparison)f(for)g(a)h (truncated)g(partition)g(function.)40 b(De\014ne)31 b(therefore)953 1237 y Fi(e)936 1259 y Fy(Z)998 1273 y Fv(N)s(;\014)1129 1259 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))26 b Fs(\021)f Fk(E)1415 1273 y Fv(\033)1485 1159 y Fi(h)1528 1259 y Fy(e)1570 1222 y Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1731 1231 y Fm(N)1790 1222 y Fx([)p Fv(!)r Fx(]\()p Fv(\033)r Fx(\))1985 1259 y Ft(1)-23 b(I)2040 1276 y Fr(f\000)p Fv(H)2194 1285 y Fm(N)2252 1276 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\024)p Fv(c\013\014)s(N)7 b Fr(g)2641 1159 y Fi(i)2699 1259 y Fy(;)749 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(1\))0 1499 y(for)31 b Fy(c)26 b(>)g Ft(1.)43 b(The)31 b(k)m(ey)g(observ)-5 b(ation)32 b(is)f(that)h(the)f(truncation)g(has)g(no)g(in\015uence)f (on)h(the)g(exp)s(ectation)i(of)0 1644 y(the)26 b(partition)g(function) f(if)h Fy(c)g Ft(is)f(c)m(hosen)h(appropriately)-8 b(.)40 b(This)25 b(is)g(the)h(con)m(ten)m(t)i(of)d(the)h(follo)m(wing)h (lemma.)0 1862 y Fc(Lemma)38 b(4.1:)91 b Fq(F)-7 b(or)34 b(al)5 b(l)33 b Fy(\014)e(>)25 b Ft(0)p Fq(,)32 b Fy(c)26 b(>)f Ft(1)33 b Fq(such)g(that)h Fy(\014)5 b(c)25 b(<)g(\014)2162 1829 y Fr(0)2157 1885 y Fv(p)2232 1862 y Fq(ther)-5 b(e)34 b(exist)f Fy(K)q(;)15 b(K)2873 1829 y Fr(0)2924 1862 y Fy(>)25 b Ft(0)33 b Fq(such)g(that)1066 2104 y Fk(E)1158 2081 y Fi(e)1136 2104 y Fy(Z)1198 2118 y Fv(N)s(;\014)1335 2104 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))1459 2003 y Fi(\020)1514 2104 y Ft(1)21 b Fs(\000)f Fy(K)7 b(e)1797 2067 y Fr(\000)p Fv(K)1919 2039 y Fj(0)1944 2067 y Fx(\()p Fv(c)p Fr(\000)p Fx(1\))2125 2039 y Fn(2)2162 2067 y Fv(N)2231 2003 y Fi(\021)2300 2104 y Fk(E)26 b Fy(Z)2432 2118 y Fv(N)s(;\014)2569 2104 y Fy(:)879 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(2\))20 2355 y Fu(Pro)s(of:)42 b Ft(Let)21 b(us)e(set)i Fy(q)28 b Ft(=)d Fy(q)s Ft(\()p Fy(N)10 b Ft(\))26 b Fs(\021)f Fy(\013\014)1333 2322 y Fx(2)1374 2355 y Fy(N)10 b Ft(.)37 b(Note)22 b(that)f Fk(E)26 b Fy(Z)2048 2369 y Fv(N)s(;\014)2185 2355 y Fs(\000)p Fk(E)2348 2332 y Fi(e)2325 2355 y Fy(Z)2387 2369 y Fv(N)s(;\014)2550 2355 y Ft(=)f Fk(E)2737 2281 y Fi(\002)2775 2355 y Fy(e)2817 2322 y Fr(\000)p Fv(\014)s(H)2978 2331 y Fm(N)3036 2322 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))3142 2355 y Ft(1)-23 b(I)3197 2371 y Fr(f\000)p Fv(\014)s(H)3395 2380 y Fm(N)3454 2371 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fv(>cq)r Fr(g)3722 2281 y Fi(\003)p 3760 2387 46 121 v 0 2500 a Ft(and)30 b(th)m(us)g(b)m(y)g (the)h(exp)s(onen)m(tial)g(Cheb)m(yshev)f(inequalit)m(y)835 2739 y Fk(E)25 b Fy(Z)966 2753 y Fv(N)s(;\014)1124 2739 y Fs(\000)20 b Fk(E)1307 2716 y Fi(e)1284 2739 y Fy(Z)1347 2753 y Fv(N)s(;\014)1509 2739 y Fs(\024)25 b Fk(E)1659 2753 y Fv(\033)1735 2739 y Ft(inf)1730 2795 y Fv(t>)p Fx(0)1865 2739 y Fy(e)1907 2702 y Fr(\000)p Fv(tcq)2064 2739 y Fk(E)2155 2638 y Fi(h)2198 2739 y Fy(e)2240 2702 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\(1+)p Fv(t)p Fx(\))p Fv(H)2576 2711 y Fm(N)2636 2702 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))2742 2638 y Fi(i)2800 2739 y Fy(:)648 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(3\))0 2980 y(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(use)g(Theorem)g(1.1)i(with)e Fy(\014)35 b Ft(replaced)c(b)m(y)f(\(1)21 b(+)f Fy(t)p Ft(\))p Fy(\014)36 b Ft(to)31 b(estimate)h(the)f(exp)s(ectation)h(to)f (get)614 3224 y(inf)609 3280 y Fv(t>)p Fx(0)745 3224 y Fy(e)787 3186 y Fr(\000)p Fv(tcq)944 3224 y Fk(E)1035 3123 y Fi(h)1078 3224 y Fy(e)1120 3186 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\(1+)p Fv(t)p Fx(\))p Fv(H)1456 3195 y Fm(N)1516 3186 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))1621 3123 y Fi(i)1690 3224 y Fs(\024)185 b Ft(inf)1786 3286 y Fx(0)p Fv()p Fx(0)354 3878 y Fy(e)396 3841 y Fr(\000)p Fv(tcq)553 3878 y Fk(E)644 3777 y Fi(h)687 3878 y Fy(e)729 3841 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\(1+)p Fv(t)p Fx(\))p Fv(H)1065 3850 y Fm(N)1125 3841 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))1231 3777 y Fi(i)1299 3878 y Fs(\024)25 b Fy(e)1437 3841 y Fr(\000)1505 3810 y Fm(q)p 1505 3827 32 4 v 1505 3863 a Fn(2)1547 3841 y Fx(\()p Fv(c)p Fr(\000)p Fx(1\))1728 3813 y Fn(2)1765 3841 y Fx(+)p Fv(C)t(q)r(N)1977 3813 y Fj(\000)p Fn(1)2067 3878 y Fy(e)2120 3810 y Fm(q)p 2120 3827 V 2120 3863 a Fn(2)2193 3878 y Fs(\024)f Fy(e)2330 3841 y Fr(\000)2399 3810 y Fm(q)p 2399 3827 V 2399 3863 a Fn(2)2441 3841 y Fx(\()p Fv(c)p Fr(\000)p Fx(1\))2622 3813 y Fn(2)2659 3841 y Fx(+)p Fv(C)t(q)r(N)2871 3813 y Fj(\000)p Fn(1)2961 3878 y Fk(E)h Fy(Z)3092 3892 y Fv(N)s(;\014)3230 3878 y Fy(;)218 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(5\))0 4117 y(This)30 b(implies)g(the)h(statemen)m(t)h(of)e(the)h(lemma.)41 b Fb(\003)0 4335 y Ft(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(turn)f(to)i(the)g(square)f (of)h(the)f(truncated)h(partition)g(function.)40 b(W)-8 b(e)32 b(b)s(ound)687 4575 y Fk(E)779 4552 y Fi(e)756 4575 y Fy(Z)825 4537 y Fx(2)818 4597 y Fv(N)s(;\014)956 4575 y Fk(E)25 b Fy(e)1068 4537 y Fr(\000)p Fv(\014)s(H)5 b Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))q Fr(\000)p Fv(\014)s(H)g Fx(\()p Fv(\033)1573 4510 y Fj(0)1604 4537 y Fx(\))1637 4575 y Ft(1)-23 b(I)1692 4591 y Fr(f\000)p Fv(H)1846 4600 y Fm(N)1904 4591 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\024)p Fv(c\013\014)s(N)7 b Fr(g)2293 4575 y Ft(1)-23 b(I)2348 4591 y Fr(f\000)p Fv(H)2502 4600 y Fm(N)2560 4591 y Fx(\()p Fv(\033)2632 4573 y Fj(0)2658 4591 y Fx(\))p Fr(\024)p Fv(c\013\014)s(N)7 b Fr(g)3473 4575 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(6\))0 4814 y(b)m(y)35 b(t)m(w)m(o)h(di\013eren)m(t)f(functions.)54 b(When)35 b(calculating)i(the)e(exp)s(ectation)h(with)f(resp)s(ect)g (to)g Fy(\033)j Ft(and)d Fy(\033)3470 4781 y Fr(0)3495 4814 y Ft(,)h(w)m(e)0 4959 y(use)i(one)h(b)s(ound)e(for)h(small)h(v)-5 b(alues)39 b(of)f(the)h(replica)h(o)m(v)m(erlap)g Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2453 4926 y Fr(0)2479 4959 y Ft(\),)41 b(and)d(the)h(other)f(for)h(the)g(rest.)0 5105 y(De\014ne)31 b(therefore)919 5250 y Fy(S)5 b Ft(\()p Fy(b)p Ft(\))26 b Fs(\021)f Fk(E)1265 5264 y Fv(\033)o(;\033)1372 5245 y Fj(0)1422 5149 y Fi(h)1465 5250 y Fy(e)1507 5212 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)1696 5221 y Fm(N)1755 5212 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)1971 5221 y Fm(N)2030 5212 y Fx(\()p Fv(\033)2102 5185 y Fj(0)2127 5212 y Fx(\)\))2189 5250 y Ft(1)-23 b(I)2244 5266 y Fr(fj)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)2492 5248 y Fj(0)2518 5266 y Fx(\))p Fr(j)p Fv()25 b(N)2818 1834 y Fv(")2857 1820 y Fq(,)1219 2077 y Fk(E)g Fy(S)5 b Ft(\()q Fy(b)p Ft(\))31 b Fs(\024)1859 2016 y Ft(1)p 1597 2057 570 4 v 1597 2075 a Fi(p)p 1688 2075 479 4 v 77 x Ft(1)21 b Fs(\000)f Ft(2\()p Fy(\015)26 b Ft(+)20 b Fy(")p Ft(\))2177 2077 y Fy(e)2219 2040 y Fv(\013\014)2310 2012 y Fn(2)2347 2040 y Fv(N)2416 2077 y Fy(:)987 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(11\))32 2350 y Fu(Pro)s(of:)50 b Ft(If)31 b Fy(\014)37 b Ft(satis\014es)32 b(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)h (condition,)g(w)m(e)f(can)g(apply)f(Lemma)h(3.3)h(to)f(the)g(in)m (tegrand)g(of)g(the)0 2495 y(righ)m(t-hand)e(side)h(of)f(\(4.7\).)43 b(One)30 b(obtains)190 2756 y Fk(E)260 2628 y Fi(\024)314 2756 y Fy(e)356 2718 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)545 2727 y Fm(N)604 2718 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)820 2727 y Fm(N)879 2718 y Fx(\()p Fv(\033)951 2691 y Fj(0)976 2718 y Fx(\)\))1037 2756 y Ft(1)-23 b(I)1093 2772 y Fr(fj)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)1341 2754 y Fj(0)1366 2772 y Fx(\))p Fr(j)p Fv()f Ft(0,)j(if)e Fy(N)47 b Ft(is)38 b(large)h(enough.)62 b(Standard)37 b(estimates)i(then)f (yield)0 4399 y(\(4.11\).)p Fb(\003)0 4618 y Ft(The)30 b(next)g(result)h(concerns)f(the)h(term)f Fy(T)13 b Ft(\()p Fy(c;)i(b;)g Ft(1\))33 b(in)d(\(4.9\).)0 4836 y Fc(Lemma)47 b(4.3:)123 b Fq(L)-5 b(et)40 b Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))39 b Fq(b)-5 b(e)39 b(the)h(Cr)-5 b(am)n(\022)-44 b(er)41 b(Entr)-5 b(opy)40 b(as)g(de\014ne)-5 b(d)40 b(in)f(\(1.17\).)63 b(Supp)-5 b(ose)41 b(that)f(ther)-5 b(e)0 4981 y(exist)33 b Fy(c)25 b(>)g Ft(1)p Fq(,)33 b Fy(d)26 b(>)f Ft(0)p Fq(,)33 b(such)f(that)770 5224 y Fs(8)p Fy(t)25 b Fs(2)g Ft([)p Fy(b;)15 b(b)1108 5186 y Fr(0)1134 5224 y Ft(])p Fy(;)109 b Ft(2)p Fy(\013\014)1452 5186 y Fx(2)1494 5224 y Fy(c)1533 5123 y Fi(\020)1587 5224 y Ft(1)21 b Fs(\000)1909 5162 y Fy(c)p 1755 5203 348 4 v 1755 5286 a Ft(2\(1)g(+)f Fy(t)2025 5260 y Fv(p)2067 5286 y Ft(\))2113 5123 y Fi(\021)2193 5224 y Fs(\024)25 b Fy(\013\014)2403 5186 y Fx(2)2464 5224 y Ft(+)20 b Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(d:)539 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(14\))p eop %%Page: 23 23 23 22 bop 0 45 a Fl(Critical)27 b Fg(\014)j Fl(and)25 b(Con)n(v)n(ergence)h(to)f(the)h(REM)2224 b Fo(23)0 264 y Fq(Then,)33 b(if)1365 415 y Fy(c)25 b(<)g Ft(min)1692 341 y Fi(\000)1773 353 y Ft(1)p 1744 394 102 4 v 1744 477 a(2)p Fy(\014)1857 415 y(\014)1913 377 y Fr(0)1908 437 y Fv(p)1950 415 y Fy(;)15 b Ft(1)22 b(+)d Fy(b)2186 377 y Fv(p)2228 341 y Fi(\001)2270 415 y Fy(;)1133 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(15\))0 646 y Fq(ther)-5 b(e)34 b(exists)502 623 y Ft(\026)475 646 y Fy(N)i Fs(2)25 b Fk(N)45 b Fq(such)32 b(that)i(for)g(al)5 b(l)33 b Fy(N)i Fs(\025)1666 623 y Ft(\026)1640 646 y Fy(N)10 b Fq(,)1323 905 y Fk(E)25 b Fy(T)13 b Ft(\()p Fy(c)q(;)i(b;)h Ft(1\))32 b Fs(\024)25 b Fy(e)1903 867 y Fv(\013\014)1994 840 y Fn(2)2030 867 y Fv(N)2099 905 y Fy(e)2141 867 y Fr(\000)2209 843 y Fm(N)5 b(d)p 2209 853 88 4 v 2237 889 a Fn(2)2312 905 y Fy(:)1091 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(16\))30 1163 y Fu(Pro)s(of:)48 b Ft(By)30 b(de\014nition,)55 1435 y Fk(E)c Fy(T)13 b Ft(\()p Fy(c)q(;)i(b;)h(b)425 1402 y Fr(0)456 1435 y Ft(\))26 b(=)f Fk(E)667 1449 y Fv(\033)o(;\033)774 1431 y Fj(0)809 1435 y Fk(E)879 1307 y Fi(\024)933 1435 y Fy(e)975 1402 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)5 b Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)g Fx(\()p Fv(\033)1462 1375 y Fj(0)1488 1402 y Fx(\)\))1549 1435 y Ft(1)-23 b(I)1605 1452 y Fr(fj)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)1853 1433 y Fj(0)1878 1452 y Fx(\))p Fr(j2)p Fx([)p Fv(b;b)2084 1433 y Fj(0)2108 1452 y Fx(])p Fr(g)2170 1435 y Ft(1)g(I)2226 1452 y Fr(f\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)2452 1461 y Fm(N)2511 1452 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)2727 1461 y Fm(N)2786 1452 y Fx(\()p Fv(\033)2858 1433 y Fj(0)2883 1452 y Fx(\)\))p Fr(\024)p Fx(2)p Fv(c\013\014)3155 1433 y Fn(2)3193 1452 y Fv(N)7 b Fr(g)3299 1307 y Fi(\025)3347 1435 y Fy(:)56 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(17\))0 1712 y(In)25 b(a)g(\014rst)g(step,)i(w)m(e)f(b)s(ound)d(the)j(exp)s(ectation)h(o)m (v)m(er)f(the)g(disorder)e(for)i(\014xed)e Fy(\033)n(;)15 b(\033)2796 1679 y Fr(0)2823 1712 y Ft(.)39 b(Similar)25 b(to)h(the)g(pro)s(of)0 1858 y(of)31 b(Lemma)f(4.1)h(w)m(e)g(get)h (\(again)g Fy(q)c Fs(\021)d Fy(\013\014)1417 1825 y Fx(2)1458 1858 y Fy(N)10 b Ft(\),)31 b(yields)155 2135 y Fk(E)225 2006 y Fi(\024)279 2135 y Ft(1)-23 b(I)334 2151 y Fr(f\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)560 2160 y Fm(N)619 2151 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)835 2160 y Fm(N)894 2151 y Fx(\()p Fv(\033)966 2133 y Fj(0)992 2151 y Fx(\)\))p Fr(\024)p Fx(2)p Fv(cq)r Fr(g)1251 2135 y Fy(e)1293 2097 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)1482 2106 y Fm(N)1541 2097 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)1757 2106 y Fm(N)1816 2097 y Fx(\()p Fv(\033)1888 2070 y Fj(0)1914 2097 y Fx(\)\))1975 2006 y Fi(\025)1790 2389 y Fs(\024)30 b Ft(inf)1886 2445 y Fv(t>)p Fx(0)2021 2389 y Fy(e)2063 2352 y Fx(2)p Fv(tcq)2200 2389 y Fk(E)2270 2261 y Fi(\024)2324 2389 y Fy(e)2366 2352 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\(1)p Fr(\000)p Fv(t)p Fx(\)\()p Fv(H)2731 2361 y Fm(N)2791 2352 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)3007 2361 y Fm(N)3066 2352 y Fx(\()p Fv(\033)3138 2324 y Fj(0)3163 2352 y Fx(\)\))3225 2261 y Fi(\025)3428 2262 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(18\))0 2666 y(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(use)g (Lemma)h(3.3,)g(with)f Fy(\014)36 b Ft(replaced)31 b(b)m(y)f Fy(\014)5 b Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(t)p Ft(\))31 b(to)g(obtain)117 2943 y(inf)112 2999 y Fv(t>)p Fx(0)248 2943 y Fy(e)290 2905 y Fx(2)p Fv(tcq)426 2943 y Fk(E)496 2815 y Fi(\024)550 2943 y Fy(e)592 2905 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\(1)p Fr(\000)p Fv(t)p Fx(\)\()p Fv(H)957 2914 y Fm(N)1017 2905 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)1233 2914 y Fm(N)1292 2905 y Fx(\()p Fv(\033)1364 2878 y Fj(0)1390 2905 y Fx(\)\))1451 2815 y Fi(\025)1524 2943 y Fs(\024)186 b Ft(inf)1620 3006 y Fv(t>)p Fx(1)p Fr(\000)p Fv(\014)1841 2988 y Fj(0)1838 3024 y Fm(p)1877 3006 y Fv(=)p Fx(\(2)p Fv(\014)s Fx(\))2067 2943 y Fy(e)2109 2905 y Fx(2)p Fv(tcq)2246 2943 y Fy(e)2288 2905 y Fx(\(1)p Fr(\000)p Fv(t)p Fx(\))2464 2878 y Fn(2)2501 2905 y Fv(q)r Fx(\(1+)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)2845 2878 y Fj(0)2872 2905 y Fx(\))2900 2878 y Fm(p)2938 2905 y Fx(\))2971 2943 y Fy(e)3013 2905 y Fv(C)3065 2914 y Fn(2)3101 2905 y Fv(N)3166 2878 y Fj(\000)p Fn(1)3250 2905 y Fv(q)3290 2943 y Fy(:)113 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(19\))0 3272 y(The)30 b(in\014m)m(um)f(is)h(attained)i(for)e Fy(t)25 b Ft(=)g(1)c Fs(\000)1558 3236 y Fv(c)p 1454 3251 243 4 v 1454 3303 a Fx(\(1+)p Fv(R)1629 3285 y Fm(p)1667 3303 y Fx(\))1732 3272 y Fy(>)k Ft(1)20 b Fs(\000)1996 3217 y Fv(\014)2040 3189 y Fj(0)2037 3235 y Fm(p)p 1995 3251 81 4 v 1995 3303 a Fx(2)p Fv(\014)2117 3272 y Ft(\(b)m(y)31 b(assumption)f(\(4.15\).)43 b(Th)m(us)516 3573 y Fk(E)586 3445 y Fi(\024)640 3573 y Fy(e)682 3536 y Fr(\000)p Fv(\014)s(H)843 3545 y Fm(N)901 3536 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1162 3545 y Fm(N)1222 3536 y Fx(\()p Fv(\033)1294 3508 y Fj(0)1319 3536 y Fx(\))1352 3573 y Ft(1)-23 b(I)1408 3590 y Fr(f\000)p Fv(\014)s(H)1606 3599 y Fm(N)1664 3590 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(H)1925 3599 y Fm(N)1985 3590 y Fx(\()p Fv(\033)2057 3572 y Fj(0)2082 3590 y Fx(\))p Fr(\024)p Fx(2)p Fv(c\013\014)s(N)7 b Fr(g)2434 3445 y Fi(\025)1377 3828 y Fs(\024)25 b Fy(C)1538 3842 y Fx(3)1594 3828 y Ft(exp)1748 3700 y Fi(\022)1815 3828 y Ft(2)p Fy(c\013\014)2013 3790 y Fx(2)2055 3828 y Fy(N)2138 3727 y Fi(\020)2193 3828 y Ft(1)20 b Fs(\000)2654 3766 y Fy(c)p 2360 3807 627 4 v 2360 3890 a Ft(2\(1)i(+)e Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2848 3864 y Fr(0)2874 3890 y Ft(\))2909 3864 y Fv(p)2951 3890 y Ft(\))2998 3727 y Fi(\021)3052 3700 y(\023)3119 3828 y Fy(:)3428 3701 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(20\))0 4105 y(Finally)-8 b(,)39 b(w)m(e)e(in)m(tegrate)i(o)m(v)m(er)e(all)g(con\014gurations)g Fy(\033)s Ft(,)h Fy(\033)1960 4072 y Fr(0)2022 4105 y Ft(satisfying)f Fs(j)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2708 4072 y Fr(0)2735 4105 y Ft(\))p Fs(j)35 b(2)g Ft([)p Fy(b;)15 b(b)3069 4072 y Fr(0)3095 4105 y Ft(].)59 b(W)-8 b(e)37 b(observ)m(e)0 4250 y(that)31 b Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)447 4217 y Fr(0)473 4250 y Ft(\))31 b(has)f(the)h(same)f(distribution)g(as)h Fy(S)5 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))26 b(=)f Fy(N)2084 4217 y Fr(\000)p Fx(1)2197 4182 y Fi(P)2293 4205 y Fv(N)2293 4278 y(i)p Fx(=1)2430 4250 y Fy(\033)2482 4264 y Fv(i)2512 4250 y Ft(.)41 b(Hence,)154 4532 y Fk(E)224 4431 y Fi(h)273 4532 y Fy(T)13 b Ft(\()p Fy(c;)i(b;)g(b)571 4494 y Fr(0)598 4532 y Ft(\))633 4431 y Fi(i)701 4532 y Fs(\024)25 b Fy(C)862 4546 y Fx(3)903 4532 y Fk(E)958 4546 y Fv(\033)n(;\033)1064 4527 y Fj(0)1099 4404 y Fi(\024)1163 4532 y Ft(exp)1317 4404 y Fi(\022)1384 4532 y Ft(2)p Fy(c\013\014)1582 4494 y Fx(2)1624 4431 y Fi(\020)1678 4532 y Ft(1)c Fs(\000)2139 4470 y Fy(c)p 1846 4511 V 1846 4594 a Ft(2\(1)g(+)f Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2333 4568 y Fr(0)2359 4594 y Ft(\))2394 4568 y Fv(p)2437 4594 y Ft(\))2483 4431 y Fi(\021)2537 4404 y(\023)2604 4532 y Ft(1)-23 b(I)2660 4548 y Fr(fj)p Fv(R)p Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)2908 4530 y Fj(0)2933 4548 y Fx(\))p Fr(j2)p Fx([)p Fv(b;b)3139 4530 y Fj(0)3163 4548 y Fx(])p Fr(g)3225 4404 y Fi(\025)701 4786 y Ft(=)25 b Fy(C)862 4800 y Fx(3)903 4786 y Fk(E)958 4800 y Fv(\033)1013 4658 y Fi(\024)1076 4786 y Ft(exp)1230 4658 y Fi(\022)1297 4786 y Ft(2)p Fy(c\013\014)1495 4749 y Fx(2)1537 4786 y Fy(N)1620 4686 y Fi(\020)1674 4786 y Ft(1)c Fs(\000)2073 4725 y Fy(c)p 1842 4766 502 4 v 1842 4849 a Ft(2\(1)g(+)f Fy(S)5 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))2265 4823 y Fv(p)2308 4849 y Ft(\))2354 4686 y Fi(\021)2409 4658 y(\023)2476 4786 y Ft(1)-23 b(I)2531 4803 y Fr(fj)p Fv(S)s Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(j2)p Fx([)p Fv(b;b)2916 4785 y Fj(0)2941 4803 y Fx(])p Fr(g)3003 4658 y Fi(\025)701 5041 y Fs(\024)25 b Ft(2)p Fy(C)907 5055 y Fx(3)949 5041 y Fy(N)g Ft(exp)1201 4913 y Fi(\022)1268 5041 y Fy(N)70 b Ft(sup)1366 5122 y Fv(t)p Fr(2)p Fx([)p Fv(b;b)1549 5103 y Fj(0)1573 5122 y Fx(])1609 4913 y Fi(\024)1657 5041 y Ft(2)p Fy(\013\014)1816 5004 y Fx(2)1858 5041 y Fy(c)1897 4940 y Fi(\020)1951 5041 y Ft(1)21 b Fs(\000)2273 4980 y Fy(c)p 2119 5020 348 4 v 2119 5103 a Ft(2\(1)g(+)f Fy(t)2389 5077 y Fv(p)2431 5103 y Ft(\))2477 4940 y Fi(\021)2552 5041 y Fs(\000)g Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))2793 4913 y Fi(\025\023)701 5277 y Fs(\024)25 b Ft(2)p Fy(C)907 5291 y Fx(3)949 5277 y Fy(e)991 5240 y Fv(N)7 b Fx(\()p Fv(\013\014)1175 5212 y Fn(2)1211 5240 y Fx(+)1278 5215 y Fn(ln)k Fm(N)p 1278 5225 118 4 v 1310 5262 a(N)1406 5240 y Fr(\000)p Fv(d)p Fx(\))1559 5277 y Fs(\024)25 b Fy(e)1697 5240 y Fv(N)7 b Fx(\()p Fv(\013\014)1881 5212 y Fn(2)1917 5240 y Fr(\000)1985 5215 y Fm(d)p 1985 5225 34 4 v 1986 5262 a Fn(2)2030 5240 y Fx(\))2062 5277 y Fy(:)3428 4877 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(21\))p eop %%Page: 24 24 24 23 bop 0 45 a Fo(24)3243 b Fl(Chapter)25 b(4)0 264 y Ft(The)k(second)h(to)h(last)f(inequalit)m(y)i(follo)m(ws)e(from)g (the)g(h)m(yp)s(othesis)f(of)h(the)g(lemma,)h(and)e(the)h(observ)-5 b(ation)0 409 y(that)30 b(w)m(e)g(sum)f(o)m(v)m(er)i(at)f(most)g(2)p Fy(N)40 b Ft(v)-5 b(alues)29 b(of)h Fy(S)5 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\).)41 b(The)29 b(last)i(inequalit)m(y)g(holds)e(for)g (all)i Fy(N)39 b Ft(larger)30 b(than)0 555 y(a)h(certain)405 532 y(\026)379 555 y Fy(N)k Fs(2)25 b Fk(N)7 b Ft(.)46 b(Since)31 b(this)f(estimate)i(is)f(uniform)e(in)h Fy(b)2061 522 y Fr(0)2086 555 y Ft(,)h(w)m(e)g(ma)m(y)g(c)m(ho)s(ose)g Fy(b)2800 522 y Fr(0)2851 555 y Ft(=)25 b(1.)41 b Fb(\003)0 776 y Ft(F)-8 b(rom)30 b(the)f(preceding)g(results,)g(w)m(e)g(no)m(w)h (get)g(a)f(v)-5 b(ariance)30 b(estimate)h(for)e(the)g(truncated)g (partition)h(func-)0 922 y(tion.)0 1143 y Fc(Prop)s(osition)39 b(4.4:)i Fq(Supp)-5 b(ose)35 b(that)g Fy(\014)c(<)1565 1119 y Ft(\024)1552 1143 y Fy(\014)1603 1157 y Fv(p)1646 1143 y Fq(.)43 b(Then)34 b(ther)-5 b(e)34 b(exist)f(c)-5 b(onstants)35 b Fy(C)e(>)26 b Ft(0)33 b Fq(and)i Fy(c)26 b(>)g Ft(1)34 b Fq(such)0 1289 y(that)1241 1445 y Fk(E)25 b Ft([)1358 1422 y Fi(e)1336 1445 y Fy(Z)1398 1459 y Fv(N)s(;\014)1535 1445 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))1644 1407 y Fx(2)1686 1445 y Ft(])g Fs(\024)g Fy(C)7 b Ft(\()p Fk(E)2031 1422 y Fi(e)2009 1445 y Fy(Z)2071 1459 y Fv(N)s(;\014)2208 1445 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\)\))2352 1407 y Fx(2)2394 1445 y Fy(:)1009 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(22\))0 1664 y Fq(and,)1199 1822 y Fk(P)p Ft([)1296 1799 y Fi(e)1279 1822 y Fy(Z)1341 1836 y Fv(N)s(;\014)1473 1822 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\))26 b Fy(>)1715 1760 y Ft(1)p 1715 1801 46 4 v 1715 1884 a(2)1772 1822 y Fk(E)1864 1799 y Fi(e)1841 1822 y Fy(Z)1903 1836 y Fv(N)s(;\014)2040 1822 y Ft(\()p Fy(c)p Ft(\)])h Fs(\025)2344 1760 y Ft(3)p 2308 1801 117 4 v 2308 1884 a(4)p Fy(C)2436 1822 y(:)967 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(23\))29 2042 y Fu(Pro)s(of:)47 b Ft(W)-8 b(e)31 b(\014rst)e(pro)m(v)m(e)h(that) h(the)e(h)m(yp)s(othesis)g(implies)h(that)g(the)g(assumptions)f(of)h (Lemmas)f(4.1{4.3)0 2187 y(are)i(satis\014ed.)41 b(Consider)29 b(therefore)i Fy(\014)f(<)1486 2151 y Fx(1)p 1486 2166 37 4 v 1486 2218 a(2)1533 2187 y Fy(\014)1589 2154 y Fr(0)1584 2209 y Fv(p)1657 2187 y Ft(suc)m(h)g(that)1392 2472 y Fy(\014)1448 2435 y Fx(2)1514 2472 y Fy(<)77 b Ft(inf)1610 2531 y Fx(0)p Fr(\024)p Fv(t)p Fr(\024)p Fx(1)1839 2472 y Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))2000 2411 y(1)21 b(+)f Fy(t)2190 2378 y Fv(p)p 2000 2452 232 4 v 2049 2535 a Fy(\013t)2140 2509 y Fv(p)2243 2472 y Fy(:)1160 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(24\))0 2744 y(Then)29 b(it)i(is)g(immediate)g (that)772 3009 y(2)p Fy(\013\014)931 2972 y Fx(2)973 2881 y Fi(\022)1040 3009 y Ft(1)21 b Fs(\000)1358 2948 y Ft(1)p 1207 2988 348 4 v 1207 3071 a(2\(1)h(+)e Fy(t)1478 3045 y Fv(p)1520 3071 y Ft(\))1566 2881 y Fi(\023)1658 3009 y Ft(=)25 b(2)p Fy(\013\014)1913 2972 y Fx(2)2001 2948 y Ft(1)c(+)f(2)p Fy(t)2236 2915 y Fv(p)p 1966 2988 V 1966 3071 a Ft(2\(1)h(+)f Fy(t)2236 3045 y Fv(p)2278 3071 y Ft(\))2350 3009 y Fy(<)25 b(\013\014)2560 2972 y Fx(2)2621 3009 y Ft(+)20 b Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))p Fy(;)541 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(25\))0 3292 y(for)37 b(all)i Fy(t)e Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1].)64 b(By)38 b(con)m(tin)m(uit)m(y)-8 b(,)42 b(there)c(exist)h Fy(c)1825 3259 y Fr(\003)1904 3292 y Fy(>)e Ft(1)h(and)f Fy(d)2326 3259 y Fr(\003)2406 3292 y Fy(>)g Ft(0)h(suc)m(h)f(that)h Fs(8)p Fy(c)f Fs(2)g Ft(\(1)p Fy(;)15 b(c)3397 3259 y Fr(\003)3441 3292 y Ft(\))38 b(and)0 3438 y Fy(d)26 b Fs(2)e Ft(\(0)p Fy(;)15 b(d)325 3405 y Fr(\003)369 3438 y Ft(\))765 3612 y(2)p Fy(c\013\014)963 3574 y Fx(2)1005 3484 y Fi(\022)1072 3612 y Ft(1)21 b Fs(\000)1394 3551 y Fy(c)p 1240 3591 V 1240 3674 a Ft(2\(1)g(+)f Fy(t)1510 3648 y Fv(p)1552 3674 y Ft(\))1598 3484 y Fi(\023)1690 3612 y Fy(<)25 b(\013\014)1900 3574 y Fx(2)1962 3612 y Ft(+)20 b Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(d;)106 b Fs(8)p Fy(t)25 b Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1])p Fy(:)535 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(26\))0 3845 y(This)30 b(implies)g(the)h(h)m(yp)s(othesis)f(of)g(Lemma)h(4.3.)109 3994 y(W)-8 b(e)38 b(no)m(w)f(sho)m(w)f(that)h(\()p Fk(E)26 b Ft([)1055 3971 y Fi(e)1033 3994 y Fy(Z)1095 4008 y Fv(N)1170 3994 y Ft(]\))1230 3961 y Fx(2)1308 3994 y Ft(is)36 b(of)h(the)g(order)f(of)h Fk(E)26 b Ft([)2149 3971 y Fi(e)2127 3994 y Fy(Z)2189 4008 y Fv(N)2264 3961 y Fx(2)2305 3994 y Ft(].)59 b(W)-8 b(e)38 b(start)f(b)m(y)g(\014xing)f (the)h(free)g(pa-)0 4139 y(rameters)31 b Fy(b)p Ft(,)g Fy(b)509 4106 y Fr(0)534 4139 y Ft(,)g(and)f Fy(c)p Ft(.)41 b(Cho)s(ose)31 b(\014rst)e Fy(b)i Ft(suc)m(h)f(that)h Fy(\015)5 b Ft(\()p Fy(b)p Ft(\))26 b(=)2143 4103 y Fx(1)p 2143 4118 37 4 v 2143 4171 a(4)2220 4139 y Ft(\(or)31 b(an)m(y)g(other)g(constan)m(t)h(less)e(than)h(one)0 4285 y(half)7 b(\).)41 b(Then)29 b(c)m(ho)s(ose)j Fy(c)e Ft(suc)m(h)h(that)1318 4575 y Fy(c)25 b(<)g Ft(min)1645 4447 y Fi(\022)1712 4575 y Fy(c)1751 4537 y Fr(\003)1793 4575 y Fy(;)1848 4504 y(\014)1904 4471 y Fr(0)1899 4527 y Fv(p)p 1844 4554 102 4 v 1844 4637 a Ft(2)p Fy(\014)1957 4575 y(;)15 b Ft(1)21 b(+)f Fy(b)2193 4537 y Fv(p)2235 4447 y Fi(\023)2317 4575 y Fy(:)1086 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(27\))0 4858 y(Then)45 b(the)g(h)m(yp)s(otheses)h(of)f(all)i (preceding)e(lemmas)h(are)g(ful\014lled.)86 b(Finally)-8 b(,)51 b(c)m(ho)s(ose)c Fy(b)3194 4825 y Fr(0)3270 4858 y Ft(=)j(1.)87 b(By)0 5004 y(Lemmas)30 b(4.2)i(and)e(4.3,)h(w)m(e)g (then)f(ha)m(v)m(e)757 5277 y Fk(E)827 5204 y Fi(\002)887 5254 y(e)871 5277 y Fy(Z)933 5291 y Fv(N)1002 5240 y Fx(2)1043 5204 y Fi(\003)1106 5277 y Fs(\024)25 b Fk(E)g Ft([)q Fy(S)5 b Ft(\()p Fy(b)p Ft(\))27 b(+)20 b Fy(T)13 b Ft(\()p Fy(c;)i(b;)g Ft(1\)])27 b Fs(\024)e Ft(\()p Fy(C)2172 5291 y Fx(1)2233 5277 y Ft(+)20 b Fy(e)2366 5240 y Fr(\000)p Fv(N)7 b(d=)p Fx(2)2604 5277 y Ft(\))p Fy(e)2681 5240 y Fv(\013\014)2772 5212 y Fn(2)2809 5240 y Fv(N)2878 5277 y Fy(:)3428 5269 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(28\))p eop %%Page: 25 25 25 24 bop 0 45 a Fl(Critical)27 b Fg(\014)j Fl(and)25 b(Con)n(v)n(ergence)h(to)f(the)h(REM)2224 b Fo(25)0 264 y Ft(The)30 b(righ)m(t-hand)g(side)g(is)h(b)m(y)f(Theorem)g(1.1)i(b)s (ounded)c(b)m(y)1075 518 y(\()p Fy(C)1175 532 y Fx(1)1236 518 y Ft(+)20 b Fy(e)1369 481 y Fr(\000)p Fv(N)7 b(d=)p Fx(2)1607 518 y Ft(\))p Fy(e)1684 481 y Fv(\013\014)1775 453 y Fn(2)1812 481 y Fv(N)1906 518 y Fs(\024)25 b Ft(2)p Fy(C)2112 532 y Fx(2)2153 417 y Fi(\020)2207 518 y Fk(E)h Ft([)p Fy(Z)2364 532 y Fv(N)2439 518 y Ft(])2464 417 y Fi(\021)2519 436 y Fx(2)2560 518 y Fy(;)843 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(29\))0 780 y(whic)m(h)30 b(in)g(turn)f(is)i(of)f(the)h(order) f(of)g(\()p Fk(E)c Ft([)1414 757 y Fi(e)1392 780 y Fy(Z)1454 794 y Fv(N)1529 780 y Ft(]\))1589 747 y Fx(2)1660 780 y Ft(b)m(y)31 b(Lemma)f(4.1,)i(so)f(that)1098 1040 y(\()p Fy(C)1198 1054 y Fx(1)1259 1040 y Ft(+)20 b Fy(e)1392 1002 y Fr(\000)p Fv(N)7 b(d=)p Fx(2)1629 1040 y Ft(\))p Fy(e)1706 1002 y Fv(\013\014)1797 975 y Fn(2)1834 1002 y Fv(N)1929 1040 y Fs(\024)25 b Fy(C)2090 1054 y Fx(3)2130 939 y Fi(\020)2185 1040 y Fk(E)g Ft([)2302 1017 y Fi(e)2280 1040 y Fy(Z)2342 1054 y Fv(N)2417 1040 y Ft(])2442 939 y Fi(\021)2496 958 y Fx(2)2537 1040 y Fy(:)866 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(30\))0 1290 y(This)26 b(implies)g(\(4.22\).)42 b(The)26 b(second)g(assertion)h(of)g(the)f(prop)s(osition)g(follo)m(ws) i(from)e(the)h(P)m(aley-Zygm)m(und)0 1436 y(inequalit)m(y)-8 b(,)32 b(whic)m(h)e(states)i(that)f(for)f(a)h(p)s(ositiv)m(e)g(random)f (v)-5 b(ariable)31 b Fy(Y)50 b Ft(and)30 b(an)m(y)h(p)s(ositiv)m(e)g (constan)m(t)h Fy(g)s Ft(,)1185 1703 y Fk(P)1255 1602 y Fi(h)1299 1703 y Fy(Y)45 b Fs(\025)25 b Fy(g)s Fk(E)i Fy(Y)1689 1602 y Fi(i)1757 1703 y Fs(\025)e Ft(\(1)c Fs(\000)f Fy(g)s Ft(\))2126 1665 y Fx(2)2178 1641 y Ft(\()p Fk(E)26 b Fy(Y)g Ft(\))2397 1608 y Fx(2)p 2178 1682 261 4 v 2188 1765 a Fk(E)g Ft([)p Fy(Y)2362 1739 y Fx(2)2403 1765 y Ft(])2449 1703 y Fy(:)954 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(31\))0 1990 y(This)29 b(relation)j(giv)m(es)f(us)f(a)g(lo)m(w)m(er)i(b)s(ound) c(on)i(the)g(probabilit)m(y)h(that)2433 1967 y Fi(e)2416 1990 y Fy(Z)2478 2004 y Fv(N)2573 1990 y Fs(\025)25 b Fy(g)s Fk(E)h Ft([)2833 1967 y Fi(e)2810 1990 y Fy(Z)2872 2004 y Fv(N)2947 1990 y Ft(],)31 b(whic)m(h)f(is)g(strictly)0 2136 y(greater)e(than)f(zero)h(and)e(uniform)g(in)g Fy(N)10 b Ft(.)40 b(Indeed,)27 b(if)g(w)m(e)g(set)g Fy(g)i Ft(=)2309 2100 y Fx(1)p 2309 2115 37 4 v 2309 2167 a(2)2383 2136 y Ft(in)e(\(4.31\),)j(then,)d(b)m(y)g(\(4.22\),)j(w)m(e)e(get)1341 2401 y Fk(P)1396 2327 y Fi(\002)1452 2378 y(e)1435 2401 y Fy(Z)1497 2415 y Fv(N)1591 2401 y Fs(\025)1698 2340 y Ft(1)p 1698 2380 46 4 v 1698 2463 a(2)1754 2401 y Fk(E)1847 2378 y Fi(e)1824 2401 y Fy(Z)1886 2415 y Fv(N)1961 2327 y Fi(\003)2024 2401 y Fs(\025)2184 2340 y Ft(1)p 2131 2380 152 4 v 2131 2463 a(2)p Fy(C)2241 2477 y Fx(3)2293 2401 y Fy(:)1110 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(32\))0 2654 y(This)30 b(concludes)g(the)h(pro)s(of)e(of)i(the)f(prop)s(osition.)41 b Fb(\003)0 2907 y Fu(4.2.)35 b(Pro)s(of)h(of)f(the)g(Lo)m(w)m(er)f (Bound.)0 3125 y Ft(W)-8 b(e)33 b(will)f(no)m(w)f(pro)s(of)g(the)h(lo)m (w)m(er)g(b)s(ound)e(assuming)h(that)h(Theorem)f(1.4)i(holds.)43 b(This)31 b(is)h(b)m(y)f(no)m(w)h(quite)0 3270 y(standard)27 b([T1,T2,T3],)i(but)e(w)m(e)h(rep)s(eat)g(the)g(argumen)m(t)g(for)f (the)h(reader's)f(con)m(v)m(enience.)42 b(Note)29 b(that)f(b)m(y)0 3416 y(Lemma)i(4.1)i(for)e Fy(N)40 b Ft(large)32 b(enough,)e(for)g(an)m (y)h Fy(\016)e(>)c Ft(0,)956 3668 y Fk(P)1011 3594 y Fi(\002)1066 3645 y(e)1049 3668 y Fy(Z)1111 3682 y Fv(N)1206 3668 y Fs(\025)1313 3606 y Ft(1)p 1313 3647 46 4 v 1313 3730 a(2)1369 3668 y Fk(E)1461 3645 y Fi(e)1439 3668 y Fy(Z)1501 3682 y Fv(N)1576 3594 y Fi(\003)1639 3668 y Fs(\024)g Fk(P)1805 3594 y Fi(\002)1843 3668 y Fy(Z)1905 3682 y Fv(N)2000 3668 y Fs(\025)2107 3606 y Ft(1)p 2107 3647 V 2107 3730 a(2)2163 3668 y(\(1)c Fs(\000)f Fy(\016)s Ft(\))p Fk(E)27 b Fy(Z)2566 3682 y Fv(N)2641 3594 y Fi(\003)2679 3668 y Fy(:)724 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(33\))0 3918 y(But)122 4168 y Fk(P)208 4040 y Fi(\024)256 4168 y Fy(Z)318 4182 y Fv(N)412 4168 y Fs(\025)519 4107 y Ft(1)p 519 4147 V 519 4231 a(2)575 4168 y(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(\016)s Ft(\))p Fk(E)27 b Fy(Z)978 4182 y Fv(N)1053 4095 y Fi(\003)1116 4168 y Ft(=)e Fk(P)1282 4095 y Fi(\002)1321 4168 y Fy(F)1379 4182 y Fv(N)1468 4168 y Fs(\000)20 b Fk(E)11 b Fy(F)1672 4182 y Fv(N)1772 4168 y Fs(\025)25 b Fy(N)1951 4131 y Fr(\000)p Fx(1)2049 4168 y Ft(\(ln)15 b Fk(E)c Fy(Z)2292 4182 y Fv(N)2387 4168 y Fs(\000)20 b Fk(E)26 b Ft(ln)21 b Fy(Z)2707 4182 y Fv(N)2796 4168 y Fs(\000)f Ft(ln)2978 4040 y Fi(\022)3055 4107 y Ft(1)p 3055 4147 V 3055 4231 a(2)3112 4168 y(\(1)h Fs(\000)f Fy(\016)s Ft(\))3382 4040 y Fi(\023)q(\025)3513 4168 y Fy(:)3428 4332 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(34\))0 4477 y(But)31 b(Theorem)f(1.4)h(implies)g(that)g(this) f(quan)m(tit)m(y)i(is)e(smaller)h(than)f Fy(B)2449 4444 y Fr(\000)p Fv(n)2555 4477 y Ft(,)g(if)1128 4728 y Fy(N)1211 4690 y Fr(\000)p Fx(1)1309 4728 y Ft(\(ln)15 b Fk(E)10 b Fy(Z)1552 4742 y Fv(N)1647 4728 y Fs(\000)20 b Fk(E)25 b Ft(l)q(n)20 b Fy(Z)1966 4742 y Fv(N)2035 4728 y Ft(\))26 b Fs(\025)f Fy(N)2275 4690 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2+)p Fv(\017)3428 4728 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(35\))0 4978 y(in)30 b(con)m(tradiction)i(to)f(the)g(lo)m(w)m(er)h(b)s(ound)c (\(4.32\).)43 b(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(that)g(for)f Fy(\014)g(<)2758 4954 y Ft(\024)2745 4978 y Fy(\014)5 b Ft(,)1205 5228 y(lim)1181 5288 y Fv(N)i Fr("1)1370 5228 y Fy(N)1453 5191 y Fr(\000)p Fx(1)1551 5228 y Ft(\(ln)15 b Fk(E)10 b Fy(Z)1794 5242 y Fv(N)1889 5228 y Fs(\000)20 b Fk(E)25 b Ft(l)q(n)20 b Fy(Z)2208 5242 y Fv(N)2277 5228 y Ft(\))26 b(=)f(0)949 b(\(4)p Fy(:)p Ft(36\))p eop %%Page: 26 26 26 25 bop 0 45 a Fo(26)3243 b Fl(Chapter)25 b(4)0 264 y Ft(pro)m(ving)31 b(the)f(lo)m(w)m(er)i(b)s(ound)c(on)i Fy(\014)1180 278 y Fv(p)1223 264 y Ft(.)40 b Fb(\003)0 555 y Fu(Remark:)71 b Ft(It)40 b(should)g(b)s(e)g(noted)h(that)g(the)g (ab)s(o)m(v)m(e)h(argumen)m(t)f(requires)f(only)h(an)f(upp)s(er)f (deviation)0 700 y(inequalit)m(y)g(for)e(the)h(free)f(energy)-8 b(.)63 b(Suc)m(h)37 b(an)g(inequalit)m(y)i(can)f(b)s(e)f(obtained)g(in) h(a)f(m)m(uc)m(h)h(simpler)f(w)m(a)m(y)0 845 y(than)26 b(Theorem)h(1.4)g(\(in)g(that)g(it)g(do)s(es)g(not)g(require)f(the)h (results)f(of)h(Section)g(5\))g(on)g(the)g(basis)f(of)h(a)g(result)0 991 y(of)34 b(Ledoux)f([Le].)51 b(The)33 b(reason)h(is)f(that)i(while)e (the)h(free)g(energy)g(is)f(not)h(a)g(con)m(v)m(ex)h(function)f(of)f (all)i(the)0 1136 y(disorder)23 b(v)-5 b(ariables,)26 b(it)f(is)f(separately)h(con)m(v)m(ex)h(in)e(eac)m(h)h Fy(\030)1970 1093 y Fv(\026)1966 1162 y(i)2019 1136 y Ft(.)38 b(This)23 b(su\016ces)h(to)h(apply)f(Ledoux's)f(theorem.)0 1282 y(A)30 b(pro)s(of)g(of)h(the)f(corresp)s(onding)g(one-sided)g (inequalit)m(y)i(can)e(b)s(e)g(found)f(in)h([Ni].)0 1505 y Fu(4.3.)35 b(Upp)s(er)h(Bound)g(on)f(the)f(Critical)h Fy(\014)5 b Fu(.)0 1724 y Ft(The)29 b(pro)s(of)f(of)i(the)f(upp)s(er)e (b)s(ound)g(in)i(Theorem)g(1.2)i(is)e(considerably)g(simpler)g(than)g (the)g(lo)m(w)m(er)i(b)s(ound.)0 1869 y(By)i(\(2.1\),)i Fk(E)477 1832 y Fv(@)t(F)566 1841 y Fm(N)p 477 1848 148 4 v 507 1900 a Fv(@)t(\014)664 1869 y Fs(\024)29 b Fy(N)847 1836 y Fr(\000)p Fx(1)945 1869 y Fk(E)47 b Ft(sup)1172 1891 y Fv(\033)1237 1869 y Fs(j)p Fy(H)1338 1883 y Fv(N)1406 1869 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)p Ft(,)35 b(while)e(Lemma)f(3.4)i (yields)f(immediately)h(\(see)g(the)f(argu-)0 2014 y(men)m(t)e(leading) g(to)g(\(2.3\)\))i(that:)0 2233 y Fc(Lemma)38 b(4.5:)91 b Fq(Ther)-5 b(e)34 b(exists)f Fy(C)e(<)25 b Fs(1)p Fq(,)33 b(such)f(that:)43 b(If)33 b Fy(\013)26 b Fs(\025)2245 2197 y Fx(8)13 b(ln)f(2)p 2245 2212 159 4 v 2295 2264 a Fv(p)p Fx(!)2414 2233 y Fq(,)33 b(then)1294 2418 y Fk(E)47 b Ft(sup)1431 2490 y Fv(\033)1537 2418 y Fs(j)p Fy(H)1638 2432 y Fv(N)1707 2418 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b(\024)f Fy(N)10 b(B)2131 2432 y Fv(\013)2203 2418 y Ft(+)20 b Fy(C)1069 b Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(37\))0 2610 y Fq(wher)-5 b(e)976 2819 y Fy(B)1045 2833 y Fv(\013)1122 2819 y Ft(=)1218 2633 y Fi(8)1218 2715 y(<)1218 2879 y(:)1329 2625 y Fs(p)p 1405 2625 256 4 v 78 x Ft(2)p Fy(\013)16 b Ft(ln)f(2)q Fy(;)304 b Fq(if)15 b Fy(\013)26 b Fs(\025)2252 2667 y Fv(e)2286 2640 y Fn(4)2322 2667 y Fx(2)13 b(ln)f(2)p 2252 2682 229 4 v 2337 2734 a Fv(p)p Fx(!)1340 2852 y Fv(\013)1387 2790 y Fs(p)p 1463 2790 59 4 v 62 x Fv(p)p Fx(!)p 1340 2885 182 4 v 1378 2937 a(2)p Fv(e)1448 2919 y Fn(2)1553 2906 y Ft(+)1654 2870 y Fv(e)1688 2843 y Fn(2)1737 2870 y Fx(ln)g(2)p 1654 2885 192 4 v 1683 2896 a Fs(p)p 1759 2896 59 4 v 62 x Fv(p)p Fx(!)1857 2906 y Fy(;)108 b Fq(if)15 b Ft(0)26 b Fs(\024)f Fy(\013)h Fs(\024)2419 2870 y Fv(e)2453 2843 y Fn(4)2489 2870 y Fx(2)12 b(ln)g(2)p 2419 2885 229 4 v 2504 2937 a Fv(p)p Fx(!)3428 2819 y Ft(\(4)p Fy(:)p Ft(38\))109 3234 y(Let)46 b Fy(\014)338 3248 y Fr(1)466 3234 y Fs(\021)k Fy(B)656 3248 y Fv(\013)708 3234 y Fy(=\013)c Ft(and)f(assume)g(that)h Fy(\013)51 b Fs(\025)f Fy(\013)1878 3248 y Fv(p)1920 3234 y Ft(.)86 b(No)m(w)46 b(assume)f(that)i Fy(\014)2846 3248 y Fv(p)2938 3234 y Fy(>)j(\014)3110 3248 y Fr(1)3188 3234 y Ft(.)86 b(Then)44 b(for)0 3379 y Fy(\014)51 3393 y Fr(1)154 3379 y Fy(<)25 b(\014)30 b(<)25 b(\014)478 3393 y Fv(p)521 3379 y Ft(,)30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h (that)1517 3531 y(lim)15 b(sup)1569 3608 y Fv(N)7 b Fr("1)1810 3531 y Fk(E)26 b Fy(F)1938 3545 y Fv(N)2013 3531 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))26 b Fs(\024)f Ft(lim)15 b(sup)2314 3608 y Fv(N)7 b Fr("1)2555 3531 y Fk(E)26 b Fy(F)2683 3545 y Fv(N)2758 3531 y Ft(\()p Fy(\014)2844 3545 y Fr(1)2922 3531 y Ft(\))20 b(+)g(+\()p Fy(\014)26 b Fs(\000)20 b Fy(\014)3393 3545 y Fr(1)3470 3531 y Ft(\))p Fy(B)3574 3545 y Fv(\013)34 3802 y Ft(=)141 3740 y Fy(\013\014)255 3707 y Fx(2)250 3763 y Fr(1)p 141 3781 187 4 v 211 3864 a Ft(2)359 3802 y Fs(\000)g Ft(\()p Fy(\014)25 b Fs(\000)20 b Fy(\014)703 3816 y Fr(1)781 3802 y Ft(\))p Fy(\013\014)925 3816 y Fr(1)1028 3802 y Ft(=)1135 3740 y Fy(\013\014)1249 3707 y Fx(2)p 1135 3781 156 4 v 1190 3864 a Ft(2)1322 3802 y Fs(\000)1424 3740 y Ft(\()p Fy(\014)25 b Fs(\000)20 b Fy(\014)1677 3754 y Fr(1)1755 3740 y Ft(\))1790 3707 y Fx(2)p 1424 3781 408 4 v 1604 3864 a Ft(2)1867 3802 y Fy(<)1974 3740 y(\013\014)2088 3707 y Fx(2)p 1974 3781 156 4 v 2029 3864 a Ft(2)3428 3941 y(\(4)p Fy(:)p Ft(39\))0 4087 y(in)39 b(con)m(tradiction)i(to)g(the)e(assumption)g(that)h Fy(\014)46 b(<)40 b(\014)1918 4101 y Fv(p)1960 4087 y Ft(.)68 b(Th)m(us)38 b Fy(\014)2343 4101 y Fv(p)2426 4087 y Fs(\024)i Fy(\014)2588 4101 y Fr(1)2705 4087 y Ft(whic)m(h)f(pro)m(v)m(es)h(the)g(upp)s(er)0 4232 y(b)s(ound)28 b(\(1.19\).)43 b Fb(\003)0 4456 y Fu(4.4.)35 b(Con)m(v)m(ergence)h(to)f (the)f(REM:)i(Pro)s(of)f(of)h(Theorem)e(1.3.)0 4674 y Ft(The)c(con)m(v)m(ergence)j(of)e(the)f(free)h(energy)g(as)g Fy(p)25 b Fs(")h(1)k Ft(follo)m(ws)i(no)m(w)f(from)f(a)h(simple)f(con)m (v)m(exit)m(y)j(argumen)m(t.)0 4819 y(Note)d(that)f(for)g(all)h Fy(\014)g(<)866 4795 y Ft(\024)853 4819 y Fy(\014)904 4833 y Fv(p)946 4819 y Ft(,)g(lim)1127 4833 y Fv(N)7 b Fr("1)1321 4819 y Fk(E)j Fy(F)1434 4833 y Fv(N)s(;\014)1596 4819 y Ft(=)25 b Fy(f)1747 4786 y Fv(RE)s(M)1737 4845 y(b)1939 4819 y Ft(,)k(while)g(for)g(all)g Fy(\014)i(>)2682 4795 y Ft(^)2669 4819 y Fy(\014)2720 4833 y Fv(p)2762 4819 y Ft(,)e(b)m(y)g(con)m(v)m(exit)m(y)i(of)e Fy(F)3503 4833 y Fv(N)s(;\014)3635 4819 y Ft(,)940 4981 y(lim)15 b(inf)979 5040 y Fv(N)7 b Fr("1)1207 4981 y Fk(E)26 b Fy(F)1335 4995 y Fv(N)s(;\014)1497 4981 y Fs(\025)f Ft(lim)15 b(inf)1632 5040 y Fv(N)7 b Fr("1)1861 4981 y Fk(E)25 b Fy(F)1989 5011 y Fv(N)s(;)2082 4994 y Fx(^)2072 5011 y Fv(\014)2146 4981 y Ft(+)20 b Fy(\013)2308 4957 y Ft(^)2295 4981 y Fy(\014)2346 4995 y Fv(p)2389 4981 y Ft(\()p Fy(\014)26 b Fs(\000)2605 4957 y Ft(^)2592 4981 y Fy(\014)2643 4995 y Fv(p)2685 4981 y Ft(\))1497 5247 y(=)1604 5185 y Fy(\013)1675 5161 y Ft(^)1662 5185 y Fy(\014)1718 5152 y Fx(2)p 1604 5226 V 1659 5309 a Ft(2)1791 5247 y(+)20 b Fy(\013)1953 5223 y Ft(^)1940 5247 y Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(\014)26 b Fs(\000)2212 5223 y Ft(^)2199 5247 y Fy(\014)5 b Ft(\))3428 5124 y(\(4)p Fy(:)p Ft(40\))p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 0 45 a Fl(Fluctuations)3160 b Fo(27)0 264 y Ft(while)30 b(on)h(the)f(other)h(hand)1081 473 y(lim)15 b(sup)1133 550 y Fv(N)7 b Fr("1)1374 473 y Fk(E)26 b Fy(F)1503 487 y Fv(N)s(;\014)1665 473 y Fs(\024)f Ft(lim)15 b(inf)1800 532 y Fv(N)7 b Fr("1)2028 473 y Fk(E)26 b Fy(F)2156 503 y Fv(N)s(;)2249 486 y Fx(^)2239 503 y Fv(\014)2314 473 y Ft(+)20 b Fy(\013)2476 449 y Ft(\024)2463 473 y Fy(\014)2514 487 y Fv(p)2557 473 y Ft(\()p Fy(\014)25 b Fs(\000)2772 449 y Ft(^)2759 473 y Fy(\014)2810 487 y Fv(p)2853 473 y Ft(\))772 756 y(=)879 695 y Fy(\013)950 671 y Ft(^)937 695 y Fy(\014)993 662 y Fx(2)p 879 736 156 4 v 934 819 a Ft(2)1065 756 y(+)20 b Fy(\013)1227 732 y Ft(\024)1214 756 y Fy(\014)1265 770 y Fv(p)1308 756 y Ft(\()p Fy(\014)26 b Fs(\000)1524 732 y Ft(^)1511 756 y Fy(\014)1562 770 y Fv(p)1604 756 y Ft(\))3428 625 y(\(4)p Fy(:)p Ft(41\))0 1028 y(pro)m(vided)39 b Fy(p)g Ft(is)g(large)h(enough)f(suc)m(h)g(that)h Fy(\013)g(>)g(\013)1808 1042 y Fv(p)1850 1028 y Ft(.)67 b(But)39 b(since)h(lim)2489 1042 y Fv(p)p Fr("1)2669 1004 y Ft(\024)2656 1028 y Fy(\014)2707 1042 y Fv(p)2789 1028 y Ft(=)g(lim)3026 1042 y Fv(p)p Fr("1)3206 1004 y Ft(^)3193 1028 y Fy(\014)3244 1042 y Fv(p)3287 1028 y Ft(,)h(the)f(t)m(w)m(o)0 1174 y(b)s(ounds)28 b(ab)s(o)m(v)m(e)k(b)s(oth)d(con)m(v)m(erge)k(to)e Fy(f)1326 1141 y Fv(RE)s(M)1316 1199 y(\014)1518 1174 y Ft(,)f(as)h Fy(p)25 b Fs(")h(1)p Ft(,)k(for)g(an)m(y)h Fy(a)25 b(>)g Ft(0.)41 b(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(Theorem)f(1.2.)p Fb(\003)109 1435 y Ft(...)41 b(include)30 b(de\014nition)g(\014le)0 1580 y Fz(5.)41 b(Fluctuations:)55 b(Pro)s(of)42 b(of)f(Theorem)h(1.4)0 1842 y Ft(The)35 b(main)h(line)h(of)f(reasoning)g(of)g(the)g(pro)s(of)g (of)g(the)g(\015uctuation)g(theorem)g(is)g(as)h(follo)m(ws.)58 b(First,)38 b(for)0 1987 y(eac)m(h)27 b Fy(N)36 b Ft(w)m(e)26 b(de\014ne)g(a)g(set)h(whose)e(complemen)m(t)i(has)f(a)h(v)m(ery)f (small)g(probabilit)m(y)h(\(of)f(the)h(order)e(of)h Fy(N)3493 1954 y Fr(\000)p Fv(n)3599 1987 y Ft(\).)0 2133 y(On)k(this)g(set,)i(w) m(e)f(pro)m(v)m(e)h(the)f(estimates)h(on)f(the)f(deviation)i(with)f (the)g(so-called)h(Y)-8 b(urinskii)30 b(martingale)0 2278 y(metho)s(d)43 b([Y)-8 b(u].)81 b(On)42 b(the)i(complemen)m(t,)k (w)m(e)c(simply)f(use)g(that)h(the)g(free)g(energy)f(is)h(b)s(ounded)d (b)m(y)j(a)0 2423 y(p)s(olynomial)31 b(function.)40 b(This)29 b(approac)m(h)i(w)m(as)g(\014rst)e(used)h(in)g(the)g(con)m(text)i(of)f (the)f(mean)g(\014eld)g(mo)s(del)g(in)0 2569 y([PS,ST])j(for)i(v)-5 b(ariance)35 b(estimates)h(and)d(in)h([BGP2,B1])j(for)d(exp)s(onen)m (tial)h(inequalities,)i(but)d(has)g(later)0 2714 y(b)s(een)42 b(made)h(obsolete)h(b)m(y)e(new)g(concen)m(tration)j(of)e(measure)f (inequalities)i(pro)m(vided)f(b)m(y)f(T)-8 b(alagrand)0 2860 y(in)42 b([T1].)76 b(Unfortunately)-8 b(,)46 b(these)c(require)g (con)m(v)m(exit)m(y)i(of)f(the)f(lev)m(el)h(sets)g(of)f(the)g(random)f (functions)0 3005 y(considered)33 b(whic)m(h)f(in)h(the)g(curren)m(t)g (situation)g(do)g(not)g(app)s(ear)g(to)g(hold.)48 b(Although,)34 b(as)f(remark)m(ed)g(at)0 3151 y(the)27 b(end)g(of)g(Section)h(4,)g (the)g(h)m(yp)s(otheses)f(of)g(Ledoux's)g(inequalities)h(from)f([Le])h (do)f(hold,)g(these)h(pro)m(vide)0 3296 y(only)h(one-sided)g(deviation) h(estimates)g(whic)m(h)f(will)g(not)g(b)s(e)f(su\016cien)m(t)h(for)g (our)f(later)i(purp)s(oses.)38 b(In)28 b(this)0 3442 y(situation)j(the)g(return)e(to)i(Y)-8 b(urinskii's)30 b(metho)s(d)g(app)s(ears)g(to)h(b)s(e)f(the)g(only)h(w)m(a)m(y)g(out.) 109 3588 y(De\014ne)i(the)h(decreasing)f(sequence)h(of)f Fy(\033)s Ft(-algebras)h Fs(F)1988 3602 y Fv(k)2063 3588 y Ft(=)c Fy(\033)s Ft(\()p Fs(f)p Fy(\030)2343 3545 y Fv(\026)2339 3614 y(i)2392 3588 y Fs(g)2437 3545 y Fv(\026)p Fr(2)p Fh(N)2437 3616 y Fv(i)p Fr(\025)p Fv(k)2581 3588 y Ft(.)49 b(F)-8 b(urthermore,)34 b(for)f Fy(c;)15 b(\015)35 b(>)30 b Ft(0)0 3734 y(and)g Fy(k)e Fs(2)d(N)13 b Ft(,)31 b(let)766 3896 y Fs(A)839 3910 y Fv(k)909 3896 y Ft(=)25 b Fs(A)1078 3910 y Fv(k)r(;c;\015)t(;N)1351 3896 y Fs(\021)1447 3768 y Fi(\032)1515 3896 y Fy(!)j Fs(2)d Ft(\012)g(:)h Fs(jG)1907 3910 y Fv(N)s(;\014)2053 3896 y Ft([)p Fy(H)2161 3853 y Fv(\026)2154 3924 y(k)2210 3896 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)])q Fs(j)g Fy(<)f(cN)2630 3859 y Fr(\000)p Fx(1+)p Fv(\015)2826 3768 y Fi(\033)3473 3896 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(1\))0 4123 y(where)1162 4314 y Fy(H)1245 4270 y Fv(\026)1238 4342 y(k)1294 4314 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))h Fs(\021)f(\000)1632 4253 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1784 4195 y Fn(1)p 1785 4205 31 4 v 1785 4242 a(2)p 1623 4293 219 4 v 1623 4377 a Fy(N)1706 4350 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1867 4193 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1900 4228 y Fi(X)1897 4420 y Fv(\026)p Fx(=1)2105 4228 y Fi(X)2112 4411 y Fj(I)r(3)p Fm(k)2090 4463 y Fj(jI)r(j)p Fn(=)p Fm(p)2278 4314 y Fy(\030)2322 4270 y Fv(\026)2318 4341 y Fr(I)2371 4314 y Fy(\033)2423 4341 y Fr(I)2472 4314 y Fy(:)976 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(2\))0 4649 y(W)-8 b(e)30 b(put)e(and)g Fs(A)c(\021)h(A)761 4663 y Fv(c;\015)t(;N)973 4649 y Fs(\021)1069 4581 y Fi(T)1145 4603 y Fv(N)1145 4676 y(k)r Fx(=1)1297 4649 y Fs(A)1370 4663 y Fv(k)1414 4649 y Ft(.)40 b(The)28 b(set)h Fs(A)f Ft(will)h(b)s(e)f(our)g(`go)s(o)s(d')h(set.)40 b(W)-8 b(e)30 b(\014rst)e(sho)m(w)g(that)i(its)0 4795 y(measure)g(is)h(large.)0 5014 y Fc(Lemma)38 b(5.1:)91 b Fq(F)-7 b(or)34 b(al)5 b(l)33 b Fy(\015)5 b(;)15 b(c;)g(m)26 b(>)f Ft(0)p Fq(,)33 b(ther)-5 b(e)34 b(exists)f Fy(C)e(>)25 b Ft(0)p Fq(,)33 b(such)g(that)1356 5273 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)1509 5287 y Fv(c;\015)t(;N)1696 5273 y Ft(])25 b Fs(\025)g Ft(1)c Fs(\000)f Fy(C)7 b(N)2154 5235 y Fr(\000)p Fv(m)2279 5273 y Fy(:)1169 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(3\))p eop %%Page: 28 28 28 27 bop 0 45 a Fo(28)3243 b Fl(Chapter)25 b(5)0 409 y Fu(Pro)s(of:)48 b Ft(Since)30 b Fk(P)p Ft([)p Fs(A)720 376 y Fv(c)758 409 y Ft(])25 b Fs(\024)904 341 y Fi(P)1000 363 y Fv(N)1000 436 y(k)r Fx(=1)1152 409 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)1305 423 y Fv(k)1350 376 y(c)1387 409 y Ft(])31 b(w)m(e)g(only)g(need)f(to)h(sho)m(w)g(that)g(for)f(eac)m(h)i Fy(k)s Ft(,)e Fk(P)p Ft([)p Fs(A)3125 423 y Fv(k)3171 376 y(c)3208 409 y Ft(])25 b Fs(\024)g Fy(C)7 b(N)3509 376 y Fr(\000)p Fv(m)3635 409 y Ft(,)0 555 y(for)31 b(an)m(y)g Fy(m)p Ft(.)42 b(By)31 b(the)g(de\014nition)f(of)h(the)g(sets)h Fs(A)1676 569 y Fv(k)1720 555 y Ft(,)f(Cheb)m(yshev's)f(inequalit)m(y)i (and)f(Jensen's)f(inequalit)m(y)-8 b(,)0 700 y(w)m(e)31 b(ha)m(v)m(e,)h(for)e(an)m(y)h Fy(l)c Fs(2)e Fk(N)6 b Ft(,)501 993 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)654 1007 y Fv(k)699 955 y(c)736 993 y Ft(])25 b(=)g Fk(P)937 865 y Fi(\024)986 888 y(\014)986 943 y(\014)986 997 y(\014)1016 993 y Fs(G)1075 892 y Fi(h)1134 871 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1167 906 y Fi(X)1164 1099 y Fv(\026)p Fx(=1)1346 993 y Fy(H)1429 949 y Fv(\026)1422 1020 y(k)1478 892 y Fi(i)1521 888 y(\014)1521 943 y(\014)1521 997 y(\014)1576 993 y Fs(\025)25 b Fy(cN)1794 955 y Fv(\015)1841 865 y Fi(\025)1914 993 y Fs(\024)g Ft(\()p Fy(cN)2167 955 y Fv(\015)2215 993 y Ft(\))2250 955 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(l)2371 993 y Fk(E)2441 865 y Fi(\022)2514 993 y Fs(G)2573 892 y Fi(h)2631 871 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2664 906 y Fi(X)2662 1099 y Fv(\026)p Fx(=1)2844 993 y Fy(H)2927 949 y Fv(\026)2920 1020 y(k)2975 892 y Fi(i)3018 865 y(\023)3085 883 y Fx(2)p Fv(l)1914 1335 y Fs(\024)25 b Ft(\()p Fy(cN)2167 1298 y Fv(\015)2215 1335 y Ft(\))2250 1298 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(l)2371 1335 y Fk(E)h Fs(G)2500 1207 y Fi(\024)2554 1234 y(\020)2624 1214 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2657 1249 y Fi(X)2654 1441 y Fv(\026)p Fx(=1)2836 1335 y Fy(H)2919 1291 y Fv(\026)2912 1362 y(k)2968 1234 y Fi(\021)3022 1253 y Fx(2)p Fv(l)3086 1207 y Fi(\025)3134 1335 y Fy(:)3473 1161 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(4\))0 1623 y(If)21 b(w)m(e)i(can)f(sho)m(w)g (that)g(the)g(exp)s(ectation)i(on)d(the)i(righ)m(t-hand)e(side)h(is)g (b)s(ounded)e(b)m(y)i(some)g Fy(N)10 b Ft(-indep)s(enden)m(t)0 1768 y(constan)m(t,)32 b(\(5.4\))g(will)f(pro)m(v)m(e)g(the)g(lemma.) 109 1914 y(Expanding)e(the)i(p)s(o)m(w)m(er)f(in)g(the)h(in)m(tegrand)g (yields,)g(with)f(the)g(usual)g(m)m(ulti-index)h(notation,)798 2206 y Fk(E)26 b Fs(G)927 2078 y Fi(\024)981 2105 y(\020)1051 2085 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1084 2120 y Fi(X)1081 2312 y Fv(\026)p Fx(=1)1263 2206 y Fy(H)1346 2163 y Fv(\026)1339 2234 y(k)1395 2105 y Fi(\021)1449 2124 y Fx(2)p Fv(l)1513 2078 y Fi(\025)1587 2206 y Ft(=)1742 2120 y Fi(X)1683 2319 y Fv(r)r Fx(:)p Fr(j)p Fv(r)r Fr(j)p Fx(=2)p Fv(l)1948 2206 y Fy(c)1987 2220 y Fx(2)p Fv(l;r)2109 2206 y Fk(E)26 b Fs(G)2238 2078 y Fi(\024)2307 2085 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2348 2120 y Fi(Y)2338 2312 y Fv(\026)p Fx(=1)2505 2206 y Ft(\()p Fy(H)2623 2163 y Fv(\026)2616 2234 y(k)2672 2206 y Ft(\))2707 2169 y Fv(r)2741 2178 y Fm(\026)2789 2078 y Fi(\025)2837 2206 y Fy(;)611 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(5\))0 2504 y(where)35 b Fy(r)j Ft(is)e(a)g(m)m(ulti-index)g(and)f (the)h(n)m(um)m(b)s(ers)e Fy(c)1770 2518 y Fx(2)p Fv(l;r)1928 2504 y Ft(are)i(the)g(m)m(ultinomial)h(co)s(e\016cien)m(ts.)58 b(The)35 b(main)0 2650 y(p)s(oin)m(t)c(in)g(what)g(follo)m(ws)h(is)f (the)g(realisation)i(that)e(the)g(di\016cult)g(terms)g(are)h(those)f (whic)m(h)g(ha)m(v)m(e)h(at)g(least)0 2795 y(one)h Fy(\026)g Ft(with)g Fy(r)508 2809 y Fv(\026)586 2795 y Ft(=)d(1.)49 b(This)32 b(is)h(due)g(to)g(the)h(follo)m(wing)g(observ)-5 b(ation,)35 b(whic)m(h)e(is)g(a)g(simple)g(consequence)0 2940 y(of)e(a)f(result)h(pro)m(v)m(en)f(in)g([Ni2].)0 3159 y Fc(Lemma)38 b(5.2:)91 b Fq(Ther)-5 b(e)34 b(exist)e(c)-5 b(onstants)35 b Fy(c;)15 b(K)33 b(>)25 b Ft(0)33 b Fq(such)f(that)i (for)f(al)5 b(l)34 b Fy(N)42 b Fq(lar)-5 b(ge)34 b(enough,)1390 3451 y Ft(sup)1361 3528 y Fv(\033)r Fr(2S)1499 3537 y Fm(N)1572 3330 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1605 3365 y Fi(X)1603 3558 y Fv(\026)p Fx(=1)1770 3451 y Ft(\()p Fy(H)1888 3408 y Fv(\026)1881 3479 y(k)1937 3451 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))2097 3414 y Fx(2)2164 3451 y Fs(\024)25 b Fy(c)1174 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(6\))0 3770 y Fq(with)33 b(pr)-5 b(ob)g(ability)35 b(at)f(le)-5 b(ast)33 b Ft(1)21 b Fs(\000)f Fy(e)1150 3737 y Fr(\000)p Fv(K)t(N)1337 3710 y Fn(1)p Fm(=)p Fn(4)1441 3770 y Fq(.)0 3989 y Fu(Pro)s(of:)47 b Ft(W)-8 b(e)32 b(write)f(the)f(left-hand)g(side)h(of)f(\(5.6\))j(as) 158 4165 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))191 4200 y Fi(X)189 4393 y Fv(\026)p Fx(=1)355 4286 y Ft(\()p Fy(H)473 4243 y Fv(\026)466 4314 y(k)523 4286 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))683 4249 y Fx(2)750 4286 y Ft(=)948 4225 y Fy(p)p Ft(!)p 857 4265 255 4 v 857 4349 a Fy(N)940 4322 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1137 4165 y Fv(M)g Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1170 4200 y Fi(X)1168 4393 y Fv(\026)p Fx(=1)1393 4200 y Fi(X)1350 4396 y Fr(I)t Fv(;)p Fr(J)k(3)p Fv(k)1582 4286 y Fy(\033)1634 4313 y Fr(I)1684 4286 y Fy(\030)1728 4243 y Fv(\026)1724 4313 y Fr(I)1777 4286 y Fy(\030)1821 4243 y Fv(\026)1817 4313 y Fr(J)1883 4286 y Fy(\033)1935 4313 y Fr(J)2026 4286 y Ft(=)2177 4225 y Fy(\013p)p Ft(!)p 2133 4265 219 4 v 2133 4349 a Fy(N)2216 4322 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2420 4200 y Fi(X)2377 4396 y Fr(I)t Fv(;)p Fr(J)h(3)p Fv(k)2610 4286 y Fy(\033)2662 4313 y Fr(I)2727 4200 y Fi(X)2770 4391 y Fv(\026)2923 4218 y Fy(\030)2967 4174 y Fv(\026)2963 4245 y Fr(I)3016 4218 y Fy(\030)3060 4174 y Fv(\026)3056 4245 y Fr(J)p 2884 4265 277 4 v 2884 4349 a Fy(\013N)3025 4322 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)3172 4286 y Fy(\033)3224 4313 y Fr(J)3290 4286 y Fy(:)158 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(7\))0 4598 y(Consider)30 b Fy(\033)k Ft(as)d(a)g(v)m(ector)h(in)e(an)1160 4524 y Fi(\000)1202 4557 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fx(1)1215 4629 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1359 4524 y Fi(\001)1431 4598 y Ft(dimensional)31 b(space,)h(and)e Fy(\013)2436 4565 y Fr(\000)p Fx(1)2534 4598 y Fy(N)2617 4565 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2767 4530 y Fi(P)2863 4625 y Fv(\026)2927 4598 y Fy(\030)2971 4554 y Fv(\026)2967 4625 y Fr(I)3020 4598 y Fy(\030)3064 4554 y Fv(\026)3060 4625 y Fr(J)3156 4598 y Ft(as)h(the)g(co)s(e\016-)0 4743 y(cien)m(ts)f(of)f(a)g(matrix)g Fy(P)42 b Ft(represen)m(ting)29 b(a)g(map)g(from)f(this)h(space)g(on)m (to)h(itself.)41 b(Then,)28 b(denoting)i(b)m(y)e Fy(\025)3510 4757 y Fv(max)0 4889 y Ft(the)j(op)s(erator)f(norm)g(of)g Fy(P)13 b Ft(,)31 b(uniformly)e(in)h Fy(\033)s Ft(,)58 5060 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))91 5095 y Fi(X)89 5288 y Fv(\026)p Fx(=1)256 5181 y Ft(\()p Fy(H)374 5138 y Fv(\026)367 5209 y(k)423 5181 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))583 5144 y Fx(2)650 5181 y Ft(=)801 5120 y Fy(\013p)p Ft(!)p 757 5161 219 4 v 757 5244 a Fy(N)840 5218 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)986 5181 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(P)e(\033)s Ft(\))27 b Fs(\024)1450 5120 y Fy(\013p)p Ft(!)p 1406 5161 V 1406 5244 a Fy(N)1489 5218 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)1634 5181 y Fs(k)p Fy(\033)s Fs(k)1779 5144 y Fx(2)1779 5204 y(2)1821 5181 y Fy(\025)1874 5195 y Fv(max)2049 5181 y Ft(=)2201 5120 y Fy(\013p)p Ft(!)p 2156 5161 V 2156 5244 a Fy(N)2239 5218 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2385 5053 y Fi(\022)2452 5120 y Fy(N)j Fs(\000)20 b Ft(1)2471 5244 y Fy(p)g Fs(\000)g Ft(1)2692 5053 y Fi(\023)2759 5181 y Fy(\025)2812 5195 y Fv(max)2987 5181 y Fs(\024)k Fy(\013p\025)3239 5195 y Fv(max)3389 5181 y Fy(:)59 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(8\))p eop %%Page: 29 29 29 28 bop 0 45 a Fl(Fluctuations)3160 b Fo(29)0 264 y Ft(In)27 b([Ni2,)j(Theorem)d(2])i(it)f(is)g(sho)m(wn)f(that)h Fy(\025)1506 278 y Fv(max)1684 264 y Ft(is)g(b)s(ounded)d(b)m(y)j(a)g (constan)m(t)h(with)f(probabilit)m(y)g(at)h(least)0 409 y(1)21 b Fs(\000)f Fy(e)199 376 y Fr(\000)p Fv(K)t(N)386 349 y Fm(l)447 409 y Ft(with)30 b Fy(l)d Fs(2)e Ft(\(0)p Fy(;)926 373 y Fx(1)p 926 388 37 4 v 926 440 a(3)973 409 y Ft(\).)41 b(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(the)f(lemma.)42 b Fb(\003)0 633 y Ft(Returning)32 b(to)h(\(5.5\),)h(w)m(e)f(will)f(try) g(to)h(get)h(only)e(terms)g(of)g(the)h(form)e(b)s(ounded)f(b)m(y)i(the) h(lemma)f(ab)s(o)m(v)m(e,)0 779 y(the)i(idea)g(b)s(eing)f(that)h(w)m(e) g(do)f(not)h(really)h(w)m(an)m(t)f(to)g(in)m(tegrate,)j(but)c(rather)g (use)g(a)h(uniform)f(b)s(ound)e(for)0 924 y(the)g(in)m(tegrands.)41 b(W)-8 b(e)31 b(therefore)g(single)g(out)g(those)g Fy(\026)p Ft('s)f(for)g(whic)m(h)g Fy(r)2412 938 y Fv(\026)2486 924 y Ft(=)25 b(1.)41 b(W)-8 b(e)32 b(obtain)491 1273 y Fk(E)26 b Fs(G)620 1145 y Fi(\024)674 1172 y(\020)743 1151 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))776 1186 y Fi(X)774 1379 y Fv(\026)p Fx(=1)956 1273 y Fy(H)1039 1229 y Fv(\026)1032 1300 y(k)1088 1172 y Fi(\021)1142 1191 y Fx(2)p Fv(l)1206 1145 y Fi(\025)1279 1273 y Ft(=)1418 1186 y Fi(X)1389 1369 y Fj(J)h(\032M)p Fn(:)1386 1421 y Fj(jJ)g(j\024)p Fn(2)p Fm(l)1640 1186 y Fi(X)1622 1369 y Fm(r)r Fn(:)p Fm(r)r(/)p Fj(J)1619 1421 y(j)p Fm(r)r Fj(j)p Fn(=2)p Fm(l)1818 1273 y Fy(c)1857 1287 y Fx(2)p Fv(l;r)1979 1273 y Fk(E)26 b Fs(G)2129 1090 y Fi(2)2129 1254 y(4)2209 1186 y(Y)2190 1381 y Fv(\026)p Fr(2J)2360 1273 y Fy(H)2443 1229 y Fv(\026)2436 1300 y(k)2588 1186 y Fi(Y)2507 1386 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)2784 1273 y Ft(\()p Fy(H)2902 1229 y Fv(\026)2895 1300 y(k)2951 1273 y Ft(\))2986 1235 y Fv(r)3020 1244 y Fm(\026)3068 1090 y Fi(3)3068 1254 y(5)3144 1273 y Fy(;)304 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(9\))0 1646 y(where)26 b(the)g(compatibilit)m(y)j(relation)e Fy(r)15 b(/)d Fs(J)43 b Ft(means)26 b(that)h(for)f(all)h Fy(\026)e Fs(2)g(J)16 b Ft(,)28 b Fy(r)2572 1660 y Fv(\026)2646 1646 y Ft(=)d(1.)39 b(Since)27 b(the)f Fy(\026)f Fs(2)g(M)12 b(n)g(J)0 1791 y Ft(will)26 b(not)g(en)m(ter)g(in)f(an)m(y)h(of)g(the)g(calculations)i (that)e(follo)m(w,)i(w)m(e)e(write)g(\(the)g(relation)h Fy(r)h Fs(\036)d(J)42 b Ft(no)m(w)26 b(denotes)0 1937 y(the)31 b(condition)g(that)g Fs(8)p Fy(\026)24 b Fs(2)h(J)16 b Ft(,)31 b Fy(r)1144 1951 y Fv(\026)1218 1937 y Ft(=)25 b(0\))161 2285 y Fy(I)32 b Ft(=)25 b Fk(E)h Fs(G)458 2157 y Fi(\024)512 2184 y(\020)582 2164 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))615 2199 y Fi(X)612 2391 y Fv(\026)p Fx(=1)794 2285 y Fy(H)877 2242 y Fv(\026)870 2313 y(k)926 2184 y Fi(\021)980 2203 y Fx(2)p Fv(l)1044 2157 y Fi(\025)1118 2285 y Ft(=)1257 2199 y Fi(X)1227 2382 y Fj(J)h(\032M)p Fn(:)1225 2433 y Fj(jJ)g(j\024)p Fn(2)p Fm(l)1550 2199 y Fi(X)1524 2382 y Fm(r)r Fn(:)p Fm(r)r Fj(\036J)1457 2433 y(j)p Fm(r)r Fj(j)p Fn(=2)p Fm(l)p Fj(\000jJ)f(j)1800 2285 y Fy(c)1839 2302 y Fx(2)p Fv(l;q)r(;)p Fr(jJ)12 b(j)2087 2285 y Fk(E)25 b Fs(G)2237 2103 y Fi(2)2237 2266 y(4)2317 2199 y(Y)2298 2394 y Fv(\026)p Fr(2J)2468 2285 y Fy(H)2551 2242 y Fv(\026)2544 2313 y(k)2695 2199 y Fi(Y)2615 2398 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)2892 2285 y Ft(\()p Fy(H)3010 2242 y Fv(\026)3003 2313 y(k)3059 2285 y Ft(\))3094 2248 y Fv(r)3128 2257 y Fm(\026)3176 2103 y Fi(3)3176 2266 y(5)1118 2622 y Ft(=)1257 2536 y Fi(X)1227 2718 y Fj(J)8 b(\032M)p Fn(:)1225 2770 y Fj(jJ)g(j\024)p Fn(2)p Fm(l)1446 2622 y Fk(E)26 b Fs(G)1576 2494 y Fi(\024)1664 2536 y(Y)1645 2731 y Fv(\026)p Fr(2J)1815 2622 y Fy(H)1898 2578 y Fv(\026)1891 2650 y(k)2065 2536 y Fi(X)2039 2718 y Fm(r)r Fn(:)p Fm(r)r Fj(\036J)1973 2770 y(j)p Fm(r)r Fj(j)p Fn(=2)p Fm(l)p Fj(\000jJ)6 b(j)2315 2622 y Fy(c)2354 2638 y Fx(2)p Fv(l;q)r(;)p Fr(jJ)12 b(j)2698 2536 y Fi(Y)2617 2735 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)2895 2622 y Ft(\()p Fy(H)3013 2578 y Fv(\026)3006 2650 y(k)3062 2622 y Ft(\))3097 2585 y Fv(r)3131 2594 y Fm(\026)1962 2829 y Fi(|)p 2003 2829 527 11 v 527 w({z)p 2612 2829 V 527 w(})2466 2919 y Fr(L)2516 2928 y Fj(J)2573 2919 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))3194 2494 y Fi(\025)3242 2622 y Fy(:)3428 2544 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(10\))0 3151 y(A)m(t)35 b(this)e(p)s(oin)m(t,)i(w)m(e)f (expand)f(recursiv)m(ely)h(the)g(Boltzmann)g(w)m(eigh)m(ts)h(with)f (resp)s(ect)f(to)i(the)f(terms)f Fy(H)3586 3108 y Fv(\026)3579 3179 y(k)3635 3151 y Ft(,)0 3297 y Fy(\026)26 b Fs(2)g(J)17 b Ft(.)43 b(This)30 b(will)h(generate)i(new)d(terms)h(whic)m(h)g(are)h (sligh)m(tly)g(more)f(complicated)i(than)e(the)g(term)g(w)m(e)0 3442 y(started)g(with.)43 b(The)30 b(pro)s(cedure)g(stops)h(when)f(no)h Fy(H)1846 3399 y Fv(\026)1839 3470 y(k)1925 3442 y Ft(is)g(left)h(to)f (expand)g(in.)42 b(In)30 b(particular,)i(since)f Fs(jJ)17 b(j)0 3588 y Ft(do)s(es)36 b(not)i(dep)s(end)d(on)h Fy(N)10 b Ft(,)39 b(this)e(will)g(ensure)f(that)h(none)g(of)g(the)g(app)s (earing)f(factors)i(will)f(dep)s(end)e(on)0 3733 y Fy(N)10 b Ft(.)108 3700 y Fx(11)109 3885 y Ft(W)-8 b(e)48 b(use)f(the)g(follo)m (wing)h(notation.)91 b(W)-8 b(e)49 b(order)d(the)h(set)g Fs(J)64 b Ft(in)46 b(the)h(canonical)i(w)m(a)m(y)-8 b(,)52 b(i.e.)c Fs(J)69 b Ft(=)0 4030 y Fs(f)p Fy(\026)100 4044 y Fx(1)141 4030 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)32 b(;)15 b(\026)413 4044 y Fv(n)462 4030 y Fs(g)p Ft(,)45 b(with)c Fy(i)i(<)g(j)49 b Fs(\))43 b Fy(\026)1258 4044 y Fv(i)1331 4030 y Fy(<)g(\026)1500 4044 y Fv(j)1538 4030 y Ft(.)73 b(Then,)43 b(w)m(e)e(de\014ne)g(in)m (terp)s(olating)h(Hamiltonians)g(\(they)0 4175 y(will)31 b(reapp)s(ear)e(later\))982 4375 y Fy(H)1065 4338 y Fv(\026)1109 4347 y Fn(1)1145 4338 y Fv(;:::)10 b(;\026)1309 4347 y Fm(n)1058 4398 y Fv(u)1101 4407 y Fn(1)1136 4398 y Fv(;:::)h(;u)1300 4407 y Fm(n)1358 4375 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))26 b(=)f Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))22 b Fs(\000)1969 4262 y Fv(n)1925 4289 y Fi(X)1932 4483 y Fv(i)p Fx(=1)2057 4375 y Ft(\(1)f Fs(\000)f Fy(u)2301 4389 y Fv(i)2331 4375 y Ft(\))p Fy(H)2449 4332 y Fv(\026)2493 4341 y Fm(i)2442 4403 y Fv(k)2527 4375 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(:)751 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(11\))0 4659 y(In)40 b(particular,)k Fy(H)49 b Ft(=)42 b Fy(H)903 4616 y Fv(\026)947 4625 y Fn(1)983 4616 y Fv(;:::)11 b(;\026)1148 4625 y Fm(n)896 4683 y Fx(1)p Fv(;:::)g(;)p Fx(1)1196 4659 y Ft(,)44 b(and)c(if)g Fy(u)1597 4673 y Fv(j)1678 4659 y Ft(=)i(0,)i(then)c Fy(H)2205 4626 y Fv(\026)2249 4635 y Fn(1)2285 4626 y Fv(;:::)11 b(;\026)2450 4635 y Fm(n)2198 4682 y Fv(u)2241 4691 y Fn(1)2276 4682 y Fv(;:::)g(;u)2440 4691 y Fm(n)2539 4659 y Ft(is)41 b(indep)s(enden)m(t)e(of)i Fy(\030)3324 4610 y Fv(\026)3368 4619 y Fm(j)3320 4687 y Fv(k)3407 4659 y Ft(.)71 b(The)0 4805 y(asso)s(ciated)31 b(Gibbs)d(measures)h(and)g(partition)g(functions)g(will)g(b)s(e)g (denoted)g(b)m(y)g Fs(G)2846 4772 y Fv(\026)2890 4781 y Fn(1)2926 4772 y Fv(;:::)11 b(;\026)3091 4781 y Fm(n)2841 4827 y Fv(u)2884 4836 y Fn(1)2920 4827 y Fv(;:::)f(;u)3083 4836 y Fm(n)3140 4805 y Ft(,)30 b(resp)s(ectiv)m(ely)0 4950 y Fy(Z)69 4917 y Fv(\026)113 4926 y Fn(1)148 4917 y Fv(;:::)11 b(;\026)313 4926 y Fm(n)62 4973 y Fv(u)105 4982 y Fn(1)141 4973 y Fv(;:::)f(;u)304 4982 y Fm(n)362 4950 y Ft(.)p 0 5085 546 4 v 109 5156 a Fp(11)180 5182 y Fo(One)21 b(ma)n(y)f(ask)g(wh)n(y)g(w)n(e)h(do)f(not)g(expand)g(join) n(tly)g(in)h(all)g(the)g(patterns)h Fg(\026)f Fd(2)g(J)35 b Fo(at)20 b(once.)33 b(It)21 b(turns)g(out)f(that)g(one)h(needs)0 5273 y(a)k(similar)i(recursiv)n(e)h(sc)n(heme)e(since)h(there)g(will)g (alw)n(a)n(ys)e(b)r(e)h(error)h(terms)f(whic)n(h)g(cannot)f(b)r(e)h (treated)g(b)n(y)g(Lemma)f(5.2.)p eop %%Page: 30 30 30 29 bop 0 45 a Fo(30)3243 b Fl(Chapter)25 b(5)109 264 y Ft(The)30 b(terms)g(that)h(will)g(app)s(ear)f(are)g(of)h(the)g(form) 546 648 y Fk(E)26 b Fs(G)675 610 y Fv(\026)719 619 y Fn(1)761 610 y Fv(;:::)10 b(;\026)925 627 y Fm(n)965 614 y Fj(0)670 670 y Fv(u)713 679 y Fn(1)754 670 y Fv(;:::)h(;u)918 687 y Fm(n)958 674 y Fj(0)999 610 y Fr(\012)p Fv(q)1111 465 y Fi(2)1111 629 y(4)1271 534 y Fv(n)1235 561 y Fi(Y)1172 756 y Fv(i)p Fx(=)p Fv(n)1299 738 y Fj(0)1323 756 y Fx(+1)1430 648 y Fy(H)1513 604 y Fv(\026)1557 613 y Fm(i)1506 675 y Fv(k)1590 648 y Ft(\()p Fy(\033)1680 610 y Fx(1)1722 648 y Ft(\))1796 534 y Fv(n)1841 507 y Fj(0)1773 561 y Fi(Y)1772 755 y Fv(i)p Fx(=1)1905 648 y Fy(H)1988 604 y Fv(\026)2032 613 y Fm(i)1981 675 y Fv(k)2066 648 y Ft(\()p Fy(\033)2156 610 y Fx(1)2197 648 y Ft(\))p Fy(H)2315 604 y Fv(\026)2359 613 y Fm(i)2308 675 y Fv(k)2393 648 y Ft(\()p Fy(\033)2483 610 y Fv(\031)2526 627 y Fm(n)2566 614 y Fj(0)2595 610 y Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2682 648 y Ft(\))p Fs(L)2780 662 y Fr(J)2846 648 y Ft(\()p Fy(\033)2936 610 y Fx(1)2978 648 y Ft(\))3013 465 y Fi(3)3013 629 y(5)3089 648 y Fy(;)314 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(12\))0 1037 y(where)33 b Fy(q)h Fs(\024)c Fy(n)497 1004 y Fr(0)522 1037 y Ft(,)35 b(and)e(the)g Fy(\031)973 1051 y Fv(j)1012 1037 y Ft(,)h Fy(j)j Ft(=)30 b(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)32 b(;)15 b(n)34 b Ft(are)g(functions)f(from)g Fs(f)p Ft(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(n)2728 1004 y Fr(0)2753 1037 y Fs(g)34 b Ft(to)g Fs(f)p Ft(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(n)3309 1004 y Fr(0)3335 1037 y Fs(g)p Ft(.)50 b(They)0 1183 y(app)s(ear)26 b(b)s(ecause)h(the)g(expansion)g(of)g(the) g(denominator)g(\(the)h(partition)f(function\))g(will)h(in)m(tro)s (duce)e(new)0 1328 y(copies)31 b(of)g(the)f(measure)h(\(hence)f(the)h (p)s(o)m(w)m(er)f Fy(q)s Ft(\).)109 1494 y(The)35 b(\014rst)f(pro)s (duct)f(in)i(the)g(in)m(tegrand)g(ab)s(o)m(v)m(e)i(con)m(tains)f(the)f Fy(H)2389 1450 y Fv(\026)2382 1522 y(k)2472 1494 y Ft(with)g(resp)s (ect)g(to)h(whic)m(h)e(the)h(ex-)0 1640 y(pansion)30 b(has)g(not)h(y)m(et)g(b)s(een)f(done.)40 b(The)30 b(second)h(corresp)s (onds)e(to)i(those)g(whic)m(h)f(ha)m(v)m(e)h(b)s(een)f(used.)109 1806 y(The)20 b(initial)j(expressions)d(on)h(the)g(righ)m(t)g(of)g (\(5.10\))i(corresp)s(ond)d(to)h(the)h(case)f Fy(q)29 b Ft(=)24 b(1,)g Fy(n)3024 1773 y Fr(0)3074 1806 y Ft(=)h(0,)f Fy(u)3316 1820 y Fv(i)3371 1806 y Ft(=)h(1)p Fy(;)15 b Fs(8)p Fy(i)p Ft(,)0 1951 y(that)31 b(is,)780 2226 y Fk(E)26 b Fs(G)931 2043 y Fi(2)931 2207 y(4)1010 2140 y(Y)991 2335 y Fv(\026)p Fr(2J)1161 2226 y Fy(H)1244 2182 y Fv(\026)1237 2254 y(k)1293 2226 y Fs(L)1356 2240 y Fr(J)1422 2226 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))1547 2043 y Fi(3)1547 2207 y(5)1633 2226 y Ft(=)f Fk(E)h Fs(G)1859 2182 y Fv(\026)1903 2191 y Fn(1)1944 2182 y Fv(;:::)11 b(;\026)2109 2191 y Fm(n)1853 2250 y Fx(1)p Fv(;:::)17 b(;)p Fx(1)2173 2071 y Fi(")2263 2113 y Fv(n)2227 2140 y Fi(Y)2226 2333 y Fv(i)p Fx(=1)2359 2226 y Fy(H)2442 2182 y Fv(\026)2435 2254 y(k)2491 2226 y Fs(L)2554 2240 y Fr(J)2620 2226 y Ft(\()p Fy(\033)2710 2189 y Fx(1)2751 2226 y Ft(\))2786 2071 y Fi(#)2855 2226 y Fy(:)548 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(13\))0 2565 y(The)30 b(follo)m(wing)i(pro)m(vides)e (the)h(basic)f(recursion)g(relation.)0 2804 y Fc(Lemma)39 b(5.3:)94 b Fq(F)-7 b(or)34 b(al)5 b(l)34 b(numb)-5 b(ers)34 b Fy(n)1397 2771 y Fr(0)1448 2804 y Fs(2)26 b(f)p Ft(0)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(n)21 b Fs(\000)f Ft(1)p Fs(g)p Fq(,)34 b Fy(q)29 b Fs(2)d Fk(N)7 b Fq(,)39 b(and)34 b Fy(u)2675 2818 y Fx(1)2716 2804 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)32 b(;)15 b(u)2985 2818 y Fv(n)3030 2799 y Fj(0)3059 2804 y Fq(,)33 b(and)i(functions)0 2949 y Fy(\031)52 2963 y Fv(n)97 2945 y Fj(0)126 2949 y Fq(,)d(ther)-5 b(e)34 b(exist)f(functions)g Ft(\()p Fy(\031)1110 2905 y Fv(j)1107 2976 y(n)1152 2958 y Fj(0)1176 2976 y Fx(+1)1273 2949 y Ft(\))1308 2963 y Fv(j)t Fx(=1)p Fv(;:::)11 b(;q)r Fx(+1)1687 2949 y Fq(,)32 b(and)i(a)f(numb)-5 b(er)33 b Fy(u)2379 2963 y Fv(n)2424 2945 y Fj(0)2448 2963 y Fx(+1)2570 2949 y Fs(2)25 b Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1])34 b Fq(such)f(that)116 3350 y Fk(E)26 b Fs(G)245 3312 y Fv(\026)289 3321 y Fn(1)331 3312 y Fv(;:::)10 b(;\026)495 3329 y Fm(n)535 3316 y Fj(0)240 3372 y Fv(u)283 3381 y Fn(1)324 3372 y Fv(;:::)h(;u)488 3389 y Fm(n)528 3376 y Fj(0)569 3312 y Fr(\012)p Fv(q)681 3167 y Fi(2)681 3331 y(4)841 3236 y Fv(n)805 3263 y Fi(Y)742 3458 y Fv(i)p Fx(=)p Fv(n)869 3440 y Fj(0)893 3458 y Fx(+1)1000 3350 y Fy(H)1083 3306 y Fv(\026)1127 3315 y Fm(i)1076 3377 y Fv(k)1160 3350 y Ft(\()p Fy(\033)1250 3312 y Fx(1)1292 3350 y Ft(\))1366 3236 y Fv(n)1411 3209 y Fj(0)1343 3263 y Fi(Y)1342 3457 y Fv(i)p Fx(=1)1475 3350 y Fy(H)1558 3306 y Fv(\026)1602 3315 y Fm(i)1551 3377 y Fv(k)1636 3350 y Ft(\()p Fy(\033)1726 3312 y Fx(1)1767 3350 y Ft(\))p Fy(H)1885 3306 y Fv(\026)1929 3315 y Fm(i)1878 3377 y Fv(k)1963 3350 y Ft(\()p Fy(\033)2053 3312 y Fv(\031)2096 3329 y Fm(n)2136 3316 y Fj(0)2165 3312 y Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2252 3350 y Ft(\))p Fs(L)2350 3364 y Fr(J)2417 3350 y Ft(\()p Fy(\033)2507 3312 y Fx(1)2548 3350 y Ft(\))2583 3167 y Fi(3)2583 3331 y(5)433 3714 y Ft(=)25 b Fs(\000)p Fy(\014)718 3596 y Fv(q)671 3627 y Fi(X)673 3821 y Fv(j)t Fx(=1)817 3714 y Fk(E)h Fs(G)946 3658 y Fv(\026)990 3667 y Fn(1)1032 3658 y Fv(;:::)11 b(;\026)1197 3675 y Fm(n)1237 3662 y Fj(0)1261 3675 y Fn(+1)941 3724 y Fv(u)984 3733 y Fn(1)1025 3724 y Fv(;:::)g(;u)1189 3741 y Fm(n)1229 3728 y Fj(0)1253 3741 y Fn(+1)1348 3676 y Fr(\012)p Fv(q)1460 3531 y Fi(2)1460 3694 y(4)1620 3600 y Fv(n)1584 3627 y Fi(Y)1521 3822 y Fv(i)p Fx(=)p Fv(n)1648 3804 y Fj(0)1672 3822 y Fx(+2)1779 3714 y Fy(H)1862 3670 y Fv(\026)1906 3679 y Fm(i)1855 3741 y Fv(k)1939 3714 y Ft(\()p Fy(\033)2029 3676 y Fx(1)2071 3714 y Ft(\))2121 3600 y Fv(n)2166 3572 y Fj(0)2191 3600 y Fx(+1)2144 3627 y Fi(Y)2143 3821 y Fv(i)p Fx(=1)2298 3714 y Fy(H)2381 3670 y Fv(\026)2425 3679 y Fm(i)2374 3741 y Fv(k)2458 3714 y Ft(\()p Fy(\033)2548 3676 y Fx(1)2590 3714 y Ft(\))p Fy(H)2708 3670 y Fv(\026)2752 3679 y Fm(i)2701 3741 y Fv(k)2786 3714 y Ft(\()p Fy(\033)2876 3665 y Fv(\031)2921 3634 y Fm(j)2919 3696 y(n)2959 3683 y Fj(0)2983 3696 y Fn(+1)3066 3665 y Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))3153 3714 y Ft(\))p Fs(L)3251 3728 y Fr(J)3317 3714 y Ft(\()p Fy(\033)3407 3676 y Fx(1)3448 3714 y Ft(\))3483 3531 y Fi(3)3483 3694 y(5)520 4077 y Ft(+)622 4016 y Fy(\014)p 622 4056 57 4 v 628 4140 a(q)689 4077 y Fk(E)26 b Fs(G)819 4022 y Fv(\026)863 4031 y Fn(1)904 4022 y Fv(;:::)11 b(;\026)1069 4038 y Fm(n)1109 4025 y Fj(0)1133 4038 y Fn(+1)813 4088 y Fv(u)856 4097 y Fn(1)898 4088 y Fv(;:::)f(;u)1061 4105 y Fm(n)1101 4092 y Fj(0)1126 4105 y Fn(+1)1220 4040 y Fr(\012)p Fv(q)r Fx(+1)1424 3894 y Fi(2)1424 4058 y(4)1584 3964 y Fv(n)1548 3991 y Fi(Y)1485 4186 y Fv(i)p Fx(=)p Fv(n)1612 4168 y Fj(0)1636 4186 y Fx(+2)1743 4077 y Fy(H)1826 4033 y Fv(\026)1870 4042 y Fm(i)1819 4105 y Fv(k)1904 4077 y Ft(\()p Fy(\033)1994 4040 y Fx(1)2035 4077 y Ft(\))2085 3964 y Fv(n)2130 3936 y Fj(0)2155 3964 y Fx(+1)2108 3991 y Fi(Y)2108 4184 y Fv(i)p Fx(=1)2262 4077 y Fy(H)2345 4033 y Fv(\026)2389 4042 y Fm(i)2338 4105 y Fv(k)2423 4077 y Ft(\()p Fy(\033)2513 4040 y Fx(1)2554 4077 y Ft(\))p Fy(H)2672 4033 y Fv(\026)2716 4042 y Fm(i)2665 4105 y Fv(k)2750 4077 y Ft(\()p Fy(\033)2840 4029 y Fv(\031)2885 3998 y Fm(q)r Fn(+1)2883 4060 y Fm(n)2923 4047 y Fj(0)2948 4060 y Fn(+1)3030 4029 y Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))3117 4077 y Ft(\))p Fs(L)3215 4091 y Fr(J)3281 4077 y Ft(\()p Fy(\033)3371 4040 y Fx(1)3413 4077 y Ft(\))3448 3894 y Fi(3)3448 4058 y(5)3428 4295 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(14\))0 4441 y Fq(The)33 b(functions)g Ft(\()p Fy(\031)671 4397 y Fv(j)668 4467 y(n)713 4449 y Fj(0)738 4467 y Fx(+1)834 4441 y Ft(\))869 4455 y Fv(j)t Fx(=1)p Fv(;:::)11 b(;q)r Fx(+1)1280 4441 y Fq(satisfy)1125 4792 y Fy(\031)1180 4748 y Fv(j)1177 4818 y(n)1222 4800 y Fj(0)1247 4818 y Fx(+1)1343 4792 y Ft(\()p Fy(i)p Ft(\))26 b(=)1566 4663 y Fi(\032)1665 4723 y Fy(\031)1717 4737 y Fv(n)1762 4719 y Fj(0)1791 4723 y Ft(\()p Fy(i)p Ft(\))p Fy(;)109 b Ft(if)30 b Fy(i)c Fs(\024)f Fy(n)2317 4690 y Fr(0)2342 4723 y Ft(;)1665 4860 y Fy(j;)284 b Ft(if)30 b Fy(i)c Ft(=)f Fy(n)2302 4827 y Fr(0)2347 4860 y Ft(+)20 b(1)p Fy(:)3428 4792 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(15\))38 5126 y Fu(Pro)s(of:)63 b Ft(W)-8 b(e)39 b(expand)e(the)h(Boltzmann)g(w)m(eigh)m(t)i(of)d(the)h (Gibbs)f(measure)g(on)h(the)g(left-hand)f(side)h(of)0 5271 y(\(5.14\))j(in)c(the)i(pattern)f Fy(\026)935 5285 y Fv(n)980 5267 y Fj(0)1005 5285 y Fx(+1)1101 5271 y Ft(.)65 b(Since)38 b Fy(H)1519 5223 y Fv(\026)1563 5232 y Fn(1)1599 5223 y Fv(;:::)10 b(;\026)1763 5240 y Fm(n)1803 5227 y Fj(0)1512 5282 y Fv(u)1555 5291 y Fn(1)1590 5282 y Fv(;:::)h(;u)1754 5299 y Fm(n)1794 5286 y Fj(0)1875 5271 y Ft(=)38 b Fy(H)2067 5216 y Fv(\026)2111 5225 y Fn(1)2147 5216 y Fv(;:::)11 b(;\026)2312 5232 y Fm(n)2352 5219 y Fj(0)2381 5216 y Fv(;\026)2447 5232 y Fm(n)2487 5219 y Fj(0)2511 5232 y Fn(+1)2060 5282 y Fv(u)2103 5291 y Fn(1)2138 5282 y Fv(;:::)g(;u)2302 5299 y Fm(n)2342 5286 y Fj(0)2371 5282 y Fv(;u)2436 5299 y Fm(n)2476 5286 y Fj(0)2500 5299 y Fn(+1)2598 5271 y Fs(j)2623 5285 y Fv(u)2666 5302 y Fm(n)2706 5289 y Fj(0)2731 5302 y Fn(+1)2813 5285 y Fx(=1)2910 5271 y Ft(,)40 b(expanding)e(in)g(the)p eop %%Page: 31 31 31 30 bop 0 45 a Fl(Fluctuations)3160 b Fo(31)0 264 y Ft(v)-5 b(ariable)31 b Fy(u)393 278 y Fv(n)438 259 y Fj(0)463 278 y Fx(+1)590 264 y Ft(ab)s(out)f(0)g(to)i(zero)f(order)f (with)g(remainder)g(of)g(order)g(1)h(yields)130 520 y(exp)284 392 y Fi(\022)371 520 y Fs(\000)20 b Fy(\014)534 452 y Fi(P)630 475 y Fv(q)630 548 y(j)664 529 y Fj(0)688 548 y Fx(=1)800 520 y Fy(H)883 472 y Fv(\026)927 481 y Fn(1)962 472 y Fv(;:::)11 b(;\026)1127 489 y Fm(n)1167 476 y Fj(0)876 531 y Fv(u)919 540 y Fn(1)954 531 y Fv(;:::)f(;u)1117 548 y Fm(n)1157 535 y Fj(0)1201 520 y Ft(\()p Fy(\033)1291 487 y Fv(j)1325 460 y Fj(0)1354 520 y Ft(\))1389 392 y Fi(\023)p 130 621 1327 4 v 544 707 a Ft(\()p Fy(Z)648 659 y Fv(\026)692 668 y Fn(1)728 659 y Fv(;:::)h(;\026)893 676 y Fm(n)933 663 y Fj(0)641 718 y Fv(u)684 727 y Fn(1)720 718 y Fv(;:::)g(;u)884 735 y Fm(n)924 722 y Fj(0)966 707 y Ft(\))1001 681 y Fv(q)1492 642 y Ft(=)1599 520 y(exp)1753 392 y Fi(\022)1840 520 y Fs(\000)20 b Fy(\014)2003 452 y Fi(P)2099 475 y Fv(q)2099 548 y(j)2133 529 y Fj(0)2157 548 y Fx(=1)2269 520 y Fy(H)2352 465 y Fv(\026)2396 474 y Fn(1)2431 465 y Fv(;:::)11 b(;\026)2596 481 y Fm(n)2636 468 y Fj(0)2665 465 y Fv(;\026)2731 481 y Fm(n)2771 468 y Fj(0)2796 481 y Fn(+1)2345 544 y Fv(u)2388 553 y Fn(1)2423 544 y Fv(;:::)g(;u)2587 561 y Fm(n)2627 548 y Fj(0)2655 544 y Fv(;)p Fx(0)2882 520 y Ft(\()p Fy(\033)2972 487 y Fv(j)3006 460 y Fj(0)3036 520 y Ft(\))3071 392 y Fi(\023)p 1599 621 1539 4 v 2081 715 a Ft(\()p Fy(Z)2185 659 y Fv(\026)2229 668 y Fn(1)2265 659 y Fv(;:::)g(;\026)2430 676 y Fm(n)2470 663 y Fj(0)2494 676 y Fn(+1)2178 739 y Fv(u)2221 748 y Fn(1)2257 739 y Fv(;:::)g(;u)2421 756 y Fm(n)2461 743 y Fj(0)2490 739 y Fv(;)p Fx(0)2581 715 y Ft(\))2616 689 y Fv(q)1229 1046 y Fs(\000)20 b Fy(\014)1439 928 y Fv(q)1391 960 y Fi(X)1394 1153 y Fv(j)t Fx(=1)1548 924 y Ft(exp)1702 796 y Fi(\022)1790 924 y Fs(\000)f Fy(\014)1952 856 y Fi(P)2048 879 y Fv(q)2048 952 y(j)2082 933 y Fj(0)2106 952 y Fx(=1)2218 924 y Fy(H)2301 869 y Fv(\026)2345 878 y Fn(1)2380 869 y Fv(;:::)11 b(;\026)2545 885 y Fm(n)2585 872 y Fj(0)2614 869 y Fv(;\026)2680 885 y Fm(n)2720 872 y Fj(0)2745 885 y Fn(+1)2294 935 y Fv(u)2337 944 y Fn(1)2372 935 y Fv(;:::)g(;u)2536 952 y Fm(n)2576 939 y Fj(0)2604 935 y Fv(;u)2669 952 y Fm(n)2709 939 y Fj(0)2734 952 y Fn(+1)2831 924 y Ft(\()p Fy(\033)2921 891 y Fv(j)2955 864 y Fj(0)2985 924 y Ft(\))3020 796 y Fi(\023)p 1548 1025 V 1963 1119 a Ft(\()p Fy(Z)2067 1063 y Fv(\026)2111 1072 y Fn(1)2146 1063 y Fv(;:::)g(;\026)2311 1080 y Fm(n)2351 1067 y Fj(0)2380 1063 y Fv(;\026)2446 1080 y Fm(n)2486 1067 y Fj(0)2511 1080 y Fn(+1)2060 1130 y Fv(u)2103 1139 y Fn(1)2139 1130 y Fv(;:::)f(;u)2302 1146 y Fm(n)2342 1133 y Fj(0)2371 1130 y Fv(;u)2436 1146 y Fm(n)2476 1133 y Fj(0)2500 1146 y Fn(+1)2597 1119 y Ft(\))2632 1093 y Fv(q)3098 1046 y Fy(H)3181 990 y Fv(\026)3225 1007 y Fm(n)3265 994 y Fj(0)3290 1007 y Fn(+1)3174 1073 y Fv(k)3377 1046 y Ft(\()p Fy(\033)3467 1009 y Fv(j)3505 1046 y Ft(\))1229 1465 y(+)1331 1343 y Fy(\014)20 b Ft(exp)1556 1215 y Fi(\022)1643 1343 y Fs(\000)g Fy(\014)1805 1275 y Fi(P)1901 1297 y Fv(q)1901 1370 y(j)1935 1352 y Fj(0)1960 1370 y Fx(=1)2071 1343 y Fy(H)2154 1287 y Fv(\026)2198 1296 y Fn(1)2234 1287 y Fv(;:::)11 b(;\026)2399 1304 y Fm(n)2439 1291 y Fj(0)2468 1287 y Fv(;\026)2534 1304 y Fm(n)2574 1291 y Fj(0)2598 1304 y Fn(+1)2147 1354 y Fv(u)2190 1363 y Fn(1)2225 1354 y Fv(;:::)g(;u)2389 1370 y Fm(n)2429 1357 y Fj(0)2458 1354 y Fv(;u)2523 1370 y Fm(n)2563 1357 y Fj(0)2587 1370 y Fn(+1)2685 1343 y Ft(\()p Fy(\033)2775 1310 y Fv(j)2809 1283 y Fj(0)2838 1343 y Ft(\))2873 1215 y Fi(\023)p 1331 1444 1611 4 v 1713 1538 a Fy(q)s Ft(\()p Fy(Z)1861 1482 y Fv(\026)1905 1491 y Fn(1)1940 1482 y Fv(;:::)g(;\026)2105 1499 y Fm(n)2145 1486 y Fj(0)2174 1482 y Fv(;\026)2240 1499 y Fm(n)2280 1486 y Fj(0)2304 1499 y Fn(+1)1854 1548 y Fv(u)1897 1557 y Fn(1)1932 1548 y Fv(;:::)g(;u)2096 1565 y Fm(n)2136 1552 y Fj(0)2165 1548 y Fv(;u)2230 1565 y Fm(n)2270 1552 y Fj(0)2294 1565 y Fn(+1)2391 1538 y Ft(\))2426 1512 y Fv(q)r Fx(+1)1320 1741 y Fs(\002)20 b Fk(E)1465 1758 y Fv(\033)1510 1740 y Fm(q)r Fn(+1)1649 1741 y Ft(exp)1803 1613 y Fi(\022)1890 1741 y Fs(\000)g Fy(\014)5 b(H)2120 1685 y Fv(\026)2164 1694 y Fn(1)2200 1685 y Fv(;:::)11 b(;\026)2365 1702 y Fm(n)2405 1689 y Fj(0)2434 1685 y Fv(;\026)2500 1702 y Fm(n)2540 1689 y Fj(0)2564 1702 y Fn(+1)2113 1752 y Fv(u)2156 1761 y Fn(1)2191 1752 y Fv(;:::)g(;u)2355 1768 y Fm(n)2395 1755 y Fj(0)2424 1752 y Fv(;u)2489 1768 y Fm(n)2529 1755 y Fj(0)2553 1768 y Fn(+1)2651 1741 y Ft(\()p Fy(\033)2741 1703 y Fv(q)r Fx(+1)2874 1741 y Ft(\))2909 1613 y Fi(\023)2976 1741 y Fy(H)3059 1685 y Fv(\026)3103 1702 y Fm(n)3143 1689 y Fj(0)3168 1702 y Fn(+1)3052 1768 y Fv(k)3254 1741 y Ft(\()p Fy(\033)3344 1703 y Fv(q)r Fx(+1)3477 1741 y Ft(\))p Fy(;)3428 1905 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(16\))0 2050 y(for)30 b(some)h Fy(u)419 2064 y Fv(n)464 2046 y Fj(0)488 2064 y Fx(+1)610 2050 y Fs(2)25 b Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1].)109 2196 y(The)24 b(\014rst)g(term)h(on)g(the)g(righ)m(t)g(do)s(es)g(not)g (dep)s(end)e(on)i Fy(\030)2001 2140 y Fv(\026)2045 2157 y Fm(n)2085 2144 y Fj(0)2109 2157 y Fn(+1)1997 2223 y Fv(k)2221 2196 y Ft(\(see)h(the)f(remark)f(after)h(\(5.11\)\).)42 b(Hence,)0 2341 y(when)33 b(m)m(ultiplied)h(b)m(y)g(the)g(pro)s(ducts)f (of)h(the)g Fy(H)1697 2297 y Fv(\026)1690 2368 y(k)1746 2341 y Ft(,)h(this)f(disorder)f(v)-5 b(ariable)35 b(app)s(ears)e (exactly)j(once,)g(so)0 2486 y(that)31 b(in)m(tegration)h(with)e(resp)s (ect)h(to)g(it)g(yields)f(zero.)109 2632 y(The)e(second)h(and)f(third)g (term)h(ab)s(o)m(v)m(e)h(giv)m(e)g(the)f(new)f(terms)h(on)g(the)f(righ) m(t)i(in)e(\(5.14\).)43 b(The)28 b(relations)0 2777 y(for)i(the)h (functions)f Fy(\031)743 2734 y Fv(j)740 2804 y(n)785 2786 y Fj(0)809 2804 y Fx(+1)936 2777 y Ft(are)h(easily)g(v)m (eri\014ed.)41 b Fb(\003)0 2996 y Ft(Applying)30 b(this)g(recursion)g (relation)i Fy(n)e Ft(times)g(yields)h(the)g(follo)m(wing)g(decomp)s (osition.)0 3214 y Fc(Lemma)38 b(5.4:)91 b Fq(L)-5 b(et)33 b Fs(J)41 b Ft(=)25 b Fs(f)p Fy(\026)1131 3228 y Fx(1)1172 3214 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)32 b(;)15 b(\026)1444 3228 y Fv(n)1494 3214 y Fs(g)p Fq(,)33 b Fy(n)24 b Fs(\024)h Ft(2)p Fy(l)r Fq(.)42 b(Then)33 b(ther)-5 b(e)34 b(exist)e(numb)-5 b(ers)34 b Fy(u)3008 3228 y Fx(1)3048 3214 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)32 b(;)15 b(u)3317 3228 y Fv(n)3392 3214 y Fs(2)25 b Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1])0 3359 y Fq(such)33 b(that)144 3613 y Fk(E)25 b Fs(G)273 3512 y Fi(h)373 3499 y Fv(n)338 3526 y Fi(Y)337 3720 y Fv(i)p Fx(=1)470 3613 y Fy(H)553 3569 y Fv(\026)597 3578 y Fm(i)546 3640 y Fv(k)630 3613 y Ft(\()p Fy(\033)720 3575 y Fx(1)762 3613 y Ft(\))p Fs(L)860 3627 y Fr(J)926 3613 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))1051 3512 y Fi(i)1120 3613 y Ft(=)1259 3499 y Fv(n)1216 3526 y Fi(X)1218 3719 y Fv(q)r Fx(=1)1365 3526 y Fi(X)1362 3717 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)1515 3613 y Fy(c)1554 3627 y Fv(\031)r(;q)1661 3613 y Fy(\014)1717 3575 y Fv(n)1766 3613 y Fs(G)1825 3575 y Fv(\026)1869 3584 y Fn(1)1905 3575 y Fv(;:::)11 b(;\026)2070 3584 y Fm(n)1820 3635 y Fv(u)1863 3644 y Fn(1)1899 3635 y Fv(;:::)g(;u)2063 3644 y Fm(n)2119 3575 y Fr(\012)p Fv(q)2216 3512 y Fi(h)2311 3499 y Fv(n)2275 3526 y Fi(Y)2274 3720 y Fv(i)p Fx(=1)2407 3613 y Fy(H)2490 3569 y Fv(\026)2534 3578 y Fm(i)2483 3640 y Fv(k)2568 3613 y Ft(\()p Fy(\033)2658 3575 y Fx(1)2699 3613 y Ft(\))p Fy(H)2817 3569 y Fv(\026)2861 3578 y Fm(i)2810 3640 y Fv(k)2895 3613 y Ft(\()p Fy(\033)2985 3575 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))3117 3613 y Ft(\))p Fs(L)3215 3627 y Fr(J)3282 3613 y Ft(\()p Fy(\033)3372 3575 y Fx(1)3413 3613 y Ft(\))3448 3512 y Fi(i)3491 3613 y Fy(;)3428 3818 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(17\))0 3963 y Fq(wher)-5 b(e)38 b(the)g(functions)g Fy(\031)i Fq(p)-5 b(ermute)39 b(the)f(indic)-5 b(es)37 b Fy(i)d Fs(2)g(f)p Ft(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(n)p Fs(g)p Fq(,)38 b(and)h(the)f(r)-5 b(elation)39 b Fy(\031)e Fs(\030)c Fy(q)40 b Fq(describ)-5 b(es)0 4109 y(the)34 b(c)-5 b(ondition)36 b(that)f Fs(jf)p Fy(i)28 b Fs(2)f(f)p Ft(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(n)p Fs(g)28 b Ft(:)g Fy(\031)s Ft(\()p Fy(i)p Ft(\))g Fs(6)p Ft(=)f(1)p Fs(gj)i Ft(=)e Fy(q)s Fq(.)45 b(The)34 b(numb)-5 b(er)35 b(of)f(such)g(functions)g Fy(\031)j Fq(is)c(thus)0 4254 y(indep)-5 b(endent)34 b(of)f Fy(N)10 b Fq(.)0 4472 y Fu(Pro)s(of:)51 b Ft(The)32 b(pro)s(of)f(follo)m(ws)i (b)m(y)f(applying)g(the)h(recursion)e(relation)j(from)d(Lemma)h(5.3)h Fy(n)f Ft(times.)46 b(Ob-)0 4618 y(serving)30 b(that)h(eac)m(h)h(step)e (adds)g(at)h(most)g(one)f(other)h(replica)g(implies)g(that)g Fy(q)d Fs(\024)d Fy(n)p Ft(.)40 b Fb(\003)109 4836 y Ft(W)-8 b(e)32 b(\014nally)e(sum)f(o)m(v)m(er)j(the)f(sets)f Fs(J)42 b(\032)25 b(M)30 b Ft(on)h(the)f(righ)m(t)h(of)g(\(5.10\).)43 b(W)-8 b(e)31 b(obtain)241 5141 y Fs(j)p Fy(I)7 b Fs(j)25 b(\024)501 5054 y Fi(X)471 5237 y Fj(J)9 b(\032M)p Fn(:)470 5289 y Fj(jJ)f(j)p Fn(=2)p Fm(l)703 5019 y Fr(jJ)j(j)690 5054 y Fi(X)691 5247 y Fv(q)r Fx(=1)839 5054 y Fi(X)836 5245 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)988 5141 y Fy(c)1027 5155 y Fv(\031)r(;q)1134 5141 y Fy(\014)1190 5103 y Fv(n)1240 5141 y Fk(E)26 b Fs(G)1369 5103 y Fv(\026)1413 5112 y Fn(1)1455 5103 y Fv(;:::)11 b(;\026)1620 5112 y Fm(n)1364 5163 y Fv(u)1407 5172 y Fn(1)1448 5163 y Fv(;:::)g(;u)1612 5172 y Fm(n)1669 5103 y Fr(\012)p Fv(q)1766 5040 y Fi(h)1860 5027 y Fv(n)1825 5054 y Fi(Y)1824 5248 y Fv(i)p Fx(=1)1957 5036 y Fi(\014)1957 5091 y(\014)1957 5145 y(\014)1987 5141 y Fy(H)2070 5097 y Fv(\026)2114 5106 y Fm(i)2063 5168 y Fv(k)2147 5141 y Ft(\()p Fy(\033)2237 5103 y Fx(1)2279 5141 y Ft(\))p Fy(H)2397 5097 y Fv(\026)2441 5106 y Fm(i)2390 5168 y Fv(k)2475 5141 y Ft(\()p Fy(\033)2565 5103 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2697 5141 y Ft(\))2732 5036 y Fi(\014)2732 5091 y(\014)2732 5145 y(\014)2763 5036 y(\014)2763 5091 y(\014)2763 5145 y(\014)2793 5141 y Fs(L)2856 5155 y Fr(J)2922 5141 y Ft(\()p Fy(\033)3012 5103 y Fx(1)3053 5141 y Ft(\))3088 5036 y Fi(\014)3088 5091 y(\014)3088 5145 y(\014)3119 5040 y(i)3162 5141 y Fy(:)241 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(18\))p eop %%Page: 32 32 32 31 bop 0 45 a Fo(32)3243 b Fl(Chapter)25 b(5)0 264 y Ft(First,)31 b(w)m(e)g(observ)m(e)g(that)g(since)f Fs(j)p Fy(H)1232 220 y Fv(\026)1225 291 y(k)1281 264 y Fs(j)c Fy(<)f Ft(1,)221 488 y Fs(jL)309 502 y Fr(J)375 488 y Fs(j)h(\024)625 402 y Fi(X)599 584 y Fm(r)r Fn(:)p Fm(r)r Fj(\036J)533 636 y(j)p Fm(r)r Fj(j)p Fn(=2)p Fm(l)p Fj(\000jJ)6 b(j)875 488 y Fy(c)914 505 y Fx(2)p Fv(l;r)n(;)p Fr(jJ)11 b(j)1254 402 y Fi(Y)1173 601 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)1466 488 y Fs(j)p Fy(H)1574 444 y Fv(\026)1567 516 y(k)1623 488 y Fs(j)1648 451 y Fv(r)1682 460 y Fm(\026)1755 488 y Fs(\024)1954 402 y Fi(X)1928 584 y Fm(r)r Fn(:)p Fm(r)r Fj(\036J)1862 636 y(j)p Fm(r)r Fj(j)p Fn(=2)p Fm(l)p Fj(\000jJ)6 b(j)2204 488 y Fy(c)2243 505 y Fx(2)p Fv(l;r)n(;)p Fr(jJ)11 b(j)2583 402 y Fi(Y)2503 601 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)2795 488 y Fs(j)p Fy(H)2903 444 y Fv(\026)2896 516 y(k)2952 488 y Fs(j)2977 451 y Fx(2)p Fv(\016)3046 460 y Fm(r)3077 469 y(\026)3120 460 y(;)p Fn(2)3181 488 y Fy(;)222 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(19\))0 808 y(where)30 b Fy(\016)303 822 y Fv(a;b)426 808 y Ft(=)25 b(1,)31 b(if)f Fy(a)c Fs(\025)f Fy(b)30 b Ft(and)g(zero)h(otherwise.)109 953 y(F)-8 b(or)38 b(an)m(y)g(m)m(ulti-index)g Fy(r)s Ft(,)h(denote)f(b)m (y)f(#)p Fy(r)i Ft(the)f(n)m(um)m(b)s(er)e(of)i Fy(r)2301 967 y Fv(\026)2387 953 y Ft(whic)m(h)f(are)g(not)h(zero.)63 b(Hence,)40 b(the)0 1099 y(pro)s(ducts)31 b(on)h(the)g(righ)m(t-hand)g (side)h(of)f(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)i(inequalit)m(y)f(are)g(just)f(the)g (completely)i(o\013-diagonal)0 1252 y(terms)k(of)g(the)g(form)759 1151 y Fi(\020)828 1184 y(P)924 1279 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)1206 1252 y Ft(\()p Fy(H)1324 1208 y Fv(\026)1317 1279 y(k)1373 1252 y Ft(\))1408 1219 y Fx(2)1449 1151 y Fi(\021)1504 1170 y Fx(#)p Fv(r)1604 1252 y Ft(.)63 b(Then,)39 b(adding)f(the)g (terms)g(whic)m(h)f(ha)m(v)m(e)j(at)e(least)i(t)m(w)m(o)0 1397 y(indices)30 b(equal)h(\(and)g(whic)m(h)f(are)g(ob)m(viously)h(p)s (ositiv)m(e\),)h(yields)f(uniformly)e(in)h Fy(\033)245 1686 y Fs(jL)333 1700 y Fr(J)400 1686 y Fs(j)25 b(\024)546 1565 y Fx(2)p Fv(l)p Fr(\000jJ)12 b(j)591 1600 y Fi(X)594 1794 y Fv(j)t Fx(=1)782 1686 y Fy(c)821 1703 y Fv(j;)p Fx(2)p Fv(l;)p Fr(jJ)g(j)1064 1586 y Fi(\020)1206 1600 y(X)1133 1799 y Fv(\026)p Fr(2MnJ)1411 1686 y Ft(\()p Fy(H)1529 1643 y Fv(\026)1522 1714 y(k)1578 1686 y Ft(\))1613 1649 y Fx(2)1654 1586 y Fi(\021)1708 1604 y Fv(j)1772 1686 y Fs(\024)1868 1565 y Fx(2)p Fv(l)p Fr(\000jJ)f(j)1913 1600 y Fi(X)1915 1794 y Fv(j)t Fx(=1)2104 1686 y Fy(c)2143 1703 y Fv(j;)p Fx(2)p Fv(l;)p Fr(jJ)g(j)2385 1586 y Fi(\020)2479 1600 y(X)2455 1795 y Fv(\026)p Fr(2M)2633 1686 y Ft(\()p Fy(H)2751 1643 y Fv(\026)2744 1714 y(k)2801 1686 y Ft(\))2836 1649 y Fx(2)2877 1586 y Fi(\021)2931 1604 y Fv(j)2995 1686 y Fs(\024)24 b Fy(C)q(;)247 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(20\))0 2007 y(on)34 b(a)h(set)f Fs(B)j Ft(of)d(measure)g(at)h(least)h(1)23 b Fs(\000)f Fy(e)1452 1974 y Fr(\000)p Fv(K)t(N)1639 1946 y Fn(1)p Fm(=)p Fn(4)1778 2007 y Ft(b)m(y)34 b(Lemma)g(5.2.)53 b(Using)35 b(this)f(in)g(\(5.18\),)j(w)m(e)e(b)s(ound)0 2152 y Fy(I)47 2119 y Fr(0)98 2152 y Ft(=)25 b Fk(E)10 b Ft(1)-22 b(I)310 2166 y Fr(B)364 2152 y Fs(G)5 b Ft([\()483 2084 y Fi(P)580 2180 y Fv(\026)644 2152 y Fy(H)727 2109 y Fv(\026)720 2180 y(k)776 2152 y Ft(\))811 2119 y Fx(2)p Fv(l)875 2152 y Ft(])31 b(b)m(y)314 2458 y Fs(j)p Fy(I)386 2421 y Fr(0)412 2458 y Fs(j)25 b(\024)602 2372 y Fi(X)572 2555 y Fj(J)8 b(\032M)p Fn(:)569 2607 y Fj(jJ)g(j\024)p Fn(2)p Fm(l)804 2337 y Fr(jJ)k(j)791 2372 y Fi(X)793 2565 y Fv(q)r Fx(=1)941 2372 y Fi(X)938 2563 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)1090 2458 y Fy(c)1129 2475 y Fv(\031)r(;q)r(;)p Fr(jJ)f(j)p Fv(;\014)1428 2458 y Fk(E)g Ft(1)-22 b(I)1544 2472 y Fr(B)1599 2458 y Fs(G)1658 2421 y Fv(\026)1702 2430 y Fn(1)1738 2421 y Fv(;:::)10 b(;\026)1902 2430 y Fm(n)1653 2481 y Fv(u)1696 2490 y Fn(1)1731 2481 y Fv(;:::)h(;u)1895 2490 y Fm(n)1951 2421 y Fr(\012)p Fv(q)2048 2358 y Fi(h)2143 2345 y Fv(n)2107 2372 y Fi(Y)2106 2566 y Fv(i)p Fx(=1)2239 2354 y Fi(\014)2239 2408 y(\014)2239 2463 y(\014)2270 2458 y Fy(H)2353 2415 y Fv(\026)2397 2424 y Fm(i)2346 2486 y Fv(k)2430 2458 y Ft(\()p Fy(\033)2520 2421 y Fx(1)2561 2458 y Ft(\))p Fy(H)2679 2415 y Fv(\026)2723 2424 y Fm(i)2672 2486 y Fv(k)2757 2458 y Ft(\()p Fy(\033)2847 2421 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2980 2458 y Ft(\))3015 2354 y Fi(\014)3015 2408 y(\014)3015 2463 y(\014)3045 2358 y(i)3088 2458 y Fy(:)315 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(21\))0 2786 y(Since)39 b(the)h(in)m(tegrand)f(is)g(non-negativ)m(e)i(and)e Fs(j)p Fy(H)1765 2742 y Fv(\026)1758 2814 y(k)1814 2786 y Fs(j)h Fy(<)g Ft(1,)i(w)m(e)d(can)h(c)m(hange)g(the)f(Boltzmann)i(w)m (eigh)m(ts)0 2932 y(bac)m(k)27 b(to)f(the)g(original)h(ones)f(\(that)h (is,)g(setting)g(all)g Fy(u)1797 2946 y Fv(i)1853 2932 y Ft(=)e(1\),)j(and)d(committing)i(at)g(most)f(an)g(error)f(of)h Fy(e)3540 2899 y Fv(\014)s(n)3635 2932 y Ft(.)0 3077 y(F)-8 b(urthermore,)39 b(the)f(functions)e Fy(\031)41 b Ft(dep)s(end)35 b(only)j(on)f(the)g(size)h(of)g Fs(J)16 b Ft(.)62 b(Hence,)40 b(adding)d(again)h(p)s(ositiv)m(e)0 3223 y(terms)30 b(in)g(the)h(third)e(step)i(b)s(elo)m(w)f(\(and)h (observing)f(that)h Fs(jJ)17 b(j)30 b Ft(is)g(ev)m(en\),)264 3500 y Fs(j)p Fy(I)336 3463 y Fr(0)362 3500 y Fs(j)c(\024)f Fy(C)647 3387 y Fx(2)p Fv(l)611 3414 y Fi(X)618 3595 y Fm(n)p Fn(=0)606 3647 y Fx(ev)n(en)814 3414 y Fi(X)784 3596 y Fj(J)8 b(\032M)p Fn(:)789 3648 y Fj(jJ)g(j)p Fn(=)p Fm(n)1004 3414 y Fi(X)1001 3605 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)1197 3387 y(n)1153 3414 y Fi(X)1155 3606 y Fv(q)r Fx(=1)1300 3500 y Fy(c)1339 3514 y Fv(\031)r(;q)r(;\014)1512 3500 y Fk(E)i Ft(1)-22 b(I)1628 3514 y Fr(B)1682 3500 y Fs(G)1741 3463 y Fr(\012)p Fv(q)1839 3399 y Fi(h)1933 3387 y Fv(n)1897 3414 y Fi(Y)1897 3608 y Fv(i)p Fx(=1)2030 3396 y Fi(\014)2030 3450 y(\014)2030 3505 y(\014)2060 3500 y Fy(H)2143 3457 y Fv(\026)2187 3466 y Fm(i)2136 3528 y Fv(k)2220 3500 y Ft(\()p Fy(\033)2310 3463 y Fx(1)2352 3500 y Ft(\))p Fy(H)2470 3457 y Fv(\026)2514 3466 y Fm(i)2463 3528 y Fv(k)2548 3500 y Ft(\()p Fy(\033)2638 3463 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2770 3500 y Ft(\))2805 3396 y Fi(\014)2805 3450 y(\014)2805 3505 y(\014)2836 3399 y(i)413 3872 y Fs(\024)25 b Fy(C)647 3759 y Fx(2)p Fv(l)611 3786 y Fi(X)618 3967 y Fm(n)p Fn(=0)606 4018 y Fx(ev)n(en)776 3786 y Fi(X)773 3977 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)966 3786 y Fi(X)936 3968 y Fj(J)9 b(\032M)p Fn(:)942 4020 y Fj(jJ)f(j)p Fn(=)p Fm(n)1197 3759 y Fv(n)1153 3786 y Fi(X)1155 3978 y Fv(q)r Fx(=1)1300 3872 y Fy(c)1339 3886 y Fv(\031)r(;q)r(;\014)1512 3872 y Fk(E)i Ft(1)-22 b(I)1628 3886 y Fr(B)1682 3872 y Fs(G)1741 3835 y Fr(\012)p Fv(q)1839 3771 y Fi(h)1933 3759 y Fv(n)1897 3786 y Fi(Y)1897 3979 y Fv(i)p Fx(=1)2030 3768 y Fi(\014)2030 3822 y(\014)2030 3877 y(\014)2060 3872 y Fy(H)2143 3828 y Fv(\026)2187 3837 y Fm(i)2136 3900 y Fv(k)2220 3872 y Ft(\()p Fy(\033)2310 3835 y Fx(1)2352 3872 y Ft(\))p Fy(H)2470 3828 y Fv(\026)2514 3837 y Fm(i)2463 3900 y Fv(k)2548 3872 y Ft(\()p Fy(\033)2638 3835 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2770 3872 y Ft(\))2805 3768 y Fi(\014)2805 3822 y(\014)2805 3877 y(\014)2836 3771 y(i)413 4244 y Fs(\024)25 b Fy(C)647 4130 y Fx(2)p Fv(l)611 4158 y Fi(X)618 4338 y Fm(n)p Fn(=0)606 4390 y Fx(ev)n(en)776 4158 y Fi(X)773 4349 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)954 4183 y Ft(1)p 936 4223 80 4 v 936 4306 a Fy(n)p Ft(!)1195 4130 y Fv(M)1167 4158 y Fi(X)1042 4350 y Fv(\026)1086 4359 y Fn(1)1122 4350 y Fv(;:::)11 b(;\026)1287 4359 y Fm(n)1331 4350 y Fx(=1)1482 4130 y Fv(n)1438 4158 y Fi(X)1440 4350 y Fv(q)r Fx(=1)1585 4244 y Fy(c)1624 4258 y Fv(\031)r(;q)r(;\014)1797 4244 y Fk(E)f Ft(1)-22 b(I)1913 4258 y Fr(B)1967 4244 y Fs(G)2026 4207 y Fr(\012)p Fv(q)2123 4143 y Fi(h)2218 4130 y Fv(n)2182 4158 y Fi(Y)2182 4351 y Fv(i)p Fx(=1)2314 4139 y Fi(\014)2314 4194 y(\014)2314 4249 y(\014)2345 4244 y Fy(H)2428 4200 y Fv(\026)2472 4209 y Fm(i)2421 4271 y Fv(k)2505 4244 y Ft(\()p Fy(\033)2595 4207 y Fx(1)2637 4244 y Ft(\))p Fy(H)2755 4200 y Fv(\026)2799 4209 y Fm(i)2748 4271 y Fv(k)2832 4244 y Ft(\()p Fy(\033)2922 4207 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))3055 4244 y Ft(\))3090 4139 y Fi(\014)3090 4194 y(\014)3090 4249 y(\014)3121 4143 y(i)413 4603 y Fs(\024)25 b Fy(C)647 4489 y Fx(2)p Fv(l)611 4516 y Fi(X)618 4697 y Fm(n)p Fn(=0)606 4749 y Fx(ev)n(en)776 4516 y Fi(X)773 4707 y Fv(\031)r Fr(\030)p Fv(q)954 4541 y Ft(1)p 936 4582 V 936 4665 a Fy(n)p Ft(!)1086 4489 y Fv(n)1042 4516 y Fi(X)1044 4709 y Fv(q)r Fx(=1)1189 4603 y Fy(c)1228 4617 y Fv(\031)r(;q)r(;\014)1401 4603 y Fk(E)10 b Ft(1)-22 b(I)1517 4617 y Fr(B)1571 4603 y Fs(G)1630 4565 y Fr(\012)p Fv(q)1727 4502 y Fi(h)1822 4489 y Fv(n)1786 4516 y Fi(Y)1785 4710 y Fv(i)p Fx(=1)1918 4502 y Fi(\020)2032 4489 y Fv(M)2005 4516 y Fi(X)1988 4709 y Fv(\026)2032 4718 y Fm(i)2061 4709 y Fx(=1)2168 4603 y Fs(j)p Fy(H)2276 4559 y Fv(\026)2320 4568 y Fm(i)2269 4630 y Fv(k)2354 4603 y Ft(\()p Fy(\033)2444 4565 y Fx(1)2485 4603 y Ft(\))p Fy(H)2603 4559 y Fv(\026)2647 4568 y Fm(i)2596 4630 y Fv(k)2681 4603 y Ft(\()p Fy(\033)2771 4565 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2903 4603 y Ft(\))p Fs(j)2963 4502 y Fi(\021)q(i)3061 4603 y Fy(:)3428 4069 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(22\))0 4909 y(Finally)-8 b(,)32 b(w)m(e)f(apply)f(Cauc)m(h)m(y-Sc)m(h)m(w)m(arz)i(to)f(get)h(rid)d(of)i (the)f(absolute)h(v)-5 b(alue)31 b(in)f(the)h(sum)e(o)m(v)m(er)j Fy(\026)3351 4923 y Fv(i)3381 4909 y Ft(,)283 5068 y Fv(M)255 5095 y Fi(X)253 5288 y Fv(\026)p Fx(=1)404 5181 y Fs(j)p Fy(H)512 5138 y Fv(\026)556 5147 y Fm(i)505 5209 y Fv(k)590 5181 y Ft(\()p Fy(\033)680 5144 y Fx(1)721 5181 y Ft(\))p Fy(H)839 5138 y Fv(\026)883 5147 y Fm(i)832 5209 y Fv(k)917 5181 y Ft(\()p Fy(\033)1007 5144 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))1140 5181 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\024)1321 5081 y Fi(\020)1435 5068 y Fv(M)1408 5095 y Fi(X)1391 5288 y Fv(\026)1435 5297 y Fm(i)1464 5288 y Fx(=1)1556 5181 y Ft(\()p Fy(H)1674 5138 y Fv(\026)1718 5147 y Fm(i)1667 5209 y Fv(k)1752 5181 y Ft(\()p Fy(\033)1842 5144 y Fx(1)1883 5181 y Ft(\)\))1953 5144 y Fx(2)1995 5081 y Fi(\021)2060 5075 y Fn(1)p 2060 5085 31 4 v 2060 5121 a(2)2106 5081 y Fi(\020)2220 5068 y Fv(M)2193 5095 y Fi(X)2176 5288 y Fv(\026)2220 5297 y Fm(i)2249 5288 y Fx(=1)2341 5181 y Ft(\()p Fy(H)2459 5138 y Fv(\026)2503 5147 y Fm(i)2452 5209 y Fv(k)2537 5181 y Ft(\()p Fy(\033)2627 5144 y Fv(\031)r Fx(\()p Fv(i)p Fx(\))2759 5181 y Ft(\)\))2829 5144 y Fx(2)2871 5081 y Fi(\021)2936 5075 y Fn(1)p 2936 5085 V 2936 5121 a(2)3007 5181 y Fs(\024)f Fy(C)260 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(23\))p eop %%Page: 33 33 33 32 bop 0 45 a Fl(Fluctuations)3160 b Fo(33)0 264 y Ft(on)32 b Fs(B)i Ft(b)m(y)e(Lemma)g(5.2.)46 b(Inserting)31 b(the)h(ab)s(o)m(v)m(e)h(in)f(\(5.22\))i(sho)m(ws)e(that)g Fk(E)11 b Ft(1)-23 b(I)2611 278 y Fr(B)2665 264 y Fs(G)5 b Ft([)2749 195 y Fi(P)2846 291 y Fv(\026)2910 264 y Fy(H)2993 220 y Fv(\026)2986 291 y(k)3041 264 y Ft(])32 b(is)g(b)s(ounded)e(b)m(y)0 409 y(a)h(n)m(um)m(b)s(er)f(indep)s(enden)m (t)g(of)h Fy(N)10 b Ft(,)31 b(since)g(all)h(the)f(remaining)g(sums)f (are)h(o)m(v)m(er)h(\014nite)f(sets)h(whose)e(sizes)i(do)0 555 y(not)f(dep)s(end)d(on)j Fy(N)10 b Ft(.)109 705 y(Since)27 b(\()378 637 y Fi(P)474 732 y Fv(\026)538 705 y Fy(H)621 661 y Fv(\026)614 732 y(k)670 705 y Ft(\))705 672 y Fx(2)p Fv(l)796 705 y Ft(is)f(p)s(olynomially)h(b)s(ounded)e(in)h Fy(N)10 b Ft(,)27 b(uniformly)f(in)g Fy(!)s Ft(,)h(the)g(remaining)g (part)f Fy(I)20 b Fs(\000)13 b Fy(I)3610 672 y Fr(0)3635 705 y Ft(,)0 850 y(\(that)31 b(is,)f(the)g(in)m(tegral)h(on)f(the)g (set)h Fs(B)1321 817 y Fv(c)1357 850 y Ft(\),)g(is)e(ob)m(viously)i(b)s (ounded)c(b)m(y)j(an)g(exp)s(onen)m(tially)h(small)f(n)m(um)m(b)s(er)0 996 y(in)g Fy(N)189 963 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(5)334 996 y Ft(\(e.g.\),)i(and)e(is)g(th)m(us)g(also)i(smaller)f(than)f(a)g (constan)m(t.)109 1146 y(W)-8 b(e)32 b(use)e(this)g(in)g(\(5.4\))i (whic)m(h)e(sho)m(ws)g(that)1390 1416 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)1543 1430 y Fv(k)1588 1378 y(c)1625 1416 y Ft(])25 b Fs(\024)g Fy(c)1810 1430 y Fv(l)1839 1416 y Fy(c)1878 1378 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(l)1999 1416 y Fy(N)2082 1378 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(\015)t(l)2245 1416 y Fy(:)1158 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(24\))0 1685 y(Th)m(us)29 b(for)h(all)i Fy(\015)5 b(;)15 b(m)25 b(>)g Ft(0,)31 b(there)g(exist)g Fy(l)h Ft(and)e Fy(C)1639 1699 y Fv(l;m)1783 1685 y Ft(suc)m(h)g(that) 1386 1955 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)1539 1969 y Fv(k)1584 1917 y(c)1621 1955 y Ft(])c Fs(\024)f Fy(C)1833 1969 y Fv(l;m)1947 1955 y Fy(N)2030 1917 y Fr(\000)p Fv(m)p Fr(\000)p Fx(1)2249 1955 y Fy(:)1154 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(25\))0 2224 y(Summing)29 b(o)m(v)m(er)j(all)f Fy(k)d Ft(=)d(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(N)40 b Ft(sho)m(ws)30 b(that)h(indeed)f Fk(P)p Ft([)p Fs(A)2171 2191 y Fv(c)2209 2224 y Ft(])25 b Fs(\024)g Fy(C)2420 2238 y Fv(l;m)2534 2224 y Fy(N)2617 2191 y Fr(\000)p Fv(m)2743 2224 y Ft(.)41 b Fb(\003)0 2447 y Ft(W)-8 b(e)32 b(no)m(w)e(b)s(ound)e(the)j (\015uctuations)f(of)h(the)f(free)h(energy)g(on)f(the)g(set)h Fs(A)p Ft(.)0 2670 y Fc(Prop)s(osition)41 b(5.5:)k Fq(L)-5 b(et)1025 2647 y Ft(~)1004 2670 y Fy(F)1062 2684 y Fv(N)1161 2670 y Ft(=)29 b Fy(N)1344 2637 y Fr(\000)p Fx(1)1456 2670 y Ft(ln)15 b Fy(Z)1609 2684 y Fv(N)1678 2670 y Ft(1)-23 b(I)1733 2684 y Fr(A)1791 2693 y Fm(c;\015)s(;N)1963 2670 y Fq(.)48 b(Then,)36 b(for)f(al)5 b(l)36 b Fy(\014)5 b Fq(,)35 b(al)5 b(l)35 b Fy(\034)k(>)29 b Ft(0)35 b Fq(and)h(al)5 b(l)35 b Fy(")30 b(>)f(\015)5 b Fq(,)0 2816 y(ther)-5 b(e)34 b(exists)502 2793 y Ft(\026)475 2816 y Fy(N)i(<)25 b Fs(1)32 b Fq(such)h(that)h(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(N)i(>)1701 2793 y Ft(\026)1675 2816 y Fy(N)10 b Fq(,)1018 3085 y Fk(P)1088 2984 y Fi(h)1132 3085 y Fs(j)1178 3062 y Ft(~)1157 3085 y Fy(F)1215 3099 y Fv(N)1305 3085 y Fs(\000)20 b Fk(E)1492 3062 y Ft(~)1466 3085 y Fy(F)1524 3099 y Fv(N)1599 3085 y Fs(j)26 b Fy(>)f(\034)10 b(\014)5 b(N)1935 3048 y Fr(\000)2002 3023 y Fn(1)p 2002 3033 31 4 v 2002 3070 a(2)2044 3048 y Fx(+)p Fv(")2139 2984 y Fi(i)2207 3085 y Fs(\024)25 b Ft(3)p Fy(e)2390 3048 y Fr(\000)p Fv(N)2512 3020 y Fm("=)p Fn(2)2616 3085 y Fy(:)787 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(26\))0 3505 y Fu(Pro)s(of:)79 b Ft(In)43 b(the)h(sequel,)k Fy(N)5 b(;)15 b(\014)5 b(;)15 b(\015)5 b(;)15 b(c)46 b Ft(will)e(b)s(e)f(\014xed,)k(and)d(w)m(e)g (will)g(therefore)h(frequen)m(tly)f(drop)f(the)0 3651 y(corresp)s(onding)c(indices.)71 b(The)40 b(approac)m(h)h(to)g(the)f (pro)s(of)g(follo)m(ws)i(the)e(general)i(idea)f(of)f([BGP2,B1].)0 3796 y(De\014ne)31 b(a)f(decreasing)h(sequence)g(of)g Fy(\033)s Ft(-algebras)h Fs(f)1788 3773 y Ft(^)1763 3796 y Fs(F)1828 3810 y Fv(k)1873 3796 y Fs(g)1918 3810 y Fv(k)r Fr(2)p Fh(N)2089 3796 y Ft(b)m(y)1293 4042 y(^)1268 4065 y Fs(F)1333 4079 y Fv(k)1404 4065 y Ft(=)25 b Fy(\033)1570 3964 y Fi(\020)1624 4065 y Fs(f)p Fy(\030)1713 4022 y Fv(\026)1709 4091 y(i)1763 4065 y Fs(g)1808 4022 y Fv(\026)p Fr(2)p Fh(N)1808 4093 y Fv(i)p Fr(\025)p Fv(k)1952 3964 y Fi(\021)2026 4065 y Fs(_)20 b(A)2180 4079 y Fv(c;\015)t(;N)2366 4065 y Fy(:)1037 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(27\))0 4335 y(This)30 b(allo)m(ws)h(to)g(in)m(tro)s(duce)g(a)f(martingale)i(di\013erence)f (sequence)g(\(see)g([Y)-8 b(u]\))1285 4581 y(~)1265 4604 y Fy(F)1336 4567 y Fv(k)1406 4604 y Fs(\021)25 b Fk(E)g Ft([)1623 4581 y(~)1597 4604 y Fy(F)19 b Fs(j)1724 4581 y Ft(^)1699 4604 y Fs(F)1764 4618 y Fv(k)1809 4604 y Ft(])i Fs(\000)e Fk(E)26 b Ft([)2067 4581 y(~)2040 4604 y Fy(F)20 b Fs(j)2167 4581 y Ft(^)2143 4604 y Fs(F)2208 4618 y Fv(k)r Fx(+1)2345 4604 y Ft(])p Fy(:)1033 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(28\))0 4874 y(By)31 b(the)f(de\014nition)g(of)h(conditional)h (exp)s(ectations)1392 5168 y(~)1371 5191 y Fy(F)i Fs(\000)20 b Fk(E)1650 5168 y Ft(~)1623 5191 y Fy(F)45 b Ft(=)1855 5077 y Fv(N)1822 5104 y Fi(X)1822 5300 y Fv(k)r Fx(=1)1989 5168 y Ft(~)1969 5191 y Fy(F)2040 5153 y Fv(k)2085 5191 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)p Ft(])p Fy(:)1140 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(29\))p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 0 45 a Fo(34)3243 b Fl(Chapter)25 b(5)0 264 y Ft(The)f(factor)i Fk(P)p Ft([)p Fs(A)p Ft(])f(tends)g(to)g(one)g(as)g Fy(N)35 b Fs(")26 b(1)f Ft(b)m(y)f(Lemma)h(5.1)h(\(ev)m(en)g(p)s (olynomially)f(as)g(fast)g(as)g(w)m(e)g(w)m(an)m(t\).)0 409 y(It)30 b(is)h(therefore)g(enough)f(to)h(con)m(trol)h(the)e(sum) 1651 341 y Fi(P)1747 363 y Fv(N)1747 436 y(k)r Fx(=1)1919 386 y Ft(~)1899 409 y Fy(F)1970 376 y Fv(k)2014 409 y Ft(.)41 b(W)-8 b(e)32 b(observ)m(e)f(that)85 698 y Fk(P)p Ft([)p Fs(j)240 584 y Fv(N)207 612 y Fi(X)205 807 y Fv(k)r Fx(=1)374 675 y Ft(~)354 698 y Fy(F)425 660 y Fv(k)469 698 y Fs(j)26 b Fy(>)f(z)t Ft(\()p Fk(P)p Ft([)p Fs(A)p Ft(]\))910 660 y Fr(\000)p Fx(1)1009 698 y Ft(])h Fs(\024)f Ft(2)20 b(inf)1216 754 y Fv(t>)p Fx(0)1352 698 y Fy(e)1394 660 y Fr(\000)p Fv(tz)s Fx(\()p Fh(P)m Fx([)p Fr(A)p Fx(]\))1717 633 y Fj(\000)p Fn(1)1800 698 y Fk(E)26 b Fy(e)1912 654 y Fv(t)1958 593 y Fi(P)2054 615 y Fm(N)2054 688 y(k)q Fn(=1)2200 638 y Fx(~)2184 654 y Fv(F)2240 627 y Fm(k)1060 949 y Ft(=)f(2)20 b(inf)1216 1005 y Fv(t>)p Fx(0)1352 949 y Fy(e)1394 912 y Fr(\000)p Fv(tz)1520 949 y Fk(E)26 b Ft([)p Fk(E)32 b Ft([)p Fy(:)16 b(:)f(:)22 b Fk(E)j Ft([)q Fk(E)31 b Ft([)q Fy(e)2082 912 y Fv(t)2131 896 y Fx(~)2109 912 y Fv(F)2166 884 y Fn(1)2211 949 y Fs(j)2261 926 y Ft(^)2236 949 y Fs(F)2301 963 y Fx(2)2343 949 y Ft(])p Fy(e)2410 912 y Fv(t)2453 896 y Fx(~)2437 912 y Fv(F)2493 884 y Fn(2)2534 949 y Fs(j)2583 926 y Ft(^)2559 949 y Fs(F)2624 963 y Fx(3)2665 949 y Ft(])15 b Fy(:)g(:)g(:)i Ft(])p Fy(e)2894 912 y Fv(t)2937 896 y Fx(~)2921 912 y Fv(F)2977 884 y Fm(N)3041 949 y Fs(j)3090 926 y Ft(^)3066 949 y Fs(F)3131 963 y Fv(N)7 b Fx(+1)3292 949 y Ft(])p Fy(:)3428 798 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(30\))0 1178 y(T)-8 b(o)32 b(mak)m(e)h(use)e(of)g(this)h(inequalit)m(y)-8 b(,)34 b(w)m(e)e(need)f(b)s(ounds)e(on)j(the)f(conditional)i(Laplace)g (transforms,)e(that)0 1323 y(is,)g(w)m(e)g(w)m(an)m(t)g(to)g(sho)m(w)f (that)h(for)f(some)h Fs(L)1436 1290 y Fv(k)1480 1323 y Ft(\()p Fy(t)p Ft(\),)1344 1555 y(ln)15 b Fk(E)26 b Ft([)p Fy(e)1572 1518 y Fv(t)1621 1501 y Fx(~)1600 1518 y Fv(F)1656 1490 y Fm(k)1706 1555 y Fs(j)1756 1532 y Ft(^)1731 1555 y Fs(F)1796 1569 y Fv(k)r Fx(+1)1933 1555 y Ft(])g Fs(\024)f(L)2143 1518 y Fv(k)2187 1555 y Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))p Fy(;)1113 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(31\))0 1787 y(uniformly)35 b(in)556 1764 y(^)531 1787 y Fs(F)596 1801 y Fv(k)r Fx(+1)733 1787 y Ft(.)57 b(Using)36 b(a)g(standard)f (second)h(order)f(b)s(ound)e(for)j(the)g(exp)s(onen)m(tial)g(function,) h(w)m(e)0 1932 y(get)972 2095 y Fk(E)26 b Ft([)p Fy(e)1109 2057 y Fv(t)1158 2041 y Fx(~)1137 2057 y Fv(F)1193 2030 y Fm(k)1243 2095 y Fs(j)1293 2072 y Ft(^)1268 2095 y Fs(F)1333 2109 y Fv(k)r Fx(+1)1470 2095 y Ft(])g Fs(\024)f Ft(1)20 b(+)1784 2033 y Fy(t)1817 2000 y Fx(2)p 1784 2074 74 4 v 1798 2157 a Ft(2)1869 2095 y Fk(E)25 b Ft([)q(\()2025 2072 y(~)1999 2095 y Fy(F)2071 2057 y Fv(k)2121 2095 y Ft(\))2156 2057 y Fx(2)2197 2095 y Fy(e)2239 2057 y Fr(j)p Fv(t)2304 2041 y Fx(~)2288 2057 y Fv(F)2344 2030 y Fm(k)2384 2057 y Fr(j)2410 2095 y Fs(j)2460 2072 y Ft(^)2435 2095 y Fs(F)2500 2109 y Fv(k)r Fx(+1)2638 2095 y Ft(])p Fy(:)740 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(32\))0 2303 y(T)-8 b(o)29 b(mak)m(e)h(use)f(of)g(this)g(w)m(e)g(need)g(to)g(b)s(ound)e Fs(j)1579 2280 y Ft(~)1558 2303 y Fy(F)1629 2270 y Fv(k)1674 2303 y Fs(j)p Ft(.)41 b(A)29 b(con)m(v)m(en)m(tional)j(strategy)e(is)f (to)g(in)m(tro)s(duce)g(a)h(family)0 2449 y(of)h(Hamiltonians)686 2426 y(~)662 2449 y Fy(H)745 2416 y Fv(k)790 2449 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(u)p Ft(\),)32 b(de\014ned)d(b)m(y)861 2722 y(~)837 2745 y Fy(H)920 2708 y Fv(k)965 2745 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(u)p Ft(\))27 b(=)e Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b(+)f(\(1)h Fs(\000)e Fy(u)p Ft(\))1909 2684 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))2050 2651 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)p 1910 2724 256 4 v 1929 2807 a Fy(N)2012 2781 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2192 2624 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2225 2659 y Fi(X)2222 2851 y Fv(\026)p Fx(=1)2430 2659 y Fi(X)2437 2842 y Fj(I)r(3)p Fm(k)2415 2894 y Fj(jI)r(j)p Fn(=)p Fm(p)2603 2745 y Fy(\030)2647 2701 y Fv(\026)2643 2772 y Fr(I)2696 2745 y Fy(\033)2748 2772 y Fr(I)2797 2745 y Fy(:)606 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(33\))0 3086 y(This)24 b(new)g(Hamiltonian)i(is)e(equal)h(to)g(the)g(original)h(one)e(for)h Fy(u)g Ft(=)g(1,)h(and)e(indep)s(enden)m(t)f(of)i Fs(f)p Fy(\030)3228 3042 y Fv(\026)3224 3113 y(k)3277 3086 y Fs(g)3322 3053 y Fv(\026)p Fx(=1)p Fv(;:::)12 b(;M)0 3232 y Ft(for)25 b Fy(u)h Ft(=)f(0.)39 b(Denote)27 b(b)m(y)865 3209 y(~)845 3232 y Fy(Z)914 3199 y Fv(k)959 3232 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))f(and)f Fs(G)1338 3199 y Fv(k)1383 3232 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))h(the)g(partition)g(function,)h(resp)s(ectiv)m (ely)f(the)g(Gibbs)f(measure)0 3377 y(asso)s(ciated)35 b(to)g(this)e(Hamiltonian.)52 b(Observ)m(e)34 b(that)g(the)g(condition) g(on)f(b)s(eing)h(on)f(the)h(set)g Fs(A)f Ft(is)h(stable)0 3522 y(against)e(the)e(c)m(hange)i(in)e(parameter)h Fy(u)25 b Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1],)32 b(that)f(is)845 3819 y Fs(G)904 3781 y Fv(k)949 3819 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))1071 3718 y Fi(h)1115 3819 y Fy(N)1198 3781 y Fr(\000)p Fv(p)1312 3697 y(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1345 3732 y Fi(X)1342 3925 y Fv(\026)p Fx(=1)1526 3732 y Fi(X)1524 3928 y Fr(I)t(3)p Fv(k)1674 3819 y Fy(\030)1718 3775 y Fv(\026)1714 3846 y Fr(I)1767 3819 y Fy(\033)1819 3846 y Fr(I)1869 3718 y Fi(i)1937 3819 y Fs(2)25 b Ft([)p Fs(\000)p Fy(c;)15 b(c)p Ft(])p Fy(;)107 b Fs(8)p Fy(u)25 b Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1])p Fy(;)615 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(34\))0 4105 y(on)32 b(the)h(set)g Fs(A)p Ft(.)47 b(Indeed,)33 b(the)g(deriv)-5 b(ativ)m(e)34 b(of)e(the)h(left-hand)g (side)f(with)h(resp)s(ect)f(to)i Fy(u)e Ft(is)h(non-negativ)m(e,)0 4250 y(since)40 b(it)f(is)h(the)f(v)-5 b(ariance)40 b(of)g(the)f(in)m (tegrand)h(with)f(resp)s(ect)g(to)h(the)g(measure)f Fs(G)5 b Ft(\()p Fy(u)p Ft(\).)68 b(Moreo)m(v)m(er,)44 b(for)0 4396 y Fy(u)35 b Ft(=)g(0,)j(the)e(Boltzmann)i(w)m(eigh)m(t)f(do)s(es)f (not)h(con)m(tain)g Fy(\033)1983 4410 y Fv(k)2028 4396 y Ft(,)h(whence)e(the)g(left)h(is)f(zero)h(for)f Fy(u)f Ft(=)g(0.)58 b(The)0 4541 y(absolute)31 b(v)-5 b(alue)31 b(of)f(the)h(left-hand)f(side)h(th)m(us)f(assumes)g(its)g(maximal)i(v) -5 b(alue)31 b(for)f Fy(u)25 b Ft(=)g(1.)109 4687 y(De\014ne)1032 4832 y Fy(g)1078 4795 y Fv(k)1123 4832 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))h(=)1397 4771 y(1)p 1378 4811 83 4 v 1378 4895 a Fy(N)1472 4832 y Ft(1)-23 b(I)1528 4846 y Fr(A)1606 4832 y Ft(ln)1716 4809 y(~)1697 4832 y Fy(Z)1766 4795 y Fv(k)1810 4832 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))21 b Fs(\000)2074 4771 y Ft(1)p 2055 4811 V 2055 4895 a Fy(N)2149 4832 y Ft(1)-23 b(I)2204 4846 y Fr(A)2282 4832 y Ft(ln)2392 4809 y(~)2373 4832 y Fy(Z)2442 4795 y Fv(k)2486 4832 y Ft(\(0\))p Fy(:)802 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(35\))0 5041 y(Since)257 5018 y(~)237 5041 y Fy(Z)306 5008 y Fv(k)351 5041 y Ft(\(0\))31 b(is)g(indep)s(enden)m(t)e(of)h Fy(\033)1259 5055 y Fv(k)1304 5041 y Ft(,)g(this)h(quan)m(tit)m(y)g(relates)h(to) 2321 5018 y(~)2300 5041 y Fy(F)2371 5008 y Fv(k)2446 5041 y Ft(via)1161 5250 y(~)1141 5273 y Fy(F)1212 5235 y Fv(k)1282 5273 y Ft(=)25 b Fk(E)h Ft([)p Fy(g)1519 5235 y Fv(k)1570 5273 y Ft(\(1\))p Fs(j)1736 5250 y Ft(^)1710 5273 y Fs(F)1775 5287 y Fv(k)1822 5273 y Ft(])20 b Fs(\000)g Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)2100 5235 y Fv(k)2150 5273 y Ft(\(1\))p Fs(j)2316 5250 y Ft(^)2290 5273 y Fs(F)2355 5287 y Fv(k)r Fx(+1)2494 5273 y Ft(])909 b(\(5)p Fy(:)p Ft(36\))p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 0 45 a Fl(Fluctuations)3160 b Fo(35)0 264 y Ft(Observ)m(e)30 b(that)g Fy(g)591 231 y Fv(k)637 264 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))g(is)g(con)m(v)m(ex)i(in)d Fy(u)p Ft(,)h(since)h(its)f(deriv)-5 b(ativ)m(e)31 b(is)f(equal)h(to)f(the)g (exp)s(ectation)i(of)e(the)g(left-)0 409 y(hand)d(side)g(of)h (\(5.34\),)j(whose)d(deriv)-5 b(ativ)m(e)29 b(is)f(the)g(v)-5 b(ariance)29 b(of)f(a)g(random)f(v)-5 b(ariable)29 b(with)e(resp)s(ect) h(to)h(the)0 555 y(measure)20 b Fs(G)5 b Ft(.)38 b(Since)20 b(b)m(y)g(its)h(de\014nition)f Fy(g)1366 522 y Fv(k)1411 555 y Ft(\(0\))27 b(=)e(0,)e(and)c(therefore)i Fs(j)p Fy(g)2351 522 y Fv(k)2397 555 y Ft(\(1\))p Fs(j)26 b(\024)f Ft(max\()p Fs(j)p Ft(\()p Fy(g)2969 522 y Fv(k)3016 555 y Ft(\))3051 522 y Fr(0)3077 555 y Ft(\(1\))p Fs(j)p Fy(;)15 b Fs(j)p Ft(\()p Fy(g)3363 522 y Fv(k)3410 555 y Ft(\))3445 522 y Fr(0)3471 555 y Ft(\(0\))p Fs(j)p Ft(\),)p 3671 577 46 100 v 0 700 a(where)28 b(the)g(prime)g(denotes)g (the)h(deriv)-5 b(ativ)m(e)29 b(with)f(resp)s(ect)g(to)h Fy(u)p Ft(.)40 b(Moreo)m(v)m(er,)31 b(since)2973 677 y(~)2950 700 y Fy(H)3033 667 y Fv(k)3077 700 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(u)26 b Ft(=)f(0\))k(do)s(es)0 845 y(not)38 b(dep)s(end)e(on)h Fy(\033)677 859 y Fv(k)722 845 y Ft(,)j(it)e(follo)m (ws)h(that)f(\()p Fy(g)1476 812 y Fv(k)1521 845 y Ft(\))1556 812 y Fr(0)1582 845 y Ft(\(0\))h(=)e(0,)j(and)d(hence)h(w)m(e)g(can)g (use)f Fs(j)p Fy(g)2948 812 y Fv(k)2994 845 y Ft(\(1\))p Fs(j)h(\024)g(j)p Ft(\()p Fy(g)3387 812 y Fv(k)3432 845 y Ft(\))3467 812 y Fr(0)3493 845 y Ft(\(1\))p Fs(j)p Ft(.)0 991 y(Explicitly)-8 b(,)32 b(this)e(is)253 1324 y Fs(j)p Fy(g)324 1286 y Fv(k)369 1324 y Ft(\(1\))p Fs(j)d(\024)e(j)p Ft(\()p Fy(g)738 1286 y Fv(k)784 1324 y Ft(\))819 1286 y Fr(0)845 1324 y Ft(\(1\))p Fs(j)h Ft(=)1107 1110 y Fi(\014)1107 1165 y(\014)1107 1219 y(\014)1107 1274 y(\014)1107 1328 y(\014)1107 1383 y(\014)1107 1437 y(\014)1138 1324 y Fy(\014)1205 1262 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1346 1229 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)p 1205 1303 256 4 v 1270 1386 a Fy(N)1353 1360 y Fv(p)1472 1324 y Fs(G)1526 1338 y Fv(N)s(;\014)1657 1324 y Ft([)p Fy(!)s Ft(])1782 1114 y Fi(0)1782 1274 y(B)1782 1332 y(@)1862 1202 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1895 1237 y Fi(X)1892 1430 y Fv(\026)p Fx(=1)2100 1237 y Fi(X)2107 1421 y Fj(I)r(3)p Fm(k)2085 1472 y Fj(jI)r(j)p Fn(=)p Fm(p)2273 1324 y Fy(\030)2317 1280 y Fv(\026)2313 1351 y Fr(I)2366 1324 y Fy(\033)2418 1351 y Fr(I)2467 1114 y Fi(1)2467 1274 y(C)2467 1332 y(A)2547 1110 y(\014)2547 1165 y(\014)2547 1219 y(\014)2547 1274 y(\014)2547 1328 y(\014)2547 1383 y(\014)2547 1437 y(\014)2592 1324 y Ft(1)-23 b(I)2648 1338 y Fr(A)2736 1324 y Fs(\024)25 b Fy(cN)2954 1286 y Fr(\000)p Fx(1+)p Fv(\015)3150 1324 y Fy(:)253 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(37\))0 1663 y(Inserting)30 b(this)g(b)s(ound)f(in)m(to)i(the)g(exp)s(onen)m(t)f(on)g(the)h(righ)m (t-hand)f(side)g(of)h(\(5.32\))i(giv)m(es)629 1923 y(1)21 b(+)797 1861 y Fy(t)830 1828 y Fx(2)p 797 1902 74 4 v 811 1985 a Ft(2)881 1923 y Fk(E)26 b Ft([\()1038 1900 y(~)1012 1923 y Fy(F)1083 1885 y Fv(k)1133 1923 y Ft(\))1168 1885 y Fx(2)1210 1923 y Fy(e)1252 1885 y Fr(j)p Fv(t)1317 1869 y Fx(~)1301 1885 y Fv(F)1357 1858 y Fm(k)1397 1885 y Fr(j)1423 1923 y Fs(j)1473 1900 y Ft(^)1448 1923 y Fs(F)1513 1937 y Fv(k)r Fx(+1)1650 1923 y Ft(])g Fs(\024)f Ft(1)20 b(+)1964 1861 y Fy(t)1997 1828 y Fx(2)p 1964 1902 V 1978 1985 a Ft(2)2049 1923 y Fk(E)25 b Ft([)q(\()2205 1900 y(~)2179 1923 y Fy(F)2250 1885 y Fv(k)2301 1923 y Ft(\))2336 1885 y Fx(2)2377 1923 y Fy(e)2419 1885 y Fr(j)p Fv(tg)2505 1858 y Fm(k)2546 1885 y Fx(\(1\))p Fr(j)2665 1923 y Fs(j)2715 1900 y Ft(^)2690 1923 y Fs(F)2755 1937 y Fv(k)r Fx(+1)2892 1923 y Ft(])1701 2157 y Fs(\024)g Ft(1)20 b(+)1964 2095 y Fy(t)1997 2062 y Fx(2)p 1964 2136 V 1978 2219 a Ft(2)2049 2157 y Fy(e)2091 2119 y Fx(2)p Fv(ctN)2251 2092 y Fj(\000)p Fn(1+)p Fm(\015)2425 2157 y Fk(E)25 b Ft([)q(\()2581 2134 y(~)2555 2157 y Fy(F)2626 2119 y Fv(k)2677 2157 y Ft(\))2712 2119 y Fx(2)2753 2157 y Fs(j)2803 2134 y Ft(^)2778 2157 y Fs(F)2843 2171 y Fv(k)r Fx(+1)2980 2157 y Ft(])p Fy(:)3428 2026 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(38\))0 2389 y(T)-8 b(o)32 b(treat)h(the)f(quadratic)g(term,)g (w)m(e)g(observ)m(e)g(that)h(b)m(y)e(\(5.36\),)k(the)d(prop)s(erties)f (of)g(conditional)i(exp)s(ec-)0 2534 y(tations,)f(and)e(Jensen's)f (inequalit)m(y)j(\(see)f(also)h([B])f(and)f([BGP]\),)643 2791 y Fk(E)c Ft([\()800 2768 y(~)773 2791 y Fy(F)845 2753 y Fv(k)895 2791 y Ft(\))930 2753 y Fx(2)971 2791 y Fs(j)1021 2768 y Ft(^)996 2791 y Fs(F)1061 2805 y Fv(k)r Fx(+1)1199 2791 y Ft(])f(=)g Fk(E)1436 2662 y Fi(\024)1484 2791 y Ft(\()p Fk(E)h Ft([)p Fy(g)1661 2753 y Fv(k)1712 2791 y Ft(\(1\))p Fs(j)1878 2768 y Ft(^)1852 2791 y Fs(F)1917 2805 y Fv(k)1963 2791 y Ft(])21 b Fs(\000)e Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)2241 2753 y Fv(k)2292 2791 y Ft(\(1\))p Fs(j)2458 2768 y Ft(^)2432 2791 y Fs(F)2497 2805 y Fv(k)r Fx(+1)2635 2791 y Ft(]\))2695 2753 y Fx(2)2737 2659 y Fi(\014)2737 2713 y(\014)2737 2768 y(\014)2737 2822 y(\014)2792 2768 y Ft(^)2767 2791 y Fs(F)2832 2805 y Fv(k)r Fx(+1)2969 2662 y Fi(\025)1249 3045 y Ft(=)f Fk(E)1436 2917 y Fi(\024)1484 3045 y Ft(\()p Fk(E)h Ft([)p Fy(g)1661 3008 y Fv(k)1712 3045 y Ft(\(1\))21 b Fs(\000)f Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)2081 3008 y Fv(k)2131 3045 y Ft(\(1\))p Fs(j)2297 3022 y Ft(^)2271 3045 y Fs(F)2336 3059 y Fv(k)r Fx(+1)2475 3045 y Ft(])p Fs(j)2550 3022 y Ft(^)2525 3045 y Fs(F)2590 3059 y Fv(k)2635 3045 y Ft(]\))2695 3008 y Fx(2)2737 2913 y Fi(\014)2737 2968 y(\014)2737 3022 y(\014)2737 3077 y(\014)2792 3022 y Ft(^)2767 3045 y Fs(F)2832 3059 y Fv(k)r Fx(+1)2969 2917 y Fi(\025)1249 3300 y Fs(\024)f Fk(E)1436 3172 y Fi(\024)1484 3300 y Fk(E)h Ft([\()p Fy(g)1661 3262 y Fv(k)1712 3300 y Ft(\(1\))21 b Fs(\000)f Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)2081 3262 y Fv(k)2131 3300 y Ft(\(1\))p Fs(j)2297 3277 y Ft(^)2271 3300 y Fs(F)2336 3314 y Fv(k)r Fx(+1)2475 3300 y Ft(]\))2535 3262 y Fx(2)2576 3300 y Fs(j)2626 3277 y Ft(^)2601 3300 y Fs(F)2666 3314 y Fv(k)2711 3300 y Ft(])2736 3168 y Fi(\014)2736 3222 y(\014)2736 3277 y(\014)2736 3332 y(\014)2792 3277 y Ft(^)2767 3300 y Fs(F)2832 3314 y Fv(k)r Fx(+1)2969 3172 y Fi(\025)1249 3554 y Ft(=)f Fk(E)1436 3426 y Fi(\024)1484 3554 y Ft(\()p Fy(g)1565 3517 y Fv(k)1611 3554 y Ft(\(1\))c Fs(\000)f Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)1980 3517 y Fv(k)2030 3554 y Ft(\(1\))p Fs(j)2196 3531 y Ft(^)2170 3554 y Fs(F)2235 3568 y Fv(k)r Fx(+1)2374 3554 y Ft(]\))2434 3517 y Fx(2)2475 3423 y Fi(\014)2475 3477 y(\014)2475 3532 y(\014)2475 3586 y(\014)2530 3531 y Ft(^)2505 3554 y Fs(F)2570 3568 y Fv(k)r Fx(+1)2708 3426 y Fi(\025)1249 3800 y Ft(=)f Fk(E)h Ft([\()p Fy(g)1522 3763 y Fv(k)1573 3800 y Ft(\(1\)\))1723 3763 y Fx(2)1765 3800 y Fs(j)1815 3777 y Ft(^)1790 3800 y Fs(F)1855 3814 y Fv(k)r Fx(+1)1992 3800 y Ft(])21 b Fs(\000)2129 3699 y Fi(\020)2183 3800 y Fk(E)26 b Ft([)p Fy(g)2325 3763 y Fv(k)2375 3800 y Ft(\(1\))p Fs(j)2541 3777 y Ft(^)2515 3800 y Fs(F)2580 3814 y Fv(k)r Fx(+1)2719 3800 y Ft(])2744 3699 y Fi(\021)2798 3718 y Fx(2)1249 3982 y Fs(\024)f Fk(E)h Ft([\()p Fy(g)1522 3944 y Fv(k)1573 3982 y Ft(\(1\)\))1723 3944 y Fx(2)1765 3982 y Fs(j)1815 3959 y Ft(^)1790 3982 y Fs(F)1855 3996 y Fv(k)r Fx(+1)1992 3982 y Ft(])g Fs(\024)f Fk(E)h Ft([\()p Fy(g)2316 3944 y Fv(k)2367 3982 y Ft(\(1\)\))2517 3944 y Fr(0)6 b Fx(2)2584 3982 y Fs(j)2634 3959 y Ft(^)2609 3982 y Fs(F)2674 3996 y Fv(k)r Fx(+1)2812 3982 y Ft(])p Fy(:)3428 3359 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(39\))0 4178 y(The)30 b(last)h(term)g(is)f(b)s(ounded)e(since)j(w)m(e)g(are)f(in)h(the)f(set) h Fs(A)2025 4192 y Fv(k)2069 4178 y Ft(.)41 b(Indeed,)107 4511 y Fk(E)198 4410 y Fi(h)241 4511 y Ft(\()p Fy(g)322 4474 y Fv(k)367 4511 y Ft(\(1\)\))517 4474 y Fr(0)r Fx(2)580 4511 y Fs(j)630 4488 y Ft(^)605 4511 y Fs(F)670 4525 y Fv(k)r Fx(+1)808 4410 y Fi(i)876 4511 y Ft(=)1028 4450 y Fy(p)p Ft(!)p 983 4490 162 4 v 983 4574 a Fy(N)1066 4547 y Fx(2)p Fv(p)1155 4511 y Fy(\014)1211 4474 y Fx(2)1252 4511 y Fk(E)1343 4301 y Fi(2)1343 4461 y(6)1343 4519 y(4)1404 4329 y(0)1404 4492 y(@)1483 4511 y Ft(1)-23 b(I)1539 4525 y Fr(A)1602 4511 y Fs(G)1661 4410 y Fi(h)1719 4390 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1752 4425 y Fi(X)1750 4617 y Fv(\026)p Fx(=1)1933 4425 y Fi(X)1932 4621 y Fr(I)t(3)p Fv(k)2081 4511 y Fy(\030)2125 4468 y Fv(\026)2121 4538 y Fr(I)2174 4511 y Fy(\033)2226 4538 y Fr(I)2276 4410 y Fi(i)2319 4329 y(1)2319 4492 y(A)2398 4347 y Fx(2)2454 4379 y Fi(\014)2454 4434 y(\014)2454 4489 y(\014)2454 4543 y(\014)2509 4488 y Ft(^)2484 4511 y Fs(F)2549 4525 y Fv(k)r Fx(+1)2687 4301 y Fi(3)2687 4461 y(7)2687 4519 y(5)2772 4511 y Fs(\024)25 b Fy(\014)2924 4474 y Fx(2)2965 4511 y Fy(C)7 b(N)3120 4474 y Fx(2)p Fv(\015)t Fr(\000)p Fx(2)3296 4511 y Fy(;)107 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(40\))0 4849 y(Th)m(us,)30 b(using)f(the)i(b)s(ound)d(\(5.40\))33 b(in)d(\(5.38\),)0 5109 y(1)21 b(+)167 5048 y Fy(t)200 5015 y Fx(2)p 167 5088 74 4 v 182 5171 a Ft(2)252 5109 y Fk(E)26 b Ft([\()409 5086 y(~)382 5109 y Fy(F)454 5072 y Fv(k)504 5109 y Ft(\))539 5072 y Fx(2)580 5109 y Fy(e)622 5072 y Fr(j)p Fv(t)687 5055 y Fx(~)671 5072 y Fv(F)727 5044 y Fm(k)767 5072 y Fr(j)793 5109 y Fs(j)843 5086 y Ft(^)818 5109 y Fs(F)883 5123 y Fv(k)r Fx(+1)1021 5109 y Ft(])f Fs(\024)g Ft(1)c(+)1335 5048 y Fy(t)1368 5015 y Fx(2)p 1335 5088 V 1349 5171 a Ft(2)1419 5109 y Fy(e)1461 5072 y Fx(2)p Fv(c\014)s(tN)1665 5044 y Fj(\000)p Fn(1+)p Fm(\015)1840 5109 y Fy(C)7 b(\014)1968 5072 y Fx(2)2008 5109 y Fy(N)2091 5072 y Fx(2)p Fv(\015)t Fr(\000)p Fx(2)2292 5109 y Fs(\024)25 b Ft(exp)2542 4981 y Fi(\022)2620 5048 y Fy(t)2653 5015 y Fx(2)p 2620 5088 V 2634 5171 a Ft(2)2705 5109 y Fy(e)2747 5072 y Fx(2)p Fv(c\014)s(tN)2951 5044 y Fj(\000)p Fn(1+)p Fm(\015)3125 5109 y Fy(C)7 b(\014)3253 5072 y Fx(2)3294 5109 y Fy(N)3377 5072 y Fx(2)p Fv(\015)t Fr(\000)p Fx(2)3553 4981 y Fi(\023)3635 5109 y Fy(:)3428 5273 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(41\))p eop %%Page: 36 36 36 35 bop 0 45 a Fo(36)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 264 y Ft(Inserting)30 b(this)g(in)g(\(5.30\))j(yields)314 578 y Fk(P)p Ft([)p Fs(j)469 464 y Fv(N)436 492 y Fi(X)434 687 y Fv(k)r Fx(=1)603 555 y Ft(~)583 578 y Fy(F)654 540 y Fv(k)699 578 y Fs(j)25 b Fy(>)g(z)t Ft(\()p Fk(P)p Ft([)p Fs(A)p Ft(]\))1139 540 y Fr(\000)p Fx(1)1238 578 y Ft(])h Fs(\024)f Ft(2)20 b(inf)1445 634 y Fv(t>)p Fx(0)1581 578 y Ft(exp)1735 450 y Fi(\022)1802 578 y Fs(\000)p Fy(tz)k Ft(+)2074 517 y Fy(t)2107 484 y Fx(2)p 2074 557 74 4 v 2088 640 a Ft(2)2158 578 y Fy(e)2200 540 y Fx(2)p Fv(c\014)s(tN)2404 513 y Fj(\000)p Fn(1+)p Fm(\015)2579 578 y Fy(C)7 b(\014)2707 540 y Fx(2)2747 578 y Fy(N)2830 540 y Fx(2)p Fv(\015)t Fr(\000)p Fx(1)3006 450 y Fi(\023)3088 578 y Fy(:)315 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(42\))0 914 y(W)-8 b(e)32 b(c)m(ho)s(ose)f Fy(z)e Ft(=)c Fy(\034)10 b(\014)5 b(N)801 881 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2+)p Fv(")1063 914 y Ft(,)30 b(and)g Fy(t)25 b Ft(=)1461 878 y Fx(1)p 1460 893 38 4 v 1460 946 a Fv(z)1508 914 y Fy(N)1602 857 y Fm(")p 1602 867 31 4 v 1602 903 a Fn(2)1674 914 y Ft(=)1805 878 y Fx(1)p 1781 893 86 4 v 1781 946 a Fv(\034)7 b(\014)1877 914 y Fy(N)1971 852 y Fn(1)p Fj(\000)p Fm(")p 1971 867 111 4 v 2011 903 a Fn(2)2097 914 y Ft(.)41 b(This)29 b(implies)i(that)83 1250 y Fk(P)p Ft([)p Fs(j)238 1136 y Fv(N)204 1163 y Fi(X)203 1359 y Fv(k)r Fx(=1)372 1227 y Ft(~)351 1250 y Fy(F)422 1212 y Fv(k)467 1250 y Fs(j)26 b Fy(>)e(\014)5 b(\034)10 b(N)802 1212 y Fr(\000)870 1188 y Fn(1)p 870 1198 31 4 v 870 1234 a(2)912 1212 y Fx(+)p Fv(")1007 1250 y Ft(\()p Fk(P)p Ft([)p Fs(A)p Ft(]\))1255 1212 y Fr(\000)p Fx(1)1354 1250 y Ft(])25 b Fs(\024)g Ft(2)15 b(exp)1715 1149 y Fi(\020)1769 1250 y Fs(\000)p Fy(N)1934 1188 y Fm(")p 1934 1198 V 1934 1234 a Fn(2)2000 1250 y Ft(+)20 b Fy(C)7 b(\034)2213 1212 y Fr(\000)p Fx(2)2311 1250 y Fy(N)2394 1212 y Fx(2)p Fv(\015)t Fr(\000)p Fv(")2568 1250 y Fy(e)2610 1212 y Fx(2)p Fv(c\034)2719 1185 y Fj(\000)p Fn(1)2804 1212 y Fv(N)2869 1185 y Fj(\000)p Fn(1)p Fm(=)p Fn(2+)p Fm(\015)s Fj(\000)p Fm("=)p Fn(2)3250 1149 y Fi(\021)3320 1250 y Fy(:)83 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(43\))0 1562 y(Cho)s(ose)34 b Fy(\015)i(<)30 b("=)p Ft(2.)53 b(Then)33 b(for)g(an)m(y)h Fy(\034)41 b(>)31 b Ft(0,)k(and)f Fy(N)43 b Ft(large)35 b(enough,)g(the)f(righ)m(t)g(hand)f(side)h(of)g(\(5.43\))i(is)0 1707 y(b)s(ounded)28 b(b)m(y)i(3)p Fy(e)584 1674 y Fr(\000)p Fv(N)706 1647 y Fm(\017=)p Fn(2)808 1707 y Ft(.)41 b(Since)30 b Fk(P)p Ft([)p Fs(A)p Ft(])h(tends)f(to)h(1)g(as)f(1)21 b Fs(\000)f Fy(N)2101 1674 y Fr(\000)p Fv(m)2227 1707 y Ft(,)30 b(the)h(claimed)g(estimate)h(follo)m(ws.)42 b Fb(\003)0 1928 y Fu(Pro)s(of)35 b(of)f(Theorem)g(4:)86 b Ft(The)29 b(assertion)h(is)g(no)m(w)f(an)h(immediate)g(consequence)h (of)e(Lemma)h(5.1)h(and)0 2073 y(Prop)s(osition)f(5.5.)42 b(Indeed,)661 2335 y Fs(j)p Fy(F)744 2349 y Fv(N)834 2335 y Fs(\000)20 b Fk(E)26 b Fy(F)1053 2349 y Fv(N)1128 2335 y Fs(j)g(\024)f(j)p Fy(F)1358 2349 y Fv(N)1448 2335 y Fs(\000)1559 2312 y Ft(~)1538 2335 y Fy(F)1596 2349 y Fv(N)1666 2335 y Fs(j)20 b Ft(+)g Fs(j)1848 2312 y Ft(~)1827 2335 y Fy(F)1885 2349 y Fv(N)1975 2335 y Fs(\000)g Fk(E)2162 2312 y Ft(~)2136 2335 y Fy(F)2194 2349 y Fv(N)2269 2335 y Fs(j)h Ft(+)f Fs(j)p Fk(E)2527 2312 y Ft(~)2501 2335 y Fy(F)2559 2349 y Fv(N)2654 2335 y Fs(\000)g Fk(E)26 b Fy(F)2873 2349 y Fv(N)2948 2335 y Fs(j)p Fy(:)430 b Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(44\))0 2597 y(The)26 b(\014rst)f(term)i(is)f(non)g (zero)h(only)f(on)g Fs(A)1418 2564 y Fv(c)1455 2597 y Ft(.)39 b(Also,)28 b(the)f(last)g(summand)d(is)j(b)s(ounded)d(b)m(y)i Fk(P)p Ft([)p Fs(A)3207 2564 y Fv(c)3244 2597 y Ft(])15 b(sup)g Fy(F)3495 2611 y Fv(N)3589 2597 y Fs(\024)0 2742 y Fy(C)7 b(N)155 2709 y Fv(p)196 2742 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)349 2709 y Fv(c)387 2742 y Ft(].)41 b(If)29 b(w)m(e)i(c)m(ho)s (ose)g Fy(m)e Ft(in)h(Lemma)g(5.1)h(larger)g(than)e Fy(p)20 b Ft(+)f Fy(n)g Ft(+)g(1,)30 b(then)g(this)g(term)g(is)g(ev)m(en)m (tually)0 2888 y(less)i(than)f Fy(N)465 2855 y Fr(\000)p Fx(2)563 2888 y Ft(,)h(and)f(th)m(us)g(also)i(less)e(than)h Fy(z)f Ft(=)c Fy(\034)10 b(N)1869 2855 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2+)p Fv(")2131 2888 y Ft(.)44 b(Th)m(us,)31 b(for)g(all)i Fy(n;)15 b(\034)5 b(;)15 b(")28 b(>)f Ft(0,)32 b(and)f Fy(N)42 b Ft(large)0 3033 y(enough,)581 3168 y Fk(P)p Ft([)p Fs(j)p Fy(F)744 3182 y Fv(N)835 3168 y Fs(\000)20 b Fk(E)26 b Fy(F)1054 3182 y Fv(N)1129 3168 y Fs(j)g Fy(>)e(z)t Ft(])i Fs(\024)f Fk(P)p Ft([)p Fs(j)p Fy(F)1631 3182 y Fv(N)1722 3168 y Fs(\000)1833 3145 y Ft(~)1813 3168 y Fy(F)1871 3182 y Fv(N)1940 3168 y Fs(j)h Fy(>)2098 3106 y(z)p 2098 3147 47 4 v 2098 3230 a Ft(3)2155 3168 y(])20 b(+)g Fk(P)p Ft([)p Fs(j)2418 3145 y Ft(~)2396 3168 y Fy(F)2454 3182 y Fv(N)2545 3168 y Fs(\000)g Fk(E)2732 3145 y Ft(~)2705 3168 y Fy(F)2764 3182 y Fv(N)2839 3168 y Fs(j)25 b Fy(>)2996 3106 y(z)p 2996 3147 V 2996 3230 a Ft(3)3053 3168 y(])1372 3367 y Fs(\024)g Fy(C)7 b(N)1623 3330 y Fv(p)1665 3367 y Fk(P)p Ft([)p Fs(A)1818 3330 y Fv(c)1855 3367 y Ft(])21 b(+)e Fk(P)p Ft([)p Fs(j)2118 3344 y Ft(~)2096 3367 y Fy(F)2154 3381 y Fv(N)2245 3367 y Fs(\000)h Fk(E)2432 3344 y Ft(~)2406 3367 y Fy(F)2464 3381 y Fv(N)2539 3367 y Fs(j)26 b Fy(>)2697 3306 y(z)p 2697 3346 V 2697 3430 a Ft(3)2754 3367 y(])1372 3551 y Fs(\024)f Fy(C)7 b(N)1623 3513 y Fr(\000)p Fv(n)p Fr(\000)p Fx(1)1842 3551 y Ft(+)20 b Fy(e)1975 3513 y Fr(\000)p Fv(N)2097 3486 y Fm(")2162 3551 y Fy(<)25 b(N)2341 3513 y Fr(\000)p Fv(n)2447 3551 y Fy(:)3428 3347 y Ft(\(5)p Fy(:)p Ft(45\))0 3725 y(This)30 b(concludes)g(the)h(pro)s(of)e(of)i (the)f(theorem.)42 b Fb(\003)0 4109 y Fz(6.)f(Results)h(on)f(the)g (Replica)f(Ov)m(erlap.)0 4375 y Ft(In)30 b(this)g(section,)i(w)m(e)f (pro)m(v)m(e)g(the)f(results)g(on)h(the)f(replica)h(o)m(v)m(erlap,)i (Theorems)d(1.5,)h(1.9,)h(and)e(1.7.)35 4580 y Fu(6.1.)35 b(Pro)s(of)h(of)f(Theorem)g(1.5.)0 4860 y Ft(By)c(the)f(de\014nition)g (of)h(the)f(free)h(energy)-8 b(,)810 5181 y Fk(E)897 5120 y Fy(@)5 b(F)1008 5134 y Fv(N)p 897 5161 181 4 v 932 5244 a Fy(@)g(\014)1114 5181 y Ft(=)25 b Fs(\000)1305 5120 y Fy(\014)p 1292 5161 83 4 v 1292 5244 a(N)1385 5181 y Fk(E)h Fs(G)1509 5195 y Fv(N)s(;\014)1646 5181 y Ft([)p Fy(H)7 b Ft(])26 b(=)f Fs(\000)p Fy(\014)2043 5060 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2076 5095 y Fi(X)2073 5288 y Fv(\026)p Fx(=1)2255 5181 y Fk(E)26 b Fs(G)2379 5195 y Fv(N)s(;\014)2516 5181 y Ft([)p Fy(H)2624 5144 y Fv(\026)2673 5181 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)])p Fy(;)625 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(1\))p eop %%Page: 37 37 37 36 bop 0 45 a Fl(Replica)27 b(Ov)n(erlap)3041 b Fo(37)0 264 y Ft(where)1250 434 y Fy(H)1333 397 y Fv(\026)1381 434 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))26 b(=)f Fs(\000)1710 373 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1851 340 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)p 1710 414 256 4 v 1729 497 a Fy(N)1812 471 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2018 348 y Fi(X)2010 531 y Fj(I)r(\032N)2003 583 y(jI)r(j)p Fn(=)p Fm(p)2191 434 y Fy(\030)2235 391 y Fv(\026)2231 461 y Fr(I)2283 434 y Fy(\033)2335 461 y Fr(I)2385 434 y Fy(;)1063 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(2\))0 758 y(is)29 b(the)h(con)m(tribution)f(to)h(the)g(Hamiltonian)g(from)f (pattern)g Fy(\026)p Ft(.)40 b(W)-8 b(e)30 b(in)m(tro)s(duce)f(the)h (follo)m(wing)g(notation.)0 904 y(F)-8 b(or)31 b(an)m(y)g Fy(u)25 b Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1],)32 b(w)m(e)f(let)1024 881 y(\026)1001 904 y Fy(H)1084 871 y Fv(\026)1077 926 y(u)1163 904 y Ft(b)s(e)e(an)i(in)m(terp)s(olating)g(Hamiltonian)h(of)e (the)h(form)1412 1155 y(\026)1388 1178 y Fy(H)1471 1140 y Fv(\026)1464 1200 y(u)1545 1178 y Ft(=)25 b Fy(H)i Fs(\000)20 b Ft(\(1)h Fs(\000)f Fy(u)p Ft(\))p Fy(H)2197 1140 y Fv(\026)2246 1178 y Fy(:)1202 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(3\))0 1452 y(Observ)m(e)28 b(that)h(for)f Fy(u)d Ft(=)g(0,)30 b(this)e(quan)m(tit)m(y)h(is)g(indep)s(enden)m(t)e(of)h(the)h(pattern)f Fy(\026)p Ft(,)h(and)e(for)h Fy(u)e Ft(=)f(1,)k(is)f(equal)0 1598 y(to)42 b(the)f(original)h(Hamiltonian.)75 b(The)40 b(notations)1844 1575 y(\026)1826 1598 y Fs(G)1885 1565 y Fv(\026)1880 1620 y(u)1976 1598 y Ft(and)2182 1575 y(\026)2163 1598 y Fy(Z)2232 1565 y Fv(\026)2225 1620 y(u)2322 1598 y Ft(refer)g(to)i(the)f(corresp)s(onding)g(Gibbs)0 1743 y(measures)c(and)g(partition)h(functions)f(\(dropping)g(reference) h(to)g Fy(N)47 b Ft(and)37 b Fy(\014)42 b Ft(for)c(sak)m(e)g(of)g (clarit)m(y\).)64 b(W)-8 b(e)0 1888 y(no)m(w)30 b(write)h(the)g(Gibbs)e (ectation)k(on)d(the)h(righ)m(t)g(of)f(\(6.1\))i(as)1005 2208 y Fs(G)1059 2222 y Fv(N)s(;\014)1190 2208 y Ft([)p Fy(H)1298 2170 y Fv(\026)1347 2208 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)])27 b(=)e Fk(E)1674 2222 y Fv(\033)1744 2053 y Fi(")1901 2147 y Fy(e)1943 2114 y Fr(\000)p Fv(\014)2062 2097 y Fx(\026)2044 2114 y Fv(H)2109 2086 y Fm(\026)2104 2132 y(u)p 1808 2187 441 4 v 1808 2277 a Fk(E)1863 2291 y Fv(\033)1907 2272 y Fj(0)1943 2277 y Ft([)p Fy(e)2010 2251 y Fr(\000)p Fv(\014)2129 2235 y Fx(\026)2111 2251 y Fv(H)2176 2220 y Fm(\026)2171 2263 y(u)2224 2277 y Ft(])2260 2208 y Fy(H)2343 2170 y Fv(\026)2391 2053 y Fi(#)2460 2049 y(\014)2460 2103 y(\014)2460 2158 y(\014)2460 2213 y(\014)2460 2267 y(\014)2490 2326 y Fv(u)p Fx(=1)2630 2208 y Fy(:)818 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(4\))0 2527 y(Dev)m(elopping)29 b(the)e(Boltzmann)h(w)m(eigh)m(ts)g(in)f Fy(u)g Ft(ab)s(out)g(0)g(with) g(second)g(order)g(remainder,)g(w)m(e)h(obtain)f(for)0 2673 y(eac)m(h)32 b(term)e(in)g(the)h(sum)e(on)h(the)h(righ)m(t-hand)f (side)g(of)h(\(6.1\))h(\(for)f(some)f Fy(u)c Fs(2)f Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1]\))156 2992 y Fs(G)210 3006 y Fv(N)s(;\014)341 2992 y Ft([)p Fy(H)449 2955 y Fv(\026)498 2992 y Ft(])26 b(=)f Fk(E)699 3006 y Fv(\033)769 2837 y Fi(")833 2931 y Fy(e)875 2898 y Fr(\000)p Fv(\014)995 2881 y Fx(\026)976 2898 y Fv(H)1041 2867 y Fm(\026)1036 2919 y Fn(0)1085 2898 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 833 2971 357 4 v 972 3034 a Ft(\026)953 3057 y Fy(Z)1022 3013 y Fv(\026)1015 3081 y Fx(0)1201 2992 y Fy(H)1284 2948 y Fv(\026)1277 3016 y Fx(0)1333 2992 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))1458 2837 y Fi(#)1532 2992 y Fs(\000)20 b Fy(\014)5 b Fk(E)1734 3006 y Fv(\033)1804 2837 y Fi(")1868 2931 y Fy(e)1910 2898 y Fr(\000)p Fv(\014)2030 2881 y Fx(\026)2011 2898 y Fv(H)2076 2867 y Fm(\026)2071 2919 y Fn(0)2119 2898 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 1868 2971 V 2007 3034 a Ft(\026)1988 3057 y Fy(Z)2057 3013 y Fv(\026)2050 3081 y Fx(0)2236 2992 y Fy(H)2319 2955 y Fv(\026)2368 2992 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))2493 2955 y Fx(2)2534 2837 y Fi(#)285 3301 y Ft(+)20 b Fy(\014)5 b Fk(E)487 3315 y Fv(\033)n(;\033)593 3297 y Fj(0)644 3146 y Fi(")708 3240 y Fy(e)750 3207 y Fr(\000)p Fv(\014)869 3191 y Fx(\026)851 3207 y Fv(H)916 3176 y Fm(\026)911 3229 y Fn(0)959 3207 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)1179 3191 y Fx(\026)1160 3207 y Fv(H)1225 3176 y Fm(\026)1220 3229 y Fn(0)1269 3207 y Fx(\()p Fv(\033)1341 3179 y Fj(0)1366 3207 y Fx(\))p 708 3280 692 4 v 993 3343 a Ft(\026)974 3366 y Fy(Z)1043 3322 y Fv(\026)1036 3390 y Fx(0)1092 3340 y(2)1410 3301 y Fy(H)1493 3264 y Fv(\026)1542 3301 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(H)1750 3264 y Fv(\026)1799 3301 y Ft(\()p Fy(\033)1889 3264 y Fr(0)1916 3301 y Ft(\))1951 3146 y Fi(#)2024 3301 y Ft(+)2126 3240 y Fy(\014)2182 3207 y Fx(2)p 2126 3280 98 4 v 2152 3364 a Ft(2)2249 3301 y Fk(E)2304 3315 y Fv(\033)2374 3146 y Fi(")2518 3240 y Fy(e)2560 3207 y Fr(\000)p Fv(\014)2679 3191 y Fx(\026)2661 3207 y Fv(H)2726 3179 y Fm(\026)2721 3225 y(u)2769 3207 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 2438 3280 518 4 v 2438 3370 a Fk(E)2492 3384 y Fv(\033)2547 3370 y Ft([)p Fy(e)2614 3344 y Fr(\000)p Fv(\014)2734 3328 y Fx(\026)2715 3344 y Fv(H)2780 3313 y Fm(\026)2775 3356 y(u)2824 3344 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))2929 3370 y Ft(])2966 3301 y Fy(H)3049 3264 y Fv(\026)3097 3301 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))3222 3264 y Fx(3)3264 3146 y Fi(#)2249 3453 y(|)p 2290 3453 453 11 v 453 w({z)p 2825 3453 V 453 w(})2738 3539 y Fv(R)2793 3548 y Fn(1)285 3753 y Fs(\000)387 3691 y Ft(3)p Fy(\014)488 3658 y Fx(2)p 387 3732 143 4 v 435 3815 a Ft(2)555 3753 y Fk(E)610 3767 y Fv(\033)n(;\033)716 3748 y Fj(0)767 3597 y Fi(")831 3691 y Fy(e)873 3658 y Fr(\000)p Fv(\014)992 3642 y Fx(\026)974 3658 y Fv(H)1039 3631 y Fm(\026)1034 3676 y(u)1082 3658 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)1302 3642 y Fx(\026)1283 3658 y Fv(H)1348 3631 y Fm(\026)1343 3676 y(u)1392 3658 y Fx(\()p Fv(\033)1464 3631 y Fj(0)1489 3658 y Fx(\))p 831 3732 692 4 v 862 3821 a Ft(\()p Fk(E)952 3835 y Fv(\033)1007 3821 y Ft([)p Fy(e)1074 3795 y Fr(\000)p Fv(\014)1194 3779 y Fx(\026)1175 3795 y Fv(H)1240 3764 y Fm(\026)1235 3807 y(u)1284 3795 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))1389 3821 y Ft(]\))1449 3795 y Fx(2)1533 3753 y Fy(H)1616 3715 y Fv(\026)1665 3753 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))1790 3715 y Fx(2)1832 3753 y Fy(H)1915 3715 y Fv(\026)1963 3753 y Ft(\()p Fy(\033)2053 3715 y Fr(0)2079 3753 y Ft(\))2114 3597 y Fi(#)555 3904 y(|)p 596 3904 725 11 v 725 w({z)p 1403 3904 V 725 w(})1317 3990 y Fv(R)1372 3999 y Fn(2)285 4204 y Ft(+)387 4143 y Fy(\014)443 4110 y Fx(2)p 387 4183 98 4 v 413 4266 a Ft(2)510 4204 y Fk(E)565 4218 y Fv(\033)n(;\033)671 4199 y Fj(0)702 4218 y Fv(;\033)768 4199 y Fj(00)832 4049 y Fi(")896 4143 y Fy(e)938 4110 y Fr(\000)p Fv(\014)1058 4093 y Fx(\026)1039 4110 y Fv(H)1104 4082 y Fm(\026)1099 4128 y(u)1147 4110 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)1368 4093 y Fx(\026)1348 4110 y Fv(H)1413 4082 y Fm(\026)1408 4128 y(u)1457 4110 y Fx(\()p Fv(\033)1529 4082 y Fj(0)1555 4110 y Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)1702 4093 y Fx(\026)1684 4110 y Fv(H)1749 4082 y Fm(\026)1744 4128 y(u)1792 4110 y Fx(\()p Fv(\033)1864 4082 y Fj(0)q(0)1909 4110 y Fx(\))p 896 4183 1047 4 v 1105 4273 a Ft(\()p Fk(E)1195 4287 y Fv(\033)1250 4273 y Ft([)p Fy(e)1317 4247 y Fr(\000)p Fv(\014)1437 4231 y Fx(\026)1418 4247 y Fv(H)1483 4216 y Fm(\026)1478 4259 y(u)1526 4247 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))1632 4273 y Ft(]\))1692 4247 y Fx(3)1953 4204 y Fy(H)2036 4166 y Fv(\026)2085 4204 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(H)2293 4166 y Fv(\026)2343 4204 y Ft(\()p Fy(\033)2433 4166 y Fr(0)2459 4204 y Ft(\))p Fy(H)2577 4166 y Fv(\026)2626 4204 y Ft(\()p Fy(\033)2716 4166 y Fr(00)2763 4204 y Ft(\))2798 4049 y Fi(#)510 4356 y(|)p 551 4356 1089 11 v 1089 w({z)p 1722 4356 V 1089 w(})1635 4442 y Fv(R)1690 4451 y Fn(3)2866 4204 y Fy(:)3473 3669 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(5\))0 4672 y(As)37 b(remark)m(ed)g(ab)s(o)m (v)m(e,)i(neither)1176 4649 y(\026)1152 4672 y Fy(H)1235 4629 y Fv(\026)1228 4696 y Fx(0)1320 4672 y Ft(nor)1508 4649 y(\026)1489 4672 y Fy(Z)1558 4629 y Fv(\026)1551 4696 y Fx(0)1642 4672 y Ft(con)m(tain)g(an)m(y)e(of)f(the)h(v)-5 b(ariables)38 b Fs(f)p Fy(\030)2893 4629 y Fv(\026)2889 4698 y(i)2942 4672 y Fs(g)2987 4686 y Fv(i)p Fr(2N)3136 4672 y Ft(.)59 b(In)m(tegration)0 4818 y(with)30 b(resp)s(ect)g(to)i (them)e(\(denoted)h(b)m(y)f Fk(E)1422 4832 y Fv(\026)1476 4818 y Ft(\))h(th)m(us)f(yields)g(for)h(the)f(linear)h(term,)449 5141 y Fk(E)26 b(E)579 5155 y Fv(\033)649 4985 y Fi(")713 5079 y Fy(e)755 5046 y Fr(\000)p Fv(\014)875 5030 y Fx(\026)856 5046 y Fv(H)921 5015 y Fm(\026)916 5068 y Fn(0)964 5046 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 713 5120 357 4 v 852 5182 a Ft(\026)833 5205 y Fy(Z)902 5161 y Fv(\026)895 5229 y Fx(0)1081 5141 y Fy(H)1164 5103 y Fv(\026)1213 5141 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))1338 4985 y Fi(#)1417 5141 y Ft(=)1524 5079 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))1665 5046 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)p 1524 5120 256 4 v 1543 5203 a Fy(N)1626 5177 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1832 5054 y Fi(X)1824 5237 y Fj(I)r(\032N)1817 5289 y(jI)r(j)p Fn(=)p Fm(p)2005 5141 y Fk(E)2059 5103 y Fr(0)2106 5141 y Fk(E)2160 5155 y Fv(\033)2231 4985 y Fi(")2294 5079 y Fy(e)2336 5046 y Fr(\000)p Fv(\014)2456 5030 y Fx(\026)2437 5046 y Fv(H)2502 5015 y Fm(\026)2497 5068 y Fn(0)2546 5046 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 2294 5120 357 4 v 2433 5182 a Ft(\026)2414 5205 y Fy(Z)2483 5161 y Fv(\026)2476 5229 y Fx(0)2662 5141 y Fk(E)2717 5155 y Fv(\026)2772 5141 y Fy(\030)2816 5097 y Fv(\026)2812 5167 y Fr(I)2864 5141 y Fy(\033)2916 5167 y Fr(I)2966 4985 y Fi(#)3044 5141 y Ft(=)f(0)p Fy(;)263 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(6\))p eop %%Page: 38 38 38 37 bop 0 45 a Fo(38)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 264 y Ft(and)30 b(for)g(the)g(second)h(order)f(con)m(tribution)118 542 y Fk(E)25 b(E)248 556 y Fv(\033)318 386 y Fi(")382 480 y Fy(e)424 447 y Fr(\000)p Fv(\014)544 431 y Fx(\026)525 447 y Fv(H)590 416 y Fm(\026)585 469 y Fn(0)633 447 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 382 521 357 4 v 521 583 a Ft(\026)502 606 y Fy(Z)571 562 y Fv(\026)564 630 y Fx(0)750 542 y Fy(H)833 504 y Fv(\026)882 542 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))1007 504 y Fx(2)1048 386 y Fi(#)1127 542 y Ft(=)1325 480 y Fy(p)p Ft(!)p 1233 521 255 4 v 1233 604 a Fy(N)1316 578 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1499 542 y Fk(E)1553 504 y Fr(0)1585 542 y Fk(E)1639 556 y Fv(\033)1709 359 y Fi(2)1709 522 y(4)1781 480 y Fy(e)1823 447 y Fr(\000)p Fv(\014)1943 431 y Fx(\026)1924 447 y Fv(H)1989 416 y Fm(\026)1984 469 y Fn(0)2032 447 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 1781 521 357 4 v 1920 583 a Ft(\026)1901 606 y Fy(Z)1970 562 y Fv(\026)1963 630 y Fx(0)2164 455 y Fi(X)2165 650 y Fr(I)t Fv(;)p Fr(J)2310 542 y Fk(E)2365 556 y Fv(\026)2420 542 y Fy(\030)2464 498 y Fv(\026)2460 568 y Fr(I)2513 542 y Fy(\030)2557 498 y Fv(\026)2553 568 y Fr(J)2618 542 y Fy(\033)2670 556 y Fr(I)2720 542 y Fy(\033)2772 556 y Fr(J)2838 359 y Fi(3)2838 522 y(5)1127 878 y Ft(=)1325 816 y Fy(p)p Ft(!)p 1233 857 255 4 v 1233 940 a Fy(N)1316 914 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1499 878 y Fk(E)1553 840 y Fr(0)1585 878 y Fk(E)1639 892 y Fv(\033)1709 722 y Fi(")1773 816 y Fy(e)1815 783 y Fr(\000)p Fv(\014)1935 767 y Fx(\026)1916 783 y Fv(H)1981 753 y Fm(\026)1976 805 y Fn(0)2025 783 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p 1773 857 357 4 v 1912 920 a Ft(\026)1893 943 y Fy(Z)1962 899 y Fv(\026)1955 967 y Fx(0)2156 792 y Fi(X)2199 987 y Fr(I)2303 878 y Ft(1)2348 722 y Fi(#)2427 878 y Ft(=)g Fy(N)2606 840 y Fx(2)p Fr(\000)p Fx(2)p Fv(p)2777 878 y Ft(\(1)c(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)3162 840 y Fr(\000)p Fx(1)3260 878 y Ft(\)\))p Fy(;)3473 698 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(7\))0 1150 y(resp)s(ectiv)m(ely)-8 b(,)51 1419 y Fk(E)26 b(E)182 1433 y Fv(\033)n(;\033)288 1414 y Fj(0)339 1263 y Fi(")403 1357 y Fy(e)445 1324 y Fr(\000)p Fv(\014)564 1308 y Fx(\026)546 1324 y Fv(H)611 1293 y Fm(\026)606 1346 y Fn(0)654 1324 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)874 1308 y Fx(\026)855 1324 y Fv(H)920 1293 y Fm(\026)915 1346 y Fn(0)964 1324 y Fx(\()p Fv(\033)1036 1297 y Fj(0)1061 1324 y Fx(\))p 403 1398 692 4 v 688 1460 a Ft(\026)669 1483 y Fy(Z)738 1440 y Fv(\026)731 1507 y Fx(0)787 1457 y(2)1105 1419 y Fy(H)1188 1381 y Fv(\026)1237 1419 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(H)1445 1381 y Fv(\026)1494 1419 y Ft(\()p Fy(\033)1584 1381 y Fr(0)1611 1419 y Ft(\))1646 1263 y Fi(#)1724 1419 y Ft(=)1923 1357 y Fy(p)p Ft(!)p 1831 1398 255 4 v 1831 1481 a Fy(N)1914 1455 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2096 1419 y Fk(E)g(E)2227 1433 y Fv(\033)n(;\033)2333 1414 y Fj(0)2383 1263 y Fi(")2447 1357 y Fy(e)2489 1324 y Fr(\000)p Fv(\014)2609 1308 y Fx(\026)2590 1324 y Fv(H)2655 1293 y Fm(\026)2650 1346 y Fn(0)2699 1324 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)2919 1308 y Fx(\026)2900 1324 y Fv(H)2965 1293 y Fm(\026)2960 1346 y Fn(0)3009 1324 y Fx(\()p Fv(\033)3081 1297 y Fj(0)3106 1324 y Fx(\))p 2447 1398 692 4 v 2733 1460 a Ft(\026)2714 1483 y Fy(Z)2783 1440 y Fv(\026)2776 1507 y Fx(0)2831 1457 y(2)3165 1332 y Fi(X)3208 1527 y Fr(I)3312 1419 y Fy(\033)3364 1433 y Fr(I)3413 1419 y Fy(\033)3468 1381 y Fr(0)3465 1441 y(I)3515 1263 y Fi(#)3583 1419 y Fy(:)3473 1614 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(8\))0 1759 y(The)k(latter)i(sum)d(is)518 1935 y Fi(X)498 2130 y Fr(I)t(\032N)684 2022 y Fy(\033)736 2036 y Fr(I)786 2022 y Fy(\033)841 1984 y Fr(0)838 2044 y(I)913 2022 y Ft(=)1032 1960 y(1)p 1020 2001 71 4 v 1020 2084 a Fy(p)p Ft(!)1278 1908 y Fv(N)1245 1935 y Fi(X)1153 2117 y Fm(i)1177 2131 y Fn(1)1213 2117 y Fm(;:::)10 b(;i)1352 2126 y(p)1390 2117 y Fn(=1)1128 2190 y Fx(all)24 b(di\013eren)n(t)1558 1904 y Fv(p)1519 1935 y Fi(Y)1520 2131 y Fv(l)p Fx(=1)1650 2022 y Fy(\033)1702 2036 y Fv(i)1728 2046 y Fm(l)1759 2022 y Fy(\033)1814 1984 y Fr(0)1811 2044 y Fv(i)1837 2054 y Fm(l)1893 2022 y Ft(=)2013 1960 y(1)p 2000 2001 V 2000 2084 a Fy(p)p Ft(!)2097 1866 y Fi( )2202 1908 y Fv(N)2169 1935 y Fi(X)2176 2129 y Fv(i)p Fx(=1)2315 2022 y Fy(\033)2367 2036 y Fv(i)2397 2022 y Fy(\033)2452 1984 y Fr(0)2449 2044 y Fv(i)2480 1866 y Fi(!)2552 1878 y Fv(p)2609 2022 y Ft(\(1)d(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2994 1984 y Fr(\000)p Fx(1)3092 2022 y Ft(\)\))913 2356 y(=)1032 2294 y(1)p 1020 2335 V 1020 2418 a Fy(p)p Ft(!)1102 2356 y Fy(N)1185 2318 y Fv(p)1227 2356 y Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1477 2318 y Fr(0)1503 2356 y Ft(\))1538 2318 y Fv(p)1580 2356 y Ft(\(1)21 b(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)1965 2318 y Fr(\000)p Fx(1)2063 2356 y Ft(\)\))p Fy(;)3473 2166 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(9\))0 2590 y(whence,)153 2859 y Fk(E)25 b(E)283 2873 y Fv(\033)n(;\033)389 2854 y Fj(0)440 2703 y Fi(")504 2797 y Fy(e)546 2764 y Fr(\000)p Fv(\014)665 2748 y Fx(\026)647 2764 y Fv(H)712 2734 y Fm(\026)707 2786 y Fn(0)755 2764 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)975 2748 y Fx(\026)956 2764 y Fv(H)1021 2734 y Fm(\026)1016 2786 y Fn(0)1065 2764 y Fx(\()p Fv(\033)1137 2737 y Fj(0)1162 2764 y Fx(\))p 504 2838 692 4 v 790 2900 a Ft(\026)771 2923 y Fy(Z)840 2880 y Fv(\026)833 2948 y Fx(0)888 2897 y(2)1206 2859 y Fy(H)1289 2821 y Fv(\026)1338 2859 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(H)1546 2821 y Fv(\026)1596 2859 y Ft(\()p Fy(\033)1686 2821 y Fr(0)1712 2859 y Ft(\))1747 2703 y Fi(#)1825 2859 y Ft(=)g Fy(N)2004 2821 y Fx(2)p Fr(\000)p Fx(2)p Fv(p)2176 2859 y Fy(E)2280 2836 y Ft(\026)2263 2859 y Fs(G)2322 2815 y Fv(\026)2317 2883 y Fx(0)2371 2821 y Fr(\012)p Fx(2)2484 2785 y Fi(\002)2522 2859 y Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2772 2821 y Fr(0)2798 2859 y Ft(\))2833 2821 y Fv(p)2876 2859 y Ft(\(1)21 b(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)3261 2821 y Fr(\000)p Fx(1)3358 2859 y Ft(\)\))3428 2785 y Fi(\003)3482 2859 y Fy(:)3428 3050 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(10\))0 3195 y(W)-8 b(e)25 b(no)m(w)f(sho)m(w)g (that)h(the)f(remainder)g(terms)g(in)g(\(6.5\))i(are)e(at)h(least)g (one)g(order)e(\(in)i Fy(N)10 b Ft(\))24 b(less)g(than)g(the)h(t)m(w)m (o)0 3341 y(leading)31 b(con)m(tributions)h(ab)s(o)m(v)m(e.)42 b(W)-8 b(e)32 b(start)f(with)g(a)g(result)f(that)i(sho)m(ws)e(that)h (the)g(p)s(erturb)s(ed)d(partition)0 3486 y(function)376 3463 y(\026)357 3486 y Fy(Z)426 3453 y Fv(\026)419 3509 y(u)501 3486 y Ft(=)e Fk(E)652 3500 y Fv(\033)707 3486 y Ft([)p Fy(e)774 3453 y Fr(\000)p Fv(\014)894 3437 y Fx(\026)875 3453 y Fv(H)940 3426 y Fm(\026)935 3471 y(u)988 3486 y Ft(])32 b(is)f(b)s(ounded)e(from)h(b)s(elo)m(w)i(b)m(y)f(a)g (constan)m(t)i(times)e(the)g(partition)h(function)19 3609 y(\026)0 3632 y Fy(Z)g Ft(=)209 3609 y(\026)190 3632 y Fy(Z)259 3588 y Fv(\026)252 3656 y Fx(0)337 3632 y Ft(\(that)g(is,)e(the)h(one)g(not)f(con)m(taining)i(an)m(y)f(of)f (the)h Fs(f)p Fy(\030)2134 3588 y Fv(\026)2130 3657 y(i)2183 3632 y Fs(g)2228 3646 y Fv(i)2259 3632 y Ft(\).)0 3850 y Fc(Lemma)38 b(6.1:)91 b Fq(F)-7 b(or)34 b(al)5 b(l)33 b Fy(\014)e Fs(\025)25 b Ft(0)32 b Fq(ther)-5 b(e)34 b(exists)f(a)g(c)-5 b(onstant)34 b Fy(c)26 b(>)f Ft(0)33 b Fq(such)g(that)h(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(u)25 b Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1])p Fq(,)1343 4055 y Ft(\026)1324 4078 y Fy(Z)1393 4040 y Fv(\026)1386 4100 y(u)1467 4078 y Fs(\025)25 b Fy(c)1621 4055 y Ft(\026)1602 4078 y Fy(Z)1671 4034 y Fv(\026)1664 4102 y Fx(0)1744 4078 y Ft(=)g Fy(c)15 b Fk(E)1949 4092 y Fv(\033)2004 4078 y Ft([)p Fy(e)2071 4040 y Fr(\000)p Fv(\014)2191 4024 y Fx(\026)2172 4040 y Fv(H)2237 4009 y Fm(\026)2232 4062 y Fn(0)2285 4078 y Ft(])p Fy(:)1093 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(11\))0 4451 y Fu(Pro)s(of:)47 b Ft(The)30 b(pro)s(of)g(is)g(an)h(immediate)g (consequence)g(of)g(the)f(follo)m(wing)i(result.)0 4669 y Fc(Lemma)52 b(6.2:)140 b Fq(L)-5 b(et)43 b Fs(f)p Fy(X)1025 4683 y Fv(i)1056 4669 y Fs(g)1101 4683 y Fv(i)p Fx(=1)p Fv(;:::)11 b(;N)1452 4669 y Fq(b)-5 b(e)42 b(a)h(familiy)h(of)f (variables)g(taking)g(values)g Fs(\000)p Ft(1)g Fq(and)g Ft(1)p Fq(.)73 b(L)-5 b(et)0 4815 y Ft(\000)57 4829 y Fv(p;N)214 4815 y Ft(=)28 b Fy(N)396 4782 y Fr(\000)p Fv(p)510 4746 y Fi(P)606 4842 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)873 4815 y Fy(X)948 4829 y Fr(I)999 4815 y Fq(,)35 b(and)g Fy(m)29 b Ft(=)f Fy(N)1531 4782 y Fr(\000)p Fx(1)1644 4746 y Fi(P)1740 4842 y Fv(i)1785 4815 y Fy(X)1860 4829 y Fv(i)1891 4815 y Fq(.)48 b(Then)35 b(for)g(e)-5 b(ach)35 b(even)f Fy(p)h Fq(ther)-5 b(e)35 b(exist)g(c)-5 b(onstants)0 4960 y Fy(c)39 4974 y Fv(p;q)171 4960 y Fq(such)33 b(that)1031 5181 y Ft(\000)1088 5195 y Fv(p;N)1241 5181 y Ft(=)1386 5024 y Fm(p)p 1386 5040 34 4 v 1387 5076 a Fn(2)1337 5095 y Fi(X)1339 5288 y Fv(q)r Fx(=0)1484 5181 y Fy(c)1523 5195 y Fv(p;)p Fx(2)p Fv(q)1659 5181 y Fy(m)1739 5144 y Fx(2)p Fv(q)1815 5181 y Fy(N)1898 5144 y Fv(q)r Fr(\000)2001 5114 y Fm(p)p 2001 5130 V 2002 5166 a Fn(2)2050 5181 y Ft(\(1)21 b(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2435 5144 y Fr(\000)p Fx(1)2533 5181 y Ft(\)\))p Fy(:)800 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(12\))p eop %%Page: 39 39 39 38 bop 0 45 a Fl(Replica)27 b(Ov)n(erlap)3041 b Fo(39)0 264 y Fq(Mor)-5 b(e)g(over,)34 b Fy(c)467 278 y Fv(p;p)601 264 y Fq(is)e(p)-5 b(ositive)34 b(for)f(al)5 b(l)33 b Fy(p)p Fq(.)0 482 y Fu(Pro)s(of:)47 b Ft(By)31 b(induction.)40 b(F)-8 b(or)32 b Fy(p)25 b Ft(=)g(2,)31 b(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)611 756 y(\000)668 770 y Fx(2)p Fv(;N)820 756 y Ft(=)25 b Fy(N)999 719 y Fr(\000)p Fx(2)1107 695 y Ft(1)p 1107 735 46 4 v 1107 819 a(2)1212 643 y Fv(N)1179 670 y Fi(X)1186 863 y Fv(i)p Fx(=1)1359 643 y Fv(N)1325 670 y Fi(X)1338 852 y Fm(j)s Fn(=1)1341 903 y Fm(j)s Fj(6)p Fn(=)p Fm(i)1472 756 y Fy(X)1547 770 y Fv(i)1578 756 y Fy(X)1653 770 y Fv(j)1716 756 y Ft(=)g Fy(N)1895 719 y Fr(\000)p Fx(2)2004 695 y Ft(1)p 2004 735 V 2004 819 a(2)2130 643 y Fv(N)2096 670 y Fi(X)2075 863 y Fv(i;j)t Fx(=1)2264 756 y Fy(X)2339 770 y Fv(i)2369 756 y Fy(X)2444 770 y Fv(j)2503 756 y Fs(\000)20 b Fy(N)2677 719 y Fr(\000)p Fx(2)2785 695 y Ft(1)p 2785 735 V 2785 819 a(2)2890 643 y Fv(N)2857 670 y Fi(X)2864 863 y Fv(i)p Fx(=1)3003 756 y Ft(1)1716 1078 y(=)1823 1016 y(1)p 1823 1057 V 1823 1140 a(2)1880 1078 y Fy(m)1960 1040 y Fx(2)2020 1078 y Fs(\000)g Fy(N)2194 1040 y Fr(\000)p Fx(1)2292 1078 y Fy(;)3428 888 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(13\))0 1299 y(whic)m(h)30 b(is)h(of)f(the)h(form)f(claimed)h (in)f(\(6.12\).)109 1444 y(Supp)s(ose)f(the)h(result)h(is)f(true)g(for) g(all)h(ev)m(en)h(v)-5 b(alues)30 b Fy(q)e Fs(\024)d Fy(p)p Ft(.)41 b(Then,)244 1673 y(\000)301 1687 y Fv(p)p Fx(+2)p Fv(;N)546 1673 y Ft(=)25 b Fy(N)725 1635 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1036 1586 y Fi(X)932 1785 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)p Fx(+2)1287 1673 y Fy(X)1362 1687 y Fr(I)1437 1673 y Ft(=)1737 1611 y(1)p 1544 1652 430 4 v 1544 1670 a Fi(\000)1586 1704 y Fv(p)p Fx(+2)1633 1775 y(2)1716 1670 y Fi(\001)1757 1744 y Fy(N)1840 1718 y Fv(p)p Fx(+2)2058 1586 y Fi(X)2000 1785 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)2263 1673 y Fy(X)2338 1687 y Fr(I)2470 1586 y Fi(X)2414 1772 y Fj(J)8 b Fn(:)p Fj(jJ)h(j)p Fn(=2)2428 1828 y Fj(I)r(\\J)f Fn(=)p Fj(;)2682 1673 y Fy(X)2757 1687 y Fr(J)546 1974 y Ft(=)25 b Fy(c)681 1988 y Fv(p)724 1974 y Fy(N)807 1936 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)1072 1887 y Fi(X)1014 2086 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)1276 1974 y Fy(X)1351 1988 y Fr(I)1491 1887 y Fi(X)1417 2086 y Fr(J)11 b Fx(:)p Fr(jJ)g(j)p Fx(=2)1711 1974 y Fy(X)1786 1988 y Fr(J)1873 1974 y Fs(\000)20 b Fy(c)2003 1988 y Fv(p)2045 1974 y Fy(N)2128 1936 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2393 1887 y Fi(X)2335 2086 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)2598 1974 y Fy(X)2673 1988 y Fr(I)2804 1887 y Fi(X)2749 2073 y Fj(J)8 b Fn(:)p Fj(jJ)g(j)p Fn(=2)2762 2129 y Fj(J)g(\\I)r(6)p Fn(=)p Fj(;)3017 1974 y Fy(X)3092 1988 y Fr(J)3158 1974 y Fy(:)3428 1873 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(14\))0 2301 y(By)31 b(the)f(induction)g(h)m(yp)s(othesis,)h(the)f(\014rst)g(term)g(on)g (the)h(righ)m(t-hand)f(side)h(is)128 2504 y Fy(c)167 2518 y Fv(p)209 2504 y Fy(N)292 2467 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)557 2418 y Fi(X)499 2617 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)762 2504 y Fy(X)837 2518 y Fr(I)976 2418 y Fi(X)902 2617 y Fr(J)12 b Fx(:)p Fr(jJ)f(j)p Fx(=2)1196 2504 y Fy(X)1271 2518 y Fr(J)1363 2504 y Ft(=)25 b Fy(c)1498 2518 y Fv(p)1541 2504 y Ft(\000)1598 2518 y Fv(p;N)1725 2504 y Ft(\000)1782 2518 y Fx(2)p Fv(;N)509 2865 y Ft(=)g Fy(c)644 2879 y Fv(p)702 2682 y Fi(0)702 2846 y(@)830 2707 y Fm(p)p 830 2723 34 4 v 831 2759 a Fn(2)781 2779 y Fi(X)783 2971 y Fv(q)r Fx(=0)928 2865 y Fy(c)967 2879 y Fv(p;)p Fx(2)p Fv(q)1103 2865 y Fy(m)1183 2827 y Fx(2)p Fv(q)1259 2865 y Fy(N)1342 2827 y Fv(q)r Fr(\000)1445 2797 y Fm(p)p 1445 2813 V 1446 2849 a Fn(2)1494 2865 y Ft(\(1)c(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)1879 2827 y Fr(\000)p Fx(1)1977 2865 y Ft(\)\))2047 2682 y Fi(1)2047 2846 y(A)2142 2709 y( )2262 2751 y Fx(1)2214 2779 y Fi(X)2216 2971 y Fv(q)r Fx(=0)2361 2865 y Fy(c)2400 2879 y Fx(2)p Fv(;)p Fx(2)p Fv(q)2534 2865 y Fy(m)2614 2827 y Fx(2)p Fv(q)2691 2865 y Fy(N)2774 2827 y Fv(q)r Fr(\000)p Fx(1)2907 2865 y Ft(\(1)h(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)3292 2827 y Fr(\000)p Fx(1)3389 2865 y Ft(\)\))3459 2709 y Fi(!)509 3229 y Ft(=)616 3071 y Fm(p)p 616 3087 V 617 3123 a Fn(2)661 3101 y Fx(+1)613 3142 y Fi(X)615 3335 y Fv(q)r Fx(=0)768 3229 y Fy(c)807 3243 y Fv(p;)p Fx(2)p Fv(q)943 3229 y Fy(m)1023 3191 y Fx(2)p Fv(q)1099 3229 y Fy(N)1182 3191 y Fv(q)r Fr(\000)1285 3161 y Fm(p)p 1285 3177 V 1286 3213 a Fn(2)1330 3191 y Fr(\000)p Fx(1)1427 3229 y Ft(\(1)h(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)1812 3191 y Fr(\000)p Fx(1)1910 3229 y Ft(\)\))p Fy(:)3428 3433 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(15\))0 3579 y(The)30 b(remaining)g(term)h(in)f(\(6.14\))i(is)348 3701 y Fi(X)290 3900 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)619 3701 y Fi(X)564 3887 y Fj(J)8 b Fn(:)p Fj(jJ)g(j)p Fn(=2)577 3943 y Fj(J)g(\\I)r(6)p Fn(=)p Fj(;)832 3788 y Fy(X)907 3802 y Fr(I)957 3788 y Fy(X)1032 3802 y Fr(J)1123 3788 y Ft(=)1292 3701 y Fi(X)1301 3884 y Fj(I)r Fm(;)p Fj(J)1230 3938 y(jJ)g(\\I)r(j)p Fn(=1)1510 3788 y Fy(X)1585 3802 y Fr(I)1636 3788 y Fy(X)1711 3802 y Fr(J)1797 3788 y Ft(+)1960 3701 y Fi(X)1970 3884 y Fj(I)r Fm(;)p Fj(J)1899 3938 y(jJ)g(\\I)r(j)p Fn(=2)2179 3788 y Fy(X)2254 3802 y Fr(I)2304 3788 y Fy(X)2379 3802 y Fr(J)1123 4093 y Ft(=)1278 4007 y Fi(X)1219 4206 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)1530 4007 y Fi(X)1482 4206 y Fv(i)p Fr(2N)i(nI)1724 4007 y Fi(X)1725 4202 y Fv(j)t Fr(2I)1870 4093 y Fy(X)1945 4107 y Fr(I)1995 4093 y Fy(X)2070 4107 y Fv(i)2101 4093 y Fy(X)2176 4107 y Fv(j)2235 4093 y Ft(+)2384 4007 y Fi(X)2326 4206 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)2610 4007 y Fi(X)2588 4202 y Fv(i;j)t Fr(2I)2779 4093 y Fy(X)2854 4107 y Fr(I)2904 4093 y Fy(X)2979 4107 y Fv(i)3010 4093 y Fy(X)3085 4107 y Fv(j)1123 4363 y Ft(=)1278 4276 y Fi(X)1219 4476 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)1482 4363 y Fy(X)1557 4377 y Fr(I)1670 4276 y Fi(X)1622 4476 y Fv(i)p Fr(2N)g(nI)1864 4363 y Fy(X)1946 4325 y Fx(2)1939 4385 y Fv(i)2007 4363 y Ft(+)2203 4276 y Fi(X)2098 4476 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2454 4363 y Fy(X)2529 4377 y Fr(I)2670 4276 y Fi(X)2594 4476 y Fv(i;j)t Fr(2N)g(nI)2891 4363 y Fy(X)2973 4325 y Fx(2)2966 4385 y Fv(i)3014 4363 y Fy(X)3096 4325 y Fx(2)3089 4385 y Fv(j)1123 4669 y Ft(=)25 b(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(p)p Ft(\))p Fy(N)1613 4631 y Fv(p)1655 4669 y Ft(\000)1712 4683 y Fv(p;N)1860 4669 y Ft(+)1951 4541 y Fi(\022)2018 4607 y Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(p)2115 4731 y Ft(2)2258 4541 y Fi(\023)2324 4669 y Fy(N)2407 4631 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2543 4669 y Ft(\000)2600 4683 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)p Fv(;N)2820 4669 y Fy(;)3428 4246 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(16\))0 4909 y(and)30 b(hence)63 5136 y Fy(N)146 5098 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)411 5049 y Fi(X)353 5248 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)616 5136 y Fy(X)691 5150 y Fr(I)822 5049 y Fi(X)767 5235 y Fj(J)8 b Fn(:)p Fj(jJ)g(j)p Fn(=2)780 5291 y Fj(J)h(\\I)r(6)p Fn(=)p Fj(;)1035 5136 y Fy(X)1110 5150 y Fr(J)1202 5136 y Ft(=)25 b Fy(N)1381 5098 y Fr(\000)p Fx(1)1478 5136 y Ft(\000)1535 5150 y Fv(p;N)1663 5136 y Ft(\(1)c(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2048 5098 y Fr(\000)p Fx(1)2146 5136 y Ft(\)\))h(+)f Fy(N)2411 5098 y Fr(\000)p Fx(2)2508 5136 y Ft(\000)2565 5150 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)p Fv(;N)2786 5136 y Ft(\(1)h(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)3171 5098 y Fr(\000)p Fx(1)3269 5136 y Ft(\)\))p Fy(:)64 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(17\))p eop %%Page: 40 40 40 39 bop 0 45 a Fo(40)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 264 y Ft(Applying)36 b(the)i(induction)e(h)m(yp)s(othesis)h(to)g(\(6.17\))i (sho)m(ws)e(the)g(decomp)s(osition)h(\(6.12\).)62 b(P)m(ositivit)m(y)40 b(of)0 409 y Fy(c)39 423 y Fv(p;p)171 409 y Ft(follo)m(ws)31 b(from)f(\(6.14\).)43 b Fb(\003)109 627 y Ft(F)-8 b(rom)31 b(this)f(one)h(concludes)g(that)f(uniformly)g(in)g Fy(\033)s Ft(,)h Fy(\030)t Ft(,)f(and)g(for)g(all)h Fy(N)41 b Ft(large)31 b(enough,)1601 870 y Fs(\000)p Fy(H)1755 833 y Fv(\026)1828 870 y Fs(\025)25 b(\000)p Fy(c:)1369 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(18\))0 1113 y(Indeed,)30 b(b)m(y)g(the)h(preceding)f(result)g (\(setting)i Fy(X)1675 1127 y Fv(i)1731 1113 y Ft(=)25 b Fy(\030)1871 1069 y Fv(\026)1867 1138 y(i)1919 1113 y Fy(\033)1971 1127 y Fv(i)2002 1113 y Ft(\),)491 1387 y Fs(\000)p Fy(H)645 1349 y Fv(\026)693 1387 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))h(=)951 1325 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))1092 1292 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)p 951 1366 256 4 v 1017 1449 a Fy(N)1100 1423 y Fv(p)1218 1387 y Fy(N)1374 1301 y Fi(X)1316 1500 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)1579 1387 y Fy(\030)1623 1343 y Fv(\026)1619 1414 y Fr(I)1672 1387 y Fy(\033)1724 1401 y Fr(I)844 1748 y Ft(=)f(\()p Fy(p)p Ft(!\))1081 1710 y Fx(1)p Fv(=)p Fx(2)1196 1748 y Fy(N)1343 1590 y Fm(p)p 1343 1606 34 4 v 1344 1642 a Fn(2)1294 1661 y Fi(X)1296 1854 y Fv(q)r Fx(=0)1441 1592 y Fi( )1543 1686 y Ft(1)p 1524 1727 83 4 v 1524 1810 a Fy(N)1666 1634 y Fv(N)1633 1661 y Fi(X)1640 1855 y Fv(i)p Fx(=1)1779 1748 y Fy(\030)1823 1704 y Fv(\026)1819 1773 y(i)1872 1748 y Fy(\033)1924 1762 y Fv(i)1954 1592 y Fi(!)2026 1604 y Fx(2)p Fv(q)2118 1748 y Fy(N)2201 1710 y Fv(q)r Fr(\000)2304 1680 y Fm(p)p 2304 1696 34 4 v 2305 1732 a Fn(2)2353 1748 y Ft(\(1)c(+)f Fs(O)2693 1661 y Fi(X)2635 1860 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(j)p Fx(=)p Fv(p)2883 1748 y Ft(\()p Fy(N)3001 1710 y Fr(\000)p Fx(1)3098 1748 y Ft(\)\))844 2108 y(=)25 b Fy(N)1087 1950 y Fm(p)p 1087 1967 V 1088 2003 a Fn(2)1038 2022 y Fi(X)1040 2214 y Fv(q)r Fx(=0)1185 2108 y Fy(c)1224 2122 y Fv(p;)p Fx(2)p Fv(q)1360 2108 y Ft(\()p Fy(m)1475 2071 y Fv(\026)1524 2108 y Ft(\))1559 2071 y Fx(2)p Fv(q)1635 2108 y Fy(N)1718 2071 y Fv(q)r Fr(\000)1822 2040 y Fm(p)p 1822 2056 V 1823 2092 a Fn(2)1871 2108 y Ft(\(1)c(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2256 2071 y Fr(\000)p Fx(1)2353 2108 y Ft(\)\))p Fy(:)3428 1763 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(19\))0 2410 y(W)-8 b(e)27 b(distinguish)d(t)m(w)m(o)j(cases.)40 b(If)25 b Fy(m)1202 2377 y Fv(\026)1276 2410 y Ft(is)g(large,)j(w)m(e)e(sho)m (w)f(that)h Fs(\000)p Fy(H)2301 2377 y Fv(\026)2349 2410 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))g(is)g(p)s(ositiv)m(e.)40 b(Supp)s(ose)23 b(therefore)0 2556 y(that)31 b Fs(j)p Fy(m)302 2523 y Fv(\026)351 2556 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b Fy(>)f(N)706 2523 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2+)p Fv(\016)999 2556 y Ft(for)30 b(some)h Fy(\016)e(>)c Ft(0.)41 b(Then,)568 2863 y Fs(\000)p Fy(N)722 2826 y Fr(\000)p Fx(1)819 2863 y Fy(H)902 2826 y Fv(\026)951 2863 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))26 b Fs(\025)f Fy(c)1237 2877 y Fv(p;p)1338 2863 y Ft(\()p Fy(m)1453 2826 y Fv(\026)1502 2863 y Ft(\))1537 2826 y Fv(p)1600 2863 y Fs(\000)1690 2742 y Fv(p=)p Fx(2)p Fr(\000)p Fx(1)1727 2777 y Fi(X)1729 2969 y Fv(q)r Fx(=0)1910 2863 y Fs(j)p Fy(c)1974 2877 y Fv(p;q)2073 2863 y Fs(j)p Fy(m)2178 2826 y Fv(\026)5 b Fx(2)p Fv(q)2304 2863 y Fy(N)2387 2826 y Fv(q)r Fr(\000)2490 2796 y Fm(p)p 2490 2812 V 2491 2848 a Fn(2)2539 2863 y Ft(\(1)21 b(+)f Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2924 2826 y Fr(\000)p Fx(1)3022 2863 y Ft(\)\))1102 3214 y Fs(\025)25 b Fy(c)1237 3176 y Fr(0)1237 3236 y Fv(p;p)1338 3214 y Fy(N)1421 3176 y Fr(\000)1489 3146 y Fm(p)p 1489 3162 V 1490 3198 a Fn(2)1533 3176 y Fx(+)p Fv(p\016)1687 3214 y Fs(\000)1788 3056 y Fm(p)p 1788 3072 V 1789 3108 a Fn(2)1833 3086 y Fr(\000)p Fx(1)1786 3127 y Fi(X)1788 3320 y Fv(q)r Fx(=0)1941 3214 y Fy(c)1980 3176 y Fr(0)1980 3236 y Fv(p;q)2080 3214 y Fy(N)2163 3176 y Fr(\000)2230 3146 y Fm(p)p 2230 3162 V 2231 3198 a Fn(2)2275 3176 y Fx(+2)p Fv(q)r(\016)1102 3564 y Fs(\025)g Fy(N)1281 3526 y Fr(\000)1348 3496 y Fm(p)p 1348 3512 V 1349 3548 a Fn(2)1393 3526 y Fx(+)p Fv(p\016)1526 3564 y Ft(\()p Fy(c)1600 3526 y Fr(0)1600 3586 y Fv(p;p)1722 3564 y Fs(\000)20 b Fy(c)1852 3526 y Fr(00)1925 3406 y Fm(p)p 1925 3422 V 1926 3458 a Fn(2)1969 3437 y Fr(\000)p Fx(1)1922 3478 y Fi(X)1924 3670 y Fv(q)r Fx(=0)2078 3564 y Fy(N)2161 3526 y Fv(\016)r Fx(\(2)p Fv(q)r Fr(\000)p Fv(p)p Fx(\))2423 3564 y Ft(\))p Fy(;)3428 3211 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(20\))0 3875 y(whic)m(h)30 b(is)h(ob)m(viously)g(p)s(ositiv)m (e)g(for)f(all)h Fy(N)41 b Ft(large)31 b(enough)f(and)g Fy(\016)k Ft(less)d(than)2646 3839 y Fx(1)p 2646 3854 37 4 v 2646 3906 a(2)2693 3875 y Ft(.)109 4020 y(On)f(the)g(other)h (hand,)e(if)i Fy(m)1071 3987 y Fv(\026)1150 4020 y Ft(is)f(less)h(than) f Fy(N)1704 3987 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2+)p Fv(\016)1966 4020 y Ft(,)g(then,)704 4331 y Fs(j)p Fy(N)812 4293 y Fr(\000)p Fx(1)910 4331 y Fy(H)993 4293 y Fv(\026)1042 4331 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)c(\024)1363 4173 y Fm(p)p 1363 4189 34 4 v 1364 4225 a Fn(2)1314 4244 y Fi(X)1316 4437 y Fv(q)r Fx(=0)1461 4331 y Fy(c)1500 4293 y Fr(0)1500 4353 y Fv(p;q)1599 4331 y Fy(N)1682 4293 y Fx(2)p Fv(q)r Fx(\()p Fv(\016)r Fr(\000)1886 4269 y Fn(1)p 1886 4279 31 4 v 1886 4315 a(2)1927 4293 y Fx(\))1960 4331 y Fy(N)2043 4293 y Fv(q)r Fr(\000)2147 4263 y Fm(p)p 2147 4279 34 4 v 2148 4315 a Fn(2)2221 4331 y Ft(=)2366 4173 y Fm(p)p 2366 4189 V 2367 4225 a Fn(2)2317 4244 y Fi(X)2319 4437 y Fv(q)r Fx(=0)2463 4331 y Fy(c)2502 4293 y Fr(0)2502 4353 y Fv(p;q)2602 4331 y Fy(N)2685 4293 y Fr(\000)2753 4263 y Fm(p)p 2753 4279 V 2754 4315 a Fn(2)2797 4293 y Fx(+)p Fv(p\016)2930 4331 y Fy(:)473 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(21\))0 4642 y(Th)m(us,)24 b(if)f Fy(\016)29 b(<)502 4606 y Fx(1)p 502 4621 37 4 v 502 4673 a(2)555 4642 y Fs(\000)644 4606 y Fx(1)p 643 4621 38 4 v 643 4673 a Fv(p)691 4642 y Ft(,)c(then)e Fs(j)p Fy(H)1049 4609 y Fv(\026)1098 4642 y Fs(j)j Ft(=)f Fy(o)p Ft(\(1\),)h(so)d(that)h(the)g(b)s(ound)d(\(6.18\))26 b(is)d(in)g(fact)h(a)g(gross)f(underestimate.)109 4787 y(T)-8 b(o)31 b(pro)m(v)m(e)g(Lemma)g(6.1,)g(w)m(e)g(observ)m(e)g(that) 82 5013 y(\026)62 5036 y Fy(Z)131 4999 y Fv(\026)124 5059 y(u)205 5036 y Ft(=)25 b Fk(E)356 5050 y Fv(\033)411 5036 y Ft([)p Fy(e)478 4999 y Fr(\000)p Fv(\014)597 4983 y Fx(\026)579 4999 y Fv(H)644 4968 y Fm(\026)639 5021 y Fn(0)687 4999 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)996 4971 y Fm(\026)1040 4999 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))1146 5036 y Ft(])g Fs(\025)g Fk(E)1347 5050 y Fv(\033)1402 5036 y Ft([)p Fy(e)1469 4999 y Fr(\000)p Fv(\014)1589 4983 y Fx(\026)1570 4999 y Fv(H)1635 4968 y Fm(\026)1630 5021 y Fn(0)1678 4999 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(u)14 b Fx(sup)f Fv(H)2123 4971 y Fm(\026)2170 5036 y Ft(])25 b Fs(\025)g Fk(E)2371 5050 y Fv(\033)2426 5036 y Ft([)p Fy(e)2493 4999 y Fr(\000)p Fv(\014)2613 4983 y Fx(\026)2594 4999 y Fv(H)2659 4968 y Fm(\026)2654 5021 y Fn(0)2702 4999 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(\000)p Fv(\014)s(u\016)2988 5036 y Ft(])g Fs(\025)g Fy(c)3173 5050 y Fv(\014)3242 5013 y Ft(\026)3223 5036 y Fy(Z)3292 4993 y Fv(\026)3285 5061 y Fx(0)3340 5036 y Fy(:)3428 5030 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(22\))0 5273 y(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(the)f (\(6.11\).)43 b Fb(\003)p eop %%Page: 41 41 41 40 bop 0 45 a Fl(Replica)27 b(Ov)n(erlap)3041 b Fo(41)109 264 y Ft(W)-8 b(e)35 b(apply)d(this)i(result)f(to)h(the)f(error)g (terms)g(in)g(the)h(dev)m(elopmen)m(t)g(\(6.5\).)51 b(W)-8 b(e)35 b(start)f(with)f Fy(R)3433 278 y Fx(1)3473 264 y Ft(.)50 b(By)0 409 y(Jensen's)30 b(inequalit)m(y)-8 b(,)248 677 y Fs(j)p Fy(R)342 691 y Fx(1)383 677 y Fs(j)25 b Ft(=)529 518 y Fi(\014)529 572 y(\014)529 627 y(\014)529 681 y(\014)529 736 y(\014)560 677 y Fk(E)614 691 y Fv(\033)684 521 y Fi(")748 615 y Fy(e)790 582 y Fr(\000)p Fv(\014)910 566 y Fx(\026)891 582 y Fv(H)956 555 y Fm(\026)951 600 y(u)p 748 656 256 4 v 837 718 a Ft(\026)818 741 y Fy(Z)887 698 y Fv(\026)880 752 y(u)1015 677 y Fy(H)1098 639 y Fv(\026)5 b Fx(3)1188 521 y Fi(#)1241 518 y(\014)1241 572 y(\014)1241 627 y(\014)1241 681 y(\014)1241 736 y(\014)1296 677 y Ft(=)1392 600 y Fi(\014)1392 654 y(\014)17 b Ft(\026)1422 677 y Fs(G)1481 639 y Fv(\026)1476 699 y(u)1531 677 y Ft([)p Fy(H)1639 639 y Fv(\026)5 b Fx(3)1728 677 y Ft(])1753 600 y Fi(\014)1753 654 y(\014)1809 677 y Fs(\024)1922 654 y Ft(\026)1905 677 y Fs(G)1964 639 y Fv(\026)1959 699 y(u)2013 677 y Ft([)p Fs(j)p Fy(H)2146 639 y Fv(\026)2196 677 y Fs(j)2221 639 y Fx(3)2262 677 y Ft(])25 b(=)g Fk(E)2463 691 y Fv(\033)2533 521 y Fi(")2597 615 y Fy(e)2639 582 y Fr(\000)p Fv(\014)2758 566 y Fx(\026)2740 582 y Fv(H)2805 555 y Fm(\026)2800 600 y(u)p 2597 656 V 2685 718 a Ft(\026)2666 741 y Fy(Z)2735 698 y Fv(\026)2728 752 y(u)2863 677 y Fs(j)p Fy(H)2971 639 y Fv(\026)3020 677 y Fs(j)3045 639 y Fx(3)3086 521 y Fi(#)3155 677 y Fy(:)248 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(23\))0 944 y(Since)33 b(the)g(in)m(tegrand)h(is)f(a)g(p)s (ositiv)m(e)h(function,)g(w)m(e)g(ma)m(y)f(b)s(ound)e(the)j(exp)s (ectation)g(using)f(Lemma)g(6.2)0 1090 y(in)d(the)h(denominator.)41 b(W)-8 b(e)31 b(obtain,)g(noting)g(that)1797 1067 y(\026)1773 1090 y Fy(H)1856 1057 y Fv(\026)1849 1112 y(u)1930 1090 y Ft(=)2050 1067 y(\026)2026 1090 y Fy(H)2109 1046 y Fv(\026)2102 1114 y Fx(0)2178 1090 y Ft(+)20 b Fy(uH)2404 1057 y Fv(\026)2452 1090 y Ft(,)863 1364 y Fs(j)p Fy(R)957 1378 y Fx(1)998 1364 y Fs(j)26 b(\024)f Fy(c)p Fk(E)1239 1378 y Fv(\033)1309 1209 y Fi(")1373 1303 y Fy(e)1415 1270 y Fr(\000)p Fv(\014)1534 1254 y Fx(\026)1516 1270 y Fv(H)1581 1242 y Fm(\026)1576 1288 y(u)p 1373 1343 V 1461 1406 a Ft(\026)1442 1429 y Fy(Z)1511 1385 y Fv(\026)1504 1453 y Fx(0)1639 1364 y Fs(j)p Fy(H)1747 1327 y Fv(\026)1796 1364 y Fs(j)1821 1327 y Fx(3)1862 1209 y Fi(#)1941 1364 y Ft(=)g Fy(c)2108 1341 y Ft(\026)2091 1364 y Fs(G)2150 1321 y Fv(\026)2145 1388 y Fx(0)2199 1364 y Ft([)p Fy(e)2266 1327 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)2475 1299 y Fm(\026)2523 1364 y Fs(j)p Fy(H)2631 1327 y Fv(\026)2680 1364 y Fs(j)2705 1327 y Fx(3)2746 1364 y Ft(])p Fy(:)632 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(24\))0 1632 y(W)-8 b(e)26 b(observ)m(e)g(that)g(the)g(last)g(Gibbs)e (measure)i(do)s(es)e(not)i(dep)s(end)e(on)h(the)g(pattern)g Fy(\026)p Ft(.)39 b(W)-8 b(e)27 b(ma)m(y)e(therefore)0 1777 y(in)m(tegrate)e(with)e(resp)s(ect)g(to)h Fs(f)p Fy(\030)1063 1734 y Fv(\026)1059 1803 y(i)1112 1777 y Fs(g)1157 1791 y Fv(i)1209 1777 y Ft(\\inside".)38 b(In)20 b(complete)j(analogy)f(with)f(Chapter)f(3)i(\(the)f(result)g(ab)s(out)0 1923 y(the)31 b(error)f(term\),)h(w)m(e)f(get)868 2150 y Fk(E)923 2164 y Fv(\026)978 2150 y Ft([)p Fy(e)1045 2113 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)1254 2085 y Fm(\026)1302 2150 y Fs(j)p Fy(H)1410 2113 y Fv(\026)1459 2150 y Fs(j)1484 2113 y Fx(3)1525 2150 y Ft(])25 b Fs(\024)g Fk(E)1726 2164 y Fv(\026)1780 2150 y Ft([)p Fy(e)1847 2113 y Fv(\014)s(u)p Fr(j)p Fv(H)2021 2085 y Fm(\026)2065 2113 y Fr(j)2091 2150 y Fs(j)p Fy(H)2199 2113 y Fv(\026)2248 2150 y Fs(j)2273 2113 y Fx(3)2314 2150 y Ft(])g Fs(\024)g Fy(cN)2582 2113 y Fx(3)p Fr(\000)2686 2082 y Fn(3)p Fm(p)p 2686 2098 65 4 v 2703 2134 a Fn(2)2766 2150 y Fy(;)637 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(25\))0 2377 y(whenev)m(er)30 b Fy(\014)5 b(u)26 b(<)f(\014)685 2344 y Fr(0)680 2400 y Fv(p)722 2377 y Ft(.)41 b(Since)30 b Fy(u)25 b Fs(2)g Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1],)33 b(this)d(condition)h(is)f(satis\014ed)h(if)f Fy(\014)h(<)25 b(\014)2760 2344 y Fr(0)2755 2400 y Fv(p)2797 2377 y Ft(.)109 2523 y(The)30 b(remainder)g Fy(R)795 2537 y Fx(3)866 2523 y Ft(gets)h(essen)m(tially)i(the)d(same)h (treatmen)m(t.)42 b(By)31 b(Jensen's)f(inequalit)m(y)-8 b(,)268 2750 y Fs(j)p Fy(R)362 2764 y Fx(3)403 2750 y Fs(j)25 b Ft(=)549 2673 y Fi(\014)549 2727 y(\014)18 b Ft(\026)580 2750 y Fs(G)639 2713 y Fv(\026)634 2773 y(u)688 2713 y Fr(\012)p Fx(3)786 2750 y Ft([)p Fy(H)894 2713 y Fv(\026)942 2750 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fy(H)1150 2713 y Fv(\026)1200 2750 y Ft(\()p Fy(\033)1290 2713 y Fr(0)1316 2750 y Ft(\))p Fy(H)1434 2713 y Fv(\026)1483 2750 y Ft(\()p Fy(\033)1573 2713 y Fr(0)q(0)1620 2750 y Ft(\)])1680 2673 y Fi(\014)1680 2727 y(\014)1736 2750 y Ft(=)1832 2673 y Fi(\014)1832 2727 y(\014)g Ft(\026)1863 2750 y Fs(G)1922 2713 y Fv(\026)1917 2773 y(u)1971 2750 y Ft([)p Fy(H)2079 2713 y Fv(\026)2128 2750 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)])2278 2673 y Fi(\014)2278 2727 y(\014)2309 2695 y Fx(3)2375 2750 y Fs(\024)2488 2727 y Ft(\026)2471 2750 y Fs(G)2530 2713 y Fv(\026)2525 2773 y(u)2580 2750 y Ft([)p Fs(j)p Fy(H)2713 2713 y Fv(\026)2762 2750 y Fs(j)2787 2713 y Fx(3)2828 2750 y Ft(])25 b(=)g Fs(j)p Fy(R)3068 2764 y Fx(1)3109 2750 y Fs(j)p Fy(:)269 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(26\))0 2977 y(Hence,)1486 3123 y Fk(E)25 b Fs(j)q Fy(R)1650 3137 y Fx(3)1696 3123 y Fs(j)h(\024)f Fy(cN)1965 3085 y Fx(3)p Fr(\000)2069 3055 y Fn(3)p Fm(p)p 2069 3071 V 2086 3107 a Fn(2)2149 3123 y Fy(:)0 3320 y Ft(Finally)-8 b(,)32 b(the)f(term)f Fy(R)770 3334 y Fx(2)811 3320 y Ft(.)40 b(By)31 b(Lemma)g(6.1,)941 3507 y Fs(j)p Fy(R)1035 3521 y Fx(2)1076 3507 y Fs(j)26 b Ft(=)f Fs(j)1265 3484 y Ft(\026)1248 3507 y Fs(G)1307 3469 y Fv(\026)1302 3529 y(u)1356 3507 y Ft([)p Fy(H)1464 3469 y Fv(\026)5 b Fx(2)1554 3507 y Ft(])1612 3484 y(\026)1594 3507 y Fs(G)1653 3469 y Fv(\026)1648 3529 y(u)1703 3507 y Ft([)p Fy(H)1811 3469 y Fv(\026)1860 3507 y Ft(])p Fs(j)25 b(\024)2048 3484 y Ft(\026)2031 3507 y Fs(G)2090 3469 y Fv(\026)2085 3529 y(u)2140 3507 y Ft([)p Fy(H)2248 3469 y Fv(\026)5 b Fx(2)2337 3507 y Ft(])2395 3484 y(\026)2377 3507 y Fs(G)2436 3469 y Fv(\026)2431 3529 y(u)2486 3507 y Ft([)p Fs(j)p Fy(H)2619 3469 y Fv(\026)2668 3507 y Fs(j)p Ft(])1127 3680 y Fs(\024)25 b Fy(c)1294 3657 y Ft(\026)1277 3680 y Fs(G)1336 3636 y Fv(\026)1331 3704 y Fx(0)1386 3680 y Ft([)p Fy(e)1453 3642 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)1662 3615 y Fm(\026)1710 3680 y Fy(H)1793 3642 y Fv(\026)t Fx(2)1882 3680 y Ft(])1940 3657 y(\026)1922 3680 y Fs(G)1981 3636 y Fv(\026)1976 3704 y Fx(0)2031 3680 y Ft([)p Fy(e)2098 3642 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)2307 3615 y Fm(\026)2355 3680 y Fs(j)p Fy(H)2463 3642 y Fv(\026)2512 3680 y Fs(j)p Ft(])p Fy(:)3428 3593 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(27\))0 3866 y(Th)m(us,)30 b(b)m(y)g(Cauc)m(h)m(y-Sc)m(h)m(w)m(arz)i (and)e(Jensen,)580 4079 y Fk(E)c Fs(j)p Fy(R)744 4093 y Fx(2)791 4079 y Fs(j)f(\024)937 3974 y Fi(\014)937 4029 y(\014)937 4083 y(\014)968 4079 y Fk(E)1059 3978 y Fi(h)1119 4056 y Ft(\026)1101 4079 y Fs(G)1160 4035 y Fv(\026)1155 4103 y Fx(0)1210 4079 y Ft([)p Fy(e)1277 4041 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)1486 4014 y Fm(\026)1534 4079 y Fy(H)1617 4041 y Fv(\026)t Fx(2)1706 4079 y Ft(])1764 4056 y(\026)1746 4079 y Fs(G)1805 4035 y Fv(\026)1800 4103 y Fx(0)1855 4079 y Ft([)p Fy(e)1922 4041 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)2131 4014 y Fm(\026)2179 4079 y Fs(j)p Fy(H)2287 4041 y Fv(\026)2336 4079 y Fs(j)p Ft(])2386 3978 y Fi(i)2429 3974 y(\014)2429 4029 y(\014)2429 4083 y(\014)841 4310 y Fs(\024)937 4209 y Fi(\020)992 4310 y Fk(E)1083 4209 y Fi(h)1125 4310 y Ft(\()1178 4287 y(\026)1160 4310 y Fs(G)1219 4266 y Fv(\026)1214 4334 y Fx(0)1269 4310 y Ft([)p Fy(e)1336 4273 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)1545 4245 y Fm(\026)1593 4310 y Fy(H)1676 4273 y Fv(\026)5 b Fx(2)1766 4310 y Ft(]\))1826 4273 y Fx(2)1867 4209 y Fi(i\021)1975 4204 y Fn(1)p 1975 4214 31 4 v 1975 4250 a(2)2037 4209 y Fi(\020)2091 4310 y Fk(E)2182 4209 y Fi(h)2225 4310 y Ft(\()2277 4287 y(\026)2260 4310 y Fs(G)2319 4266 y Fv(\026)2314 4334 y Fx(0)2368 4310 y Ft([)p Fy(e)2435 4273 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)2644 4245 y Fm(\026)2692 4310 y Fy(H)2775 4273 y Fv(\026)2824 4310 y Ft(]\))2884 4273 y Fx(2)2925 4209 y Fi(i\021)3034 4204 y Fn(1)p 3034 4214 V 3034 4250 a(2)841 4541 y Fs(\024)937 4440 y Fi(\020)992 4541 y Fk(E)1083 4440 y Fi(h)1143 4518 y Ft(\026)1125 4541 y Fs(G)1184 4498 y Fv(\026)1179 4566 y Fx(0)1234 4541 y Ft([)p Fy(e)1301 4504 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(\014)s(uH)1546 4476 y Fm(\026)1594 4541 y Fy(H)1677 4504 y Fv(\026)g Fx(4)1766 4541 y Ft(])1791 4440 y Fi(i)q(\021)1900 4435 y Fn(1)p 1900 4445 V 1900 4481 a(2)1961 4440 y Fi(\020)2016 4541 y Fk(E)2107 4440 y Fi(h)2167 4518 y Ft(\026)2149 4541 y Fs(G)2208 4498 y Fv(\026)2203 4566 y Fx(0)2258 4541 y Ft([)p Fy(e)2325 4504 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(\014)s(uH)2570 4476 y Fm(\026)2618 4541 y Fy(H)2701 4504 y Fv(\026)g Fx(2)2790 4541 y Ft(])2815 4440 y Fi(i)q(\021)2924 4435 y Fn(1)p 2924 4445 V 2924 4481 a(2)2985 4541 y Fy(:)3428 4310 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(28\))0 4755 y(Both)25 b(factors)f(are)h(no)m (w)e(treated)i(as)f Fy(R)1318 4769 y Fx(1)1359 4755 y Ft(.)39 b(Since)24 b(the)g(in)m(tegrabilit)m(y)i(of)e Fy(R)2476 4769 y Fx(1)2541 4755 y Ft(did)f(not)h(dep)s(end)e(on)i(the)g (p)s(o)m(w)m(er)0 4900 y(of)32 b Fy(H)188 4867 y Fv(\026)237 4900 y Ft(,)h(but)e(merely)i(on)f(the)g(exp)s(onen)m(tial)i(factor)f (\(this)f(is)g(apparen)m(t)h(from)f(the)g(estimate)i(\(3.26\)\),)h(w)m (e)0 5045 y(get)d(that)e(whenev)m(er)h(2)p Fy(\014)5 b(u)26 b(<)f(\014)1079 5012 y Fr(0)1074 5068 y Fv(p)1116 5045 y Ft(,)1009 5273 y Fk(E)g Fs(j)q Fy(R)1173 5287 y Fx(2)1220 5273 y Fs(j)g(\024)g Ft(\()p Fy(cN)1523 5235 y Fx(4)p Fr(\000)p Fx(2)p Fv(p)1695 5273 y Ft(\))1741 5211 y Fn(1)p 1741 5221 V 1741 5257 a(2)1788 5273 y Ft(\()p Fy(cN)1945 5235 y Fx(2)p Fr(\000)p Fv(p)2080 5273 y Ft(\))2126 5211 y Fn(1)p 2127 5221 V 2127 5257 a(2)2198 5273 y Ft(=)g Fy(c)2333 5235 y Fr(0)2359 5273 y Fy(N)2442 5235 y Fx(3)p Fr(\000)2546 5205 y Fn(3)p Fm(p)p 2546 5221 65 4 v 2563 5257 a Fn(2)2626 5273 y Fy(:)777 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(29\))p eop %%Page: 42 42 42 41 bop 0 45 a Fo(42)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 264 y Ft(The)30 b(ab)s(o)m(v)m(e)h(condition)g(is)g(alw)m(a)m(ys)h (satis\014ed)e(if)h Fy(\014)f(<)1847 228 y Fx(1)p 1847 243 37 4 v 1847 295 a(2)1894 264 y Fy(\014)1950 231 y Fr(0)1945 286 y Fv(p)1988 264 y Ft(.)109 409 y(The)e(results)g(ab)s(o)m (v)m(e)h(almost)g(pro)m(v)m(e)g(the)g(theorem.)40 b(What)29 b(remains)f(to)h(sho)m(w)f(is)g(that)h(in)f(the)g(leading)0 555 y(terms,)35 b(w)m(e)f(can)g(replace)h(without)f(harm)f(the)h(Gibbs) g(measure)2288 532 y(\026)2270 555 y Fs(G)2329 511 y Fv(\026)2324 579 y Fx(0)2412 555 y Ft(b)m(y)g Fs(G)5 b Ft(.)52 b(More)34 b(precisely)-8 b(,)37 b(w)m(e)d(claim)0 700 y(that)1114 768 y Fi(\014)1114 823 y(\014)1144 845 y Fk(E)1237 822 y Ft(\026)1214 845 y Fs(G)1273 802 y Fv(\026)1268 870 y Fx(0)1328 808 y Fr(\012)p Fx(2)1426 845 y Ft([)p Fy(R)1521 808 y Fv(p)1563 845 y Ft(])20 b Fs(\000)g Fk(E)26 b Fs(G)1828 808 y Fr(\012)p Fx(2)1932 845 y Ft([)p Fy(R)2027 808 y Fv(p)2069 845 y Ft(])2094 768 y Fi(\014)2094 823 y(\014)2150 845 y Fs(\024)f Fy(cN)2368 808 y Fx(1)p Fr(\000)2472 778 y Fm(p)p 2472 794 34 4 v 2473 830 a Fn(2)2521 845 y Fy(;)882 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(30\))0 1019 y(for)30 b(some)h(constan)m(t)h Fy(c)p Ft(.)109 1165 y(The)37 b(pro)s(of)g(of)h(this)f(claim)i(is)f(done)f (exactly)i(as)f(b)s(efore,)i(namely)d(b)m(y)h(expanding)f(the)h (Boltzmann)0 1310 y(factors,)31 b(this)g(time,)g(ho)m(w)m(ev)m(er,)h (only)f(to)g(zero)g(order.)40 b(W)-8 b(e)32 b(get)45 1485 y Fs(G)104 1447 y Fr(\012)p Fx(2)203 1485 y Ft([)p Fy(R)298 1447 y Fv(p)340 1485 y Ft(])25 b(=)503 1462 y(\026)486 1485 y Fs(G)545 1441 y Fv(\026)540 1509 y Fx(0)594 1447 y Fr(\012)p Fx(2)692 1485 y Ft([)p Fy(R)787 1447 y Fv(p)829 1485 y Ft(])20 b(+)982 1462 y(\026)965 1485 y Fs(G)1024 1447 y Fv(\026)1019 1507 y(u)1073 1447 y Fr(\012)p Fx(2)1171 1485 y Ft([)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1446 1447 y Fr(0)1472 1485 y Ft(\))1507 1447 y Fv(p)1550 1485 y Ft(\()p Fy(H)1668 1447 y Fv(\026)1717 1485 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))20 b(+)g Fy(H)2036 1447 y Fv(\026)2085 1485 y Ft(\()p Fy(\033)2175 1447 y Fr(0)2201 1485 y Ft(\)\)])h(+)2425 1462 y(\026)2407 1485 y Fs(G)2466 1447 y Fv(\026)2461 1507 y(u)2516 1447 y Fr(\012)p Fx(3)2613 1485 y Ft([)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2888 1447 y Fr(0)2915 1485 y Ft(\))2950 1447 y Fv(p)2992 1485 y Fy(H)3075 1447 y Fv(\026)3124 1485 y Ft(\()p Fy(\033)3214 1447 y Fr(0)q(0)3261 1485 y Ft(\)])p Fy(:)46 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(31\))s(\))0 1660 y(Since)30 b Fy(R)307 1627 y Fv(p)374 1660 y Fs(2)25 b Ft([0)p Fy(;)15 b Ft(1],)33 b(the)d(second)h(term)f(on)g(the)h(righ)m(t)g(is)f(b)s(ounded)e(b)m(y) 175 1835 y Fs(j)217 1812 y Ft(\026)200 1835 y Fs(G)259 1797 y Fv(\026)254 1857 y(u)308 1797 y Fr(\012)p Fx(2)406 1835 y Ft([)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)681 1797 y Fr(0)708 1835 y Ft(\))743 1797 y Fv(p)785 1835 y Ft(\()p Fy(H)903 1797 y Fv(\026)952 1835 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b(+)f Fy(H)1272 1797 y Fv(\026)1321 1835 y Ft(\()p Fy(\033)1411 1797 y Fr(0)1437 1835 y Ft(\)\)])p Fs(j)26 b Ft(=)f(2)p Fs(j)1767 1812 y Ft(\026)1749 1835 y Fs(G)1808 1797 y Fv(\026)1803 1857 y(u)1858 1797 y Fr(\012)p Fx(2)1956 1835 y Ft([)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)2231 1797 y Fr(0)2257 1835 y Ft(\))2292 1797 y Fv(p)2335 1835 y Fy(H)2418 1797 y Fv(\026)2466 1835 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)])p Fs(j)27 b(\024)e Ft(2)2827 1812 y(\026)2809 1835 y Fs(G)2868 1797 y Fv(\026)2863 1857 y(u)2918 1835 y Ft([)p Fs(j)p Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)p Ft(])p Fy(:)177 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(32\))0 2009 y(Pro)s(ceding)30 b(as)h(ab)s(o)m(v)m(e)g(w)m(e)g(get,)51 2184 y Fs(j)p Fk(E)169 2161 y Ft(\026)146 2184 y Fs(G)205 2147 y Fv(\026)200 2207 y(u)260 2147 y Fr(\012)p Fx(2)357 2184 y Ft([)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)632 2147 y Fr(0)659 2184 y Ft(\))694 2147 y Fv(p)736 2184 y Ft(\()p Fy(H)854 2147 y Fv(\026)903 2184 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))22 b(+)d Fy(H)1223 2147 y Fv(\026)1272 2184 y Ft(\()p Fy(\033)1362 2147 y Fr(0)1388 2184 y Ft(\)\)])p Fs(j)27 b(\024)e Ft(2)p Fk(E)1769 2161 y Ft(\026)1746 2184 y Fs(G)1805 2147 y Fv(\026)1800 2207 y(u)1860 2184 y Ft([)p Fs(j)p Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)p Ft(])27 b Fs(\024)e Ft(2)p Fy(c)p Fk(E)12 b Fy(;)2494 2161 y Ft(\026)2471 2184 y Fs(G)2530 2140 y Fv(\026)2525 2208 y Fx(0)2585 2184 y Ft([)p Fy(e)2652 2147 y Fr(\000)p Fv(\014)s(uH)2861 2119 y Fm(\026)2909 2184 y Fs(j)p Fy(H)3017 2147 y Fv(\026)3066 2184 y Fs(j)p Ft(])26 b Fs(\024)f Ft(2)p Fy(c)3322 2147 y Fr(0)3348 2184 y Fy(N)3431 2147 y Fx(1)p Fr(\000)3535 2116 y Fm(p)p 3535 2133 V 3536 2169 a Fn(2)3584 2184 y Fy(:)3428 2330 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(33\))0 2475 y(The)30 b(third)f(term)i(on)f(the)h(righ)m(t)g(of)f (\(6.31\))j(is)d(b)s(ounded)e(b)m(y)j(the)f(same)h(order.)40 b(Indeed,)1041 2650 y Fs(j)1083 2627 y Ft(\026)1066 2650 y Fs(G)1125 2612 y Fv(\026)1120 2672 y(u)1174 2612 y Fr(\012)p Fx(3)1272 2650 y Ft([)p Fy(R)q Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)1547 2612 y Fr(0)1574 2650 y Ft(\))1609 2612 y Fv(p)1651 2650 y Fy(H)1734 2612 y Fv(\026)1783 2650 y Ft(\()p Fy(\033)1873 2612 y Fr(00)1920 2650 y Ft(\)])p Fs(j)26 b(\024)2144 2627 y Ft(\026)2127 2650 y Fs(G)2186 2612 y Fv(\026)2181 2672 y(u)2235 2650 y Ft([)p Fs(j)p Fy(H)2368 2612 y Fv(\026)2417 2650 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)p Ft(])p Fy(;)811 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(34\))0 2825 y(from)30 b(whic)m(h)g(the)h(b)s(ound)d(follo)m(ws)j(again)h(b)m (y)e(in)m(tegration.)43 b(This)29 b(pro)m(v)m(es)i(the)g(claim)g (\(6.30\).)109 2970 y(T)-8 b(o)30 b(\014nish)e(the)h(pro)s(of)g(of)h (the)f(Theorem,)h(w)m(e)f(sum)g(the)g(con)m(tributions)h(w)m(e)g(ha)m (v)m(e)h(obtained.)40 b(Relation)0 3116 y(\(6.1\))32 b(implies)f(that)19 3231 y Fi(\014)19 3286 y(\014)19 3340 y(\014)19 3395 y(\014)50 3363 y Fy(\014)5 b Fk(E)193 3302 y Fy(@)g(F)304 3316 y Fv(N)p 193 3342 181 4 v 228 3426 a Fy(@)g(\014)405 3363 y Fs(\000)19 b Fy(\013\014)609 3326 y Fx(2)651 3363 y Ft(\(1)i Fs(\000)f Fk(E)26 b Fs(G)972 3326 y Fr(\012)p Fx(2)1076 3363 y Ft([)p Fy(R)1171 3326 y Fv(p)1213 3363 y Ft(]\))1273 3231 y Fi(\014)1273 3286 y(\014)1273 3340 y(\014)1273 3395 y(\014)1329 3363 y Ft(=)f Fy(\014)1496 3177 y Fi(\014)1496 3231 y(\014)1496 3286 y(\014)1496 3340 y(\014)1496 3395 y(\014)1496 3450 y(\014)1526 3363 y Fs(\000)1627 3302 y Ft(1)p 1608 3342 83 4 v 1608 3426 a Fy(N)1702 3363 y Fk(E)h Fs(G)5 b Ft([)p Fy(H)i Ft(])27 b Fs(\000)2082 3242 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2115 3277 y Fi(X)2112 3469 y Fv(\026)p Fx(=1)2294 3363 y Fy(\014)e(N)2433 3326 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2589 3363 y Ft(+)2680 3242 y Fv(M)i Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2713 3277 y Fi(X)2710 3469 y Fv(\026)p Fx(=1)2892 3363 y Fy(\014)e(N)3031 3326 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)3166 3363 y Fs(G)3225 3326 y Fr(\012)p Fx(2)3323 3363 y Ft([)p Fy(R)3418 3326 y Fv(p)3460 3363 y Ft(]\))3520 3177 y Fi(\014)3520 3231 y(\014)3520 3286 y(\014)3520 3340 y(\014)3520 3395 y(\014)3520 3450 y(\014)1329 3727 y Fs(\024)25 b Fy(\014)1496 3541 y Fi(\014)1496 3595 y(\014)1496 3650 y(\014)1496 3704 y(\014)1496 3759 y(\014)1496 3813 y(\014)1526 3727 y Fs(\000)1627 3665 y Ft(1)p 1608 3706 V 1608 3789 a Fy(N)1702 3727 y Fk(E)h Fs(G)5 b Ft([)p Fy(H)i Ft(])27 b Fs(\000)2082 3605 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2115 3641 y Fi(X)2112 3833 y Fv(\026)p Fx(=1)2294 3727 y Fy(\014)e(N)2433 3689 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2589 3727 y Ft(+)2680 3605 y Fv(M)i Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))2713 3641 y Fi(X)2710 3833 y Fv(\026)p Fx(=1)2892 3727 y Fy(\014)e(N)3031 3689 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)3166 3727 y Fk(E)3259 3704 y Ft(\026)3236 3727 y Fs(G)3296 3683 y Fv(\026)3290 3751 y Fx(0)3350 3689 y Fr(\012)p Fx(2)3448 3727 y Ft([)p Fy(R)3543 3689 y Fv(p)3585 3727 y Ft(])3610 3541 y Fi(\014)3610 3595 y(\014)3610 3650 y(\014)3610 3704 y(\014)3610 3759 y(\014)3610 3813 y(\014)1415 4082 y Ft(+)20 b Fy(\014)1562 4045 y Fx(2)1618 3961 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1651 3996 y Fi(X)1648 4189 y Fv(\026)p Fx(=1)1830 4082 y Fy(N)1913 4045 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2063 4005 y Fi(\014)2063 4060 y(\014)2094 4082 y Ft(\()p Fk(E)2222 4060 y Ft(\026)2199 4082 y Fs(G)2258 4045 y Fr(\012)p Fx(2)2362 4082 y Ft([)p Fy(R)2457 4045 y Fv(p)2499 4082 y Ft(])20 b Fs(\000)g Fk(E)2728 4060 y Ft(\026)2705 4082 y Fs(G)2765 4039 y Fv(\026)2759 4107 y Fx(0)2819 4045 y Fr(\012)p Fx(2)2917 4082 y Ft([)p Fy(R)3012 4045 y Fv(p)3054 4082 y Ft(]\))3114 4005 y Fi(\014)3114 4060 y(\014)3428 4287 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(35\))0 4433 y(Using)33 b(the)h(decomp)s(osition)g(\(6.5\),)i (and)d(the)g(results)g(\(6.6\),)j(\(6.7\))f(and)e(\(6.10\))i(in)e(the)h (\014rst)e(term,)j(and)0 4578 y(the)c(b)s(ound)d(\(6.31\))k(in)f(the)f (second,)h(w)m(e)g(get)175 4694 y Fi(\014)175 4749 y(\014)175 4803 y(\014)175 4858 y(\014)205 4826 y Fy(\014)5 b Fk(E)348 4764 y Fy(@)g(F)p 348 4805 125 4 v 355 4888 a(@)g(\014)504 4826 y Fs(\000)20 b Fy(\013\014)709 4788 y Fx(2)750 4826 y Ft(\(1)h Fs(\000)f Fk(E)26 b Fs(G)1071 4788 y Fr(\012)p Fx(2)1175 4826 y Ft([)p Fy(R)1270 4788 y Fv(p)1312 4826 y Ft(]\))1372 4694 y Fi(\014)1372 4749 y(\014)1372 4803 y(\014)1372 4858 y(\014)1428 4826 y Fs(\024)f Fy(c\014)1635 4639 y Fi(\014)1635 4694 y(\014)1635 4749 y(\014)1635 4803 y(\014)1635 4858 y(\014)1635 4912 y(\014)1665 4704 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1698 4739 y Fi(X)1696 4932 y Fv(\026)p Fx(=1)1862 4826 y Ft(\()p Fy(\014)e(N)2036 4788 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2172 4826 y Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2365 4788 y Fr(\000)p Fx(1)2463 4826 y Ft(\))20 b(+)g Fy(R)2679 4782 y Fv(\026)2678 4850 y Fx(1)2748 4826 y Ft(+)g Fy(R)2909 4782 y Fv(\026)2908 4850 y Fx(2)2978 4826 y Ft(+)f Fy(R)3138 4782 y Fv(\026)3137 4850 y Fx(3)3187 4826 y Ft(\))3222 4639 y Fi(\014)3222 4694 y(\014)3222 4749 y(\014)3222 4803 y(\014)3222 4858 y(\014)3222 4912 y(\014)1514 5181 y Ft(+)h Fy(c)1644 5144 y Fr(0)1670 5181 y Fy(\014)1726 5144 y Fx(2)1782 5060 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1815 5095 y Fi(X)1812 5288 y Fv(\026)p Fx(=1)1994 5181 y Fy(N)2077 5144 y Fx(1)p Fr(\000)p Fv(p)2212 5181 y Fy(N)2295 5144 y Fx(1)p Fr(\000)2399 5114 y Fm(p)p 2399 5130 34 4 v 2400 5166 a Fn(2)2448 5181 y Fy(:)3428 4997 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(36\))p eop %%Page: 43 43 43 42 bop 0 45 a Fl(Replica)27 b(Ov)n(erlap)3041 b Fo(43)0 264 y Ft(W)-8 b(e)40 b(\014nally)e(insert)g(the)g(b)s(ounds)f (\(6.25\),)42 b(\(6.26\))f(and)d(\(6.29\))i(on)e(the)h(errors)f Fy(R)2856 278 y Fv(i)2886 264 y Ft(,)j(whic)m(h)d(are)g(v)-5 b(alid)39 b(if)0 409 y Fy(\014)30 b(<)188 373 y Fx(1)p 188 388 37 4 v 188 440 a(2)235 409 y Fy(\014)291 376 y Fr(0)286 432 y Fv(p)329 409 y Ft(.)41 b(This)29 b(yields)673 535 y Fi(\014)673 589 y(\014)673 644 y(\014)673 698 y(\014)703 667 y Fy(\014)5 b Fk(E)846 605 y Fy(@)g(F)p 846 646 125 4 v 853 729 a(@)g(\014)1002 667 y Fs(\000)20 b Fy(\013\014)1207 629 y Fx(2)1248 667 y Ft(\(1)h Fs(\000)f Fk(E)26 b Fs(G)1569 629 y Fr(\012)p Fx(2)1673 667 y Ft([)p Fy(R)1768 629 y Fv(p)1810 667 y Ft(]\))1870 535 y Fi(\014)1870 589 y(\014)1870 644 y(\014)1870 698 y(\014)1926 667 y Fs(\024)f Fy(c)2061 681 y Fv(\014)2110 667 y Fy(N)2193 629 y Fr(\000)p Fx(1)2311 667 y Ft(+)20 b Fy(c)2441 629 y Fr(0)2441 689 y Fv(\014)2490 667 y Fy(N)2573 629 y Fx(2)p Fr(\000)2677 599 y Fm(p)p 2677 615 34 4 v 2678 651 a Fn(2)2752 667 y Fs(\024)25 b Fy(C)2913 681 y Fv(\014)2962 667 y Fy(:)441 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(37\))0 907 y(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(Theorem)f (1.5.)42 b Fb(\003)0 1149 y Fu(6.2.)35 b(Condensation:)47 b(Pro)s(of)36 b(of)f(Theorem)g(1.6.)0 1368 y Ft(Theorem)e(1.6)h(follo)m (ws)g(no)m(w)f(just)g(as)g(the)g(analogous)i(result)d(in)h([T3])h(from) e(the)i(con)m(v)m(exit)m(y)h(of)f(the)f(free)0 1513 y(energy)-8 b(.)41 b(Supp)s(ose)29 b(that)i Fy(\014)f(<)25 b(\014)1100 1527 y Fv(p)1143 1513 y Ft(.)40 b(Since)31 b(w)m(e)g(alw)m(a)m(ys)h (assume)e(that)h Fy(\013)25 b Fs(\025)g Fy(\013)2619 1527 y Fv(p)2662 1513 y Ft(,)30 b(then)1432 1765 y(lim)15 b(sup)1485 1843 y Fv(N)7 b Fr("1)1726 1765 y Fk(E)26 b Fy(F)1854 1779 y Fv(N)1954 1765 y Ft(=)2061 1704 y Fy(\013\014)2175 1671 y Fx(2)p 2061 1745 156 4 v 2116 1828 a Ft(2)3428 1765 y(\(6)p Fy(:)p Ft(38\))0 2018 y(b)m(y)33 b(the)g(de\014nition)g(of)g Fy(\014)852 2032 y Fv(p)894 2018 y Ft(.)49 b(As)33 b(remark)m(ed)g(after)g(their)g(de\014nition)g (in)g(Chapter)f(2,)i Fk(E)26 b Fy(F)3049 2032 y Fv(N)3157 2018 y Ft(is)33 b(con)m(v)m(ex)h(for)0 2163 y(all)d Fy(N)10 b Ft(.)41 b(It)30 b(then)g(follo)m(ws)i(from)e(a)h(standard)e(result)h (in)g(con)m(v)m(ex)i(analysis)f(\([Ro],)h(Theorem)e(25.7\))j(that)1031 2402 y(lim)15 b(sup)1083 2479 y Fv(N)7 b Fr("1)1325 2402 y Fk(E)1411 2340 y Fy(@)e(F)1522 2354 y Fv(N)p 1411 2381 181 4 v 1447 2464 a Fy(@)g(\014)1628 2402 y Ft(=)1763 2340 y Fy(@)p 1735 2381 110 4 v 1735 2464 a(@)g(\014)1871 2402 y Ft(lim)15 b(sup)1923 2479 y Fv(N)7 b Fr("1)2164 2402 y Fk(E)26 b Fy(F)2292 2416 y Fv(N)2393 2402 y Ft(=)f Fy(\013\014)5 b(:)800 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(39\))0 2654 y(Hence,)31 b(from)f(Theorem)g(1.5,)1089 2887 y Fk(E)25 b Fs(G)1218 2850 y Fr(\012)p Fx(2)1321 2887 y Ft([)p Fy(R)1416 2850 y Fv(p)1458 2887 y Ft(])c(+)f Fk(E)1681 2826 y Fy(@)5 b(F)1792 2840 y Fv(N)p 1681 2866 181 4 v 1717 2950 a Fy(@)g(\014)1898 2887 y Ft(=)25 b Fy(\013\014)h Ft(+)20 b Fs(O)s Ft(\()p Fy(N)2413 2850 y Fr(\000)p Fx(1)2511 2887 y Ft(\))p Fy(;)857 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(40\))0 3121 y(and)30 b(th)m(us,)g(passing)g(to)h(the)g(limit,)1242 3349 y(lim)15 b(sup)1294 3426 y Fv(N)7 b Fr("1)1536 3349 y Fk(E)25 b Fs(G)1665 3311 y Fr(\012)p Fx(2)1769 3349 y Ft([)p Fy(R)1864 3311 y Fv(p)1906 3349 y Ft(])20 b(+)g Fy(\013\014)31 b Ft(=)25 b Fy(\013\014)5 b(;)1011 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(41\))0 3601 y(whic)m(h)30 b(in)g(turn)f(implies)i(that)1390 3747 y(lim)15 b(sup)1442 3824 y Fv(N)7 b Fr("1)1683 3747 y Fk(E)26 b Fs(G)1812 3708 y Fr(\012)p Fx(2)1807 3773 y Fv(N)1916 3747 y Ft([)p Fy(R)2011 3709 y Fv(p)2053 3747 y Ft(])g(=)f(0)p Fy(:)1158 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(42\))0 3969 y(Supp)s(ose)29 b(no)m(w)h(that)1414 4120 y(lim)15 b(sup)1466 4197 y Fv(N)7 b Fr("1)1707 4120 y Fk(E)1794 4059 y Fy(@)e(F)1905 4073 y Fv(N)p 1794 4099 V 1829 4183 a Fy(@)g(\014)2011 4120 y(<)24 b(\013\014)5 b(:)1183 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(43\))0 4342 y(Then)29 b(it)i(follo)m(ws)h (immediately)f(from)f(Theorem)g(1.5)i(that)713 4576 y(lim)15 b(inf)752 4635 y Fv(N)7 b Fr("1)980 4576 y Fk(E)26 b Fs(G)1109 4538 y Fr(\012)p Fx(2)1213 4576 y Ft([)p Fy(R)1308 4538 y Fv(p)1350 4576 y Ft(])f(=)g Fy(\013\014)h Fs(\000)20 b Ft(lim)15 b(sup)1774 4653 y Fv(N)7 b Fr("1)2015 4576 y Fk(E)2102 4514 y Fy(@)e(F)2213 4528 y Fv(N)p 2102 4555 V 2138 4638 a Fy(@)g(\014)2319 4576 y(>)25 b(\013\014)h Fs(\000)20 b Fy(\013\014)31 b Ft(=)25 b(0)p Fy(:)481 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(44\))0 4833 y(This)27 b(pro)m(v)m(es)i(\(1.27\).) 42 b(T)-8 b(o)28 b(see)g(where)g(the)g(condition)g(\(6.43\))i(actually) g(holds,)e(w)m(e)g(observ)m(e)h(\014rst)e(that)h(b)m(y)0 4979 y(Lemma)i(4.5,)i(it)f(is)g(satis\014ed)f(for)g(all)1397 5178 y(1)p 1397 5219 46 4 v 1397 5302 a(2)1453 5240 y Fy(\014)1509 5202 y Fr(0)1504 5262 y Fv(p)1547 5240 y Fy(\014)g(>)1737 5216 y Ft(^)1724 5240 y Fy(\014)1775 5254 y Fv(p)1843 5240 y Ft(=)1939 5095 y Fi(r)p 2030 5095 219 4 v 2041 5178 a Ft(2)15 b(ln)g(2)p 2041 5219 197 4 v 2110 5302 a Fy(\013)2249 5240 y(:)1154 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(45\))p eop %%Page: 44 44 44 43 bop 0 45 a Fo(44)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 264 y Ft(This)30 b(concludes)g(the)h(pro)s(of)e(of)i(the)f(Theorem.)41 b Fb(\003)0 482 y Fu(Remark:)56 b Ft(Of)34 b(course)g(one)h(w)m(ould)f (exp)s(ect)h(\(6.43\))h(starts)f(to)g(hold)f(righ)m(t)h(after)f(the)h (critical)h(temp)s(er-)0 627 y(ature.)55 b(In)34 b(fact,)k(a)d(w)m(eak) h(v)m(ersion)g(of)f(this)g(can)g(b)s(e)f(pro)m(v)m(en.)55 b(Namely)-8 b(,)38 b(Theorem)d(5.5)h(in)f([Ro])h(implies)0 773 y(that)31 b(the)g(function)1430 918 y Fy(f)10 b Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))26 b(=)f(lim)15 b(sup)1785 995 y Fv(N)7 b Fr("1)2026 918 y Fk(E)26 b Fy(F)2155 932 y Fv(N)3428 918 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(46\))0 1132 y(is)e(a)g(con)m(v)m(ex,)j(b)s (ounded)22 b(function)h(on)h Fs(U)34 b Ft(=)25 b([0)p Fy(;)15 b(\014)1659 1099 y Fr(0)1654 1155 y Fv(p)1698 1132 y Ft(\).)39 b(By)24 b(Theorem)f(25.3)j(in)d([Ro])i(it)f(is)g(th)m (us)g(di\013eren)m(tiable)0 1278 y(on)34 b(an)f(op)s(en)g(set)i Fs(D)e(\032)e(U)42 b Ft(whic)m(h)34 b(con)m(tains)h(all)g(but)e(p)s (erhaps)f(coun)m(tably)i(man)m(y)g(p)s(oin)m(ts)g(of)g Fs(U)9 b Ft(,)34 b(and)g(its)0 1423 y(deriv)-5 b(ativ)m(e)32 b Fy(f)472 1390 y Fr(0)527 1423 y Ft(is)e(b)s(ounded)f(on)h Fs(D)s Ft(.)40 b(Leb)s(esgue's)31 b(in)m(tegrabilit)m(y)h(criterion)g (then)e(implies)g(that)1071 1702 y Fy(f)10 b Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))26 b(=)e Fy(f)10 b Ft(\()p Fy(\014)1514 1716 y Fv(p)1557 1702 y Ft(\))20 b(+)1746 1556 y Fv(\014)1703 1578 y Fi(Z)1689 1839 y Fv(\014)1730 1848 y Fm(p)1809 1702 y Fy(f)1864 1664 y Fr(0)1889 1702 y Ft(\()p Fy(u)p Ft(\))p Fy(du;)107 b Fs(8)p Fy(\014)30 b(>)25 b(\014)2521 1716 y Fv(p)2564 1702 y Fy(:)839 b Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(47\))0 1996 y(No)m(w)24 b(it)g(is)f(immediate)i(that)f(for)f(all)h Fy(\014)31 b(>)25 b(\014)1476 2010 y Fv(p)1541 1996 y Ft(there)f(m)m(ust)f(exist)h(a)g(set)g Fy(I)32 b Fs(\032)25 b Ft(\()p Fy(\014)2651 2010 y Fv(p)2694 1996 y Fy(;)15 b(\014)5 b Ft(\))24 b(with)g(strictly)g(p)s(ositiv)m(e)0 2141 y(Leb)s(esgue)31 b(measure,)g(on)f(whic)m(h)h Fy(f)1216 2108 y Fr(0)1271 2141 y Ft(is)g(strictly)h(less)f(than)f Fy(\013\014)5 b Ft(.)43 b(Indeed,)30 b(w)m(ere)h(this)g(not)g(the)g (case,)h(then)0 2287 y Fy(f)j Fs(\025)186 2246 y Fv(\013\014)277 2219 y Fn(2)p 186 2266 128 4 v 232 2318 a Fx(2)325 2287 y Ft(,)27 b(whic)m(h)g(con)m(tradicts)h(the)f(de\014nition)f(of)h Fy(\014)1802 2301 y Fv(p)1844 2287 y Ft(.)40 b(Since)27 b Fy(\014)k Ft(w)m(as)d(arbitrary)-8 b(,)27 b(the)g(relev)-5 b(an)m(t)28 b(condition)0 2432 y(\(6.43\))33 b(is)d(satis\014ed)h(on)f (sets)h(of)f(p)s(ositiv)m(e)h(Leb)s(esgue)g(measure)f(arbitrarily)h (close)g(to)g Fy(\014)3012 2446 y Fv(p)3055 2432 y Ft(.)35 2651 y Fu(6.3)k(Pro)s(of)h(of)f(Theorem)g(1.7.)0 2869 y Ft(W)-8 b(e)28 b(ha)m(v)m(e)g(sho)m(wn)e(that)h(in)f(the)h(lo)m(w)h (temp)s(erature)e(phase,)h(the)g(replica)h(o)m(v)m(erlap)g(is)f(not)g (concen)m(trated)h(on)0 3014 y(zero.)46 b(W)-8 b(e)33 b(will)f(no)m(w)g(sho)m(w)g(that)g(its)h(distribution)e(is)h(concen)m (trated)h(on)f(a)g(neigh)m(b)s(orho)s(o)s(d)f(of)h(zero)h(and)0 3160 y(1.)0 3305 y Fu(Pro)s(of)j(of)f(Theorem)g(1.7:)87 b Ft(Let)31 b Fy(C)1336 3266 y Fx(+)1329 3332 y Fv(N)1398 3305 y Fy(;)15 b(C)1510 3266 y Fr(\000)1503 3332 y Fv(N)1603 3305 y Ft(b)s(e)29 b(suc)m(h)h(that)896 3525 y Fk(P)966 3397 y Fi(\024)1014 3525 y Ft(sup)1061 3597 y Fv(\033)1151 3525 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)1333 3539 y Fv(N)1402 3525 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))c Fs(62)f Ft([)p Fy(N)10 b(C)1854 3486 y Fr(\000)1847 3552 y Fv(N)1916 3525 y Fy(;)15 b(N)10 b(C)2111 3486 y Fx(+)2104 3552 y Fv(N)2174 3525 y Ft(])2199 3397 y Fi(\025)2272 3525 y Ft(=)25 b Fy(p)2414 3539 y Fv(N)2508 3525 y Ft(=)g Fy(o)p Ft(\(1\))665 b(\(6)p Fy(:)p Ft(48\))0 3736 y(Then)39 3950 y Fk(E)10 b Fs(G)153 3912 y Fr(\012)p Fx(2)147 3977 y Fv(N)256 3950 y Ft(\()p Fy(R)360 3964 y Fv(N)430 3950 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)15 b(\033)610 3913 y Fr(0)636 3950 y Ft(\))26 b Fs(2)f Fy(I)7 b Ft(\))25 b Fs(\024)g Fk(E)11 b Ft(1)-22 b(I)1102 3967 y Fx(sup)1212 3984 y Fm(\033)1267 3967 y Fr(j)p Fv(H)1349 3976 y Fm(N)1407 3967 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\))p Fr(j\024)p Fv(N)7 b(C)1703 3976 y Fm(N)1777 3883 y Fk(E)1831 3897 y Fv(\033)o(;\033)1938 3878 y Fj(0)1973 3883 y Fy(e)2015 3850 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)2204 3859 y Fm(N)2263 3850 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)2479 3859 y Fm(N)2538 3850 y Fx(\()p Fv(\033)2610 3822 y Fj(0)2635 3850 y Fx(\)\))2697 3883 y Ft(1)-23 b(I)2752 3899 y Fv(R)2807 3908 y Fm(N)2865 3899 y Fx(\()p Fv(\033)n(;s)2989 3881 y Fj(0)3015 3899 y Fx(\))p Fr(2)p Fv(I)p 1777 3930 1358 4 v 2223 4034 a Ft(2)2268 4007 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(N)2430 4034 y Fy(e)2472 4000 y Fv(N)7 b Fx(2)p Fv(C)2629 3971 y Fj(\000)2625 4024 y Fm(N)3165 3950 y Ft(+)20 b Fy(p)3302 3964 y Fv(N)890 4243 y Ft(=)997 4156 y Fk(E)11 b(E)1112 4170 y Fv(\033)o(;\033)1219 4151 y Fj(0)1254 4156 y Fy(e)1296 4123 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)1485 4132 y Fm(N)1544 4123 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)1760 4132 y Fm(N)1819 4123 y Fx(\()p Fv(\033)1891 4095 y Fj(0)1916 4123 y Fx(\)\))1978 4156 y Ft(1)-23 b(I)2033 4184 y Fr(\000)p Fv(\014)s Fx(\()p Fv(H)2222 4193 y Fm(N)2281 4184 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)+)p Fv(H)5 b Fx(\()p Fv(\033)2574 4166 y Fj(0)2600 4184 y Fx(\)\))p Fr(\024)p Fv(N)i(C)2834 4155 y Fn(+)2830 4208 y Fm(N)2888 4184 y Fv(\014)2937 4156 y Ft(1)-23 b(I)2993 4172 y Fv(R)3048 4181 y Fm(N)3106 4172 y Fx(\()p Fv(\033)n(;\033)3240 4154 y Fj(0)3266 4172 y Fx(\))p Fr(2)p Fv(I)p 997 4223 2388 4 v 1936 4327 a Ft(2)1981 4300 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(N)2143 4327 y Fy(e)2185 4293 y Fv(\014)s(N)7 b Fx(2)p Fv(C)2386 4264 y Fj(\000)2382 4317 y Fm(N)3416 4243 y Ft(+)20 b Fy(p)3553 4257 y Fv(N)3428 4404 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(49\))0 4549 y(The)30 b(n)m(umerator)g(has)g(b)s(een)g (estimated)i(in)e(\(4.21\).)43 b(Using)30 b(this,)h(w)m(e)g(get)193 4887 y Fk(E)11 b Fs(G)307 4848 y Fr(\012)p Fx(2)302 4914 y Fv(N)411 4887 y Ft(\()p Fy(R)515 4901 y Fv(N)584 4887 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)k(\033)764 4850 y Fr(0)791 4887 y Ft(\))25 b Fs(2)g Fy(I)7 b Ft(\))26 b Fs(\024)1141 4801 y Fi(X)1150 4996 y Fv(t)p Fr(2)p Fv(I)1287 4887 y Fy(C)1352 4901 y Fx(3)1404 4765 y Ft(exp)1558 4637 y Fi(\022)1625 4765 y Fy(N)1708 4637 y Fi(\024)1756 4765 y Ft(2)p Fy(\014)5 b(C)1929 4726 y Fx(+)1922 4792 y Fv(N)1992 4664 y Fi(\020)2046 4765 y Ft(1)21 b Fs(\000)2329 4713 y Fv(C)2385 4684 y Fn(+)2381 4737 y Fm(N)p 2213 4744 343 4 v 2213 4797 a Fx(2)p Fv(\013\014)s Fx(\(1+)p Fv(t)2487 4778 y Fm(p)2527 4797 y Fx(\))2567 4664 y Fi(\021)2641 4765 y Fs(\000)f Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))2882 4637 y Fi(\025)q(\023)p 1404 4866 1594 4 v 1942 4970 a Fy(e)1984 4937 y Fv(\014)s(N)g Fx(2)p Fv(C)2185 4907 y Fj(\000)2181 4961 y Fm(N)2240 4937 y Fr(\000)p Fx(2)13 b(ln)f(2)3029 4887 y Ft(+)20 b Fy(p)3166 4901 y Fv(N)436 5187 y Ft(=)532 5100 y Fi(X)541 5295 y Fv(t)p Fr(2)p Fv(I)679 5187 y Fy(C)744 5201 y Fx(3)800 5187 y Ft(exp)954 5058 y Fi(\022)1020 5187 y Fy(N)10 b Ft(2)p Fy(\014)5 b Ft(\()p Fy(C)1311 5148 y Fx(+)1304 5213 y Fv(N)1395 5187 y Fs(\000)19 b Fy(C)1557 5148 y Fr(\000)1550 5213 y Fv(N)1619 5187 y Ft(\))i(+)f Fy(N)1849 5086 y Fi(\020)1903 5187 y Ft(2)15 b(ln)h(2)k Fs(\000)2280 5124 y Ft(\()p Fy(C)2387 5085 y Fx(+)2380 5151 y Fv(N)2449 5124 y Ft(\))2484 5091 y Fx(2)p 2222 5166 361 4 v 2222 5249 a Fy(\013)p Ft(\(1)i(+)e Fy(t)2506 5223 y Fv(p)2547 5249 y Ft(\))2614 5187 y Fs(\000)g Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))2855 5113 y Fi(\001)2897 5058 y(\023)2984 5187 y Ft(+)20 b Fy(p)3121 5201 y Fv(N)3428 4994 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(50\))p eop %%Page: 45 45 45 44 bop 0 45 a Fl(Replica)27 b(Ov)n(erlap)3041 b Fo(45)0 264 y Ft(Let)40 b(us)f(note)i(\014rst)e(that)h(from)g(\(6.50\))i(it)e (is)g(ob)m(vious)g(that)g(if)g(w)m(e)h(can)f(c)m(ho)s(ose)g Fs(j)p Fy(C)2962 225 y Fx(+)2955 290 y Fv(N)3051 264 y Fs(\000)26 b Fy(C)3220 225 y Fr(\000)3213 290 y Fv(N)3282 264 y Fs(j)41 b(\024)g Fy(N)3543 231 y Fr(\000)p Fv(\017)3635 264 y Ft(,)0 409 y(then)48 b(the)h(result)f(cannot)h(dep)s(end)e(on)h Fy(\014)5 b Ft(.)95 b(An)49 b(ob)m(vious)f(candidate)i(for)e(these)h(n) m(um)m(b)s(ers)e(is)h(th)m(us)0 555 y Fy(N)83 522 y Fr(\000)p Fx(1)181 555 y Fk(E)25 b Ft(sup)393 577 y Fv(\033)442 555 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)624 569 y Fv(N)693 555 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))c Fs(\006)f Fy(\017)p Ft(.)41 b(Indeed)29 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)0 773 y Fc(Lemma)38 b(6.3:)51 b Fq(F)-7 b(or)34 b(any)f Fy(\017)25 b(>)g Ft(0)p Fq(,)33 b(and)g(for)h(al)5 b(l)33 b Fy(N)42 b Fq(lar)-5 b(ge)34 b(enough,)737 1023 y Fk(P)807 895 y Fi(\024)856 1023 y Fs(j)911 962 y Ft(1)p 892 1002 83 4 v 892 1085 a Fy(N)1001 1023 y Ft(sup)1047 1095 y Fv(\033)1138 1023 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)1320 1037 y Fv(N)1388 1023 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))22 b Fs(\000)e Fk(E)1751 962 y Ft(1)p 1726 1002 V 1726 1085 a Fy(N)1841 1023 y Ft(sup)1887 1095 y Fv(\033)1978 1023 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)2160 1037 y Fv(N)2229 1023 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))p Fs(j)26 b Fy(>)f(\017)2573 895 y Fi(\025)2647 1023 y Fs(\024)f Fy(N)2825 985 y Fr(\000)p Fx(2)3428 1023 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(51\))0 1406 y Fu(Pro)s(of:)47 b Ft(Note)32 b(\014rst)e(that)1177 1551 y(2)1222 1514 y Fr(\000)p Fv(N)1373 1551 y Fs(\024)25 b Fy(Z)1531 1565 y Fv(N)1600 1551 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))p Fy(e)1768 1514 y Fv(\014)18 b Fx(sup)1936 1530 y Fm(\033)1979 1514 y Fx(\()p Fr(\000)p Fv(H)2124 1523 y Fm(N)2182 1514 y Fx(\()p Fv(\033)r Fx(\)\))2342 1551 y Fs(\024)25 b Ft(1)945 b(\(6)p Fy(:)p Ft(52\))0 1752 y(and)30 b(therefore)1109 1898 y Fs(j)1151 1836 y Ft(1)p 1145 1877 57 4 v 1145 1960 a Fy(\014)1212 1898 y(F)1270 1912 y Fv(N)1340 1898 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)1607 1836 y Ft(1)p 1589 1877 83 4 v 1589 1960 a Fy(N)1698 1898 y Ft(sup)1744 1970 y Fv(\033)1835 1898 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)2017 1912 y Fv(N)2085 1898 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))p Fs(j)27 b(\024)2404 1836 y Ft(ln)15 b(2)p 2404 1877 137 4 v 2444 1960 a Fy(\014)3428 1898 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(53\))0 2107 y(Therefore,)30 b(for)h(an)m(y)f Fy(\014)h(<)25 b Fs(1)p Ft(,)52 2226 y Fi(\014)52 2280 y(\014)52 2335 y(\014)52 2389 y(\014)112 2296 y Ft(1)p 93 2337 83 4 v 93 2420 a Fy(N)202 2358 y Ft(sup)249 2430 y Fv(\033)339 2358 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)521 2372 y Fv(N)590 2358 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))c Fs(\000)f Fk(E)952 2296 y Ft(1)p 928 2337 V 928 2420 a Fy(N)1043 2358 y Ft(sup)1089 2430 y Fv(\033)1180 2358 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)1362 2372 y Fv(N)1430 2358 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))1590 2226 y Fi(\014)1590 2280 y(\014)1590 2335 y(\014)1590 2389 y(\014)62 2612 y Ft(=)158 2480 y Fi(\014)158 2535 y(\014)158 2589 y(\014)158 2644 y(\014)218 2551 y Ft(1)p 199 2591 V 199 2675 a Fy(N)308 2612 y Ft(sup)355 2684 y Fv(\033)445 2612 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)627 2626 y Fv(N)696 2612 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))h Fs(\000)985 2551 y Ft(1)p 979 2591 57 4 v 979 2675 a Fy(\014)1046 2612 y(F)1104 2626 y Fv(N)1174 2612 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b(+)1428 2551 y(1)p 1423 2591 V 1423 2675 a Fy(\014)1490 2612 y(F)1548 2626 y Fv(N)1617 2612 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)f Fk(E)1946 2551 y Ft(1)p 1921 2591 83 4 v 1921 2675 a Fy(N)2036 2612 y Ft(sup)2082 2684 y Fv(\033)2173 2612 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)2355 2626 y Fv(N)2423 2612 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))i(+)e Fk(E)2773 2551 y Ft(1)p 2761 2591 57 4 v 2761 2675 a Fy(\014)2834 2612 y(F)2892 2626 y Fv(N)2962 2612 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)f Fk(E)3277 2551 y Ft(1)p 3265 2591 V 3265 2675 a Fy(\014)3338 2612 y(F)3396 2626 y Fv(N)3466 2612 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))3592 2480 y Fi(\014)3592 2535 y(\014)3592 2589 y(\014)3592 2644 y(\014)62 2867 y Fs(\024)158 2735 y Fi(\014)158 2790 y(\014)158 2844 y(\014)158 2899 y(\014)205 2805 y Ft(1)p 199 2846 V 199 2929 a Fy(\014)267 2867 y(F)325 2881 y Fv(N)394 2867 y Ft(\()p Fy(\014)g Ft(\))21 b Fs(\000)f Fk(E)709 2805 y Ft(1)p 698 2846 V 698 2929 a Fy(\014)771 2867 y(F)829 2881 y Fv(N)898 2867 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))1024 2735 y Fi(\014)1024 2790 y(\014)1024 2844 y(\014)1024 2899 y(\014)1075 2867 y Ft(+)1177 2805 y(2)15 b(ln)h(2)p 1177 2846 197 4 v 1248 2929 a Fy(\014)3428 3030 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(54\))0 3176 y(By)31 b(Prop)s(osition)f(6.2,) 876 3426 y Fk(P)946 3298 y Fi(\024)995 3294 y(\014)995 3349 y(\014)995 3403 y(\014)995 3458 y(\014)1042 3365 y Ft(1)p 1036 3405 57 4 v 1036 3489 a Fy(\014)1104 3426 y(F)1162 3440 y Fv(N)1231 3426 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)f Fk(E)1546 3365 y Ft(1)p 1535 3405 V 1535 3489 a Fy(\014)1608 3426 y(F)1666 3440 y Fv(N)1735 3426 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))1861 3294 y Fi(\014)1861 3349 y(\014)1861 3403 y(\014)1861 3458 y(\014)1917 3426 y Fy(>)25 b(N)2096 3389 y Fr(\000)p Fx(1)p Fv(=)p Fx(2+)p Fv(\017)2354 3298 y Fi(\025)2427 3426 y Fs(\024)g Fy(C)7 b(N)2678 3389 y Fr(\000)p Fv(n)3428 3426 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(55\))0 3687 y(from)30 b(whic)m(h)g(the)h(claimed)g(result)f(follo)m (ws)i(b)m(y)e(c)m(ho)s(osing)h(e.g.)42 b Fy(\014)30 b Ft(=)25 b Fy(\017)2403 3654 y Fr(\000)p Fx(1)2501 3687 y Ft(4)15 b(ln)g(2.)41 b Fb(\003)109 3833 y Ft(Using)31 b(this)f(result,)g(and)g(setting)i Fy(C)1361 3847 y Fv(N)1455 3833 y Fs(\021)25 b Fk(E)1636 3797 y Fx(1)p 1622 3812 65 4 v 1622 3864 a Fv(N)1713 3833 y Ft(sup)1850 3855 y Fv(\033)1899 3833 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)2081 3847 y Fv(N)2149 3833 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\),)32 b(w)m(e)f(get)g(that) 214 4100 y Fk(E)11 b Fs(G)328 4062 y Fr(\012)p Fx(2)323 4127 y Fv(N)432 4100 y Ft(\()p Fy(R)536 4114 y Fv(N)605 4100 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)k(\033)785 4063 y Fr(0)812 4100 y Ft(\))25 b Fs(2)g Fy(I)7 b Ft(\))26 b Fs(\024)1162 4014 y Fi(X)1171 4209 y Fv(t)p Fr(2)p Fv(I)1308 4100 y Fy(C)1373 4114 y Fx(3)1429 4100 y Ft(exp)1583 3972 y Fi(\022)1650 4100 y Fy(N)10 b Ft(4)p Fy(\014)5 b(\017)21 b Ft(+)f Fy(N)2066 4000 y Fi(\020)2120 4100 y Ft(2)15 b(ln)h(2)k Fs(\000)2439 4039 y Ft(\()p Fy(C)2539 4053 y Fv(N)2628 4039 y Ft(+)g Fy(\017)p Ft(\))2791 4006 y Fx(2)p 2439 4080 394 4 v 2455 4163 a Fy(\013)p Ft(\(1)i(+)e Fy(t)2739 4137 y Fv(p)2781 4163 y Ft(\))2864 4100 y Fs(\000)f Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))3104 4027 y Fi(\001)3147 3972 y(\023)3428 4117 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(56\))0 4398 y(Since)34 b Fy(\017)g Ft(can)g(b)s(e)g(c)m(hosen)g(as)g(small)h(as)f (w)m(e)h(lik)m(e,)h(e.g.)53 b Fy(\016)s(\014)1997 4365 y Fr(\000)p Fx(1)2095 4398 y Ft(,)35 b(w)m(e)g(already)g(see)f(that)h (our)e(result)h(will)h(b)s(e)0 4543 y(uniform)29 b(in)h Fy(\014)5 b Ft(.)109 4689 y(It)37 b(remains)f(to)i(estimate)g Fk(E)1133 4653 y Fx(1)p 1119 4668 65 4 v 1119 4720 a Fv(N)1209 4689 y Ft(sup)1346 4711 y Fv(\033)1395 4689 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)1577 4703 y Fv(N)1646 4689 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\).)60 b(W)-8 b(e)38 b(will)f(only)g(consider)g (the)f(case)i Fy(\013)e(>)3372 4653 y Fx(ln)12 b(2)p 3372 4668 110 4 v 3380 4720 a(2)p Fv(p)p Fx(!)3492 4689 y Ft(.)60 b(In)0 4834 y(that)36 b(case)g(it)g(follo)m(ws)g(from)f (Lemma)g(3.4)h(that)g Fy(C)1765 4848 y Fv(N)1868 4834 y Fs(\024)1972 4757 y(p)p 2047 4757 256 4 v 2047 4834 a Ft(2)p Fy(\013)16 b Ft(ln)f(2)24 b(+)f Fy(C)t(=)-5 b(N)46 b Ft(from)34 b(a)i(b)s(ound)d(completely)0 4980 y(analogous)f(to)f(\(2.3\).)42 b(F)-8 b(or)31 b(a)g(lo)m(w)m(er)h(b)s (ound,)c(note)j(that)g(for)g(an)m(y)f Fy(\014)5 b Ft(,)789 5228 y Fk(E)888 5166 y Fy(@)p 854 5207 110 4 v 854 5290 a(@)g(\014)981 5228 y(F)1039 5242 y Fv(N)1108 5228 y Ft(\()p Fy(\014)g Ft(\))26 b(=)1386 5166 y(1)p 1367 5207 83 4 v 1367 5290 a Fy(N)1461 5228 y Fk(E)10 b Fs(G)1570 5242 y Fv(N)1644 5228 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)1826 5242 y Fv(N)1895 5228 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\)\))27 b Fs(\024)e Fk(E)2268 5166 y Ft(1)p 2243 5207 V 2243 5290 a Fy(N)2358 5228 y Ft(sup)2404 5300 y Fv(\033)2495 5228 y Ft(\()p Fs(\000)p Fy(H)2677 5242 y Fv(N)2746 5228 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))557 b(\(6)p Fy(:)p Ft(57\))p eop %%Page: 46 46 46 45 bop 0 45 a Fo(46)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 270 y Ft(But)32 b(w)m(e)h(kno)m(w)f(that)h(for)f(all)h Fy(\014)h Fs(\024)28 b Fy(\014)1265 237 y Fr(0)1260 292 y Fv(p)1302 270 y Ft(,)33 b(lim)1486 284 y Fv(N)7 b Fr("1)1680 270 y Fk(E)k Fy(F)1793 284 y Fv(N)1868 270 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))29 b(=)2133 229 y Fv(\013\014)2224 202 y Fn(2)p 2133 249 128 4 v 2179 301 a Fx(2)2272 270 y Ft(,)j(and)g(therefore)h(b) m(y)f(standard)f(results)0 415 y(lim)126 429 y Fv(N)7 b Fr("1)320 415 y Fk(E)414 380 y Fv(@)p 392 395 88 4 v 392 447 a(@)t(\014)490 415 y Fy(F)548 429 y Fv(N)617 415 y Ft(\()p Fy(\014)e Ft(\))26 b(=)f Fy(\013\014)5 b Ft(.)42 b(Th)m(us)29 b(c)m(hosing)i Fy(\014)36 b Ft(as)30 b(large)i(as)e(p)s(ossible)g(w)m(e)h(see)g(that)g(w)m(e)g(see)g(that) 1516 665 y Fy(C)1581 679 y Fv(N)1675 665 y Fs(\025)25 b Fy(\013\014)1885 628 y Fr(0)1880 688 y Fv(p)1944 665 y Fs(\000)19 b Fy(\016)2074 679 y Fv(N)3428 665 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(58\))0 915 y(where)30 b Fy(\016)303 929 y Fv(N)397 915 y Fs(#)c Ft(0,)31 b(as)g Fy(N)k Fs(")26 b(1)p Ft(.)40 b(But)31 b(Theorem)f(1.2)h(and)f(the)h(estimate)h(\(1.20\))h(sho)m(w)d (that)1174 1187 y Fy(C)1239 1201 y Fv(N)1334 1187 y Fs(\025)1429 1105 y(p)p 1505 1105 256 4 v 82 x Ft(2)p Fy(\013)16 b Ft(ln)f(2)21 b Fs(\000)1883 1125 y Ft(2)1928 1092 y Fr(\000)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2120 1060 y Fs(p)p 2196 1060 59 4 v 65 x Fy(\013)p 1883 1166 372 4 v 1932 1184 a Fs(p)p 2008 1184 197 4 v 78 x Ft(2)15 b(ln)g(2)2285 1187 y Fs(\000)20 b Fy(\016)2416 1201 y Fv(N)3428 1187 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(59\))0 1448 y(Therefore)30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)h(that)f(for)f(an)m (y)g Fy(\016)f(>)c Ft(0,)31 b(and)f(for)g Fy(p)g Ft(large,)194 1715 y Fk(E)11 b Fs(G)308 1676 y Fr(\012)p Fx(2)303 1741 y Fv(N)412 1715 y Ft(\()p Fy(R)516 1729 y Fv(N)585 1715 y Ft(\()p Fy(\033)n(;)k(\033)765 1677 y Fr(0)792 1715 y Ft(\))25 b Fs(2)g Fy(I)7 b Ft(\))26 b Fs(\024)1142 1628 y Fi(X)1151 1823 y Fv(t)p Fr(2)p Fv(I)1288 1715 y Fy(C)1353 1729 y Fx(3)1409 1715 y Ft(exp)1563 1586 y Fi(\022)1630 1715 y Fy(N)1713 1641 y Fi(\000)1755 1715 y Fy(\016)e Ft(+)1921 1653 y(2)1966 1620 y Fr(\000)p Fv(p)2085 1653 y Ft(+)c(2)p Fy(\016)2261 1667 y Fv(N)2331 1653 y Fy(=)2376 1588 y Fs(p)p 2452 1588 59 4 v 65 x Fy(\013)h Ft(+)f Fy(O)s Ft(\(2)2774 1620 y Fr(\000)p Fx(2)p Fv(p)2909 1653 y Ft(\))p 1921 1694 1025 4 v 2317 1777 a(1)h(+)e Fy(t)2506 1751 y Fv(p)2956 1641 y Fi(\001)2997 1715 y Ft(+)1021 2005 y Fy(N)1104 1904 y Fi(\020)1158 2005 y Ft(2)c(ln)g(2)21 b Fs(\000)1494 1944 y Ft(2)15 b(ln)g(2)p 1477 1984 232 4 v 1477 2068 a(1)20 b(+)g Fy(t)1666 2041 y Fv(p)1739 2005 y Fs(\000)g Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))1980 1904 y Fi(\021)2035 1877 y(\023)2122 2005 y Ft(+)20 b Fy(p)2259 2019 y Fv(N)1046 2260 y Fs(\024)1142 2174 y Fi(X)1151 2369 y Fv(t)p Fr(2)p Fv(I)1288 2260 y Fy(C)1353 2274 y Fx(3)1409 2260 y Ft(exp)1563 2132 y Fi(\022)1630 2260 y Fy(N)10 b Ft(\()p Fy(\016)24 b Ft(+)c(2)1948 2222 y Fr(\000)p Fv(p)2048 2260 y Ft(\))g(+)g Fy(N)2277 2159 y Fi(\020)2342 2198 y Ft(2)15 b(ln)h(2)p Fy(t)2572 2165 y Fv(p)p 2342 2239 272 4 v 2362 2322 a Ft(1)21 b(+)f Fy(t)2552 2296 y Fv(p)2645 2260 y Fs(\000)g Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))2886 2159 y Fi(\021)2941 2132 y(\023)3028 2260 y Ft(+)20 b Fy(p)3165 2274 y Fv(N)3428 2004 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(60\))0 2579 y(The)37 b(function)568 2543 y Fx(2)12 b(ln)g(2)p Fv(t)752 2516 y Fm(p)p 568 2558 224 4 v 573 2610 a Fx(\(1+)p Fv(t)720 2592 y Fm(p)758 2610 y Fx(\))827 2579 y Fs(\000)25 b Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))37 b(v)-5 b(anishes)37 b(at)h(zero)g(and)f(at)h(one,)i (and)c(is)i(negativ)m(e)h(ev)m(erywhere)f(in)f(the)0 2724 y(in)m(terv)-5 b(al)28 b(\(0)p Fy(;)15 b Ft(1)e Fs(\000)g Fy(z)629 2738 y Fv(p)672 2724 y Ft(\),)28 b(where)e Fy(z)1061 2738 y Fv(p)1128 2724 y Fs(\030)f Ft(2)1269 2691 y Fr(\000)p Fv(p)1368 2724 y Ft(.)40 b(This)26 b(implies)g(the)h (main)g(conclusion)g(of)f(Theorem)h(1.7,)h(\(6.48\).)0 2870 y(Note)33 b(that)g(since)f Fy(I)7 b Ft(\()p Fy(t)p Ft(\))28 b Fs(\030)g Fy(t)954 2837 y Fx(2)1026 2870 y Ft(for)k(small)h Fy(t)p Ft(,)f(w)m(e)g(can)h(c)m(hose)f(the)h(in)m (terv)-5 b(al)33 b Fy(I)39 b Ft(more)32 b(precisely)g(of)g(the)g(form)0 3015 y Fy(I)40 3029 y Fv(p)107 3015 y Ft(=)25 b(\()p Fy(C)7 b Ft(2)355 2982 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)528 3015 y Fy(;)15 b Ft(1)21 b Fs(\000)f Fy(C)7 b Ft(2)842 2982 y Fv(p)884 3015 y Ft(\),)31 b(with)f Fy(C)36 b Ft(a)31 b(constan)m(t)h(of)e(order)g(1.)109 3161 y(T)-8 b(o)34 b(pro)s(of)f(the)h(estimate)h(\(1.29\))h(in)d(the)h(high-temp)s (erature)f(case)i(is)e(considerably)h(simpler.)50 b(Since)0 3306 y(w)m(e)40 b(already)g(ha)m(v)m(e)g(the)g(estimate)h Fk(E)10 b Fy(T)k Ft(\()p Fy(c;)h(b;)h Ft(1\))47 b Fs(\024)40 b Fy(e)1825 3273 y Fv(\013\014)1916 3246 y Fn(2)1952 3273 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(dN)q(=)p Fx(2)2287 3306 y Ft(for)39 b(some)h(p)s(ositiv)m(e)g Fy(d)p Ft(,)i(it)e(remains)f(to)0 3452 y(sho)m(w)h(that)g(with)g(su\016cen)m(tly)h(large)g(probabilit)m (y)-8 b(,)43 b Fy(Z)1893 3419 y Fx(2)1886 3477 y Fv(N)1955 3452 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))43 b Fs(\025)e Fy(e)2278 3419 y Fv(\013\014)2369 3391 y Fn(2)2405 3419 y Fv(N)7 b Fr(\000)p Fv(dN)q(=)p Fx(4)2701 3452 y Ft(.)69 b(T)-8 b(o)41 b(do)f(so,)j(w)m(e)d(use)g(the)0 3597 y(P)m(aley-Zygm)m(und)31 b(inequalit)m(y)g(\(4.31\):)532 3847 y Fk(P)602 3746 y Fi(h)645 3847 y Fy(Z)707 3861 y Fv(N)801 3847 y Fs(\025)25 b Fy(e)939 3809 y Fr(\000)p Fv(dN)q(=)p Fx(8)1171 3847 y Fk(E)1251 3824 y Ft(~)1226 3847 y Fy(Z)1288 3861 y Fv(N)1363 3746 y Fi(i)1431 3847 y Fs(\025)g Fk(P)1597 3746 y Fi(h)1659 3824 y Ft(~)1640 3847 y Fy(Z)1702 3861 y Fv(N)1797 3847 y Fs(\025)g Fy(e)1935 3809 y Fr(\000)p Fv(dN)q(=)p Fx(8)2166 3847 y Fk(E)2246 3824 y Ft(~)2221 3847 y Fy(Z)2283 3861 y Fv(N)2358 3746 y Fi(i)2426 3847 y Fs(\025)g Ft(\(1)c Fs(\000)f Fy(e)2756 3809 y Fr(\000)p Fv(dN)q(=)p Fx(4)2987 3847 y Ft(\))p Fy(C)3087 3861 y Fx(3)3428 3847 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(61\))0 4109 y(Giv)m(en)37 b(that)f(b)m(y)f(Lemma)h(4.1)h(and)e(Theorem)g(1.1)i Fk(E)1887 4086 y Ft(~)1862 4109 y Fy(Z)1924 4123 y Fv(N)2033 4109 y Fs(\025)d Fy(C)7 b(e)2252 4076 y Fv(N)g(\013\014)2408 4049 y Fn(2)2443 4076 y Fv(=)p Fx(2)2521 4109 y Ft(,)37 b(\(1.29\))h(follo)m(ws)f(immediately)-8 b(.)0 4255 y(This)30 b(completes)h(the)g(pro)s(of)e(of)i(Theorem)f(1.7.)42 b Fb(\003)35 4473 y Fu(6.4.)35 b(Ghirlanda-Guerra)g(iden)m(tities)g (and)g(lump)g(masses.)0 4691 y Ft(The)30 b(tec)m(hniques)i(used)e(to)i (pro)m(v)m(e)g(Theorem)f(1.5)h(can)f(also)h(b)s(e)e(used)g(to)i(deriv)m (e)g(the)f(Ghirlanda-Guerra)0 4836 y(iden)m(tities)36 b([GG])g(\(see)g(also)f([A)m(C]\))h(that)f(pro)m(vide)g(relations)h(b)s (et)m(w)m(een)f(distributions)f(of)h(o)m(v)m(erlaps)h(of)f(a)0 4982 y(larger)g(n)m(um)m(b)s(er)e(of)h(replicas.)53 b(This)33 b(observ)-5 b(ation)35 b(is)f(due)g(to)h(T)-8 b(alagrand)34 b([T5].)53 b(Note)36 b(that)e(he)g(annop-)0 5127 y(unced)c(more)g (far-reac)m(hing)i(results)e(than)g(those)h(w)m(e)g(will)f(pro)m(v)m(e) i(here.)109 5273 y(The)e(basic)h(input)e(is)i(the)f(follo)m(wing)i (sligh)m(t)f(generalization)i(of)e(Theorem)f(1.5.)p eop %%Page: 47 47 47 46 bop 0 45 a Fl(Replica)27 b(Ov)n(erlap)3041 b Fo(47)0 264 y Fc(Prop)s(osition)42 b(6.4:)48 b Fq(Assume)35 b(that)i Fy(\014)g Fs(\024)1580 228 y Fx(1)p 1580 243 37 4 v 1580 295 a(2)1628 264 y Fy(\014)1684 231 y Fr(0)1679 286 y Fv(p)1721 264 y Fq(.)51 b(L)-5 b(et)36 b Fy(f)46 b Fq(denote)36 b(any)h(b)-5 b(ounde)g(d)37 b(function)f(of)g Fy(n)f Fq(spins.)0 409 y(Then,)e(for)g(any)g Fy(k)c Fs(2)c(f)p Ft(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(n)p Fs(g)p Fq(,)197 517 y Fi(\014)197 571 y(\014)197 626 y(\014)228 621 y Fk(E)10 b Fs(G)342 582 y Fr(\012)p Fv(n)336 649 y(N)s(;\014)489 548 y Fi(\000)530 621 y Fy(N)613 584 y Fr(\000)p Fx(1)711 621 y Fy(H)787 635 y Fv(N)855 621 y Ft(\()p Fy(\033)945 584 y Fv(k)991 621 y Ft(\))p Fy(f)g Ft(\()p Fy(\033)1171 584 y Fx(1)1212 621 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f(\033)1468 584 y Fv(n)1518 621 y Ft(\))1553 548 y Fi(\001)311 876 y Fs(\000)20 b Fy(\013\014)5 b Fk(E)11 b Fs(G)630 837 y Fr(\012)p Fv(n)p Fx(+1)625 903 y Fv(N)s(;\014)850 720 y Fi( )922 876 y Fy(f)f Ft(\()p Fy(\033)1067 838 y Fx(1)1107 876 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(\033)1364 838 y Fv(n)1414 876 y Ft(\))1508 762 y Fv(n)1465 790 y Fi(X)1473 985 y Fv(l)p Fx(=1)1611 876 y Fy(R)1681 832 y Fv(p)1680 903 y(N)1749 876 y Ft(\()p Fy(\033)1839 838 y Fv(k)1884 876 y Fy(;)g(\033)1979 838 y Fv(l)2008 876 y Ft(\))20 b Fs(\000)g Fy(nR)2279 832 y Fv(p)2278 903 y(N)2347 876 y Ft(\()p Fy(\033)2437 838 y Fv(k)2482 876 y Fy(;)15 b(\033)2577 838 y Fv(n)p Fx(+1)2719 876 y Ft(\))2754 720 y Fi(!)2827 771 y(\014)2827 826 y(\014)2827 880 y(\014)2882 876 y Fs(\024)25 b Fy(C)7 b(N)3133 838 y Fr(\000)p Fx(1)3428 778 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(62\))0 1225 y Fu(Pro)s(of:)51 b Ft(The)32 b(pro)s(of)f(of)h(this)g(prop)s(osition)g(is)g(an)f(exact)j (rerun)d(of)h(the)g(inequalities)h(\(6.36\),)i(except)e(for)0 1370 y(the)g(computation)g(of)g(the)f(leading)h(terms)g(whic)m(h)f(is)g (ho)m(w)m(ev)m(er)i(straigh)m(tforw)m(ard.)48 b(W)-8 b(e)33 b(will)g(not)g(rep)s(eat)0 1516 y(the)e(details.)41 b Fb(\003)109 1661 y Ft(As)31 b(in)f([GG])i(it)f(then)f(follo)m(ws)i (from)e(the)h(concen)m(tration)h(result)f(Theorem)f(1.4)i(and)e (standard)g(argu-)0 1807 y(men)m(ts)h(that)g(for)f(an)m(y)g(b)s(ounded) f(function)h Fy(f)10 b Ft(,)24 2063 y(lim)0 2123 y Fv(N)d Fr("1)189 1939 y Fi(Z)280 1962 y Fv(b)312 1935 y Fj(00)240 2146 y Fv(\014)284 2128 y Fj(0)376 2063 y Fy(d\014)495 1959 y Fi(\014)495 2013 y(\014)495 2068 y(\014)525 2063 y Fk(E)k Fs(G)640 2024 y Fr(\012)p Fv(n)634 2091 y(N)s(;\014)786 1990 y Fi(\000)828 2063 y Fy(N)911 2026 y Fr(\000)p Fx(1)1009 2063 y Fy(H)1085 2077 y Fv(N)1153 2063 y Ft(\()p Fy(\033)1243 2026 y Fv(k)1288 2063 y Ft(\))p Fy(f)f Ft(\()p Fy(\033)1468 2026 y Fx(1)1509 2063 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(\033)1766 2026 y Fv(n)1816 2063 y Ft(\))1851 1990 y Fi(\001)1913 2063 y Fs(\000)20 b Fk(E)11 b Fs(G)2113 2077 y Fv(N)s(;\014)2265 1990 y Fi(\000)2307 2063 y Fy(N)2390 2026 y Fr(\000)p Fx(1)2487 2063 y Fy(H)2563 2077 y Fv(N)2632 2063 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))2757 1990 y Fi(\001)2815 2063 y Fk(E)f Fs(G)2929 2024 y Fr(\012)p Fv(n)2923 2091 y(N)s(;\014)3076 1990 y Fi(\000)3117 2063 y Fy(f)g Ft(\()p Fy(\033)3262 2026 y Fx(1)3303 2063 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(\033)3560 2026 y Fv(n)3610 2063 y Ft(\))3645 1990 y Fi(\001)3687 1959 y(\014)3687 2013 y(\014)3687 2068 y(\014)3742 2063 y Ft(=)25 b(0)p 3883 2158 46 250 v 3428 2236 a(\(6)p Fy(:)p Ft(63\))0 2381 y(for)41 b(an)m(y)h Fy(\014)389 2348 y Fr(0)458 2381 y Fy(<)i(\014)629 2348 y Fr(00)676 2381 y Ft(.)73 b(Com)m(bining)42 b(\(6.62\))h(and)e(\(6.63\))j(with)d (the)h(b)s(ounds)d(\(6.62\),)46 b(w)m(e)c(arriv)m(e)h(at)f(the)0 2527 y(iden)m(tit)m(y)54 2816 y(lim)30 2875 y Fv(N)7 b Fr("1)220 2692 y Fi(Z)310 2714 y Fv(b)342 2687 y Fj(0)q(0)270 2898 y Fv(\014)314 2880 y Fj(0)407 2816 y Fy(d\014)e Fk(E)11 b Fs(G)624 2777 y Fr(\012)p Fv(n)p Fx(+1)619 2843 y Fv(N)s(;\014)844 2633 y Fi(2)844 2797 y(4)905 2816 y Fy(f)f Ft(\()p Fy(\033)1050 2778 y Fx(1)1090 2816 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(\033)1347 2778 y Fv(n)1397 2816 y Ft(\))1447 2633 y Fi(0)1447 2797 y(@)1570 2702 y Fv(n)1527 2729 y Fi(X)1533 2925 y Fv(l)p Fr(6)p Fx(=)p Fv(k)1673 2816 y Fy(R)1743 2772 y Fv(p)1742 2842 y(N)1811 2816 y Ft(\()p Fy(\033)1901 2778 y Fv(k)1947 2816 y Fy(;)g(\033)2042 2778 y Fv(l)2070 2816 y Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(nR)2342 2772 y Fv(p)2341 2842 y(N)2409 2816 y Ft(\()p Fy(\033)2499 2778 y Fv(k)2544 2816 y Fy(;)15 b(\033)2639 2778 y Fv(n)p Fx(+1)2782 2816 y Ft(\))20 b(+)g Fk(E)11 b Fs(G)3042 2777 y Fr(\012)p Fx(2)3037 2843 y Fv(N)s(;\014)3189 2742 y Fi(\000)3231 2816 y Fy(R)3301 2772 y Fv(p)3300 2842 y(N)3369 2816 y Ft(\()p Fy(\033)3459 2778 y Fx(1)3500 2816 y Fy(;)k(\033)3595 2778 y Fx(2)3636 2816 y Ft(\))3671 2742 y Fi(\001)3713 2633 y(1)3713 2797 y(A)3793 2633 y(3)3793 2797 y(5)131 3070 y Ft(=)25 b(0)p 3869 3102 46 473 v 3428 3179 a(\(6)p Fy(:)p Ft(64\))0 3325 y(whic)m(h)30 b(is)h(the)f(analogue)i(of)e(\(16\))i(of)f([GG].)h(Note)f(that)g(this)g (can)f(b)s(e)g(written)g(as)127 3586 y(lim)103 3646 y Fv(N)7 b Fr("1)292 3463 y Fi(Z)383 3485 y Fv(b)415 3458 y Fj(00)343 3669 y Fv(\014)387 3651 y Fj(0)479 3586 y Fy(d\014)e Fk(E)12 b Fs(G)697 3548 y Fr(\012)p Fv(n)p Fx(+1)692 3614 y Fv(N)s(;\014)917 3513 y Fi(\002)954 3586 y Fy(f)e Ft(\()p Fy(\033)1099 3549 y Fx(1)1140 3586 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)i(;)e(\033)1397 3549 y Fv(n)1447 3586 y Ft(\))p Fy(R)1552 3543 y Fv(p)1551 3613 y(N)1620 3586 y Ft(\()p Fy(\033)1710 3549 y Fv(k)1755 3586 y Fy(;)g(\033)1850 3549 y Fv(n)p Fx(+1)1993 3586 y Ft(\))2028 3513 y Fi(\003)113 3904 y Ft(=)225 3843 y(1)p 220 3883 55 4 v 220 3967 a Fy(n)325 3904 y Ft(lim)301 3964 y Fv(N)7 b Fr("1)490 3781 y Fi(Z)581 3803 y Fv(b)613 3776 y Fj(00)540 3987 y Fv(\014)584 3969 y Fj(0)677 3904 y Fy(d\014)e Fk(E)11 b Fs(G)895 3866 y Fr(\012)p Fv(n)889 3932 y(N)s(;\014)1042 3722 y Fi(2)1042 3885 y(4)1102 3904 y Fy(f)f Ft(\()p Fy(\033)1247 3867 y Fx(1)1288 3904 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f(\033) 1544 3867 y Fv(n)1595 3904 y Ft(\))1645 3722 y Fi(0)1645 3885 y(@)1768 3791 y Fv(n)1725 3818 y Fi(X)1731 4014 y Fv(l)p Fr(6)p Fx(=)p Fv(k)1871 3904 y Fy(R)1941 3861 y Fv(p)1940 3931 y(N)2009 3904 y Ft(\()p Fy(\033)2099 3867 y Fv(k)2144 3904 y Fy(;)g(\033)2239 3867 y Fv(l)2268 3904 y Ft(\))20 b(+)g Fk(E)11 b Fs(G)2528 3866 y Fr(\012)p Fx(2)2523 3932 y Fv(N)s(;\014)2675 3831 y Fi(\000)2717 3904 y Fy(R)2787 3861 y Fv(p)2786 3931 y(N)2855 3904 y Ft(\()p Fy(\033)2945 3867 y Fx(1)2986 3904 y Fy(;)k(\033)3081 3867 y Fx(2)3123 3904 y Ft(\))3158 3831 y Fi(\001)3200 3722 y(1)3200 3885 y(A)3279 3722 y(3)3279 3885 y(5)3428 3762 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(65\))0 4193 y(and)30 b(c)m(ho)s(osing)h Fy(f)40 b Ft(to)31 b(b)s(e)e(the)i(indicator)g(function)1152 4415 y Fy(f)10 b Ft(\()p Fy(\033)1297 4377 y Fx(1)1338 4415 y Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)h(;)f(\033)1594 4377 y Fv(n)1645 4415 y Ft(\))25 b(=)g(1)-23 b(I)1857 4433 y Fr(8)1898 4443 y Fm(k)q Fj(6)p Fn(=)p Fm(l)2006 4433 y Fv(R)2061 4442 y Fm(N)2119 4433 y Fx(\()p Fv(\033)2191 4415 y Fm(k)2232 4433 y Fv(;\033)2298 4415 y Fm(l)2324 4433 y Fx(\)=)p Fv(q)2441 4443 y Fm(k)q(l)3428 4415 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(66\))0 4636 y(This)30 b(implies)g(that)712 4893 y(lim)688 4952 y Fv(N)7 b Fr("1)878 4769 y Fi(Z)968 4791 y Fv(b)1000 4764 y Fj(00)928 4976 y Fv(\014)972 4957 y Fj(0)1065 4893 y Fy(d\014)e Fk(E)11 b Fs(G)1282 4854 y Fr(\012)p Fv(n)p Fx(+1)1277 4920 y Fv(N)s(;\014)1502 4819 y Fi(\002)1540 4893 y Fy(R)1610 4849 y Fv(p)1609 4919 y(N)1678 4893 y Ft(\()p Fy(\033)1768 4855 y Fv(k)1813 4893 y Fy(;)k(\033)1908 4855 y Fv(n)p Fx(+1)2050 4893 y Ft(\))2085 4815 y Fi(\014)2085 4870 y(\014)2116 4893 y Fs(8)2167 4907 y Fv(k)r Fr(6)p Fx(=)p Fv(l)2290 4893 y Fy(R)2359 4907 y Fv(N)2428 4893 y Ft(\()p Fy(\033)2518 4855 y Fv(k)2563 4893 y Fy(;)g(\033)2655 4907 y Fv(l)2684 4893 y Ft(\))25 b(=)g Fy(q)2881 4907 y Fv(k)r(l)2949 4819 y Fi(\003)698 5178 y Ft(=)810 5117 y(1)p 805 5157 V 805 5241 a Fy(n)929 5065 y Fv(n)886 5092 y Fi(X)892 5288 y Fv(l)p Fr(6)p Fx(=)p Fv(k)1032 5178 y Fy(q)1076 5135 y Fv(p)1073 5206 y(k)r(l)1161 5178 y Ft(+)1268 5117 y(1)p 1263 5157 V 1263 5241 a Fy(n)1368 5178 y Ft(lim)1344 5238 y Fv(N)7 b Fr("1)1533 5055 y Fi(Z)1624 5077 y Fv(b)1656 5050 y Fj(00)1583 5261 y Fv(\014)1627 5243 y Fj(0)1720 5178 y Fy(d\014)e Fk(E)11 b Fs(G)1938 5139 y Fr(\012)p Fx(2)1932 5206 y Fv(N)s(;\014)2085 5105 y Fi(\000)2126 5178 y Fy(R)2196 5135 y Fv(p)2195 5205 y(N)2264 5178 y Ft(\()p Fy(\033)2354 5141 y Fx(1)2396 5178 y Fy(;)k(\033)2491 5141 y Fx(2)2532 5178 y Ft(\))2567 5105 y Fi(\001)3428 5047 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(67\))p eop %%Page: 48 48 48 47 bop 0 45 a Fo(48)3243 b Fl(Chapter)25 b(6)0 264 y Ft(whic)m(h)30 b(is)h(the)f(relation)i(\(17\))g(of)e([GG].)0 482 y Fu(Remark:)53 b Ft(While)33 b([GG])i(claim)e(to)h(obtain)f(the)h (same)f(relations)h(also)g(for)e(all)i(other)f(momen)m(ts)h(of)f(the)0 627 y(replica)41 b(o)m(v)m(erlaps,)j(it)d(needs)e(to)i(b)s(e)f(said)g (that)g(they)h(tacitly)h(assume)e(the)g(con)m(tin)m(uit)m(y)i(of)e(the) h(Gibbs)0 773 y(measures)33 b(with)f(resp)s(ect)h(to)h(certain)f (random)f(p)s(erturbations)g(of)h(the)g(Hamiltonian)h(that)g(is)f(not)g (only)0 918 y(not)j(pro)m(v)m(en)g(but)f(is)h(certain)g(to)h(b)s(e)e (false)h(in)f(the)h(generalit)m(y)i(they)e(are)g(announced.)56 b(Otherwise,)37 b(the)0 1064 y(argumen)m(t)31 b(b)s(elo)m(w)f(could)h (b)s(e)f(considerably)g(sharp)s(ened)f(and)g(simpli\014ed.)109 1209 y(The)39 b(main)h(use)f(of)h(the)g(iden)m(tities)h(\(6.67\))h(is)e (that)g(they)g(allo)m(w)h(to)f(dra)m(w)f(conclusions)h(ab)s(out)g(the)0 1355 y(distribution)30 b(of)g(the)h(masses)f(of)h(the)f(Gibbs)g (measures)g(on)h(the)f(so-called)i(')f(`T)-8 b(alagrand-lumps'.)0 1500 y Fu(Pro)s(of)34 b(of)g(Theorem)f(1.8:)86 b Ft(The)29 b(starting)h(p)s(oin)m(t)f(of)g(the)g(argumen)m(t)h(is)f(that)h (Theorem)e(1.5)i(together)0 1645 y(with)c(Theorem)g(1.9)h(in)f(fact)h (imply)f(that)g(the)h(distribution)e(of)h(the)h(replica)g(o)m(v)m (erlaps)g(has)f(p)s(ositiv)m(e)h(mass)0 1791 y(b)s(oth)j(near)g(zero)h (and)f(near)g(one.)41 b(Let)31 b(us)f(set)1222 1961 y Fy(p)1268 1975 y Fx(0)1333 1961 y Fs(\021)25 b Fk(E)11 b Fs(G)1543 1922 y Fr(\012)p Fx(2)1538 1988 y Fv(N)1662 1961 y Ft(\()p Fs(j)p Fy(R)1791 1975 y Fv(N)1861 1961 y Ft(\()p Fs(\001)p Fy(;)k Fs(\001)p Ft(\))p Fs(j)27 b(\024)e Fy(\017)2206 1975 y Fx(0)2246 1961 y Ft(\))1222 2134 y Fy(p)1268 2148 y Fx(1)1333 2134 y Fs(\021)g Fk(E)11 b Fs(G)1543 2095 y Fr(\012)p Fx(2)1538 2160 y Fv(N)1662 2134 y Ft(\()p Fs(j)p Fy(R)1791 2148 y Fv(N)1861 2134 y Ft(\()p Fs(\001)p Fy(;)k Fs(\001)p Ft(\))p Fs(j)27 b(\025)e Ft(1)20 b Fs(\000)g Fy(\017)2362 2148 y Fx(1)2403 2134 y Ft(\))3428 2046 y(\(6)p Fy(:)p Ft(68\))0 2324 y(Since)39 b(b)m(y)g(con)m(v)m(exit)m(y)j(\(see)e(\(6.39\)\))i(for)d (all)h Fy(\014)45 b Fs(\025)40 b Fy(\014)1833 2338 y Fv(p)1875 2324 y Ft(,)i(except)e(p)s(ossibly)e(for)h(a)h(coun)m(table)g (n)m(um)m(b)s(er)e(of)0 2469 y(exceptional)32 b(p)s(oin)m(ts)693 2702 y Fy(\013\014)802 2716 y Fv(p)870 2702 y Fs(\024)25 b Ft(lim)16 b(inf)1131 2760 y Fv(N)1233 2702 y Fk(E)1333 2640 y Fy(@)p 1299 2681 110 4 v 1299 2764 a(@)5 b(\014)1425 2702 y(F)1483 2716 y Fv(N)1553 2702 y Ft(\()p Fy(\014)g Ft(\))26 b Fs(\024)f Ft(lim)15 b(inf)1965 2760 y Fv(N)2068 2702 y Fk(E)2168 2640 y Fy(@)p 2134 2681 V 2134 2764 a(@)5 b(\014)2260 2702 y(F)2318 2716 y Fv(N)2388 2702 y Ft(\()p Fy(\014)g Ft(\))26 b Fs(\024)2636 2620 y(p)p 2711 2620 256 4 v 2711 2702 a Fy(\013)p Ft(2)15 b(ln)h(2)462 b(\(6)p Fy(:)p Ft(69\))0 2935 y(w)m(e)31 b(ha)m(v)m(e)g(on)g(the)f(one) h(hand)e(that)1359 3171 y(lim)15 b(sup)1466 3248 y Fv(N)1652 3171 y Fy(p)1698 3185 y Fx(0)1764 3171 y Fs(\024)1915 3032 y(p)p 1991 3032 V 78 x Fy(\013)p Ft(2)g(ln)h(2)p 1871 3150 420 4 v 1871 3234 a Fy(\013\014)5 b Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(\017)2214 3248 y Fx(0)2255 3234 y Ft(\))3428 3171 y(\(6)p Fy(:)p Ft(70\))0 3410 y(and)1367 3555 y(lim)15 b(sup)1474 3632 y Fv(N)1660 3555 y Fy(p)1706 3569 y Fx(1)1772 3555 y Fs(\024)1950 3494 y Fy(\014)26 b Fs(\000)20 b Fy(\014)2169 3508 y Fv(p)p 1879 3535 404 4 v 1879 3618 a Fy(\014)5 b Ft(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(\017)2164 3632 y Fx(1)2205 3618 y Ft(\))2240 3592 y Fv(p)3428 3555 y Ft(\(6)p Fy(:)p Ft(71\))0 3769 y(Since)28 b(w)m(e)g(kno)m(w)h(that)f (lim)922 3783 y Fv(N)991 3769 y Ft(\()p Fy(p)1072 3783 y Fx(0)1129 3769 y Ft(+)15 b Fy(p)1261 3783 y Fx(1)1301 3769 y Ft(\))26 b(=)f(1,)k(and)e(this)h(implies)h(what)f(w)m(e)g(w)m (an)m(t)h(for)f Fy(\014)33 b Ft(somewhat)28 b(larger)0 3915 y(than)i Fy(\014)263 3929 y Fv(p)306 3915 y Ft(.)40 b(Recall)32 b(that)f Fy(\017)879 3929 y Fx(0)945 3915 y Fs(\030)25 b Ft(2)1086 3882 y Fr(\000)p Fv(p=)p Fx(2)1289 3915 y Ft(and)30 b Fy(\017)1503 3929 y Fx(1)1569 3915 y Fs(\030)25 b Ft(2)1710 3882 y Fr(\000)p Fv(p)1809 3915 y Ft(.)109 4060 y(This)35 b(result)g(sho)m(ws)g(\014rst)g(of)g(all)i (that)f(it)g(is)f(not)h(p)s(ossible)f(that)h(the)f(mass)h(of)f(one)h (single)g(\(pair)f(of)7 b(\))0 4206 y(lump\(s\))35 b(can)h(b)s(e)f (almost)h(equal)g(to)g(one,)i(since)d(in)h(that)g(case)g Fy(p)2287 4220 y Fx(0)2363 4206 y Ft(w)m(ould)f(b)s(e)g(close)i(to)f (zero)g(\(whic)m(h)g(is)0 4351 y(imp)s(ossible)30 b(b)m(y)g (\(6.71\)\).)109 4497 y(No)m(w)i(assume)e(that)h(the)g(assertion)h(of)f (Theorem)f(1.8)i(fails.)42 b(Then)30 b(there)h(exists)g(a)h(\014rst)e (instance)h Fy(k)3618 4464 y Fr(\003)0 4642 y Ft(suc)m(h)f(that)1394 4787 y(lim)1370 4847 y Fv(N)7 b Fr("1)1559 4787 y Fk(E)k Fs(G)1668 4801 y Fv(N)1758 4687 y Fi(\020)1813 4787 y Fs([)1874 4750 y Fv(k)1915 4723 y Fj(\003)1874 4810 y Fv(l)p Fx(=1)1993 4787 y Fs(C)2041 4801 y Fv(l)2069 4687 y Fi(\021)2148 4787 y Ft(=)25 b(1)1139 b(\(6)p Fy(:)p Ft(72\))0 5024 y(No)m(w)31 b(de\014ne)f(ev)m(en)m(ts)h Fs(Q)819 4976 y Fx(\()p Fv(n)p Fx(\))819 5034 y Fv(\017)849 5043 y Fn(0)951 5024 y Fs(2)25 b(B)1097 5038 y Fv(n)1177 5024 y Ft(b)m(y)852 5250 y Fs(Q)926 5212 y Fx(\()p Fv(n)p Fx(\))926 5272 y Fv(\017)1058 5250 y Fs(\021)1154 5149 y Fi(n)1214 5250 y Fy(R)p 1214 5265 70 4 v 26 w Fs(2)g Ft([)p Fs(\000)p Ft(1)p Fy(;)15 b Ft(1])1646 5212 y Fv(n)p Fx(\()p Fv(n)p Fr(\000)p Fx(1\))p Fv(=)p Fx(2)1965 5250 y Fs(j8)2041 5264 y Fx(1)p Fr(\024)p Fv(l)25 b Ft(0)103 1354 y Fk(P)173 1172 y Fi(2)173 1335 y(4)234 1168 y(\014)234 1222 y(\014)234 1277 y(\014)234 1332 y(\014)234 1386 y(\014)234 1441 y(\014)285 1293 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))437 1235 y Fn(1)p 438 1245 31 4 v 438 1282 a(2)p 276 1333 219 4 v 276 1417 a Fy(N)359 1390 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)524 1268 y Fi(X)520 1464 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)676 1268 y Fi(X)719 1463 y Fr(I)822 1354 y Fy(\030)866 1317 y Fv(\027)862 1377 y Fr(I)912 1354 y Fy(\030)956 1311 y Fv(\026)952 1381 y Fr(I)1004 1168 y Fi(\014)1004 1222 y(\014)1004 1277 y(\014)1004 1332 y(\014)1004 1386 y(\014)1004 1441 y(\014)1060 1354 y Fs(\025)g Fy(z)t(N)1285 1172 y Fi(3)1285 1335 y(5)1371 1354 y Fs(\024)30 b Ft(inf)1467 1410 y Fv(t>)p Fx(0)1603 1354 y Fy(e)1645 1317 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)1863 1268 y Fi(Y)1851 1464 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)2006 1354 y Fk(E)2097 1199 y Fi(")2150 1354 y Ft(exp)2304 1199 y Fi( )2376 1354 y Fy(t)2430 1293 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2582 1235 y Fn(1)p 2582 1245 31 4 v 2582 1282 a(2)p 2420 1333 219 4 v 2420 1417 a Fy(N)2503 1390 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2664 1268 y Fi(X)2707 1463 y Fr(I)2811 1354 y Fy(\030)2855 1317 y Fv(\027)2851 1377 y Fr(I)2900 1354 y Fy(\030)2944 1311 y Fv(\026)2940 1381 y Fr(I)2993 1199 y Fi(!#)1371 1667 y Fs(\024)g Ft(inf)1467 1723 y Fv(t>)p Fx(0)1603 1667 y Fy(e)1645 1630 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)1863 1581 y Fi(Y)1851 1776 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)2006 1539 y Fi(\022)2073 1667 y Ft(1)21 b(+)2318 1606 y Fy(t)2351 1573 y Fx(2)2392 1606 y Fy(p)p Ft(!)p 2241 1646 300 4 v 2241 1729 a(2)p Fy(N)2369 1703 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2551 1539 y Fi(\022)2618 1606 y Fy(N)2637 1729 y(p)2701 1539 y Fi(\023)1730 1987 y Ft(+)1865 1925 y Fy(t)1898 1892 y Fx(3)1939 1925 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2091 1868 y Fn(3)p 2091 1878 31 4 v 2091 1914 a(2)p 1831 1966 341 4 v 1831 2049 a Ft(3!)15 b Fy(N)1999 2023 y Fx(3)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(3)2182 1987 y Fk(E)2252 1859 y Fi(\024)2306 1882 y(\014)2306 1937 y(\014)2306 1991 y(\014)2352 1901 y(X)2395 2096 y Fr(I)2498 1987 y Fy(\030)2542 1949 y Fv(\027)2538 2009 y Fr(I)2588 1882 y Fi(\014)2588 1937 y(\014)2588 1991 y(\014)2618 1905 y Fx(3)2659 1987 y Fy(e)2701 1943 y Fv(t)2746 1910 y Fn(\()p Fm(p)p Fn(!\))2858 1864 y(1)p 2858 1872 31 4 v 2858 1905 a(2)p 2739 1929 173 4 v 2739 1977 a Fm(N)2793 1963 y(p)p Fj(\000)p Fn(1)2923 1866 y Fi(\014)2923 1920 y(\014)2965 1882 y(P)3061 1977 y Fj(I)3118 1943 y Fv(\030)3153 1916 y Fm(\027)3151 1961 y Fj(I)3195 1866 y Fi(\014)3195 1920 y(\014)3230 1859 y(\025\023)3345 1987 y Fy(:)3473 1659 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(4\))0 2293 y(The)30 b(error)g(term)g(can)h(b)s(e)f(written)g(as)184 2543 y(1)p 80 2584 255 4 v 80 2667 a Fy(N)163 2641 y Fx(3)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(3)345 2605 y Fk(E)436 2449 y Fi(")489 2500 y(\014)489 2555 y(\014)489 2609 y(\014)534 2518 y(X)577 2713 y Fr(I)681 2605 y Fy(\030)725 2567 y Fv(\027)721 2627 y Fr(I)770 2500 y Fi(\014)770 2555 y(\014)770 2609 y(\014)801 2523 y Fx(3)841 2605 y Fy(e)883 2561 y Fv(t)929 2528 y Fn(\()p Fm(p)p Fn(!\))1041 2481 y(1)p 1041 2489 31 4 v 1041 2523 a(2)p 922 2547 173 4 v 922 2594 a Fm(N)976 2580 y(p)p Fj(\000)p Fn(1)1105 2483 y Fi(\014)1105 2538 y(\014)1148 2499 y(P)1244 2595 y Fj(I)1300 2561 y Fv(\030)1335 2533 y Fm(\027)1333 2579 y Fj(I)1378 2483 y Fi(\014)1378 2538 y(\014)1413 2449 y(#)1491 2605 y Ft(=)1708 2543 y(1)p 1598 2584 267 4 v 1598 2686 a Fy(N)1692 2624 y Fn(3)p Fm(p)p 1692 2640 65 4 v 1708 2676 a Fn(2)1767 2654 y Fr(\000)p Fx(3)1876 2605 y Fk(E)1966 2422 y Fi(2)1966 2586 y(4)2027 2446 y(\014)2027 2500 y(\014)2027 2555 y(\014)2027 2609 y(\014)2027 2664 y(\014)2057 2605 y Fy(N)2140 2567 y Fr(\000)2208 2537 y Fm(p)p 2208 2553 34 4 v 2209 2589 a Fn(2)2272 2518 y Fi(X)2315 2713 y Fr(I)2419 2605 y Fy(\030)2463 2567 y Fv(\027)2459 2627 y Fr(I)2508 2446 y Fi(\014)2508 2500 y(\014)2508 2555 y(\014)2508 2609 y(\014)2508 2664 y(\014)2539 2468 y Fx(3)2595 2605 y Fy(e)2637 2531 y Fv(t)2693 2498 y Fn(\()p Fm(p)p Fn(!\))2805 2452 y(1)p 2805 2460 31 4 v 2805 2493 a(2)p 2675 2517 195 4 v 2675 2595 a Fm(N)2740 2540 y(p)p 2740 2556 34 4 v 2741 2590 a Fn(2)2785 2566 y Fj(\000)p Fn(1)2880 2531 y Fr(j)p Fv(N)2967 2500 y Fj(\000)3026 2474 y Fm(p)p 3026 2490 V 3027 2524 a Fn(2)3088 2470 y Fi(P)3184 2565 y Fj(I)3240 2531 y Fv(\030)3275 2504 y Fm(\027)3273 2549 y Fj(I)3318 2531 y Fr(j)3344 2422 y Fi(3)3344 2586 y(5)3473 2605 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(5\))0 2939 y(This)22 b(latter)i(term)e(is)h (exactly)h(the)f(same)g(as)g(in)f(\(3.2\))i(\(with)f Fy(\014)k Ft(replaced)c(b)m(y)g Fy(t)p Ft(\).)38 b(Hence,)25 b(w)m(e)e(get)h(\(compare)0 3084 y(\(3.3\)\))718 3310 y Fk(P)788 3127 y Fi(2)788 3291 y(4)869 3248 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1021 3191 y Fn(1)p 1022 3201 31 4 v 1022 3237 a(2)p 860 3289 219 4 v 860 3372 a Fy(N)943 3346 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1109 3223 y Fi(X)1104 3419 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)1260 3223 y Fi(X)1303 3418 y Fr(I)1406 3310 y Fy(\030)1450 3272 y Fv(\027)1446 3332 y Fr(I)1496 3310 y Fy(\030)1540 3266 y Fv(\026)1536 3336 y Fr(I)1614 3310 y Fs(\025)h Fy(z)t(N)1839 3127 y Fi(3)1839 3291 y(5)1925 3310 y Fs(\024)105 b Ft(inf)2021 3373 y Fv(t)p Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)2227 3354 y Fj(0)2224 3391 y Fm(p)2263 3373 y Fx(\))2307 3310 y Fy(e)2349 3272 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)7 b Fx(+)2602 3248 y Fm(\013t)2670 3229 y Fn(2)2704 3248 y Fm(N)p 2602 3258 157 4 v 2664 3294 a Fn(2)2769 3272 y Fx(+)p Fv(C)2877 3281 y Fn(1)2917 3310 y Fy(:)531 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(6\))0 3594 y(Minimizing)31 b(the)g(exp)s(onen)m(t)f(yields)279 3923 y Fk(P)349 3795 y Fi(\024)398 3923 y Fs(\000)p Fy(H)545 3937 y Fv(N)613 3923 y Ft(\()p Fy(\033)f Ft(=)c Fy(\030)869 3885 y Fv(\026)917 3923 y Ft(\))h Fs(\025)1143 3861 y Fy(N)p 1085 3902 199 4 v 1085 3998 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1237 3942 y Fn(1)p 1238 3952 31 4 v 1238 3988 a(2)1315 3923 y Ft(+)20 b Fy(z)t(N)1535 3795 y Fi(\025)1608 3923 y Fs(\024)25 b Fk(P)1774 3740 y Fi(2)1774 3904 y(4)1856 3861 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2008 3804 y Fn(1)p 2009 3814 V 2009 3850 a(2)p 1847 3902 219 4 v 1847 3985 a Fy(N)1930 3959 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2095 3836 y Fi(X)2091 4032 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)2247 3836 y Fi(X)2290 4031 y Fr(I)2393 3923 y Fy(\030)2437 3885 y Fv(\027)2433 3945 y Fr(I)2483 3923 y Fy(\030)2527 3879 y Fv(\026)2523 3950 y Fr(I)2601 3923 y Fy(>)g(z)t(N)2826 3740 y Fi(3)2826 3904 y(5)1608 4287 y Fs(\024)g Fy(C)1769 4301 y Fx(2)1810 4100 y Fi(8)1810 4182 y(<)1810 4346 y(:)1921 4200 y Fy(e)1963 4167 y Fr(\000)2033 4143 y Fm(z)2066 4125 y Fn(2)p 2031 4153 73 4 v 2031 4189 a(2)p Fm(\013)2115 4167 y Fv(N)2184 4200 y Ft(,)364 b(if)31 b(0)25 b Fy(<)g(z)30 b Fs(\024)25 b Fy(\013\014)3105 4167 y Fr(0)3100 4223 y Fv(p)3143 4200 y Fy(;)1921 4400 y(e)1963 4364 y Fr(\000)p Fv(\014)2064 4336 y Fj(0)2061 4382 y Fm(p)2100 4364 y Fx(\()p Fv(z)s Fr(\000)2233 4315 y Fm(\013\014)2313 4297 y Fj(0)2311 4333 y Fm(p)p 2233 4350 116 4 v 2276 4386 a Fn(2)2360 4364 y Fx(\))p Fv(N)2457 4400 y Fy(;)106 b Ft(otherwise)q Fy(:)3473 4105 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(7\))0 4616 y(This)30 b(pro)m(v)m(es)h(the)f(claim.)42 b Fb(\003)0 4836 y Ft(The)28 b(next)g(result)g(sho)m(ws)g(that)g(the)h (Hamiltonian)g(do)s(es)f(not)g(\015uctuate)h(m)m(uc)m(h)f(around)f(a)i (pattern.)40 b(This)0 4982 y(result)32 b(w)m(as)h(already)g(pro)m(v)m (en)g(b)m(y)f(Newman)h([N1])g(for)g(the)f(Hamiltonian)2605 4959 y(\026)2581 4982 y Fy(H)7 b Ft(.)47 b(In)32 b(our)g(case)h(this)g (is)f(ev)m(en)0 5127 y(simpler.)83 b(De\014ne)45 b Fy(B)762 5141 y Fv(\016)801 5127 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))h(to)f(b)s(e)f(the)h (\()p Fy(N)10 b(\016)s Ft(\)-ball)47 b(around)c(the)i(con\014guration)g Fy(\033)j Ft(in)c(the)h(Hamming)0 5273 y(distance.)c(Then)30 b(w)m(e)h(ha)m(v)m(e)g(the)g(follo)m(wing)p eop %%Page: 52 52 52 51 bop 0 45 a Fo(52)3243 b Fl(Chapter)25 b(8)0 264 y Fc(Lemma)38 b(8.2:)91 b Fq(If)33 b Fy(\016)c(<)947 228 y Fx(1)p 947 243 38 4 v 947 295 a Fv(p)995 264 y Fq(,)j(then)i(ther)-5 b(e)33 b(exists)g(a)g(c)-5 b(onstant)34 b Fy(C)e(>)25 b Ft(0)33 b Fq(such)g(that)0 590 y Fk(P)55 490 y Fi(h)98 590 y Fs(9)p Fy(\033)28 b Fs(2)d Fy(B)384 604 y Fv(\016)424 590 y Ft(\()p Fy(\030)503 553 y Fv(\026)552 590 y Ft(\))h(:)f Fs(j)p Fy(H)764 604 y Fv(N)833 590 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))17 b Fs(\000)e Fy(H)1137 604 y Fv(N)1205 590 y Ft(\()p Fy(\030)1284 553 y Fv(\026)1334 590 y Ft(\))p Fs(j)25 b(\025)g Ft(\(2)1595 553 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1731 590 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1872 553 y Fr(\000)1941 529 y Fn(1)p 1941 539 31 4 v 1941 575 a(2)1987 590 y Fy(\016)19 b Ft(+)d Fy(z)t Ft(\))p Fy(N)2297 490 y Fi(i)2366 590 y Fs(\024)25 b Fy(C)7 b(e)2576 553 y Fr(\000)p Fv(N)g Fx(\()p Fv(f)2761 563 y Fm(\016)2796 553 y Fx(\()p Fv(z)s Fx(\)+)p Fv(\016)15 b Fx(ln)d Fv(\016)r Fx(+\(1)p Fr(\000)p Fv(\016)r Fx(\))i(ln\(1)p Fr(\000)p Fv(\016)r Fx(\)\))3635 590 y Fy(;)3473 736 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(8\))0 881 y Fq(wher)-5 b(e)899 1137 y Fy(f)944 1151 y Fv(\016)983 1137 y Ft(\()p Fy(z)t Ft(\))26 b(=)1221 951 y Fi(8)1221 1033 y(<)1221 1196 y(:)1385 1005 y Fv(z)1423 978 y Fn(2)p 1343 1020 158 4 v 1343 1072 a Fx(2)1379 1054 y Fm(p)1418 1072 y Fv(\013\016)1511 1041 y Fq(,)544 b Ft(if)30 b Fy(z)g Fs(\024)25 b Ft(2)2379 1008 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2514 1041 y Fy(\013\016)s(\014)2671 1008 y Fr(0)2666 1063 y Fv(p)2710 1041 y Ft(;)1332 1249 y Fy(e)1374 1204 y Fr(\000)p Fv(\014)1475 1177 y Fj(0)1472 1222 y Fm(p)1511 1204 y Fv(N)7 b Fx(\()p Fv(z)s Fr(\000)1757 1156 y Fm(\013\014)1837 1137 y Fj(0)1835 1174 y Fm(p)p 1709 1190 213 4 v 1709 1228 a Fn(2\()p Fm(p)p Fj(\000)p Fn(1\)!)1932 1204 y Fx(\))1965 1249 y Fy(;)108 b Ft(otherwise.)3473 1137 y(\(8)p Fy(:)p Ft(9\))25 1479 y Fu(Pro)s(of:)44 b Ft(By)26 b(standard)e(argumen)m(ts)h(\(see)h(also)g([N1],)i(in)c (particular)i(inequalit)m(y)g(\(2.3\))h(and)d(surrounding)0 1625 y(commen)m(ts\),)127 1931 y Fk(P)182 1830 y Fi(h)225 1931 y Fs(9)p Fy(\033)k Fs(2)d Fy(B)511 1945 y Fv(\016)551 1931 y Ft(\()p Fy(\030)630 1893 y Fv(\026)679 1931 y Ft(\))h(:)f Fs(j)p Fy(H)891 1945 y Fv(N)960 1931 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))c Fs(\000)f Fy(H)1273 1945 y Fv(N)1341 1931 y Ft(\()p Fy(\030)1420 1893 y Fv(\026)1469 1931 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\025)f Ft(\()p Fy(\016)g Ft(+)20 b Fy(z)t Ft(\))p Fy(N)2006 1830 y Fi(i)1428 2205 y Fs(\024)1524 2083 y Fr(b)p Fv(\016)r(N)7 b Fr(c)1541 2118 y Fi(X)1543 2311 y Fv(q)r Fx(=1)1705 2076 y Fi(\022)1772 2143 y Fy(N)1792 2267 y(q)1855 2076 y Fi(\023)1922 2205 y Fk(P)p Ft([)p Fs(j)p Fy(H)2103 2219 y Fv(N)2173 2205 y Ft(\()p Fy(\020)2255 2167 y Fv(q)2295 2205 y Ft(\))20 b Fs(\000)g Fy(H)2517 2219 y Fv(N)2586 2205 y Ft(\()p Fy(\030)2665 2167 y Fv(\026)2714 2205 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\025)e Ft(\()p Fy(\016)h Ft(+)20 b Fy(z)t Ft(\))p Fy(N)10 b Ft(])p Fy(;)3428 2102 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(10\))0 2574 y(where)1286 2780 y Fy(\020)1333 2736 y Fv(q)1326 2805 y(i)1398 2780 y Ft(=)1494 2652 y Fi(\032)1592 2712 y Fs(\000)p Fy(\030)1707 2668 y Fv(\026)1703 2737 y(i)1755 2712 y Fy(;)107 b Ft(if)30 b Fy(i)c Fs(\024)f Fy(q)s Ft(;)1663 2848 y Fy(\030)1707 2804 y Fv(\026)1703 2873 y(i)1755 2848 y Fy(;)107 b Ft(if)30 b Fy(i)c Fs(\025)f Fy(q)e Ft(+)d(1)p Fy(:)3428 2780 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(11\))0 3072 y(W)-8 b(e)42 b(start)f(b)m(y)f(calculating)j(the)d(di\013erence)h Fs(j)p Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\020)1774 3039 y Fv(q)1815 3072 y Ft(\))27 b Fs(\000)f Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\030)2136 3039 y Fv(\026)2186 3072 y Ft(\))p Fs(j)p Ft(.)71 b(Let)41 b Fs(J)59 b Ft(=)41 b Fs(J)2810 3086 y Fv(q)2892 3072 y Ft(=)h Fs(f)p Ft(1)p Fy(;)15 b(:)g(:)g(:)33 b(;)15 b(q)s Fs(g)p Ft(.)71 b(One)0 3218 y(obtains)518 3465 y Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\020)683 3428 y Fv(q)723 3465 y Ft(\))20 b Fs(\000)g Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\030)1031 3428 y Fv(\026)1080 3465 y Ft(\))26 b(=)f Fs(\000)1328 3404 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1480 3346 y Fn(1)p 1481 3356 31 4 v 1481 3393 a(2)p 1319 3444 219 4 v 1319 3528 a Fy(N)1402 3501 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1563 3344 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1596 3379 y Fi(X)1595 3571 y Fv(\027)t Fx(=1)1775 3379 y Fi(X)1818 3574 y Fr(I)1922 3465 y Ft(\()p Fy(\020)2004 3422 y Fv(q)1997 3492 y Fr(I)2047 3465 y Fy(\030)2091 3422 y Fv(\027)2087 3492 y Fr(I)2156 3465 y Fs(\000)20 b Fy(\030)2291 3422 y Fv(\026)2287 3492 y Fr(I)2340 3465 y Fy(\030)2384 3422 y Fv(\027)2380 3492 y Fr(I)2430 3465 y Ft(\))1141 3798 y(=)25 b Fs(\000)1328 3736 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1480 3679 y Fn(1)p 1481 3689 31 4 v 1481 3725 a(2)p 1319 3777 219 4 v 1319 3860 a Fy(N)1402 3834 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1563 3676 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1596 3711 y Fi(X)1595 3904 y Fv(\027)t Fx(=1)1907 3711 y Fi(X)1775 3911 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)k(j)h Fx(o)r(dd)2186 3798 y Ft(\()p Fy(\020)2268 3754 y Fv(q)2261 3824 y Fr(I)2311 3798 y Fy(\030)2355 3754 y Fv(\027)2351 3824 y Fr(I)2421 3798 y Fs(\000)20 b Fy(\030)2556 3754 y Fv(\026)2552 3824 y Fr(I)2604 3798 y Fy(\030)2648 3754 y Fv(\027)2644 3824 y Fr(I)2694 3798 y Ft(\))1141 4150 y(=)25 b(2)1303 4089 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))1455 4031 y Fn(1)p 1455 4041 31 4 v 1455 4078 a(2)p 1293 4129 219 4 v 1293 4213 a Fy(N)1376 4186 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1537 4029 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1570 4064 y Fi(X)1570 4256 y Fv(\027)t Fx(=1)1882 4064 y Fi(X)1750 4263 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)k(j)h Fx(o)r(dd)2161 4150 y Fy(\030)2205 4107 y Fv(\026)2201 4177 y Fr(I)2254 4150 y Fy(\030)2298 4107 y Fv(\027)2294 4177 y Fr(I)1141 4473 y Ft(=)25 b(2)1303 4411 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))1455 4354 y Fn(1)p 1455 4364 31 4 v 1455 4400 a(2)p 1293 4452 219 4 v 1293 4535 a Fy(N)1376 4509 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1663 4386 y Fi(X)1537 4586 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)12 b(j)p Fx(o)r(dd)1936 4473 y Ft(1)21 b(+)e(2)2158 4411 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))2310 4354 y Fn(1)p 2311 4364 31 4 v 2311 4400 a(2)p 2149 4452 219 4 v 2149 4535 a Fy(N)2232 4509 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2398 4386 y Fi(X)2393 4582 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)2681 4386 y Fi(X)2549 4586 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)11 b(j)h Fx(o)r(dd)2960 4473 y Fy(\030)3004 4429 y Fv(\026)3000 4499 y Fr(I)3052 4473 y Fy(\030)3096 4429 y Fv(\027)3092 4499 y Fr(I)3428 3972 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(12\))0 4807 y(Explicitly)-8 b(,)32 b(this)e(is)201 5171 y Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\020)366 5134 y Fv(q)406 5171 y Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\030)715 5134 y Fv(\026)764 5171 y Ft(\))25 b(=)g(2)986 5110 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))1138 5052 y Fn(1)p 1139 5062 31 4 v 1139 5099 a(2)p 977 5150 219 4 v 977 5234 a Fy(N)1060 5207 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1296 5053 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1295 5085 y Fi(X)1221 5281 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)12 b Fx(o)r(dd)1516 5043 y Fi(\022)1583 5110 y Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)1602 5234 y(p)g Fs(\000)g Fy(r)1821 5043 y Fi(\023\022)1955 5110 y Fy(q)1955 5234 y(r)1999 5043 y Fi(\023)2086 5171 y Ft(+)g(2)2243 5110 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))2395 5052 y Fn(1)p 2395 5062 31 4 v 2395 5099 a(2)p 2233 5150 219 4 v 2233 5234 a Fy(N)2316 5207 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2482 5085 y Fi(X)2477 5281 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)2765 5085 y Fi(X)2633 5284 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)11 b(j)h Fx(o)r(dd)3044 5171 y Fy(\030)3088 5128 y Fv(\026)3084 5198 y Fr(I)3137 5171 y Fy(\030)3181 5128 y Fv(\027)3177 5198 y Fr(I)3428 5171 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(13\))p eop %%Page: 53 53 53 52 bop 0 45 a Fl(Spin)26 b(Glass)g(Phase)3001 b Fo(53)0 264 y Ft(Let)31 b(us)f(treat)h(the)g(random)e(term)i(in)f(\(8.13\))i (\014rst.)40 b(By)31 b(the)g(usual)e(pro)s(cedure,)h(w)m(e)h(get)68 496 y Fk(P)123 368 y Fi(\024)172 364 y(\014)172 419 y(\014)172 473 y(\014)172 528 y(\014)222 435 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))374 377 y Fn(1)p 375 387 31 4 v 375 424 a(2)p 213 475 219 4 v 213 559 a Fy(N)296 532 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)462 410 y Fi(X)457 606 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)745 410 y Fi(X)613 609 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)11 b(j)h Fx(o)r(dd)1024 496 y Fy(\030)1068 452 y Fv(\026)1064 523 y Fr(I)1116 496 y Fy(\030)1160 452 y Fv(\027)1156 523 y Fr(I)1206 364 y Fi(\014)1206 419 y(\014)1206 473 y(\014)1206 528 y(\014)1262 496 y Fs(\025)24 b Fy(z)t(N)1486 368 y Fi(\025)784 806 y Fs(\024)h Ft(2)20 b(inf)940 862 y Fv(t>)p Fx(0)1076 806 y Fy(e)1118 768 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)1337 720 y Fi(Y)1324 915 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)1480 678 y Fi(\032)1548 806 y Ft(1)h(+)1793 744 y Fy(t)1826 711 y Fx(2)1867 744 y Fy(p)p Ft(!)p 1716 785 300 4 v 1716 868 a(2)p Fy(N)1844 842 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2174 720 y Fi(X)2042 919 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)11 b(j)h Fx(o)r(dd)2453 806 y Ft(1)870 1128 y(+)1005 1067 y Fy(t)1038 1034 y Fx(3)1079 1067 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1231 1010 y Fn(3)p 1232 1020 31 4 v 1232 1056 a(2)p 972 1108 341 4 v 972 1191 a Ft(3!)j Fy(N)1140 1165 y Fx(3)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(3)1323 1128 y Fk(E)1392 1028 y Fi(h)1441 1024 y(\014)1441 1078 y(\014)1441 1133 y(\014)1619 1042 y(X)1487 1241 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)c(j)h Fx(o)r(dd)1898 1128 y Fy(\030)1942 1085 y Fv(\026)1938 1155 y Fr(I)1991 1128 y Fy(\030)2035 1085 y Fv(\027)2031 1155 y Fr(I)2080 1024 y Fi(\014)2080 1078 y(\014)2080 1133 y(\014)2110 1046 y Fx(3)2166 1128 y Ft(exp)2320 1028 y Fi(\020)2386 1067 y Fy(t)p Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2571 1010 y Fn(1)p 2571 1020 31 4 v 2571 1056 a(2)p 2386 1108 232 4 v 2393 1191 a Fy(N)2476 1165 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2628 1024 y Fi(\014)2628 1078 y(\014)2628 1133 y(\014)2806 1042 y(X)2674 1241 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)f(j)h Fx(o)r(dd)3085 1128 y Fy(\030)3129 1085 y Fv(\026)3125 1155 y Fr(I)3177 1128 y Fy(\030)3221 1085 y Fv(\027)3217 1155 y Fr(I)3267 1024 y Fi(\014)3267 1078 y(\014)3267 1133 y(\014)3297 1028 y(\021)q(i)3395 1000 y(\033)784 1471 y Fs(\024)25 b Ft(2)95 b(inf)940 1534 y Fv(t)p Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)1146 1515 y Fj(0)1143 1552 y Fm(p)1183 1534 y Fx(\))1226 1471 y Fy(e)1268 1433 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)1486 1384 y Fi(Y)1474 1580 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)1630 1343 y Fi(\032)1698 1471 y Ft(1)21 b(+)1943 1409 y Fy(t)1976 1376 y Fx(2)2017 1409 y Fy(p)p Ft(!)p 1866 1450 300 4 v 1866 1533 a(2)p Fy(N)1994 1507 y Fx(2)p Fv(p)p Fr(\000)p Fx(2)2256 1353 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2255 1384 y Fi(X)2192 1580 y Fv(r)r Fx(=1)12 b(o)r(dd)2465 1343 y Fi(\022)2532 1409 y Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)2551 1533 y(p)g Fs(\000)g Fy(r)2770 1343 y Fi(\023\022)2904 1409 y Fy(q)2904 1533 y(r)2948 1343 y Fi(\023)3035 1471 y Ft(+)g Fy(C)3191 1485 y Fx(1)3232 1471 y Fy(N)3315 1433 y Fx(3)p Fr(\000)3419 1403 y Fn(3)p Fm(p)p 3419 1419 65 4 v 3435 1455 a Fn(2)3499 1343 y Fi(\033)3567 1471 y Fy(:)3428 1679 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(14\))0 1824 y(The)32 b(last)i(line)e(follo)m(ws)i(from)e(the) h(usual)f(b)s(ound)f(on)h(the)h(error)f(term)h(\(see)g(the)g(pro)s(of)f (of)h(Theorem)f(1.1)0 1970 y(in)d(Chapter)f(3;)j(in)d(fact,)j Fy(t)e Ft(can)g(ev)m(en)h(b)s(e)f(c)m(hosen)h(somewhat)f(larger)h(than) f Fy(\014)2659 1937 y Fr(0)2654 1992 y Fv(p)2696 1970 y Ft(,)h(since)f(the)h(sum)e(o)m(v)m(er)j(sets)0 2115 y Fs(I)37 b Ft(con)m(tains)31 b(few)m(er)g(terms)f(than)g(w)m(e)h(had)f (there\).)109 2261 y(T)-8 b(o)25 b(treat)g(pro)s(ducts)e(of)i(binomial) g(co)s(e\016cien)m(ts)h(in)e(last)h(expression,)g(observ)m(e)g(that)g (if)g Fy(q)j Fs(\024)d(b)p Fy(\016)s(N)10 b Fs(c)27 b Fy(<)3559 2225 y Fv(N)p 3559 2240 V 3574 2292 a Fx(2)3635 2261 y Ft(,)0 2406 y(then)j(the)h(follo)m(wing)g(inequalit)m(y)h (holds,)292 2653 y Fy(p)p Ft(!)453 2536 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)452 2567 y Fi(X)378 2763 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)12 b Fx(o)r(dd)673 2525 y Fi(\022)740 2592 y Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)759 2716 y(p)g Fs(\000)g Fy(r)978 2525 y Fi(\023\022)1112 2592 y Fy(q)1112 2716 y(r)1156 2525 y Fi(\023)1248 2653 y Fs(\024)1419 2536 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1418 2567 y Fi(X)1344 2763 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)12 b Fx(o)r(dd)1639 2525 y Fi(\022)1706 2592 y Fy(p)1707 2716 y(r)1752 2525 y Fi(\023)1819 2653 y Ft(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))2127 2616 y Fv(p)p Fr(\000)p Fv(r)2262 2653 y Fy(q)2306 2616 y Fv(r)1248 2989 y Fs(\024)25 b Ft(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))1652 2951 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1788 2989 y Fy(q)1921 2871 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1921 2902 y Fi(X)1847 3098 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)11 b Fx(o)r(dd)2142 2860 y Fi(\022)2209 2927 y Fy(p)2210 3051 y(r)2255 2860 y Fi(\023)2347 2989 y Ft(=)25 b(2)2488 2951 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2623 2989 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))2932 2951 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)3067 2989 y Fy(q)s(:)3428 2825 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(15\))0 3249 y(Using)31 b(\(8.15\))h(in)e(\(8.14\))j(yields)127 3482 y Fk(P)182 3354 y Fi(\024)230 3350 y(\014)230 3405 y(\014)230 3459 y(\014)230 3514 y(\014)281 3420 y Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))433 3363 y Fn(1)p 433 3373 31 4 v 433 3409 a(2)p 271 3461 219 4 v 271 3544 a Fy(N)354 3518 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)520 3395 y Fi(X)515 3591 y Fv(\027)t Fr(6)p Fx(=)p Fv(\026)803 3395 y Fi(X)671 3595 y Fr(I)t Fx(:)p Fr(jI)t(\\J)12 b(j)g Fx(o)r(dd)1082 3482 y Fy(\030)1126 3438 y Fv(\026)1122 3509 y Fr(I)1175 3482 y Fy(\030)1219 3438 y Fv(\027)1215 3509 y Fr(I)1265 3350 y Fi(\014)1265 3405 y(\014)1265 3459 y(\014)1265 3514 y(\014)1320 3482 y Fs(\025)25 b Fy(z)t(N)1545 3354 y Fi(\025)1360 3792 y Fs(\024)g Ft(2)95 b(inf)1516 3854 y Fv(t)p Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)1722 3836 y Fj(0)1719 3873 y Fm(p)1758 3854 y Fx(\))1802 3792 y Fy(e)1844 3754 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)2050 3792 y Ft(exp)2204 3663 y Fi(\022)2348 3730 y Fy(\013t)2439 3697 y Fx(2)p 2282 3771 264 4 v 2282 3854 a Ft(2)p Fy(N)2410 3828 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2556 3792 y Ft(2)2601 3754 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2737 3792 y Ft(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))3045 3754 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)3181 3792 y Fy(q)j Ft(+)d Fy(C)3401 3806 y Fx(1)3441 3663 y Fi(\023)3508 3792 y Fy(:)3428 3968 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(16\))0 4113 y(The)30 b(deterministic)h(term)g(in)f(\(8.13\))i (is)f(giv)m(en)g(b)m(y)f(\(again)i(using)e(\(8.15\)\))512 4304 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))664 4247 y Fn(1)p 664 4257 31 4 v 664 4293 a(2)p 502 4345 219 4 v 502 4428 a Fy(N)585 4402 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)821 4248 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)821 4279 y Fi(X)746 4475 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)12 b Fx(o)r(dd)1042 4237 y Fi(\022)1109 4304 y Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)1127 4428 y(p)g Fs(\000)g Fy(r)1347 4237 y Fi(\023\022)1480 4304 y Fy(q)1481 4428 y(r)1524 4237 y Fi(\023)1616 4366 y Fs(\024)1909 4304 y Ft(1)p 1723 4345 418 4 v 1723 4441 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))1875 4385 y Fn(1)p 1876 4395 31 4 v 1876 4431 a(2)1922 4441 y Fy(N)2005 4415 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2241 4248 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2241 4279 y Fi(X)2166 4475 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)12 b Fx(o)r(dd)2462 4237 y Fi(\022)2529 4304 y Fy(p)2530 4428 y(r)2574 4237 y Fi(\023)2641 4366 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))2950 4328 y Fv(p)p Fr(\000)p Fv(r)3085 4366 y Fy(q)3129 4328 y Fv(r)1616 4668 y Fs(\024)1842 4607 y Ft(2)1887 4574 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 1723 4647 418 4 v 1723 4744 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1875 4688 y Fn(1)p 1876 4698 31 4 v 1876 4734 a(2)1922 4744 y Fy(N)2005 4718 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2151 4668 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))2460 4631 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2595 4668 y Fy(q)s(:)3428 4505 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(17\))0 4905 y(If)30 b Fy(\016)f(<)267 4869 y Fx(1)p 267 4884 38 4 v 267 4936 a Fv(p)315 4905 y Ft(,)i(then)f(the)g(last)i(line)e(is) h(b)s(ounded)d(b)m(y)i(the)h(term)f(for)g(the)h(maxim)m(um)f Fy(q)s Ft(.)41 b(That)30 b(is)252 5117 y(\()p Fy(p)p Ft(!\))404 5059 y Fn(1)p 405 5069 31 4 v 405 5106 a(2)p 243 5157 219 4 v 243 5241 a Fy(N)326 5214 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)562 5060 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)561 5092 y Fi(X)487 5288 y Fv(r)r Fx(=1)p Fv(;)12 b Fx(o)r(dd)782 5050 y Fi(\022)849 5117 y Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)868 5241 y(p)g Fs(\000)g Fy(r)1087 5050 y Fi(\023\022)1221 5117 y Fy(q)1221 5241 y(r)1265 5050 y Fi(\023)1357 5178 y Fs(\024)1582 5117 y Ft(2)1627 5084 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 1464 5157 418 4 v 1464 5254 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1616 5198 y Fn(1)p 1616 5208 31 4 v 1616 5244 a(2)1663 5254 y Fy(N)1746 5227 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)1892 5178 y Ft(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b(b)p Fy(\016)s(N)10 b Fs(c)p Ft(\))2362 5141 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2499 5178 y Fs(b)p Fy(\016)s(N)g Fs(c)27 b(\024)2848 5117 y Ft(2)2893 5084 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 2839 5157 199 4 v 2839 5254 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))2991 5198 y Fn(1)p 2992 5208 31 4 v 2992 5244 a(2)3049 5178 y Fy(N)10 b(\016)n(:)233 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(18\))p eop %%Page: 54 54 54 53 bop 0 45 a Fo(54)3243 b Fl(Chapter)25 b(8)0 264 y Ft(Collecting)32 b(\(8.16\))h(and)d(\(8.18\),)j(w)m(e)d(get)102 508 y Fk(P)157 434 y Fi(\002)195 508 y Fs(j)p Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\020)385 470 y Fv(q)425 508 y Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(H)7 b Ft(\()p Fy(\030)734 470 y Fv(\026)783 508 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\025)985 446 y Ft(2)1030 413 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 976 487 199 4 v 976 583 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1128 527 y Fn(1)p 1128 537 31 4 v 1128 573 a(2)1185 508 y Fy(\016)s(N)31 b Ft(+)20 b Fy(z)t(N)10 b Ft(])1344 778 y Fs(\024)25 b Ft(2)96 b(inf)1500 840 y Fv(t)p Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)1706 822 y Fj(0)1703 859 y Fm(p)1743 840 y Fx(\))1787 778 y Fy(e)1829 740 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)2035 778 y Ft(exp)2189 649 y Fi(\022)2332 716 y Fy(\013t)2423 683 y Fx(2)p 2267 757 264 4 v 2267 840 a Ft(2)p Fy(N)2395 814 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2541 778 y Ft(2)2586 740 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2721 778 y Ft(\()p Fy(N)31 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))3030 740 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)3165 778 y Fy(q)3209 740 y Fv(r)3269 778 y Ft(+)g Fy(C)3425 792 y Fx(1)3466 649 y Fi(\023)3533 778 y Fy(:)3428 954 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(19\))0 1099 y(Plugging)31 b(this)f(in)m(to)i(\(8.10\))g(giv)m(es)42 1343 y Fk(P)p Ft([)p Fs(9)p Fy(\033)c Fs(2)d Fy(B)408 1357 y Fv(\016)448 1343 y Ft(\()p Fy(\030)527 1306 y Fv(\026)576 1343 y Ft(\))h(:)f Fs(j)p Fy(H)788 1357 y Fv(N)857 1343 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))c Fs(\000)f Fy(H)1170 1357 y Fv(N)1239 1343 y Ft(\()p Fy(\030)1318 1306 y Fv(\026)1367 1343 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\025)o Ft(\()1579 1282 y(2)1624 1249 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 1570 1322 199 4 v 1570 1419 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1722 1362 y Fn(1)p 1722 1372 31 4 v 1722 1409 a(2)1779 1343 y Fy(\016)e Ft(+)c Fy(z)t Ft(\))p Fy(N)10 b Ft(])1031 1656 y Fs(\024)25 b Ft(2)1187 1535 y Fr(b)p Fv(\016)r(N)7 b Fr(c)1205 1570 y Fi(X)1207 1762 y Fv(q)r Fx(=1)1369 1528 y Fi(\022)1436 1595 y Fy(N)1456 1718 y(q)1519 1528 y Fi(\023)1681 1656 y Ft(inf)1601 1719 y Fv(t)p Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)1807 1701 y Fj(0)1804 1737 y Fm(p)1843 1719 y Fx(\))1887 1656 y Fy(e)1929 1618 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)2135 1656 y Ft(exp)2289 1528 y Fi(\022)2433 1595 y Fy(\013t)2524 1562 y Fx(2)p 2367 1635 264 4 v 2367 1718 a Ft(2)p Fy(N)2495 1692 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2641 1656 y Ft(2)2686 1618 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2822 1656 y Ft(\()p Fy(N)30 b Fs(\000)20 b Fy(q)s Ft(\))3130 1618 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)3265 1656 y Fy(q)j Ft(+)d Fy(C)3485 1670 y Fx(1)3526 1528 y Fi(\023)3593 1656 y Fy(:)3428 1861 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(20\))0 2006 y(It)41 b(is)g(straigh)m(tforw)m(ard)h(to)g(c)m(hec)m(k) g(that)g(under)d(our)i(assumptions)f(on)h Fy(\016)k Ft(and)40 b(for)h(\014xed)f Fy(t)p Ft(,)k(the)d(ratio)0 2152 y(b)s(et)m(w)m(een)c (t)m(w)m(o)g(consecutiv)m(e)h(terms)e(in)g(the)g(ab)s(o)m(v)m(e)h(sum)e (is)h(larger)h(than)f(2,)i(and)d(therefore)i(the)f(whole)0 2297 y(sum)29 b(is)i(at)g(most)g(t)m(wice)h(the)e(maxim)m(um)g(term,)78 2536 y Fk(P)p Ft([)p Fs(9)p Fy(\033)f Fs(2)c Fy(B)445 2550 y Fv(\016)485 2536 y Ft(\()p Fy(\030)564 2499 y Fv(\026)613 2536 y Ft(\))g(:)h Fs(j)p Fy(H)825 2550 y Fv(N)894 2536 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(H)1207 2550 y Fv(N)1275 2536 y Ft(\()p Fy(\030)1354 2499 y Fv(\026)1403 2536 y Ft(\))p Fs(j)26 b Fy(>)p Ft(\()1615 2475 y(2)1660 2442 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 1606 2515 199 4 v 1606 2612 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1758 2555 y Fn(1)p 1759 2565 31 4 v 1759 2602 a(2)1816 2536 y Fy(\016)e Ft(+)c Fy(z)t Ft(\))p Fy(N)10 b Ft(])1326 2806 y Fs(\024)25 b Ft(4)1467 2678 y Fi(\022)1597 2745 y Fy(N)1535 2869 y Fs(b)p Fy(\016)s(N)10 b Fs(c)1742 2678 y Fi(\023)1904 2806 y Ft(inf)1824 2869 y Fv(t)p Fr(2)p Fx(\(0)p Fv(;\014)2030 2851 y Fj(0)2027 2887 y Fm(p)2067 2869 y Fx(\))2110 2806 y Fy(e)2152 2769 y Fr(\000)p Fv(tz)s(N)2358 2806 y Ft(exp)2512 2678 y Fi(\022)2590 2745 y Ft(2)2635 2712 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)2771 2745 y Fy(\013t)2862 2712 y Fx(2)p 2590 2785 313 4 v 2724 2869 a Ft(2)2914 2806 y Fy(N)g(\016)24 b Ft(+)19 b Fy(C)3216 2820 y Fx(1)3257 2678 y Fi(\023)3324 2806 y Fy(:)3428 2676 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(21\))0 3054 y(Minimizing)35 b(with)f(resp)s(ect)g(to)h Fy(t)e Ft(and)h(using)g (Stirling's)g(form)m(ula)g(for)g(the)g(binomial)h(factor)g(concludes)0 3199 y(the)c(pro)s(of)e(of)i(Lemma)f(8.2.)42 b Fb(\003)0 3418 y Fu(Pro)s(of)f(of)f(Theorem)g(1.9:)106 b Ft(W)-8 b(e)36 b(observ)m(e)f(the)g(follo)m(wing)h(elemen)m(tary)h(fact.)54 b(By)35 b(the)g(de\014nition)g(of)0 3563 y(the)c(free)f(energy)1333 3714 y Fy(F)1391 3728 y Fv(N)1461 3714 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))26 b Fs(\024)1733 3653 y Fy(\014)p 1720 3694 83 4 v 1720 3777 a(N)1829 3714 y Ft(sup)1875 3787 y Fv(\033)1981 3714 y Fs(j)p Fy(H)2082 3728 y Fv(N)2150 3714 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)p Fy(:)1103 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(22\))0 3929 y(Hence,)31 b(b)m(y)g(Theorem)f(1.4,)i(for)e(an)m(y)g Fy(\014)5 b(;)15 b(m;)g(z)31 b(>)25 b Ft(0)30 b(there)h(exists)2258 3906 y(\026)2232 3929 y Fy(N)k Fs(2)25 b Fk(N)43 b Ft(suc)m(h)30 b(that)262 4152 y Fk(P)p Ft([)373 4091 y(1)p 353 4131 V 353 4214 a Fy(N)463 4152 y Ft(sup)509 4224 y Fv(\033)615 4152 y Fs(j)p Fy(H)716 4166 y Fv(N)785 4152 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)c Fy(<)1074 4091 y Ft(1)p 1068 4131 57 4 v 1068 4214 a Fy(\014)1135 4152 y Fk(E)g Fy(F)1264 4166 y Fv(N)1339 4152 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(z)t Ft(])25 b Fs(\024)g Fk(P)p Ft([)p Fy(F)1907 4166 y Fv(N)1978 4152 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))26 b Fy(<)f Fk(E)g Fy(F)2354 4166 y Fv(N)2429 4152 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)f Fy(z)t Ft(])26 b Fs(\024)f Fy(C)7 b(N)3015 4114 y Fr(\000)p Fv(m)3140 4152 y Fy(;)263 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(23\))0 4396 y(for)30 b(all)h Fy(N)36 b Fs(\025)496 4373 y Ft(\026)470 4396 y Fy(N)10 b Ft(.)40 b(Supp)s(ose)29 b(that)i Fy(\013\014)1281 4410 y Fv(p)1324 4396 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))26 b Fy(>)1653 4360 y Fx(1)p 1585 4375 173 4 v 1585 4456 a(\()p Fv(p)p Fx(!\))1711 4408 y Fn(1)p 1711 4416 31 4 v 1711 4450 a(2)1768 4396 y Ft(.)41 b(Then)29 b(there)i(exists)g Fy(\014)f(>)25 b Ft(0)31 b(suc)m(h)f(that)1428 4678 y Fy(\013)c(>)1884 4617 y Ft(1)p 1619 4657 577 4 v 1619 4771 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))1771 4715 y Fn(1)p 1771 4725 31 4 v 1771 4761 a(2)1818 4771 y Ft(\()p Fy(\014)1904 4785 y Fv(p)1967 4771 y Fs(\000)2069 4716 y Fv(\014)2113 4697 y Fn(2)2110 4734 y Fm(p)p 2069 4750 81 4 v 2069 4802 a Fx(2)p Fv(\014)2160 4771 y Ft(\))2207 4678 y Fy(;)1196 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(24\))0 4963 y(whic)m(h)30 b(is)h(equiv)-5 b(alen)m(t)31 b(to)948 5149 y(1)p 871 5190 199 4 v 871 5286 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))1023 5230 y Fn(1)p 1024 5240 31 4 v 1024 5277 a(2)1106 5211 y Fy(<)1219 5149 y Ft(1)p 1213 5190 57 4 v 1213 5273 a Fy(\014)1280 5211 y Ft(\()p Fy(\013\014)5 b(\014)1480 5225 y Fv(p)1544 5211 y Fs(\000)1646 5141 y Fy(\013\014)1760 5108 y Fx(2)1755 5163 y Fv(p)p 1646 5190 156 4 v 1701 5273 a Ft(2)1812 5211 y(\))26 b Fs(\024)1985 5149 y Ft(1)p 1980 5190 57 4 v 1980 5273 a Fy(\014)2047 5211 y Fk(E)g Fy(F)2175 5225 y Fv(N)2250 5211 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b(+)f Fy(C)2553 5225 y Fx(1)2594 5211 y Fy(N)2677 5173 y Fr(\000)p Fx(1)2774 5211 y Fy(:)629 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(25\))p eop %%Page: 55 55 55 54 bop 0 45 a Fl(References)3229 b Fo(55)0 264 y Ft(The)26 b(second)g(inequalit)m(y)h(follo)m(ws)g(from)f(the)g(con)m(v)m(exit)m (y)j(of)d Fy(F)2103 278 y Fv(N)2173 264 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))27 b(and)e(the)h(de\014nition)g(of)g Fy(\014)3200 278 y Fv(p)3243 264 y Ft(.)39 b(But)26 b(then)0 409 y(w)m(e)31 b(can)g(\014nd)d Fy(\016)h Fs(2)c Ft(\(0)p Fy(;)770 373 y Fx(1)p 769 388 38 4 v 769 440 a Fv(p)818 409 y Ft(\))30 b(and)g Fy(z)g(>)25 b Ft(0)30 b(suc)m(h)h(that)f(\(for)h(all)g Fy(N)40 b Ft(su\016cien)m(tly)32 b(large\))1173 619 y(2)1218 586 y Fv(p)p Fr(\000)p Fx(1)p 1164 660 199 4 v 1164 756 a Ft(\()p Fy(p)p Ft(!\))1316 700 y Fn(1)p 1317 710 31 4 v 1317 746 a(2)1374 681 y Fy(\016)24 b Ft(+)c(3)p Fy(z)30 b(<)1758 619 y Ft(1)p 1753 660 57 4 v 1753 743 a Fy(\014)1820 681 y Fk(E)25 b Fy(F)1948 695 y Fv(N)2023 681 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))21 b Fs(\000)2349 619 y Ft(1)p 2272 660 199 4 v 2272 756 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))2424 700 y Fn(1)p 2424 710 31 4 v 2424 746 a(2)2482 681 y Fy(;)921 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(26\))0 940 y(and)30 b(\(with)g(the)h(de\014nition) f(of)g Fy(f)1128 954 y Fv(\016)1198 940 y Ft(from)g(Lemma)g(8.2\))1109 1168 y Fy(f)1154 1182 y Fv(\016)1193 1168 y Ft(\()p Fy(z)t Ft(\))21 b(+)f Fy(\016)f Ft(ln)c Fy(\016)24 b Ft(+)c(\(1)h Fs(\000)f Fy(\016)s Ft(\))15 b(ln)q(\(1)21 b Fs(\000)f Fy(\016)s Ft(\))27 b Fy(>)d Ft(0)p Fy(:)878 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(27\))0 1397 y(By)31 b(Lemma)f(8.1,)i(resp.)e(8.2,)i(for)e(an) m(y)g Fy(m)25 b(>)g Ft(0,)31 b(w)m(e)g(can)g(\014nd)e(an)2276 1374 y(\026)2250 1397 y Fy(N)35 b Fs(2)25 b Fk(N)43 b Ft(suc)m(h)30 b(that)h(for)f(all)h Fy(N)36 b Fs(\025)3438 1374 y Ft(\026)3412 1397 y Fy(N)92 1686 y Fk(P)p Ft([)p Fs(9)p Fy(\033)29 b Fs(2)390 1564 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))438 1599 y Fi([)420 1792 y Fv(\026)p Fx(=1)602 1686 y Fy(B)671 1700 y Fv(\016)711 1686 y Ft(\()p Fy(\030)790 1648 y Fv(\026)839 1686 y Ft(\))26 b(:)f Fs(j)p Fy(H)1051 1700 y Fv(N)1120 1686 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)h(\025)f Fy(N)10 b Ft(\()1598 1624 y(1)p 1521 1665 199 4 v 1521 1761 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))1673 1705 y Fn(1)p 1674 1715 31 4 v 1674 1751 a(2)1752 1686 y Ft(+)19 b Fy(\016)24 b Ft(+)c(2)p Fy(z)t Ft(\)])1140 2028 y Fs(\024)25 b Fk(P)p Ft([)p Fs(9)p Fy(\033)k Fs(2)1534 1906 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1582 1941 y Fi([)1564 2134 y Fv(\026)p Fx(=1)1746 2028 y Fy(B)1815 2042 y Fv(\016)1855 2028 y Ft(\()p Fy(\030)1934 1990 y Fv(\026)1983 2028 y Ft(\))26 b(:)f Fs(j)p Fy(H)2195 2042 y Fv(N)2264 2028 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))c Fs(\000)f Fy(H)2577 2042 y Fv(N)2646 2028 y Ft(\()p Fy(\030)2725 1990 y Fv(\026)2774 2028 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\025)f Fy(N)10 b Ft(\()p Fy(\016)24 b Ft(+)c Fy(z)t Ft(\)])1226 2312 y(+)g Fk(P)p Ft([sup)1444 2384 y Fv(\026)1550 2312 y Fs(j)p Fy(H)1651 2326 y Fv(N)1720 2312 y Ft(\()p Fy(\030)1799 2274 y Fv(\026)1848 2312 y Ft(\))p Fs(j)26 b(\025)f Fy(N)10 b Ft(\()2236 2250 y(1)p 2159 2291 199 4 v 2159 2387 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))2311 2331 y Fn(1)p 2311 2341 31 4 v 2311 2378 a(2)2389 2312 y Ft(+)20 b Fy(z)t Ft(\)])1140 2524 y Fs(\024)25 b Fy(N)1319 2486 y Fr(\000)p Fv(m)1445 2524 y Fy(:)3428 2054 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(28\))0 2716 y(On)30 b(the)g(other)h(hand,)e(the)i(inequalit)m(y)h(\(8.23\))g(implies)f (that)965 2961 y Fk(P)p Ft([sup)1092 3033 y Fv(\033)1197 2961 y Fs(j)p Fy(H)1298 2975 y Fv(N)1367 2961 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)c(\024)e Fy(N)1733 2900 y Fk(E)h Fy(F)1862 2914 y Fv(N)1937 2900 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))p 1733 2940 331 4 v 1870 3023 a Fy(\014)2095 2961 y Fs(\000)20 b Fy(z)t(N)10 b Ft(])25 b Fs(\024)g Fy(N)2544 2924 y Fr(\000)p Fv(m)2670 2961 y Fy(;)733 b Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(29\))0 3198 y(for)30 b(all)h Fy(N)41 b Ft(large)31 b(enough,)g(so)f(that)h(\014nally)-8 b(,)31 b(b)m(y)f(standard)g (argumen)m(ts,)82 3486 y Fk(P)p Ft([arg)17 b(sup)d Fs(j)p Fy(H)558 3500 y Fv(N)627 3486 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b(2)889 3365 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))938 3400 y Fi([)920 3593 y Fv(\026)p Fx(=1)1102 3486 y Fy(B)1171 3500 y Fv(\016)1211 3486 y Ft(\()p Fy(\030)1290 3449 y Fv(\026)1339 3486 y Ft(\)])26 b Fs(\024)f Fk(P)p Ft([)p Fs(9)p Fy(\033)j Fs(2)1818 3365 y Fv(M)7 b Fx(\()p Fv(N)g Fx(\))1866 3400 y Fi([)1849 3593 y Fv(\026)p Fx(=1)2031 3486 y Fy(B)2100 3500 y Fv(\016)2140 3486 y Ft(\()p Fy(\030)2219 3449 y Fv(\026)2268 3486 y Ft(\))25 b(:)h Fs(j)p Fy(H)2480 3500 y Fv(N)2549 3486 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)g(\025)f Fy(N)10 b Ft(\()3027 3425 y(1)p 2950 3465 199 4 v 2950 3562 a(\()p Fy(p)p Ft(!\))3102 3506 y Fn(1)p 3103 3516 31 4 v 3103 3552 a(2)3180 3486 y Ft(+)20 b Fy(\016)k Ft(+)c(2)p Fy(z)t Ft(\)])1511 3780 y(+)f Fk(P)p Ft([sup)1728 3852 y Fv(\033)1834 3780 y Fs(j)p Fy(H)1935 3794 y Fv(N)2004 3780 y Ft(\()p Fy(\033)s Ft(\))p Fs(j)26 b(\024)f Fy(N)2370 3719 y Fk(E)h Fy(F)2498 3733 y Fv(N)2573 3719 y Ft(\()p Fy(\014)5 b Ft(\))p 2370 3759 331 4 v 2507 3842 a Fy(\014)2731 3780 y Fs(\000)20 b Fy(z)t(N)10 b Ft(])1425 3975 y Fs(\024)25 b Fy(N)1604 3938 y Fr(\000)p Fv(m)1729 3975 y Fy(;)3428 4084 y Ft(\(8)p Fy(:)p Ft(30\))0 4230 y(for)30 b(all)h Fy(N)41 b Ft(larger)31 b(than)f(some)1103 4207 y(\026)1077 4230 y Fy(N)35 b Fs(2)25 b Fk(N)6 b Ft(.)109 4375 y(T)-8 b(o)40 b(sho)m(w)f(the)h(existence)h(of)e(an)g Fy(\013)1353 4389 y Fv(sp)1430 4375 y Ft(,)j(w)m(e)e(observ)m(e)g(that)g(the)f(b)s (ounds)e(\(1.18\))42 b(and)d(\(1.19\))i(on)f(the)0 4521 y(critical)32 b Fy(\014)j Ft(imply)30 b(that)h(the)f(quan)m(tit)m(y)i Fy(\013\014)1470 4535 y Fv(p)1513 4521 y Ft(\()p Fy(\013)p Ft(\))26 b Fs(\030)1763 4455 y(p)p 1839 4455 59 4 v 66 x Fy(\013)31 b Ft(and)e(is)h(th)m(us)g(ev)m(en)m(tually)i(larger)f (than)f(an)m(y)h(\014xed)0 4666 y(n)m(um)m(b)s(er.)39 b(This)30 b(concludes)h(the)f(pro)s(of)g(of)g(Theorem)g(1.9.)42 b Fb(\003)0 4884 y Fz(References)-179 5127 y Ft([ALR])k(M.)21 b(Aizenman,)i(J.)d(L.)g(Leb)s(o)m(witz,)k(D.)c(Ruelle,)k Fq(Some)g(rigor)-5 b(ous)25 b(r)-5 b(esults)24 b(on)g(the)f (Sherrington-Kirkp)-5 b(atrick)p 3754 5150 46 91 v 109 5273 a(mo)g(del)p Ft(,)32 b(Comm)m(un.)e(Math.)h(Ph)m(ys.)41 b Fu(112)p Ft(,)31 b(3{20)h(\(1987\))p eop %%Page: 56 56 56 55 bop 0 45 a Fo(56)3226 b Fl(References)-118 264 y Ft([A)m(C])46 b(M.)31 b(Aizenman,)h(P)-8 b(.)31 b(Con)m(tucci,)h Fq(On)g(the)i(stability)f(of)g(the)h(quenche)-5 b(d)33 b(state)h(in)e(me)-5 b(an)34 b(\014eld)g(spin)f(glass)109 409 y(mo)-5 b(dels)p Ft(,)32 b(J.)f(Stat.)41 b(Ph)m(ys.)f Fu(92)p Ft(,)32 b(765-783)h(\(1998\).)-97 558 y([B1])47 b(A.)38 b(Bo)m(vier,)j Fq(Self-aver)-5 b(aging)39 b(in)g(a)g(class)h (of)f(gener)-5 b(alize)g(d)41 b(Hop\014eld)f(Mo)-5 b(dels)p Ft(,)40 b(J.)d(of)h(Ph)m(ysics)f Fu(A)43 b(27)p Ft(,)109 704 y(7069{7077)34 b(\(1994\).)-97 853 y([B2])47 b(A.)21 b(Bo)m(vier,)k Fq(Statistic)-5 b(al)26 b(me)-5 b(chanics)25 b(of)f(disor)-5 b(der)g(e)g(d)28 b(systems)p Ft(,)c(MaPh)m(ySto)e (Lecture)f(Notes)h(10,)i(\(2001\).)-168 1002 y([BG1])47 b(A.)23 b(Bo)m(vier,)i(V.)e(Ga)m(yrard,)h Fq(Hop\014eld)i(mo)-5 b(dels)27 b(as)f(gener)-5 b(alize)g(d)26 b(r)-5 b(andom)28 b(me)-5 b(an)26 b(\014eld)f(mo)-5 b(dels)p Ft(,)26 b(in)c Fq(Mathe-)109 1148 y(matic)-5 b(al)28 b(asp)-5 b(e)g(cts)29 b(of)e(spin)g(glasses)h(and)f(neur)-5 b(al)28 b(networks)p Ft(,)f(A.)d(Bo)m(vier)i(and)d(P)-8 b(.)24 b(Picco)i(\(eds.\),)g (Progress)109 1293 y(in)k(Probabilit)m(y)-8 b(,)32 b(Birkh\177)-45 b(auser,)30 b(Boston-Basel-Berlin)k(\(1998\).)-168 1442 y([BG2])47 b(A.)34 b(Bo)m(vier,)i(V.)e(Ga)m(yrard,)i Fq(The)f(r)-5 b(etrieval)37 b(phase)g(of)f(the)g(Hop\014eld)h(mo)-5 b(del:)49 b(a)36 b(rigor)-5 b(ous)37 b(analysis)h(of)109 1588 y(the)33 b(overlap)h(distribution)p Ft(,)e(Prob.)e(Theory)g(Rel.)h (Fields)g Fu(107)p Ft(,)g(61{98)i(\(1997\).)-168 1737 y([BG3])47 b(A.)31 b(Bo)m(vier,)g(V.)g(Ga)m(yrard,)f Fq(Metastates)k(in)e(the)h(Hop\014eld)g(mo)-5 b(del)34 b(in)e(the)h(r)-5 b(eplic)g(a)34 b(symmetric)f(r)-5 b(e)g(gime)p Ft(,)109 1882 y(Math.)31 b(Ph)m(ys.)g(Anal.)f(Geom.)42 b Fu(1)p Ft(,)31 b(107-144)i(\(1998\).)-168 2032 y([BG4])47 b(A.)22 b(Bo)m(vier,)i(V.)e(Ga)m(yrard,)h Fq(A)n(n)h(almost)h(sur)-5 b(e)25 b(c)-5 b(entr)g(al)26 b(limit)e(the)-5 b(or)g(em)26 b(for)f(the)f(Hop\014eld)h(mo)-5 b(del)p Ft(,)25 b(Mark)m(o)m(v)109 2177 y(Pro)s(c.)31 b(Related)g(Fields)g Fu(3)p Ft(,)g(151{173)i (\(1997\).)-230 2326 y([BGP1])47 b(A.)26 b(Bo)m(vier,)i(V.)e(Ga)m (yrard,)h(P)-8 b(.)26 b(Picco,)i Fq(Gibbs)g(states)h(of)g(the)f (Hop\014eld)h(mo)-5 b(del)30 b(in)e(the)h(r)-5 b(e)g(gime)29 b(of)f(p)-5 b(erfe)g(ct)109 2472 y(memory)p Ft(,)32 b(Prob.)e(Theory)g (Rel.)h(Fields)g Fu(100)p Ft(,)g(329{363)j(\(1994\).)-230 2621 y([BGP2])47 b(A.)29 b(Bo)m(vier,)i(V.)e(Ga)m(yrard,)g(P)-8 b(.)29 b(Picco,)i Fq(Gibbs)g(states)h(of)f(the)g(Hop\014eld)h(mo)-5 b(del)33 b(with)f(extensively)f(many)109 2766 y(p)-5 b(atterns)p Ft(,)33 b(J.)d(Stat.)h(Ph)m(ys.)g Fu(79)p Ft(,)g(395{414)i(\(1995\).)-179 2916 y([BKL])46 b(A.)26 b(Bo)m(vier,)h(M.)f(L\177)-45 b(ow)m(e,)27 b(I.)e(Kurk)m(o)m(v)-5 b(a,)27 b Fq(Fluctuations)i(of)f(the)g(fr)-5 b(e)g(e)28 b(ener)-5 b(gy)28 b(in)g(the)g(REM)f(and)i(the)f Fy(p)p Fq(-spin)109 3061 y(SK)33 b(mo)-5 b(dels)p Ft(,)32 b(to)f(app)s(ear)f (in)g(Ann.)40 b(Probab.)g(\(2002\).)-121 3210 y([CH])46 b(R.)28 b(Couran)m(t,)h(D.)g(Hilb)s(ert,)g Fq(Metho)-5 b(den)32 b(der)f(mathematischen)i(Physik)e(I)p Ft(,)e(3)2729 3177 y Fx(rd)2831 3210 y Ft(ed.,)g(Springer,)e(Berlin-)109 3356 y(Heidelb)s(erg-New)k(Y)-8 b(ork)31 b(\(1968\).)-102 3505 y([D1])47 b(B.)23 b(Derrida,)i Fq(R)-5 b(andom)28 b(ener)-5 b(gy)26 b(mo)-5 b(del:)40 b(limit)26 b(of)g(a)g(family)g(of)g (disor)-5 b(der)g(e)g(d)29 b(mo)-5 b(dels)p Ft(,)26 b(Ph)m(ys.)d(Rev.)g (Letts.)109 3650 y Fu(45)p Ft(,)31 b(79{82)i(\(1981\).)-102 3799 y([D2])47 b(B.)28 b(Derrida,)h Fq(R)-5 b(andom)32 b(ener)-5 b(gy)31 b(mo)-5 b(del:)42 b(A)n(n)29 b(exactly)i(solvable)g (mo)-5 b(del)31 b(of)g(disor)-5 b(der)g(e)g(d)33 b(systems)p Ft(,)c(Ph)m(ys.)109 3945 y(Rev.)i(B)g Fu(24)p Ft(,)g(2613{2626)j (\(1984\).)-154 4094 y([FP1])47 b(L.)25 b(A.)g(P)m(astur,)h(A.)f(L.)f (Figotin,)k Fq(Exactly)g(soluble)f(mo)-5 b(del)29 b(of)f(a)f(spin)h (glass)p Ft(,)f(So)m(v.)e(J.)f(Lo)m(w)h(T)-8 b(emp)s(erature)109 4240 y(Ph)m(ysics)31 b Fu(3)p Ft(\()p Fu(6)p Ft(\),)g(378{383)j (\(1977\).)-154 4389 y([FP2])47 b(L.)28 b(A.)h(P)m(astur,)f(A.)h(L.)f (Figotin,)i Fq(On)g(the)h(the)-5 b(ory)32 b(of)f(disor)-5 b(der)g(e)g(d)34 b(spin)d(systems)p Ft(,)e(Theor.)f(Math.)h(Ph)m(ys.) 109 4534 y Fu(35)p Ft(,)i(403{414)j(\(1978\).)-130 4683 y([GG])47 b(S.)31 b(Ghirlanda)h(and)f(F.)h(Guerra,)g Fq(Gener)-5 b(al)35 b(pr)-5 b(op)g(erties)36 b(of)e(the)g(overlap)h(pr) -5 b(ob)g(ability)36 b(distributions)f(in)109 4829 y(disor)-5 b(der)g(e)g(d)36 b(spin)d(systems.T)-7 b(owar)i(ds)36 b(Parisi)d(ultr)-5 b(ametricity)p Ft(,)33 b(J.)d(Ph)m(ys.)40 b(A)31 b Fu(31)p Ft(,)g(9144-9155)j(\(1998\).)-101 4978 y([Ho])47 b(J.)21 b(J.)g(Hop\014eld,)h Fq(Neur)-5 b(al)25 b(networks)g(and)g(physic)-5 b(al)26 b(systems)e(with)h(emer)-5 b(gent)24 b(c)-5 b(ol)5 b(le)-5 b(ctive)25 b(c)-5 b(omputational)109 5124 y(c)g(ap)g(abilities)p Ft(,)32 b(Pro)s(c.)f(Natl.)h(Acad.)f(Sci.)f (USA)h Fu(79)p Ft(,)g(2554{2558)j(\(1982\).)-103 5273 y([Ko])46 b(H.)31 b(Ko)s(c)m(h,)f Fq(A)j(fr)-5 b(e)g(e)33 b(ener)-5 b(gy)33 b(b)-5 b(ound)33 b(for)g(the)g(Hop\014eld)h(mo)-5 b(del)p Ft(,)32 b(J.)e(Ph)m(ys.)h Fu(A)k(26)p Ft(,)c(L353{L355)i (\(1993\).)p eop %%Page: 57 57 57 56 bop 0 45 a Fl(References)3229 b Fo(57)-84 264 y Ft([Le])46 b(M.)36 b(Ledoux,)h Fq(On)g(T)-7 b(alagr)i(and's)41 b(deviation)d(ine)-5 b(qualities)38 b(for)g(pr)-5 b(o)g(duct)39 b(me)-5 b(asur)g(es)p Ft(,)39 b(ESAIM:)d(Proba-)109 409 y(bilit)m(y)31 b Fu(1)p Ft(,)g(63{87)i(\(1996\).)-124 566 y([Lee])46 b(Y.)35 b(C.)g(Lee,)h(G.)g(Do)s(olen,)h(H.)e(H.)g(Chen,) g(G.)g(Z.)f(Sun,)h(T.)f(Maxw)m(ell,)k(H.)d(Y.)g(Lee,)i(and)d(C.)h(L.)f (Gilles,)109 712 y Fq(Machine)f(le)-5 b(arning)33 b(using)f(higher)h (or)-5 b(der)34 b(c)-5 b(orr)g(elation)36 b(networks)p Ft(,)31 b(Ph)m(ysica)g(D)g Fu(22)p Ft(,)g(276{306)i(\(1986\).)-200 869 y([MPV])46 b(M.)41 b(M)m(\023)-43 b(ezard,)45 b(G.)c(P)m(arisi,)k (M.)c(A.)g(Virasoro,)j Fq(Spin)e(glass)h(the)-5 b(ory)44 b(and)f(b)-5 b(eyond)p Ft(,)44 b(W)-8 b(orld)42 b(Scien)m(ti\014c,)109 1014 y(Singap)s(ore)30 b(\(1987\).)-121 1171 y([MS])46 b(V.)39 b(D.)g(Milman,)j(G.)d(Sc)m(hec)m(h)m(tman,)j Fq(Asymptotic)f(the)-5 b(ory)42 b(of)f(\014nite)f(dimensional)i(norme) -5 b(d)42 b(sp)-5 b(ac)g(es)p Ft(,)109 1317 y(Lecture)31 b(notes)g(in)f(Mathematics)i Fu(1200)p Ft(,)g(Springer,)d (Berlin-Heidelb)s(erg-New)j(Y)-8 b(ork)31 b(\(1986\).)-101 1474 y([N1])47 b(C.)24 b(M.)g(Newman,)h Fq(Memory)i(c)-5 b(ap)g(acity)29 b(in)d(neur)-5 b(al)28 b(network)g(mo)-5 b(dels:)40 b(rigor)-5 b(ous)28 b(lower)g(b)-5 b(ounds)p Ft(,)27 b(Neural)109 1619 y(Net)m(w)m(orks)32 b Fu(1)p Ft(,)f(223{238)i(\(1988\).)-126 1776 y([Ni1])47 b(B.)31 b(Niederhauser,)f Fq(Mathematic)-5 b(al)35 b(asp)-5 b(e)g(cts)34 b(of)f(Hop\014eld)h(mo)-5 b(dels)p Ft(,)32 b(PhD)e(Thesis,)-126 1933 y([Ni2])47 b(B.)31 b(Niederhauser,)f Fq(Norms)k(of)f(c)-5 b(ertain)33 b(r)-5 b(andom)35 b(matric)-5 b(es)p Ft(,)32 b(preprin)m(t)e(IME-USP)g(\(2001\).)-99 2090 y([PS])45 b(L.)20 b(P)m(astur,)j(M.)e(Shc)m(herbina,)g Fq(A)n(bsenc)-5 b(e)23 b(of)g(self-aver)-5 b(aging)24 b(of)g(the)f(or)-5 b(der)25 b(p)-5 b(ar)g(ameter)27 b(in)c(the)g(Sherrington-)p 3757 2113 46 91 v 109 2236 a(Kirkp)-5 b(atrick)34 b(mo)-5 b(del)p Ft(,)32 b(J.)e(Stat.)i(Ph)m(ys.)e Fu(74)p Ft(,)h(1161{1183)j (\(1994\).)-117 2393 y([PN])46 b(P)-8 b(.)35 b(P)m(eretto,)i(J.)e(J.)f (Niez,)j Fq(L)-5 b(ong)37 b(term)g(memory)g(stor)-5 b(age)38 b(c)-5 b(ap)g(acity)38 b(of)f(multic)-5 b(onne)g(cte)g(d)38 b(neur)-5 b(al)37 b(net-)109 2538 y(works)p Ft(,)32 b(Biolog.)h(Cyb)s (ernetics)c Fu(39)p Ft(,)j(53{63)g(\(1986\).)-99 2695 y([Ro])46 b(R.)31 b(T.)f(Ro)s(c)m(k)-5 b(afellar,)32 b Fq(Convex)h(A)n(nalysis)p Ft(,)e(Princeton)g(Univ)m(ersit)m(y)g (Press,)g(Princeton)f(\(1972\).)-103 2853 y([ST])45 b(M.)34 b(Shc)m(herbina,)g(B.)h(Tirozzi,)g Fq(The)h(fr)-5 b(e)g(e)37 b(ener)-5 b(gy)36 b(for)g(a)g(class)g(of)g(Hop\014eld)h(mo)-5 b(dels)p Ft(,)37 b(J.)c(Stat.)i(Ph)m(ys.)109 2998 y Fu(72)p Ft(,)c(113{125)j(\(1992\).)-108 3155 y([SK])45 b(D.)30 b(Sherrington,)e(S.)h(Kirkpatric)m(k,)h Fq(Solvable)i(mo)-5 b(del)33 b(of)f(a)g(spin-glass)p Ft(,)e(Ph)m(ys.)f(Rev.)h(Lett.)g Fu(35)p Ft(,)g(1792{)109 3300 y(1796)i(\(1975\).)-98 3458 y([T1])46 b(M.)31 b(T)-8 b(alagrand,)31 b Fq(A)h(new)h(lo)-5 b(ok)34 b(at)f(indep)-5 b(endenc)g(e)p Ft(,)32 b(Ann.)e(Prob.)g Fu(24)p Ft(,)h(1{34)h(\(1996\).)-98 3615 y([T2])46 b(M.)28 b(T)-8 b(alagrand,)29 b Fq(The)i(Sherrington-Kirkp)-5 b(atrick)32 b(mo)-5 b(del:)43 b(a)30 b(chal)5 b(lenge)31 b(for)f(mathematicians)p Ft(,)h(Prob.)109 3760 y(Theory)f(Rel.)h (Fields)g Fu(110)p Ft(,)g(109{176)j(\(1998\).)-98 3917 y([T3])46 b(M.)29 b(T)-8 b(alagrand,)30 b Fq(R)n(igour)-5 b(ous)31 b(r)-5 b(esults)32 b(for)f(the)g(Hop\014eld)h(mo)-5 b(del)32 b(with)g(many)f(p)-5 b(atterns)p Ft(,)31 b(Prob.)d(Theory)109 4063 y(Rel.)j(Fields)g Fu(110)p Ft(,)h(177{276)h(\(1998\).)-98 4220 y([T4])46 b(M.)23 b(T)-8 b(alagrand,)25 b Fq(R)n(igor)-5 b(ous)26 b(low)g(temp)-5 b(er)g(atur)g(e)28 b(r)-5 b(esults)26 b(for)g(the)f(me)-5 b(an)27 b(\014eld)e Fy(p)p Fq(-spin)g(inter)-5 b(action)27 b(mo)-5 b(del)p Ft(,)109 4365 y(Prob.)30 b(Theory)g(Rel.)h(Fields)g Fu(117)p Ft(,)g(303{360)j(\(2000\).)-98 4522 y([T5])46 b(M.)26 b(T)-8 b(alagrand,)28 b Fq(On)g(the)h Fy(p)p Fq(-spin)f(inter)-5 b(action)30 b(mo)-5 b(del)30 b(at)f(low)h(temp)-5 b(er)g(atur)g(e)p Ft(,)29 b(C.R.A.S.)d Fu(331)p Ft(,)i(939{942)109 4668 y(\(2000\).)-98 4825 y([T6])46 b(M.)37 b(T)-8 b(alagrand,)39 b Fq(A)e(\014rst)i(c)-5 b(ourse)39 b(on)f(spin)h(glasses.)59 b Ft(Lectures)36 b(at)h(the)2653 4802 y(\023)2645 4825 y(Ecole)g(d')m(\023)-43 b(et)m(\023)g(e)39 b(de)d(St.)59 b(Flour,)109 4970 y(2000)32 b(\(a)m(v)-5 b(ailble)33 b(at)e(request)f(from)g(the)h(author\).)-98 5127 y([T7])46 b(M.)21 b(T)-8 b(alagrand,)23 b Fq(Exp)-5 b(onential)25 b(ine)-5 b(qualties)24 b(and)g(c)-5 b(onver)g(genc)g(e)24 b(of)g(moments)h(in)e(the)h(r)-5 b(eplic)g(a-symmetric)p 3685 5150 V 109 5273 a(r)g(e)g(gime)33 b(of)g(the)g(Hop\014eld)h(mo)-5 b(del)p Ft(,)32 b(Ann.)40 b(Probab.)p Fu(28)p Ft(,)31 b(1393{1469)j(\(2000\).)p eop %%Page: 58 58 58 57 bop 0 45 a Fo(58)3226 b Fl(References)-98 264 y Ft([Y)-8 b(u])46 b(V.)25 b(V.)g(Y)-8 b(urinskii,)26 b Fq(Exp)-5 b(onential)29 b(ine)-5 b(qualities)28 b(for)g(sums)g(of)f(r) -5 b(andom)30 b(ve)-5 b(ctors)p Ft(,)27 b(J.)e(Multiv)-5 b(ariate)26 b(Anal-)109 409 y(ysis)k Fu(6)p Ft(,)h(473{499)j(\(1976\).) p eop %%Trailer end userdict /end-hook known{end-hook}if %%EOF ---------------0108141312380--