BODY \input amstex \documentstyle{amsppt} \NoRunningHeads \pageheight{20cm} %hauteur de la page d'impression \pagewidth{15cm} %largeur de la page d'impression \hcorrection{0.8cm} %deplace le centre de la page horizontalement; negatif vers la gauche; positif vers la droite %\vcorrection{-1cm} %deplace le centre de la page verticalement; negatif vers le bas positif vers le haut \topmatter \title Valeurs propres et r\'esonances au voisinage d'un seuil \endtitle \author Alain Grigis \quad Fr\'ed\'eric Klopp \endauthor \address Alain Grigis, D\'epartement de Maths, Institut Galil\'ee, Universit\'e Paris-Nord, Avenue Jean-Baptiste Cl\'ement, 93430 Villetaneuse \endaddress \email grigis\@math.univ-paris13.fr \endemail \address Fr\'ed\'eric Klopp, D\'epartement de Math\'ematique, B\^at. 425, Universit\'e de Paris-Sud, Centre d'Orsay, 91405 Orsay C\'edex, France \endaddress \curraddr Department of Mathematics, The Johns Hopkins University, 3400 N. Charles St., Baltimore, 21218 MD, U.S.A \endcurraddr \email kloppf\@playmate.mat.jhu.edu \endemail \date D\'ecembre 1994 \enddate %\keywords resonances \endkeywords %\subjclass 35 P 25, 35 P 20, 35 J 10, 47 A 40, 81 H 20 \endsubjclass \abstract In an abstract setting, we consider an operator whose resolvent can be extended meromorphically to a Riemann surface near a branching point. The operator depends on a parameter, and we study the behavior of the resonances i.e. poles of the resolvent as functions of the parameter; in particular, we study what happens when a resonance is located at the branching point. This study may be applied to a periodic Schr\"odinger operator perturbed by a compactly supported potential. The parameter is a coupling constant and the branching point is an edge of the absolutely continuous spectrum of the periodic operator. \bigskip \par\noindent {\smc R\'esum\'e.} Nous \'etudions dans un cadre abstrait un op\'erateur d\'ependant d'un param\etre dont la r\'esolvante peut s'\'etendre de fa\c con m\'eromorphe \a une surface de Riemann au voisinage d'un point de branchement. Nous \'etudions la d\'ependance des p\^oles de la r\'esolvante, ou r\'esonances en fonction du param\etre; en particulier, nous \'etudions le cas o\u une r\'esonance se trouve au point de branchement. Cette \'etude peut s'appliquer \a un op\'erateur de Schr\"odinger \a potentiel p\'eriodique avec une perturbation compacte, le param\etre \'etant une constante de couplage, et le point de branchement ou seuil, l'extr\'emit\'e d'une bande de spectre absolument continu. \endabstract \endtopmatter \subheading{ Introduction} \medskip Sur ${\Bbb R}^n$, on consid\ere un op\'erateur de Schr\"odinger avec un potentiel p\'eriodique $$H=-\Delta+V$$ o\u $V$ est $\Gamma$-p\'eriodique, $\Gamma$ \'etant un r\'eseau de ${\Bbb R}^n$. Il est bien connu que le spectre de cet op\'erateur est purement absolument continu et poss\ede une structure de bandes. La r\'esolvante $\dsize (\lambda-H)^{-1}$ peut se prolonger \a partir de la r\'egion physique $\{\lambda\in{\Bbb C}; \text{Im}\lambda>0\}$ au demi-plan inf\'erieur \a travers les bandes spectrales, comme cela a \'et\'e d\'emontr\'e par C. G\'erard \cite{Ge 2}. On peut prolonger cette r\'esolvante \a une surface de Riemann qui pr\'esente des points de branchements (en particulier aux extr\'emit\'es des bandes spectrales de $H$) appel\'es seuils. \par Soit $W$ un potentiel \a support compact et positif. Pour $t$ une constante de couplage r\'eelle, on d\'efinit l'op\'erateur perturb\'e $$H(t)=H+tW=-\Delta+V+tW.$$ Celui-ci peut admettre des valeurs propres dans les lacunes du spectre continu. On peut \'egalement construire un prolongement m\'eromorphe de la r\'esolvante de $H(t)$ \a la surface de Riemann cit\'ee ci-dessus. Sur cette surface de Riemann, $H(t)$ peut admettre des r\'esonances. Dans \cite{Kl}, le second auteur a \'etudi\'e, dans la limite semi-classique, la cr\'eation de telles valeurs propres et r\'esonances pour une petite constante de couplage. \par De nombreux travaux, par exemple \cite{A-D-H, Bi, Rai} \'etudient l'asymptotique du nombre de valeurs propres de $H(t)$ dans les lacunes du spectre continu pour les grandes valeurs de $t$. Comme $W$ est suppos\'ee positive, il est clair que ces valeurs propres sont des fonctions croissantes de $t$. Au cours d'un colloque organis\'e \a l'Institut Euler \a Saint-P\'etersbourg, M. Sh. Birman a pos\'e la question suivante: \par Q: Que deviennent les valeurs propres lorsque l'on fait varier la constante de couplage? On sait qu'elles croissent avec celle-ci jusqu'\a rencontrer la prochaine bande de spectre absolument continue. Mais l\a que se passe-t-il? Deviennent-elles des r\'esonances ou des valeur propres plong\'ees?''. \par C'est cette question qui a motiv\'e la pr\'esente \'etude. Nous avons donc repris dans un cadre abstrait la m\'ethode d'extension de la r\'esolvante \a une surface de Riemann, pour un op\'erateur non perturb\'e tout d'abord. Ensuite nous introduisons une perturbation compacte d\'ependant analytiquement d'un param\etre $t$. Nous d\'efinissons les r\'esonances et nous \'etudions leur d\'ependance par rapport au param\etre $t$. La situation vraiment nouvelle est celle o\u pour une valeur $t_0$ de la constante de couplage, une r\'esonance est situ\'ee au seuil i.e au point de ramification de la surface de Riemann. Le comportement de la r\'esonance lorsque $t$ varie d\'epend alors de fa\c con essentielle du type de ramification du seuil. Sous des hypoth\eses g\'en\'eriques, nous obtenons l'un des trois cas suivants: \par\noindent 1) il existe une unique r\'esonance $z(t)$ telle que $z(t_0)=z_0$, $z_0$ \'etant le seuil en question. \par Dans le cas d'une perturbation d'un op\'erateur de Schr\"odinger p\'eriodique, c'est ce qui se passe en dimension 3. Ainsi la r\'eponse \a la question Q est que la valeur propre arrive au seuil, se transforme en r\'esonance et repart. \par\noindent 2) il existe un nombre fini de r\'esonances $(z_i)_{1\leq i\leq q}$ telles que pour $1\leq i\leq q$, $z_i(t_0)=z_0$. \par Dans le cas d'une perturbation d'un op\'erateur de Schr\"odinger p\'eriodique, c'est ce qui se passe en dimension impaire sup\'erieure \a 3. Dans ce cas, $q=2$. En particulier, nous montrons qu'une valeur propre arrivant au seuil n'arrive pas toute seule: sur chaque feuillet de la surface de Riemann se trouve une r\'esonance qui l'accompagne. Quand $t$ d\'epasse le point critique $t_0$, la valeur propre se transforme en r\'esonance et la paire de r\'esonances repart. Le fait que les r\'esonances arrivent par paires provient uniquement du fait que la ramification de la surface de Riemann dans ce cas est du type rationnel quadratique (voir la discussion suivant le Th\'eor\eme 2.1). \par\noindent 3) il existe un nombre d\'enombrable de r\'esonances $(z_i)_{i\in{\Bbb N}}$ telles que pour $i\in{\Bbb N}$, $z_i(t_0)=z_0$. \par Dans le cas d'une perturbation d'un op\'erateur de Schr\"odinger p\'eriodique, c'est ce qui se passe en dimension paire sup\'erieure \a 3. Le nombre infini de r\'esonances provient du fait que dans ce cas-l\a, la ramification de la surface de Riemann est du type logarithmique. Mis \a part le fait qu'elles sont plus nombreuses, les r\'esonances se comportent de la m\^eme fa\c con que dans le cas 2. \par Une partie des hypoth\eses que nous faisons sont g\'en\'eriques au sens math\'ematique. Cela dit, dans l'application au cas d'un op\'erateur de Schr\"odinger p\'eriodique perturb\'e, nous n'avons pas cherch\'e sous quelles conditions portant sur le potentiel p\'eriodique et sur la perturbation les dites hypoth\eses sont v\'erifi\'ees. Il est probable qu'elles le soient en g\'en\'eral mais c'est une question que nous n'avons pas examin\'ee. D'autre part, nous n'avons pas non plus cherch\'e \a trouver une interpr\'etation physique aux r\'esonances qui accompagnent la valeur propre. Ces questions ont peut-\^etre un int\'er\^et. \par Le plan de l'article est le suivant. Dans la premi\ere partie, nous d\'emontrons, dans un cadre abstrait, l'existence d'un prolongement m\'eromorphe pour une perturbation d'un op\'erateur dont la r\'esolvante admet un prolongement m\'eromorphe. Ce r\'esultat est local dans le plan des \'energies. Nous d\'efinissons les r\'esonances. Dans la deuxi\eme partie, nous \'etudions l'\'eclatement d'une r\'esonan-ce situ\'ee \a un seuil suivant le type de ramification de la surface de Riemann \a ce seuil. \medskip \subheading{Remerciements} \par Les auteurs remercient l'Institut Euler et le Professeur Buslaev pour son accueil en septembre 1993. \vfill \subheading{I) Prolongement m\'eromorphe de la r\'esolvante} \medskip \subheading{1. L'op\'erateur non perturb\'e} \medskip Soit ${\Cal H}_0$, un espace de Hilbert (on note $\langle\cdot,\cdot\rangle_0$, son produit scalaire), et $H$, un op\'erateur auto-adjoint sur ${\Cal H}_0$ de domaine $D(H)$ dense dans ${\Cal H}_0$. On notera ${\Cal H}_1=D(H)$, le domaine de $H$ muni du produit scalaire du graphe, $\langle\cdot,\cdot\rangle_1=\langle\cdot,\cdot\rangle_0+\langle H\cdot,H\cdot\rangle_0=\langle(H+i)\cdot,(H+i)\cdot\rangle_0$. Comme $H$ est auto-adjoint donc ferm\'e, ${\Cal H}_1$ est un espace de Hilbert. $H$ est born\'e de ${\Cal H}_1$ dans ${\Cal H}_0$, et pour $z\in{\Bbb C}\setminus{\Bbb R}$, $(z+H)^{-1}$ est born\'e de ${\Cal H}_0$ dans ${\Cal H}_1$. On suppose qu'il existe ${\Cal A}_0$ et ${\Cal A}_1$, deux espaces de Hilbert tels que $$\CD {\Cal A}_0 @>>> {\Cal H}_0 @>>> {\Cal A}_0^* \\ @AAA @AAA @AAA \\ {\Cal A}_1 @>>> {\Cal H}_1 @>>> {\Cal A}_1^* \endCD$$ les inclusions \'etant toutes continues et denses (ici ${\Cal A}_0^*$ (resp. ${\Cal A}_1^*$) est le dual de ${\Cal A}_0$ (resp. ${\Cal A}_1$) pour $\langle\cdot,\cdot\rangle_0$ (resp. $\langle\cdot,\cdot\rangle_1$). On suppose de plus que $(H+i)({\Cal A}_1)\subset {\Cal A}_0$ et $(H+i)^{-1}({\Cal A}_0)\subset {\Cal A}_1$. \par Le th\'eor\eme du graphe ferm\'e nous dit alors que $H+i$ est une bijection bi-continue de ${\Cal A}_1$ dans ${\Cal A}_0$. On prolonge $H+i$ en un op\'erateur bijectif bicontinu de ${\Cal A}_1^*$ dans ${\Cal A}_0^*$. \medskip \subheading{2. Hypoth\eses sur la r\'esolvante au bord d'une lacune spectrale} \medskip \par On note $\sigma(H)$, le spectre de $H$. On va supposer que le spectre de $H$ \'evite un intervalle $]a,a+\epsilon_0[$ et que la r\'esolvante de $H$ peut se prolonger pr\es de $a$ en tant qu'op\'erateur born\'e sur un ensemble de vecteurs analytiques. Plus pr\'ecis\'ement, apr\es s'\^etre ramen\'e \a $a=0$, on fait l'hypoth\ese \medskip \par\noindent (H.1) \par a) il existe $\epsilon_0>0$, $S$, une fonction analytique sur $D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0]$, $F$ et $G$ des fonctions analytiques non nulles de $D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)$ \a valeurs dans ${\Cal B}({\Cal A}_0,{\Cal A}_1^*)$ telles que, pour $\lambda\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0]$, $$(\lambda-H)^{-1}=F(\lambda)+S(\lambda)\cdot G(\lambda),$$ \par b) $S$ admet un prolongement analytique $\tilde S$ \a un rev\^etement analytique ${\Cal R}_{\epsilon_0}$ du disque point\'e $D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus\{0\}$; on note $\rho$, la projection canonique de ${\Cal R}_{\epsilon_0}$ sur $D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus\{0\}$ \par c) $S(\lambda)\to0$ quand $\lambda\to 0$ et $\lambda\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0]$ et, pour $\lambda\in]0,\epsilon_0[$, $S(\lambda)\in{\Bbb R}$. \medskip \remark{Remarques} \par 1) L'hypoth\ese (H.1) a) permet de dire que $H$ n'a pas de spectre dans $]0,\epsilon_0[$ (en utilisant la formule de Stone (cf \cite{Re-Si}) et le fait que ${\Cal A}_1$ est dense dans ${\Cal H}_0$). De plus, comme $S$ se prolonge analytiquement \a $]-\epsilon_0,0[$, le principe d'absorption limite dit que le spectre de $H$ dans $]-\epsilon_0,0]$ est purement absolument continu (cf \cite{C-F-K-S}, chapitre 4). \par 2) On suppose que $S$ ne se prolonge pas analytiquement \a un voisinage de 0; sinon 0 et donc un voisinage de 0 ne seraient pas dans le spectre de $H$, ce qui est un cas sans int\'er\^et. \par On suppose donc que $0$ est un seuil c'est-\a-dire un point de branchement pour $S(\lambda)$. Plus tard on rajoutera un point \a ${\Cal R}_{\epsilon_0}$ pour d\'efinir la fibre au-dessus de $0$. Ceci sera fait dans la partie $I 6.$ et pr\'ecis\'e dans la partie $II$. \par 3) Si (H.1) est v\'erifi\'ee, on peut prolonger la r\'esolvante de $H$ \a ${\Cal R}_{\epsilon_0}$ en tant qu'op\'erateur born\'e de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$ de la fa\c con suivante: pour $z\in{\Cal R}_{\epsilon_0}$, on d\'efinit $$R_H(z)=F(\rho(z))+\tilde S(z)\cdot G(\rho(z)).$$ \par 4) Comme $S(\lambda)$ est r\'eelle pour $\lambda$ r\'eel, on a, pour $\lambda\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0]$, $\overline{S(\overline \lambda)}=S(\lambda)$. De plus $H$ est auto-adjoint, ainsi pour $\phi\in{\Cal A}_0$ et $\psi\in{\Cal A}_0$, on sait que $\langle (\lambda-H)^{-1}\phi,\psi\rangle_0=\langle\phi,(\overline\lambda-H)^{-1}\psi \rangle_0$ c'est-\a-dire $$\langle F^*(\overline\lambda)\phi,\psi\rangle_0+\overline{S(\overline \lambda)}\langle G^*(\overline\lambda)\phi,\psi\rangle_0=\langle F(\lambda)\phi,\psi\rangle_0+S(\lambda)\langle G(\lambda)\phi,\psi\rangle_0$$ donc $$\langle F^*(\overline\lambda)\phi,\psi\rangle_0-\langle F(\lambda)\phi,\psi\rangle_0=S(\lambda)\left(\langle G(\lambda)\phi,\psi\rangle_0-\langle G^*(\overline\lambda)\phi,\psi\rangle_0\right).$$ Comme $\langle F(\lambda)\phi,\psi\rangle_0$, $\langle G(\lambda)\phi,\psi\rangle_0$, $\langle F^*(\overline\lambda)\phi,\psi\rangle_0$ et $\langle G^*(\overline\lambda)\phi,\psi\rangle_0$ sont analytiques en $\lambda$, on en d\'eduit que, pour $\lambda$ r\'eel, $F(\lambda)$ et $G(\lambda)$ sont sym\'etriques (i.e $\langle F(\lambda)\phi,\psi\rangle_0=\langle\phi,F(\lambda)\psi\rangle_0$ et $\langle G(\lambda)\phi,\psi\rangle_0=\langle\phi,G(\lambda)\psi\rangle_0$ pour $\lambda$ r\'eel, $\phi\in{\Cal A}_0$ et $\psi\in{\Cal A}_0$) \endremark \medskip \subheading{ Cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger} \medskip \par L'hypoth\ese (H.1) est v\'erifi\'ee en dimension sup\'erieure o\u \'egale \a 3, pour le laplacien libre (cf \cite{Ba-Sk}) ainsi que pour des op\'erateurs de Schr\"odinger p\'eriodiques (cf \cite{G\'e 2}, \cite{G\'e 1}). Dans ce cas, les espaces ${\Cal A}_0$ et ${\Cal A}_1^*$ sont $${\Cal A}_0=L_a^2({\Bbb R}^n)=\{u\in L^2_{\text{loc}}({\Bbb R}^n); e^{a\langle x\rangle}u\in L^2({\Bbb R}^n)\},$$ et $${\Cal A}_1^*=H_{-a}^2({\Bbb R}^n)=\{u\in H^2_{\text{loc}}({\Bbb R}^n); e^{-a\langle x\rangle}u\in L^2({\Bbb R}^n)\},$$ o\u $\dsize \langle x\rangle=\sqrt{1+x^2}$ et $a>0$. Ces espaces sont \'equip\'es de leur norme naturelle. \par De plus, on a, typiquement, $\dsize S(\lambda)=\lambda^{\frac{n-2}2}$ pour $n$ impair et $\dsize S(\lambda)=\lambda^{\frac{n-2}2}\log \lambda$ pour $n$ pair (type logarithmique). Remarquons que l'hypoth\ese (H.1) d) est alors v\'erifi\'ee si la dimension $n\geq 3$. \medskip \subheading{3. D\'ecomposition spectrale} \medskip \par Notons $\Pi_+$, la projection spectrale associ\'ee \a $H$ sur $[\epsilon_0/2,+\infty[$, et $\Pi_-={\bold 1}-\Pi_+$, celle sur $]-\infty,\epsilon_0/2]$. On suppose que \medskip \par\noindent (H.2) $\Pi_+({\Cal A}_0)\subset {\Cal A}_0$. \medskip \par En utilisant le fait que $\Pi_+$ est born\'e sur ${\Cal H}_0$ et le th\'eor\eme du graphe ferm\'e, on voit que $\Pi_+$ est born\'e sur ${\Cal A}_0$. De plus, on peut \'etendre $\Pi_+$ en un op\'erateur born\'e sur ${\Cal A}_0^*$ par, pour $\psi^*\in{\Cal A}_0^*$, $$\forall\psi\in{\Cal A}_0,\quad \langle\Pi_+\psi^*,\psi\rangle=\langle\psi^*,\Pi_+\psi\rangle.$$ On voit que $\Pi_+$ laisse ${\Cal H}_1$ et ${\Cal A}_1$ invariant en utilisant l'identit\'e $\Pi_+(H+i)^{-1}=(H+i)^{-1}\Pi_+$ vraie sur ${\Cal H}_0$. Ainsi $\Pi_+$ est born\'e sur ${\Cal H}_1$ et sur ${\Cal A}_1$, et s'\'etend en un op\'erateur born\'e sur ${\Cal A}_1^*$. Tout ceci reste vrai pour $\Pi_-$. \medskip \subheading{4. Hypoth\eses sur la perturbation} \medskip \par On va maintenant d\'efinir la perturbation de $H$. Soit $(A(t))_{t\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)}$, une famille analytique en $t$ d'op\'erateurs sur ${\Cal H}$ de domaine $D(A)\supset D(H)$ ind\'ependant de $t$, telle que, \medskip \par\noindent (H.3) \par a) pour $t\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)$, $A(t)$ est compact de ${\Cal A}_1^*$ dans ${\Cal A}_0$ pour $t\in]\epsilon_0,\epsilon_0[$, \par b) pour $t\in]\epsilon_0,\epsilon_0[$, $A(t)$ est autoadjoint, \par c) $1-\Pi_-A(0)\Pi_-F(0)$ est inversible en tant qu'op\'erateur de ${\Cal A}_0$ dans lui-m\^eme. \medskip \remark{Remarques} \par 1) Le point a) est \'equivalent \a supposer que $A$ est $H$-compact de ${\Cal A}_0^*$ dans ${\Cal A}_0$. Ceci implique que $A$ est $H$-compact sur ${\Cal H_0}$. \par 2) Par le point a), on sait que $\Pi_-A(0)\Pi_-F(0)$ est compact de ${\Cal A}_0$ dans lui-m\^eme. Donc supposer c) revient \a supposer que 1 n'est pas valeur propre de $\Pi_-A(0)\Pi_-F(0)$. Comme $F(0)\Pi_-A(0)\Pi_-$ est adjoint de $\Pi_-A(0)\Pi_-F(0)$, on peux supposer de fa\c con \'equivalente que $1-F(0)\Pi_-A(0)\Pi_-$ est inversible en tant qu'op\'erateur de ${\Cal A}_1^*$ dans lui-m\^eme. \endremark \medskip \subheading{5. L'op\'erateur de Livsic} \medskip Sous l'hypoth\ese (H.3) (cf \cite{Re-Si}), pour $t$ r\'eel, $H(t)=H+A(t)$ est un op\'erateur auto-adjoint de domaine $D(H)$, et le spectre de $H(t)$ dans $]0,\epsilon_0[$ est discret. \par Soit $\varphi\in D(H)$, $\psi\in{\Cal H}$ et $\lambda\in]0,\epsilon_0[$. On note $\varphi_+=\Pi_+\varphi$ et $\varphi_-=\Pi_-\varphi$. Alors (H(t)-\lambda)\varphi=\psi\Leftrightarrow\left\{\aligned & (H_++A_{++}(t)-\lambda)\varphi_++A_{+-}(t)\varphi_-=\psi_+ \\ &(H_-+A_{--}(t)-\lambda)\varphi_-+A_{-+}(t)\varphi_+=\psi_- \endaligned \right.\tag 1.1 o\u $H_\epsilon=\Pi_\epsilon H\Pi_\epsilon=\Pi_\epsilon H=H\Pi_\epsilon$ et $A_{\epsilon\epsilon'}(t)=\Pi_\epsilon A(t)\Pi_{\epsilon'}$ avec $\epsilon,\epsilon'\in\{+,-\}$. \par Pour $\lambda>0$, $\Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-$ est born\'e de ${\Cal H}_0$ dans ${\Cal H}_1$. Ainsi d'apr\es les hypoth\eses (H.1) a) et c), et (H.3) c), pour $\lambda>0$ suffisamment proche de 0 et $t$ assez petit, $1-(\lambda-H_-)^{-1}A_{--}(0)$ est inversible de ${\Cal A}_1^*$ dans lui-m\^eme, donc de ${\Cal H}_1$ dans ${\Cal H}_1$. Donc $\Pi_-(\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}\Pi_-=(1-(\lambda-H_-)^{-1}A_{--}(0))^{-1} \Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-$ est born\'e de ${\Cal H}_0$ dans ${\Cal H}_1$. Ainsi (1.1) devient \left\{\aligned &\Pi_-(\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}\cdot A_{-+}(t)\varphi_+- (\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}\psi_-=\varphi_- \\ & (L_+(t,\lambda)-\lambda)\varphi_-=\psi_++A_{+-}(t)(\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}\psi_- \endaligned \right.\tag 1.2 o\u $L_+(t,\lambda)$ est l'op\'erateur de Livsic (cf \cite{Or}, \cite{Ho}) d\'efini par $$L_+(t,\lambda)=H_++A_{++}(t)+A_{+-}(t)(\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}A_{-+}(t).$$ Pour $\lambda\in]0,\epsilon_0[$, on d\'efinit $$R_-(t,\lambda)=\Pi_-(\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}\Pi_-.$$ On a la \proclaim{Proposition 1.1} Sous les hypoth\eses (H.1)-(H.3), il existe $\epsilon>0$, $\Gamma_+(t,\lambda,z)$, une fonction a-nalytique de $B_{{\Bbb C}^3}(0,\epsilon)$ \a valeurs dans les op\'erateurs $H_+$-compacts sur ${\Cal H_0}$ et $R_-(t,\lambda,z)$, une fonction analytique de $B_{{\Bbb C}^3}(0,\epsilon)$ \a valeurs dans les op\'erateurs born\'es de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$ telles que, si $\lambda\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0[$ et $S(\lambda)\in B_{\Bbb C}(0,\epsilon)$, alors $$\Gamma_+(t,\lambda,S(\lambda))+H_+=L_+(t,\lambda)$$ et $$R_-(t,\lambda,S(\lambda))=R_-(t,\lambda)$$ \par Si $z$, $t$ et $\lambda$ sont tous trois r\'eels, l'op\'erateur $\Gamma_+(t,\lambda,z)$ est auto-adjoint sur ${\Cal H}$, et l'op\'erateur $R_-(t,\lambda,z)$ sym\'etrique sur ${\Cal A}_0$ (i.e $\langle R_-(t,\lambda,z)\phi,\psi\rangle=\langle\phi,R_-(t,\lambda,z)\psi\rangle$ pour $\phi$ et $\psi$ dans ${\Cal A}_0$). \endproclaim \demo{Preuve de la Proposition 1.1} Pour $\lambda\not\in\sigma(H)$, on \'ecrit $$\Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-=(\lambda-H)^{-1}-\Pi_+(\lambda-H_+)^{-1}\Pi_+$$ or, $\Pi_+(\lambda-H_+)^{-1}\Pi_+$ est analytique born\'e de ${\Cal H}_0$ dans ${\Cal H}_1$, donc de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$, pour $\lambda$ dans un voisinage de 0 (comme le spectre de $H_+$ ne contient pas ce voisinage de 0) donc, par l'hypoth\ese (H.1), $$\Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-=F_-(\lambda)+S(\lambda)\cdot G_-(\lambda)$$ o\u $F_-$ et $G_-$ ont les m\^emes propri\'et\'es que $F$ et $G$ (car $H_+$ est auto-adjoint). \par Pour $\lambda>0$ et $\lambda$ voisin de 0, on \'ecrit, en prenant soin de conserver la sym\'etrie des expressions, \aligned R_-(t,\lambda)&=\Pi_-(\lambda-H_--A_{--}(t))^{-1}\Pi_-\\&=\frac12\left\{\right.\Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-(1-A_{--}(t)(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-)^{-1}\Pi_-\\&\hskip 1cm\quad+\Pi_-(1-\Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}A_{--}(t))^{-1}\Pi_-(\lambda-H_-)^{-1}\Pi_-\left.\right\}\\&=\frac12\left\{\right.(F_-(\lambda)+S(\lambda)\cdot G_-(\lambda))(1-A_{--}(t)F_-(\lambda)-S(\lambda)A_{--}(t)G_-(\lambda))^{-1}\Pi_-\\&\hskip 1cm\quad+\Pi_-(1-F_-(\lambda)A_{--}(t)-S(\lambda)G_-(\lambda)A_{--}(t))^{-1} (F_-(\lambda)+S(\lambda)\cdot G_-(\lambda))\left.\right\}. \endaligned \par Pour $(t,\lambda,u)\in B_{{\Bbb C}^3}(0,\epsilon)$, d\'efinissons les op\'erateurs \aligned R_-(t,\lambda,u)&=\frac12\left\{\right.(F_-(\lambda)+u\cdot G_-(\lambda))(1-A_{--}(t)F_-(\lambda)-u\cdot A_{--}(t)G_-(\lambda))^{-1}\Pi_-\\&\quad +\Pi_-(1-F_-(\lambda)A_{--}(t)-u\cdot G_-(\lambda)A_{--}(t))^{-1}(F_-(\lambda)+u\cdot G_-(\lambda)\left.\right)\}\endaligned \tag 1.3 et $$\Gamma_+(t,\lambda,u)=A_{++}(t)+A_{+-}(t)R_-(t,\lambda,u)A_{-+}(t).\tag 1.4$$ On v\'erifie ais\'ement que, pour $(t,\lambda)$ tels que $\lambda\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0]$ et $(t,S(\lambda))\in B_{{\Bbb C}^2}(0,\epsilon)$, on a $R_-(t,\lambda,S(\lambda))=R_-(t,\lambda)$ et $L_+(t,\lambda)=H_{+}+\Gamma_+(t,\lambda,S(\lambda))$. Par ce qui a \'et\'e dit ci-dessus, il est clair que $R_-(t,\lambda,u)$ est born\'e de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$. Pour $t$, $\lambda$ et $u$ r\'eels, la sym\'etrie de $R_-(t,\lambda,u)$ d\'ecoule imm\'ediatement de celles de $A(t)$, $F$ et $G$ et de la sym\'etrie impos\'ee dans la d\'efinition de $R_-(t,\lambda,u)$. Ceci entraine alors que $\Gamma_+(t,\lambda,u)$ est sym\'etrique. \par Comme $A(t)$ est compact de ${\Cal A}_1^*$ dans ${\Cal A}_0$, il est en particulier $H$-compact sur ${\Cal H}_0$. Donc $A_{++}(t)$ est $H_+$-compact. Pour $\lambda$ voisin de 0, $(\lambda-H_+)^{-1}$ est born\'e dans ${\Cal H}_0$ et $A_{-+}(t)(\lambda-H_+)^{-1}$ est compact. De plus, $A_{+-}(t)$ est compact de ${\Cal A}_1^*$ dans ${\Cal A}_0$ et $R_-(t,\lambda,u)$ est born\'e de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$, donc $\Gamma_+(t,\lambda,u)$ est $H_+$-compact. Ce qui implique que $\Gamma_+(t,\lambda,u)$ est auto-adjoint pour $t$, $\lambda$ et $u$ r\'eels. \enddemo \smallskip \subheading{\'Equation aux valeurs propres} \smallskip \par On sait que le spectre de $H_+$ est contenu dans $[\epsilon_0,+\infty[$; ainsi, au voisinage de 0, le spectre de $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$ est discret. Soient $(\mu_j(t,\lambda,u))_{1\leq j\leq m}$, les valeurs propres de $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$ dans $D(0,\epsilon_0)$. Comme $\Gamma_+(t,\lambda,u)$ est analytique en $(t,\lambda,u)$ et $H_+-$compact, on peut appliquer la th\'eorie des perturbations analytiques \a $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$. Entre autre, si $\mu_0$ est une valeur propre de $H_++\Gamma_+(t_0,\lambda_0,u_0)$, alors il existe $(t,\lambda,u,\mu)\mapsto k(t,\lambda,u,\mu)$, une application analytique d\'efinie dans $W$, un voisinage de $(t_0,\lambda_0,u_0,\mu_0)$ telle que \par\noindent (i) $k(t_0,\lambda_0,u_0,\mu_0)=0$, \par\noindent (ii) pour $(t,\lambda,u,\mu)\in W$, $\mu$ est valeur propre de $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$ si et seulement si $k(t,\lambda,u,\mu)=0$. \par Si $\mu_0$ est une valeur propre simple de $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$, alors on peut choisir $k(t,\lambda,u,\mu)=\mu-\mu(t,\lambda,u)$ o\u $(t,\lambda,u,\mu)\mapsto\mu(t,\lambda,u)$, une application analytique d\'efinie dans un voisinage de $(t_0,\lambda_0,u_0)$; $\mu(t,\lambda,u)$ sera une valeur propre simple de $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$. De plus, il existe $\varphi(t,\lambda,u)$ un vecteur propre unitaire associ\'e \a $\mu(t,\lambda,u)$ qui est analytique en $(t,\lambda,u)$. \par Comme $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$ est auto-adjoint quand $(t,\lambda,u)$ sont r\'eels, on sait que $k(t,\lambda,u,\mu)$ est r\'eelle pour $(t,\lambda,u,\mu)$ r\'eels. \remark{Remarque} Il n'est pas difficile de voir que, de fa\c con g\'en\'erique, on peut supposer que l'on se trouve dans le cas d'une valeur propre simple. \endremark \medskip \subheading{6. Prolongement de la r\'esolvante de l'op\'erateur perturb\'e} \medskip \par On rajoute un point $\overline 0$ \a ${\Cal R}_{\epsilon}$ et on prolonge $\tilde S$ par continuit\'e \a ce point en posant $\tilde S (\overline 0) = 0$. La fa\c con de rajouter ce point d\'epend de la singularit\'e de $S$ en 0. \par Consid\'erons $\tilde {\Cal R}_{\epsilon}:=\tilde S^{-1}(D_{\Bbb C}(0,\epsilon))$. C'est un ouvert de ${\Cal R}_{\epsilon}$. On peut alors naturellement prolonger analytiquement $R_-$ comme op\'erateur born\'e de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$ et $L_+$ comme perturbation $H_+$-compacte de $H_+$ \a $\tilde {\Cal R}_{\epsilon}$ de la fa\c con suivante: pour $z\in\tilde {\Cal R}_{\epsilon}$, $$R_-(t,z)=R_-(t,\rho(z),\tilde S(z))\text{ et }L_+(t,z)=H_++\Gamma_+(t,\rho(z),\tilde S(z)).$$ \par Le fait que, pour $t$ assez petit, $R_-(t,\lambda)$ se prolonge holomorphiquement et non m\'eromorphi-quement c'est-\a-dire que $R_-(t,\lambda)$ n'ait pas de p\^oles au voisinage de 0, est d\^u \a ce que $1-F(0)\Pi_- A(0)\Pi_-$ est inversible. \par De la proposition 1.1, on conclut imm\'ediatement le \proclaim{Th\'eor\eme 1.2} Supposons que (H.1)-(H.3) sont v\'erifi\'ees. Il existe $\epsilon>0$, tel que pour $t\in B(0,\epsilon)$, on peut construire un prolongement holomorphe de $L_+(t,z)$ \a $\tilde {\Cal R}_{\epsilon}$ (en tant que perturbation $H_+$-compact de $H_+$) et $R(t,z)$, un prolongement m\'eromorphe de $(\lambda-H(t))^{-1}$ \a $\tilde {\Cal R}_{\epsilon}$ (en tant qu'op\'erateur born\'e de ${\Cal A}_0$ dans ${\Cal A}_1^*$). \par De plus, $z$ est un p\^ole de $R(t,z)$ si et seulement si $\rho(z)$ est valeur propre de $L_+(t,z)$. \endproclaim \definition{D\'efinition 1.3} Les p\^oles de $R(t,z)$ sont appel\'es les r\'esonances de $H(t)$. \enddefinition \par On remarquera qu'ici on ne distingue pas les r\'esonances des valeurs propres. On dira qu'une r\'esonance est simple si c'est un p\^ole simple c'est-\a-dire si $\rho(z)$ est une valeur propre simple de $L_+(t,z)$. \proclaim{D\'efinition 1.4} On dira qu'une fonction $\phi$ est une fonction r\'esonante pour $H(t)$ associ\'ee \a la r\'esonance $z$ si $\phi$ est dans le noyau de $L_+(t,z)-\rho(z)$. Soit ${\Bbb E}\subset\tilde {\Cal R}_{\epsilon}$. On appellera espace r\'esonant associ\'e \a ${\Bbb E}$ et \a $H(t)$, la somme directe des espaces propres g\'eneralis\'es associ\'es \a $L_+(t,z)$ et $\rho(z)$ pour $\lambda\in{\Bbb E}$. \endproclaim \remark{Remarque} Notons que cette \'etude n'a d'int\'er\^et que si $[A(t),\Pi_+]\neq0\neq[A(t),\Pi_-]$. En effet, dans le cas contraire, le syst\eme d'\'equations (1.1) est d\'ecoupl\'e. Comme $R_-(t,\lambda)$ se prolonge holomorphiquement, la seconde \'equation ne cr\'ee pas de p\^oles et la premi\ere cr\'ee au plus des valeurs propres qui peuvent \^etre plong\'ees dans le spectre essentiel de $H$. Les \'eventuelles r\'esonances proviennent du couplage entre $A(t)$ et $H$. \endremark \demo{Preuve du Th\'eor\eme 1.2} D'apr\es (1.2) et la Proposition 1.1, pour $\lambda\in D_{\Bbb C}(0,\epsilon_0)\setminus]-\epsilon_0,0]$, pour calculer $(\lambda-H(t))^{-1}\psi$ pour $\psi\in{\Cal A}_0$, il suffit de pouvoir inverser $L_+(t,\lambda)-\lambda$ sur ${\Cal H}$. On remarque que $$L_+(t,\lambda)-\lambda=(1+\Gamma_+(t,\lambda,S(\lambda))(H_+-\lambda)^{-1})(H_+-\lambda).$$ Or, pour $\lambda$ voisin de 0, $\lambda\not\in\sigma(H_+)$ (par la remarque suivant l'hypoth\ese (H.1)) et on a $$\parallel(H_+-\lambda)^{-1}\parallel_{{\Cal B}({\Cal H})}\leq\frac1{\mid\epsilon_0-\lambda\mid}.$$ Comme, par la Proposition 1.1, $\Gamma_+(t,\lambda,S(\lambda))$ est $H_+$-compact, $L_+(t,\lambda)-\lambda$ est inversible si et seulement si $\lambda$ n'est pas valeur propre de $L_+(t,\lambda)$. En utilisant alors les prolongements analytiques construits pour $R_-$ et $L_+$, on obtient le Th\'eor\eme 1.2. \enddemo \bigskip \subheading{II) \'Eclatement des r\'esonances} \medskip \subheading{1. Diff\'erents types de ramification} \smallskip Nous \'etudions l'\'eclatement d'une r\'esonance $z_0$ de $H(0)$ en r\'esonances de $H(t)$ quand $t$ varie au voisinage de 0. %Pour simplifier l'expos\'e, on supposera que $z_0$ est simple. \par Le cas o\u $z_0$ n'est pas au seuil, c'est-\a-dire si $\rho(z_0)\not=0$, est trait\'e en 2. Le cas tr\es int\'eressant o\u $z_0=\overline 0$, le point rajout\'e \a ${\Cal R}_{\epsilon}$ est plus d\'elicat. Pour l'\'etudier il faut pr\'eciser la mani\ere dont on peut ajouter un point \a ${\Cal R}_{\epsilon}$. On le fait pour deux types de singularit\'es de $S$: \par a) type rationnel $S(z)=z^{\frac pq}$ avec $\frac pq$ rationnel positif non entier, \par b) type logarithmique $S(z)=z^p\cdot\log(z)$ avec $p\in{\Bbb N}^*$. \par\noindent (On consid\ere ici les branches principales de la racine $q$-i\eme et du logarithme). \remark{Remarque} Rappelons que dans les applications \a Schr\"odinger dans ${\Bbb R}^n$, on a $\dsize S(\lambda)=\lambda^{\frac{n-2}2}$ pour $n$ impair (type rationnel), et $\dsize S(\lambda)=\lambda^{\frac{n-2}2}\log \lambda$ pour $n$ pair (type logarithmique). \endremark \medskip \subheading{2. Cas o\u la r\'esonance n'est pas au seuil} \medskip Supposons que (H.1)-(H.3) sont v\'erifi\'ees. Supposons que $z_0\in\tilde {\Cal R}_{\epsilon}$ est une r\'esonance de $H(t_0)$. Par d\'efinition, $\rho(z_0)$ est alors une valeur propre de $H_++\Gamma_+(t,\rho(z_0),\tilde S(z_0))$. Donc, il existe $k(t,z)$, une fonction analytique sur $U\times V$, un voisinage de $(t_0,z_0)$, telle que \par 1) $h(t_0,z_0)=0$, \par 2) pour $(t,z)\in U\times V$, ($z$ est une r\'esonance de $H(t)$) $\Longleftrightarrow$ ($h(t,z)=0$). \par\noindent Remarquons que si $\partial_z(h(t,z)-\rho(z))_{\mid z_0}\not=0$, alors on peut trouver $t\mapsto z(t)$, une application analytique d'un voisinage de $t_0$ dans un voisinage de $z_0$ tel que $z(t)$ est l'unique r\'esonance de $H(t)$ dans le voisinage de $z_0$ consid\'er\'e. Dans le cas o\u $z_0$ est une r\'esonance simple de $H(t_0)$, pour $t$ voisin de $t_0$, il n'y a qu'une r\'esonance de $H(t_0)$ voisine de $z_0$ et celle-ci est simple. \remark{Remarque} Ce cas recouvre d'une certaine mani\ere celui trait\'e par A. Orth \cite{Or}. \endremark \smallskip \subheading{3. R\'esonance en un seuil de type rationnel. $\bold S(\bold z)=\bold z^{\bold{\frac pq}}$} \smallskip Il est classique qu'on obtient une surface de Riemann r\'eguli\ere en rajoutant un point \a ${\Cal R}_\epsilon$. Plus pr\'ecis\'ement, on d\'efinit ${\Cal R}(q,\epsilon)=\{\zeta=(z,z^q);\ z\in D(0,\epsilon)\}\subset{\Bbb C}^2$, le graphe de la puissance $q$-i\eme restreinte \a $D(0,\epsilon^q)$. Alors ${\Cal R}_\epsilon={\Cal R}(q,\epsilon)\setminus(0,0)$ et $\overline 0=(0,0)$. L'application $\rho$ est d\'efinie par $\rho(z)=z^q$ et $\tilde S(z)=z^p$ (ici on utilise l'identification $\rho_1:\ \zeta\in{\Cal R}(q,\epsilon)\leftrightarrow z\in D(0,\epsilon)$). \par On prolonge alors la r\'esolvante $R(t,\zeta)$ \a ${\Cal R}_\epsilon$; $z\in{\Cal R}_\epsilon$ sera une r\'esonance de $H(t)$ si et seulement si $z^q$ est une valeur propre de $H_++\Gamma_+(t,z^q,z^p)$. \par Supposons que $\overline 0$ est une r\'esonance de $H(0)$ c'est-\a-dire que $0=\rho(\overline 0)$ est une valeur propre de $H_++\Gamma_+(0,0,0)$. Ainsi, il existe une \'equation au valeurs propres $k(t,\lambda,u,\mu)$ analytique telle que \par\noindent (i) $k(0,0,0,0)=0$, \par\noindent (ii) pour $(t,\lambda,u,\mu)\in D(0,\epsilon)^4$, $\mu$ est une valeur propre de $H_++\Gamma_+(t,\lambda,u)$ si et seulement si $k(t,\lambda,u,\mu)=0$. \par\noindent On obtient donc l'\'equation aux r\'esonances suivante pour $H(t)$, $$h(t,z):=k(t,z^q,z^p,z^q)=0,$$ c'est-\a-dire, en tenant compte de l'analyticit\'e de $k$, $$h(t,z)=a_{1,0,0}t+a_{0,1,0}z^q+a_{0,0,1}z^p+\sum\Sb j+k+l\geq2\\j,k,l\geq0\endSb a_{j,k,l}t^jz^{qk+pl}=0. \tag 2.1$$ Rappelons que les coefficients $(a_{j,k,l})_{j,k,l}$ sont r\'eels. \subheading { Hypoth\ese g\'en\'erique} \par\noindent (H.4) \par $a_{1,0,0}\not=0$, $a_{0,1,0}\not=0$ et $a_{0,0,1}\not=0$. \smallskip \remark{Remarque} Les trois hypoth\eses de (H.4) ne sont pas toutes n\'ecessaires en m\^eme temps. En effet comme le montre la preuve du Th\'eor\eme 2.1, si $p>q$, il suffit de supposer $a_{1,0,0}\not=0$ et $a_{0,1,0}\not=0$. Et si $p0$, $\epsilon_2>0$ et $f$, une fonction analytique de $D(0,\epsilon_1)$ dans $D(0,\epsilon_2)$ (dont les coefficients de Taylor sont r\'eels et telle que $f(0)=0$) tels que si on d\'efinit $$\CD D(0,\epsilon_1) @>f>> D(0,\epsilon_2) \\ @AA\rho_1A @VV\rho_1^{-1}V \\ {\Cal R}(m,\epsilon_1) @>F>> {\Cal R}_{\epsilon_2} \\ @VV\rho V @VV\text{Id}V \\ D(0,\epsilon_1^m) @>>\Lambda> {\Cal R}_{\epsilon_2} \endCD \quad\text{o\u}\quad F=\rho_1^{-1}\circ f\circ\rho_1$$ alors, pour $t\in D(0,\epsilon_1^m)$, $\Lambda(t)=F(\rho^{-1}(t))=\{\lambda_0(t),\dots,\lambda_{m-1}(t)\}$ est l'ensemble des r\'esonances de $H(t)$ contenues dans ${\Cal R}_{\epsilon_2}$. \endproclaim \demo{Preuve du Th\'eor\eme 2.1} On peut supposer sans restrictions que $m=p$ (i.e $p1$. Si $m=p=1$ on obtient pour $t$ petit une unique r\'esonance simple au voisinage du seuil. Par contre si $m>1$, il apparait plusieurs r\'esonances; plus exactement, si 1\rho >> D(0,\epsilon)\setminus\{0\} \\ @VV\rho_1V @VVSV \\ \{z\in{\Bbb C}; \text{Re}(z)<\log\epsilon\} @>>\tilde S(z)=z\cdot e^{pz}> {\Bbb C} \endCD$$Ici \rho_1 est la projection sur la premi\ere coordonn\'ee et, \rho celle sur la seconde. On va maintenant restreindre \tilde{\Cal R}_\epsilon \a un ouvert de fa\c con \a ce que \tilde S, l'uniformisation de S sur cet ouvert soit \a valeur dans D(0,\epsilon) et de plus puisse \^etre prolong\'ee par continuit\'e au point (-\infty,0) sur cet ouvert. Soit \nu>0. On d\'efinit {\Cal R}_{\epsilon,\nu}=\{\zeta=(z,e^z)\in\tilde{\Cal R}_\epsilon;\ (p+\nu)\cdot\text{Re}(z)+\mid z\mid<\log\epsilon\}. On v\'erifie ais\'ement que: \par\noindent (i) {\Cal R}_{\epsilon,\nu} est un ouvert de \tilde{\Cal R}_\epsilon, \par\noindent (ii) pour \zeta\in{\Cal R}_{\epsilon,\nu}, \mid\tilde S\circ\rho_1(\zeta)\mid<\epsilon, \par\noindent (iii) pour \zeta\in{\Cal R}_{\epsilon,\nu}, si \text{Re}(\rho_1(\zeta))\to-\infty alors \tilde S\circ\rho_1(\zeta)\to 0. \par On peut alors compactifier {\Cal R}_{\epsilon,\nu} en lui ajoutant un point not\'e \overline{0}=(-\infty,0) et prolonger \tilde S\circ\rho_1 par continuit\'e \a cette compactification par \tilde S\circ\rho_1(\overline{0})=0. \overline{0} est le point de ramification dans ce cas-ci. On d\'efinit C_{\nu,\epsilon}=\rho_1({\Cal R}_{\nu.\epsilon})=\{z\in{\Bbb C};\ \text{Re}(z)<\log\epsilon\text{ et }(p+\nu)\cdot\text{Re}(z)+\mid z\mid<\log\epsilon\}. \par Supposons que \overline{0} est une r\'esonance de H(0) donc 0=\rho(\overline{0}) est une valeur propre de H_++\Gamma_+(0,0,0). Ainsi, il existe une \'equation aux valeurs propres analytique k(t,\lambda,u,\mu) telle que \par\noindent (i) k(0,0,0,0)=0, \par\noindent (ii) pour (t,\lambda,u,\mu)\in D(0,\epsilon)^4, \mu est une valeur propre de H_++\Gamma_+(t,\lambda,u) si et seulement si k(t,\lambda,u,\mu)=0. \par\noindent Donc, pour t\in D(0,\epsilon), \zeta\in{\Cal R}_{\epsilon,\nu} est une r\'esonance de H(t) si et seulement si$$k(t,\rho(\zeta),S\circ\rho(\zeta),\rho(\zeta))=0. \tag 2.3$$Donc en utilisant le d\'eveloppement en s\'erie enti\ere de k au voisinage de (0,0,0,0) et les d\'efinitions de S et \rho, (2.3) devient$$h(t,z)=a_{1,0,0}t+a_{0,1,0}ze^{pz}+a_{0,0,1}e^z+\sum\Sb j+k+l\geq2\\j,k,l\geq0\endSb a_{j,k,l}t^jz^ke^{(pk+l)z}=0. \tag 2.4$$Rappelons que les coefficients (a_{j,k,l})_{j,k,l} sont r\'eels. \subheading { Hypoth\ese g\'en\'erique} \par\noindent (H.4 bis) \par a_{1,0,0}\not=0, a_{0,1,0}\not=0 et a_{0,0,1}\not=0. \smallskip \remark{Remarque} La remarque faisant suite \a l'hypoth\ese (H.4) s'applique ici, \a la nuance suivante pr\es: il suffit de supposer a_{1,0,0}\not=0 et a_{0,1,0}\not=0 si p=1, et a_{1,0,0}\not=0 et a_{0,0,1}\not=0 si p>1. \endremark \medskip \proclaim{Th\'eor\eme 2.3} Supposons que \overline 0 est une r\'esonance de H(0), et supposons les hypoth\eses (H.1)-(H.4 bis) v\'erifi\'ees. Alors, asymptotiquement, il existe une infinit\'e de r\'esonances au voisinage de \overline 0. Plus p\'ecis\'ement, pour \nu>0, il existe \epsilon_1>0, \epsilon_2>0 et f, une fonction analytique de C_{\nu,\epsilon_1} dans C_{\nu,\epsilon_2} tels que si on d\'efinit$$\CD C_{\nu,\epsilon_1} @>f>> C_{\nu,\epsilon_2} \\ @AA\rho_1A @VV\rho_1^{-1}V \\ {\Cal R}_{\epsilon_1,\nu} @>F>> {\Cal R}_{\epsilon_2,\nu} \\ @VV\rho V @VV\text{Id}V \\ D(0,\epsilon_1^m) @>>\Lambda> {\Cal R}_{\epsilon_2,\nu} \endCD \quad\text{o\u}\quad F=\rho_1^{-1}\circ f\circ\rho_1$$alors, pour t\in D(0,\epsilon_1^m), \Lambda(t)=F(\rho^{-1}(t))=\{\lambda_j(t);-n(t)\leq j \leq n(t)\} (n(t)\in{\Bbb N}) est l'ensemble des r\'esonances de H(t) contenues dans {\Cal R}_{\epsilon_2,\nu}. \par De plus, on a les asymptotiques suivantes sur f: \par\noindent (i) si p>1: pour \delta est d\'efinie par \dsize e^\delta=-\frac{a_{1,0,0}}{a_{0,0,1}} et 0\leq \text{Im}(\delta)\leq\pi,$$f(z)=z+\delta+h_p(z^{-1},ze^{(p-1)z}e^z)$$\par\noindent (ii) si p=1: pour \delta est d\'efinie par \dsize e^\delta=-\frac{a_{1,0,0}}{a_{0,1,0}} et 0\leq \text{Im}(\delta)\leq\pi,$$f(z)=z-\log z+\delta+h_1(z^{-1},z^{-1}\log z,e^z)$$\par\noindent o\u \log est la branche principal du logarithme et les fonctions h_p sont analytiques au voisinages de 0 dans toutes leurs variables et h_p(0,0,0)=0. \endproclaim \remark{Remarque} La forme de C_\nu(\epsilon) implique que n(t)\to+\infty quand t\to0. \endremark \demo{Preuve du Th\'eor\eme 2.3} On va proc\'eder comme dans la preuve du Th\'eor\eme 2.1. On prouvera d'abord le \proclaim{Lemme 2.4} Supposons qu'il existe u\mapsto z(u), une application continue au voisinage -\infty dans C_{\nu,\epsilon} (o\u \nu>0 et \epsilon>0 sont fix\'es) et telle que \par (i) quand \text{Re}(u)\to-\infty, z(u)\to0 \par (ii) h(e^u,z(u))=0 pour \text{Re}(u) assez n\'egatif. \par\noindent Alors, il existe k\in{\Bbb Z} tel que \par (i) si p>1, z(u)=u-\delta+2ik\pi+o(1) pour \text{Re}(u) assez n\'egatif, \par (ii) si p=1, z(u)=u-\log u+\delta +2ik\pi+o(1) pour \text{Re}(u) assez n\'egatif, \par\noindent o\u \log est la branche principal du logarithme et \delta est d\'efini dans le Th\'eor\eme 2.3. \endproclaim \demo{Preuve} Si p>1, comme au voisinage de -\infty, ze^{pz} est n\'egligeable devant e^z, la preuve du Lemme 2.4 est exactement celle du Lemme 2.2. \par Si p=1, en substituant z(u) et t=e^u dans (2.4), on obtient$$ a_{1,0,0}e^u(1+\alpha(u))=-a_{0,0,1}z(u)e^{z(u)}(1+\beta(u)),$$o\u \alpha(u)\to0 et \beta(u)\to0 quand \text{Re}(u)\to-\infty. En prenant le logarithme de la formule pr\'ec\'edente, on obtient pour \text{Re}(u) suffisamment n\'egatif$$ u=v(u)+\log(v(u))+2ik(u)\pi+o(1) \tag 2.5$$o\u o(1)\to0 quand \text{Re}(u)\to-\infty et pour tout u, k(u)\in{\Bbb Z}. Donc, pour (u,u') assez n\'egatifs,$$\mid k(u)-k(u')\mid<\frac12+C(\mid u-u'\mid+\mid v(u)-v(u')\mid).$$Comme v est suppos\'ee continue et que u\mapsto k(u) ne prend que des valeurs enti\eres, u\mapsto k(u) est localement constante au voisinage de -\infty, donc constante comme nous consid\'erons des voisinages connexes. Alors par (2.5), on obtient que quand \text{Re}(u)\to-\infty, u\sim v(u). On ach\eve la preuve du Lemme 2.3 en r\'eutilisant (2.5). \enddemo On ne traitera explicitement que le cas p=1, le cas p>1 \'etant plus simple \a traiter. On va r\'esoudre (2.4) en prenant t=e^u et en cherchant z sous la forme z=u-\log u+f(u) o\u \delta est d\'efini dans le Th\'eor\eme 2.3 En substituant ces expressions dans (2.4), on obtient$$\aligned &a_{1,0,0}e^u-a_{1,0,0}\left(1-u^{-1}\log u+u^{-1}f\right)e^u e^f+a_{0,0,1}e^u(\delta u)^{-1}e^f+ \\&\hskip 2cm+\sum\Sb j+k+l\geq2\\j,k,l\geq0\endSb a_{j,k,l}e^{(k+l)\delta}e^{(j+k+l)u}u^{-l}\left(1-u^{-1}\log u+(\delta+f)u^{-1}\right)^ke^{(k+lf}= \\&\hskip 4cm=H(f,u^{-1},u^{-1}\log u,e^u)=0, \endaligned \tag 2.6$$o\u (f,a,b,c)\mapsto H(f,a,b,c) est une application analytique au voisinage de (0,0,0,0) qui v\'erifie H(0,0,0,0)=0 et \partial_fH(0,0,0,0)=-a_{1,0,0}. Par le th\'eor\eme des fonctions implicites, on sait qu'il existe une fonction analytique (a,b,c)\mapsto f(a,b,c) d\'efinie sur un voisinage de (0,0,0) telle que f(0,0,0)=0 et H(f,a,b,c)=0 si et seulement si f=f(a,b,c). \par Pour r\'esoudre (2.6), pour u\in C_{\nu,\epsilon} et \text{Re}(u) assez n\'egatif, on pose$$z_0(u)=u-\log u+f(u^{-1},u^{-1}\log u,e^u).$$Remarquons que pour k\in{\Bbb Z}, z_k(u)=z_0(u+2ik\pi) est aussi solution de (2.4) (si u tel que u+2ik\pi\in C_{\nu,\epsilon}). \par Soit u\mapsto w(u) une application continue au voisinage -\infty dans C_{\nu,\epsilon} (o\u \nu>0 et \epsilon>0 fix\'es) et telle que \par (i) quand \text{Re}(u)\to-\infty, w(u)\to0 \par (ii) h(e^u,w(u))=0 pour \text{Re}(u) assez n\'egatif. \par\noindent Alors par le Lemme 2.4, il existe k\in{\Bbb Z} tel que w(u)-z_k(u)=o(1) quand \text{Re}(u)\to-\infty. Donc, il existe \theta(u)\in]0,1[ tel que$$0=h(e^u,w(u))-h(e^u,z_k(u))=(w(u)-z_k(u))\cdot\partial_2 h(e^u,z_k(u)+\theta(u)(w(u)-z_k(u))).$$On voit ais\'ement que , quand \text{Re}(u)\to-\infty,$$\partial_2 h(e^u,z_k(u)+\theta(u)(w(u)-z_k(u)))=z_k(u)e^{-z_k(u)}\cdot(1+o(1)).$$On en conclut que pour \text{Re}(u) assez n\'egatif, w(u)=z_k(u). On a ainsi obtenu toutes les solutions de l'\'equation (2.4) en posant z(t)=z_0(u) pour t=e^u. Ceci ach\eve la preuve du Th\'eor\eme 2.4. \enddemo \smallskip \subheading{ Conclusion} \smallskip \par On a pu d\'efinir un prolongement m\'eromorphe de la r\'esolvante, sous des hypoth\eses assez g\'en\'erales. Ceci s'applique en particulier au cas de l'op\'erateur de Schr\"odinger p\'eriodique auquel on ajoute une perturbation \a support compact. Pour l'op\'erateur de Schr\"odinger p\'eriodique, le prolongement de la r\'esolvante est construit dans \cite{G\'e 2}. Au voisinage de l'extr\'emit\'e sup\'erieure d'une bande spectrale simple (il suffit que le bord de la bande que nous consid\'erons soit simple), notre hypoth\ese (H.1) est satisfaite en dimension n\geq3. Pour fixer les id\'ees, supposons que cette extr\'emit\'e est 0. Si on consid\ere une perturbation de la forme A(t)=tW o\u W est un potentiel non-n\'egatif qui d\'ecroit suffisamment vite \a l'infini (typiquement, une d\'ecroissance exponentielle) et t_0<0, notre hypoth\ese (H.3) est satisfaite pour t voisin de t_0. \par Supposons que lorsque t d\'ecroit vers t_0, il existe \lambda(t), une valeur propre de H(t) qui tend vers 0. Alors en utilisant l'\'equation aux valeurs propres pour l'op\'erateur de Livsic dans ce cas, on a, pour t>t_0 assez proche de t_0, k(t,\lambda(t),S(\lambda(t)),\lambda(t))=0. Comme S et k sont continues, on a k(t_0,0,0,0)=0. On a donc une r\'esonance au seuil pour t=t_0. \par V\'erifions les hypoth\eses (H.4) et (H.4 bis). G\'en\'eriquement, la valeur propre 0 de H_++\Gamma(t_0,0,0) peut \^etre suppos\'ee simple; on note \mu(t,\lambda,u) la branche de valeur propre correspondante. \par Pour prouver que a_{1,0,0}\not=0, g\'en\'eriquement, il suffit de perturber A par un projecteur choisi convenablement . \par Maintenant, suivant la dimension n, nous discutons de la validit\'e des hypoth\eses a_{0,1,0}\not=0 et a_{0,0,1}\not=0. On fera la discussion dans le cas n impair, donc \dsize S(\lambda)=\lambda^{\frac{n-2}2}. Si n\geq5, alors n-2>2; donc il s'agit de voir que a_{0,1,0}\not=0, soit encore \partial_\lambda\mu(t_0,0,0)-1\not=0. On calcule$$\aligned \partial_\lambda\Gamma_+(t_0,0,0)&=A_{+-}(t_0)\partial_\lambda R_-(t_0,0,0)A_{-+}(t_0) \\ &=\frac12\left\{A_{+-}(t_0)\left(\partial_\lambda F_-(0)U+F_-(0)UA_{--}(t_0)\partial_\lambda F_-(0)U+ \right.\right. \\&\hskip 3cm+\left.\left.U^*\partial\lambda F_-(0)+U^*\partial_\lambda F_-(0)A_{--}(t_0)U^*F_-(0)\right)A_{-+}(t_0)\right\} \\ &=\frac12A_{+-}(t_0)\left\{U^*\partial_\lambda F_-(0)U+U\partial_\lambda F_-(0)U^*\right\}A_{-+}(t_0)\\ &\hskip 6cm\text{ o\u }U=(1-A_{--}(t_0)F_-(0))^{-1},\endaligned$$car$$1+F_-(0)UA_{--}(t_0)=U^*\text{ et }1+A_{--}(t_0)U^*F_-(0)=U.$$Mais, comme \partial_\lambda S(0)=0, on v\'erifie ais\'ement que \partial_\lambda F_-(0)\leq0, ainsi \partial_\lambda\mu(t_0,0,0)\leq 0, c'est-\a-dire a_{0,1,0}\not=0. \par Si n=3, comme n-2<2, il faut prouver que a_{0,0,1}\not=0, c'est-\a-dire \partial_u\mu(t_0,0,0)\not=0. Avec les m\^emes notations que ci-dessus, on calcule$$\aligned \partial_u\Gamma_+(t_0,0,0)&=A_{+-}(t_0)\partial_u R_-(t_0,0,0)A_{-+}(t_0)\\ &=\frac12\left\{A_{+-}(t_0)\left(G_-(0)U+F_-(0)UA_{--}(t_0)G_-(0)U+ \right.\right. \\&\hskip 3cm+\left.\left.U^*G_-(0)+U^*G_-(0)A_{--}(t_0)U^*F_-(0)\right)A_{-+}(t_0)\right\} \\ &=\frac12A_{+-}(t_0)\left\{U^*G_-(0)U+UG_-(0)U^*\right\}A_{-+}(t_0).\endaligned$$D'apr\e \cite{G\'e 2} (Theorem 3.6 et Corollary 3.7), on sait que si l'extr\'emit\'e de la bande \a laquelle on se place est simple, G_-(0) peut s'\'ecrire G_-(0)=C_0\langle \cdot,\varphi_0\rangle\varphi_0 o\u \varphi_0\in H^2_{-a}({\Bbb R}^n) v\'erifie$$H\varphi_0=F(0)\varphi_0=0.$$Ainsi, si \varphi est un vecteur propre unitaire associ\'e \a \mu(t_0,0,0), on a$$\partial_u\mu(t_0,0,0)=\langle\partial_u\Gamma_+(t_0,0,0)\varphi,\varphi\rangle=\frac{C_0}2\left(\vert\langle\varphi_0,UA_{-+}(t_0)\varphi\vert^2+\vert\langle U\varphi_0,A_{-+}(t_0)\varphi\vert^2\right).$$Or U\varphi_0=\varphi_0 donc$$\partial_u\mu(t_0,0,0)=\frac{C_0}2\left(\vert\langle\varphi_0,UA_{-+}(t_0) \varphi\vert^2+\vert\langle\varphi_0,A_{-+}(t_0)\varphi\vert^2\right).$Donc en perturbant$A$, on peut s'arranger pour qu$\partial_u\mu(t_0,0,0)\not=0$. Ce qui a \'et\'e fait ici en dimension impaire est \'egalement valide en dimension paire. \medskip \par Alors, pour r\'epondre \a la question de M. Sh. Birman, on peut dire les choses suivantes: \par\noindent a) pour$n=3$, on a$m=p=1$et$q=2$; dans ce cas la surface de Riemann a deux feuillets. La valeur propre se transforme en r\'esonance, \par\noindent b) pour$n$impair$n>3$, on a$m=q=2$; dans ce cas la surface de Riemann a deux feuillets. Donc pour$t>t_0$et$t$proche de$t_0$, il y a en plus de la valeur propre une autre r\'esonance qui atteint le seuil en m\^eme temps que la valeur propre. Pour$t2$, pour$t>t_0$et$t$proche de$t_0$, en plus de la valeur propre, il y a une r\'esonance sur chaque feuillet de la surface de Riemann. La valeur propres et les r\'esonances arrivent toutes ensemble au seuil et pour$t